時(shí)間：120分鐘 分值：150分
一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知是第二象限的角，為其終邊上的一點(diǎn)，且，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知函數(shù)，且的圖象不經(jīng)過第一象限，則函數(shù)的圖象不經(jīng)過（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
4．下列函數(shù)中在上單調(diào)遞增，周期為且為奇函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍（ ）
A．B．C．D．
6．“”是“函數(shù)的值域?yàn)椤钡模? ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
7．設(shè)是奇函數(shù)，則使的的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函數(shù)，將的圖象向左平移個單位后，得到函數(shù)的圖象，若的圖象與的圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分．
9．設(shè)正實(shí)數(shù)m，n滿足，則（ ）
A．的最小值為B．的最小值為
C．的最大值為1D．的最小值為
10．若函數(shù)，則（ ）
A．可能只有1個極值點(diǎn)
B．當(dāng)有極值點(diǎn)時(shí)，
C．存在，使得點(diǎn)為曲線的對稱中心
D．當(dāng)不等式的解集為時(shí)，的極小值為
11．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù).當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．
B．在上單調(diào)遞減
C．點(diǎn)是函數(shù)的一個對稱中心
D．方程有5個實(shí)數(shù)解
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．化簡： .
13．若函數(shù)，則不等式的解集為 ．
14．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列四個結(jié)論：
①關(guān)于點(diǎn)對稱；
②關(guān)于直線對稱；
③在區(qū)間上單調(diào)遞減；
④在區(qū)間上的值域?yàn)?
正確結(jié)論的序號為 .
四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．
15．（1）設(shè)，為銳角，且，，求的值；
（2）化簡求值：．
16．杭州亞運(yùn)會以“綠色，智能，節(jié)儉，文明”為辦賽理念，展示杭州生態(tài)之美，文化之韻，充分發(fā)揮國際重大賽事對城市發(fā)展的牽引作用，從而促進(jìn)經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展，籌備期間，某公司帶來了一種智能設(shè)備供采購商洽談采購，并決定大量投放當(dāng)?shù)厥袌鲆阎摲N設(shè)備年固定研發(fā)成本為萬元，每生產(chǎn)一臺需要另投入元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該設(shè)備萬臺且全部售完，每萬臺的銷售收入（萬元）與年產(chǎn)量（萬臺）滿足如下關(guān)系式：.
(1)寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬臺）的函數(shù)解析式；（利潤=銷售收入-成本）
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬臺時(shí)，該公司獲得的年利潤最大？并求出最大利潤.
17．已知函數(shù)，，下列命題中：
(1)求的最小正周期；
(2)函數(shù)最大值；
(3)求的單調(diào)增區(qū)間.
18．已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.
(1)比較和的大?。?br>(2)討論的單調(diào)性；
(3)若有最小值，且最小值為，求的最大值.
19．泰勒公式是一個非常重要的數(shù)學(xué)定理，它可以將一個函數(shù)在某一點(diǎn)處展開成無限項(xiàng)的多項(xiàng)式．當(dāng)在處的階導(dǎo)數(shù)都存在時(shí)，它的公式表達(dá)式如下：．注：表示函數(shù)在原點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)，表示在原點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)，以此類推，和表示在原點(diǎn)處的階導(dǎo)數(shù)．
(1)求的泰勒公式（寫到含的項(xiàng)為止即可），并估算的值（精確到小數(shù)點(diǎn)后三位）；
(2)當(dāng)時(shí)，比較與的大小，并證明；
(3)設(shè)，證明：．
1．C
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)及交集的概念直接運(yùn)算即可.
【詳解】因?yàn)?，所?
故選：C
2．A
【分析】根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)的定義列式計(jì)算即得.
【詳解】依題意，，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），
則，所以.
故選：A
3．D
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可得，再由對數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可判斷出結(jié)論.
【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，圖象經(jīng)過第一象限，不合題意；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，圖象不經(jīng)過第一象限，合題意；
顯然此時(shí)，則函數(shù)為單調(diào)遞增，又恒過點(diǎn)，
因此函數(shù)的圖象不過第四象限.
故選：D
4．A
【分析】對于AB：整理可得，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)分析判斷；對于C：根據(jù)正切函數(shù)性質(zhì)分析判斷；對于D：整理可得，根據(jù)余弦函數(shù)性質(zhì)分析判斷.
【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)?，易知其為奇函?shù)，其最小正周期，
若，則，且在內(nèi)單調(diào)遞減，
則在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞增，故A正確；
對于選項(xiàng)B：由選項(xiàng)A可知：在上單調(diào)遞減，故B錯誤；
對于選項(xiàng)C：若，則，且在內(nèi)單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，故C錯誤；
對于選項(xiàng)D：因?yàn)椋?br>若，則，且在內(nèi)單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減，故D錯誤；
故選：A.
5．B
【分析】依題意在上恒成立，求的取值范圍即可.
【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則在上恒成立，即在上恒成立，
所以，的取值范圍為.
故選：B.
6．D
【分析】假設(shè)函數(shù)的值域?yàn)?，借助對?shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)可得的范圍，結(jié)合充分條件與必要條件的性質(zhì)即可得解.
【詳解】若的值域?yàn)椋?br>則對有，解得或，
“”是“或”的既不充分也不必要條件.
故選：D.
7．A
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義求出常數(shù)，再利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式.
【詳解】由函數(shù)是奇函數(shù)，得該函數(shù)定義域內(nèi)實(shí)數(shù)，恒有，
即恒成立，
因此，則，解得，，
不等式，即，整理得，解得，
所以的取值范圍是.
故選：A
8．B
【分析】根據(jù)函數(shù)平移可得，進(jìn)而根據(jù)即可代入化簡得求解.
【詳解】解：，要的圖象與的圖象關(guān)于軸對稱，則，
所以，故，
又，故，
故選：B.
9．AD
【分析】運(yùn)用基本不等式逐一運(yùn)算判斷即可.
【詳解】對于A，因?yàn)檎龑?shí)數(shù)m，n滿足m＋n＝1，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號，A正確；
對于B，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以≤， 即最大值為，B錯誤；
對于C，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，此時(shí)取最大值，C不正確；
對于D，由，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
即的最小值為，D正確．
故選：AD
10．BCD
【分析】A項(xiàng)，根據(jù)判別式分類討論可得；B項(xiàng)，有極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為，結(jié)合A項(xiàng)可得；C項(xiàng)，取，驗(yàn)證可得；D項(xiàng)，由不等式解集結(jié)合圖象可知，1和2是方程的兩根且，解出系數(shù)，代入函數(shù)求解極值即可判斷.
【詳解】，
則，令，
.
A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在R上單調(diào)遞增，不存在極值點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根，設(shè)為，，
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；
故在處取極大值，在處取極小值，即存在兩個極值點(diǎn)；
綜上所述，不可能只1個極值點(diǎn)，故A錯誤；
B項(xiàng)，當(dāng)有極值點(diǎn)時(shí),有解，則，
即.由A項(xiàng)知，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，不存在極值點(diǎn)；
故，故B正確；
C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，
，所以，
則曲線關(guān)于對稱，
即存在，使得點(diǎn)為曲線y=fx的對稱中心，故C正確；
D項(xiàng)，不等式的解集為，
由A項(xiàng)可知僅當(dāng)時(shí)，滿足題意.
則且，且在處取極大值.
即，則有，
故，
，
又，
解得，
故，
則，
當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增；
故在處有極大值，且極大值為；
在處有極小值，且極小值為；
故D正確.
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決關(guān)鍵在于D項(xiàng)中條件“不等式的解集為”的轉(zhuǎn)化，一是解集區(qū)間的端點(diǎn)是方程的根，二是在處取極值，從而.
11．AD
【分析】根據(jù)題意可得是函數(shù)的一個周期，由對稱性作出函數(shù)部分圖象和的草圖，數(shù)形結(jié)合判斷各個選項(xiàng)得解.
【詳解】為奇函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，
為偶函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對稱.
則且，
，即，
所以，
是函數(shù)的一個周期.
當(dāng)時(shí)，，則可作出函數(shù)部分圖象和的草圖如下.
由圖可知A，D正確，B，C不正確.
故選：AD.

12．
【分析】運(yùn)用誘導(dǎo)公式直接化簡即可.
【詳解】
.
故答案為：.
13．
【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為減函數(shù)，利用奇偶性判斷函數(shù)為奇函數(shù)，再利用單調(diào)性和奇偶性將不等式化為，即可求得不等式的解集.
【詳解】設(shè)，,
則，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，
又，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，
由，可得，
即，即，
即，
所以，解得，
所以不等式的解集為.
故答案為：.
14．②③
【分析】先由圖象求出，接著將點(diǎn)代入函數(shù)結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)和求得，再由和求出，進(jìn)而求得函數(shù)解析式，對于①，計(jì)算即可判斷；對于②，計(jì)算即可判斷；對于③，先求出的單調(diào)遞減區(qū)間即可判斷；對于④，由得即可得，從而即可求出在區(qū)間上的值域.
【詳解】由圖得，，故有，
將點(diǎn)代入函數(shù)得，即，
所以或，又，
所以，故，
又，所以，
所以，
又由圖像可知，又，
所以，所以，所以，
對于①，因?yàn)椋圆魂P(guān)于點(diǎn)對稱，故①錯；
對于②，因?yàn)?，故②正確；
對于③，令，解得，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故③正確；
對于④，時(shí)，，所以，
所以，所以在區(qū)間上的值域?yàn)?，故④錯誤.
故答案為：②③.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于由圖象求出函數(shù)的解析式，而求是本題難點(diǎn)，故求函數(shù)的解析式的關(guān)鍵在于求出，通過圖像特征得出和即可求解.
15．（1）；（2）1
【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求得，然后算出的值，結(jié)合范圍即可得到答案；
（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、輔助角公式和二倍角公式，求得所給式子的值.
【詳解】解：（1）∵為銳角，，且，∴；
∵為銳角，，且，∴，
∴，
∵，∴；
（2）
16．(1)
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為萬臺時(shí)，該公司獲得年利潤最大為萬元
【分析】（1）依題意可得，根據(jù)的解析式計(jì)算可得；
（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式分別求出、上的最值，進(jìn)而確定年利潤最大時(shí)對應(yīng)生產(chǎn)的臺數(shù)及最大利潤值.
【詳解】（1）依題意可得，
又，
當(dāng)時(shí)；
當(dāng)時(shí)，
所以；
（2）當(dāng)時(shí)，，
由函數(shù)圖象開口向下，對稱軸方程為可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號成立，
因?yàn)椋援?dāng)年產(chǎn)量為萬臺時(shí)，該公司獲得年利潤最大為萬元.
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先利用倍角公式及輔助角公式化簡即可由周期公式得解.
（2）由函數(shù)解析式以及正弦函數(shù)性質(zhì)即可得最大值.
（3）由正弦函數(shù)增區(qū)間令，解該不等式即可得解.
【詳解】（1）由題
，
所以函數(shù)的最小正周期為.
（2）因?yàn)椋?br>所以函數(shù)最大值為.
（3）令得，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.
18．(1)；
(2)答案見詳解；
(3).
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)意義列方程即可求解；
（2）求導(dǎo)，分和討論導(dǎo)數(shù)符號即可得解；
（3）利用（2）中結(jié)論表示出最小值，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值即可.
【詳解】（1），由題知，
整理得.
（2）由（1）知，，
當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，無最小值，
當(dāng)時(shí)，在處取得最小值，所以，
記，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)x>1時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，
即的最大值為.
19．(1)，；
(2)，證明見詳解；
(3)證明見解析.
【分析】（1）求出，根據(jù)泰勒公式可得；
（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，結(jié)合可證；
（3）利用（2）中結(jié)論令，結(jié)合裂項(xiàng)相消法可證，構(gòu)造函數(shù)證明，令，利用裂項(xiàng)相消法可證.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以
所以的泰勒公式為：，
所以
（2）記，
因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，
又，所以時(shí)有，
所以.
（3）由（2）知，，即，
所以，
即.
令，則，
所以在上單調(diào)遞減，所以，故，
所以，
則，即.
綜上，時(shí)，.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第三問關(guān)鍵在于構(gòu)造差函數(shù)證明，結(jié)合（2）中結(jié)論令，使用裂項(xiàng)相消法即可得證.

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