一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求．
1. （ ）
A. 3B. C. 10D. 100
【答案】C
【解析】，故.
故選：C
2. 已知集合，，則集合的子集有（ ）
A. 2個B. 4個C. 8個D. 16個
【答案】B
【解析】，解得：，又因為，
所以，
因為，且，
所以，
故的子集有個.
故選：B
3. 已知，，直線和垂直，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，，直線，，且，
，即．
則，
當且僅當時，等號成立，
故的最小值為8，
故選：B．
4. 已知，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】兩邊平方得①，
又，故，
兩邊平方得②，
式子①+②得，，
故，故.
故選：C
5. 已知點在圓C：的外部，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由，得，
則，解得：①，
又∵點在圓的外部，
∴，即，解得或②，
由①②得，
故選：B．
6. 已知函數是定義域為的偶函數，且為奇函數，若，則（ ）
A. B.
C. 函數的周期為2D.
【答案】D
【解析】為奇函數，，
又為偶函數，，故A項錯誤.
即函數的周期為4，
即C項錯誤.
由，令，
得，
即B項錯誤.
又，
所以D項正確.
故選：D
7. 已知數列滿足，，若成立，則的最大值為（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】B
【解析】因為，整理得，且，
可知是以首項為3，公差為1的等差數列，
所以，可得，
當時，可得，
且符合上式，所以，
則，
解得，即的最大值為8．
故選：B．
8. 如圖，已知是雙曲線的左?右焦點，為雙曲線上兩點，滿足，且，則雙曲線的離心率為（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】延長與雙曲線交于點，
因為，根據對稱性可知，
設，則，
可得，即，
所以，則，，
即，可知，
在中，由勾股定理得，
即，解得.
故選：D.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 函數，，的最小正周期為，且方程在上有兩個不相等的實數根，則下列說法正確的是（ ）
A.
B. 把圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數的圖象，則
C.
D.
【答案】BCD
【解析】依題意，函數，
由的最小正周期為，得，解得，
對于A，，A錯誤；
對于B，把圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，
得，
則，B正確；
對于C，當時，，而正弦函數在上的圖象關于直線對稱，
依題意，，解得，C正確；
對于D，由，得，解得，
由選項C知，，
因此，D正確.
故選：BCD
10. 已知曲線，則下列結論正確的是（ ）
A. 隨著增大而減小
B. 曲線的橫坐標取值范圍為
C. 曲線與直線相交，且交點在第二象限
D. 是曲線上任意一點，則的取值范圍為
【答案】AD
【解析】因為曲線，
當，時，則曲線為橢圓的一部分；
當，時，則曲線為雙曲線的一部分，
且雙曲線的漸近線為；
當，時，則曲線為雙曲線的一部分，
且雙曲線的漸近線為；
可得曲線的圖形如下所示：
由圖可知隨著增大而減小，故A正確；
曲線的橫坐標取值范圍為，故B錯誤；
因為，所以曲線與直線相交，且交點在第四象限，故C錯誤；
因為，即點到直線的距離的倍，
當直線與曲線相切時，
由，消去整理得，
則，解得（舍去）或，
又與的距離，
所以，
所以的取值范圍為，故D正確；
故選：AD
11. 已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A. 函數的極大值為
B. 若函數在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍為
C. 當時，用二分法求函數在區(qū)間0,1內零點的近似值，要求誤差不超過時，所需二分區(qū)間的次數最少為
D. 若不等式在區(qū)間上恒成立，則的取值范圍為
【答案】AC
【解析】對于選項A，因為，得到，由，得到，
所以在區(qū)間上，單調遞增；
在區(qū)間上，單調遞減，
所以當時，取得極大值，極大值為，所以A選項正確，
對于B選項，，由函數在區(qū)間上單調遞增，
得在區(qū)間恒成立，即在區(qū)間恒成立，
當時，顯然成立，
當時，設，，
所以hx在區(qū)間上，單調遞減；
在區(qū)間上，單調遞增.
所以，得到
綜上所述，的取值范圍是，所以選項B錯誤，
對于選項C，當時，，易知在0,1上單調遞增，
依題意，，易知在上單調遞減，
又，
所以所需二分區(qū)間的次數最少為，所以C選項正確.
對于D選項，不等式在區(qū)間0,+∞上恒成立，
即在區(qū)間0,+∞上恒成立，
即在區(qū)間0,+∞上恒成立，
設，
，
易知在0,+∞上單調遞減，當時，，
所以在區(qū)間0,1上，單調遞增，
在區(qū)間1,+∞上，單調遞減，
所以，則，即a的取值范圍為，所以D選項錯誤.
故選：AC.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 若向量在向量上的投影向量為，且，則______.
【答案】
【解析】在上的投影向量為，
，則，即
又，平方得，則
即．
故答案為：．
13. 已知F是橢圓的左焦點，橢圓上至少有20個不同的點，使得，…組成公差為的等差數列，則實數的最大值為_______．
【答案】
【解析】先求得的最大值和最小值.
設是橢圓圖象上任意一點，則，
則.設是橢圓的左焦點，
則
，
由于，
所以.
橢圓中，，，
由題設不妨設，
，，
∴，解得，
∴．
故答案為：
14. 已知三棱錐四個頂點在球的球面上，平面，ΔABC是邊長為的正三角形，、、分別是、、的中點，且，則球的表面積為_________.
【答案】
【解析】如圖，根據題意，以A為原點，為軸方向，為軸方向，為軸方向，建立空間直角坐標系，設，由，可得，，，，因為、、分別是、、的中點，得，，，可得，，，
，解得，
解得，根據外接圓垂面模型的應用，可找到如圖的球心和ΔABC的外接圓圓心，且必有，且為ΔABC的外接圓的半徑，因為ΔABC是邊長為的正三角形，且，設外接球半徑，則在中，根據勾股定理，得，則可求得，則球的表面積為
答案：
三、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
（1）求C；
（2）若，角C的平分線交AB于點D，點E滿足，求．
解：（1）由條件和正弦定理得，
所以，
展開后整理得．
因為，所以，所以，
又，所以．
（2）如圖所示，因為，所以，
又因為CD為的平分線，所以．
因為，所以在中，，
又，所以為等邊三角形，所以．
在中，由余弦定理可得，
即，
在中，由正弦定理可得，
即，得．
16. 已知數列各項均不為零，前項和為，滿足，.
（1）求；
（2）求.
解：（1）因為數列各項均不為零，前項和為，，，
當時，則，可得；
當時，由可得，
上述兩個等式作差可得，整理可得，
所以，數列中的奇數項成以為首項，公差為的等差數列，
數列中的偶數項成以為首項，公差為的等差數列，
當為奇數時，設，則
；
當偶數時，設，則.
綜上所述，.
（2），，
故.
17. 三棱柱中，側面是矩形，，.

（1）求證：面面ABC；
（2）若，，，在棱AC上是否存在一點P，使得二面角的大小為45°？若存在求出，不存在，請說明理由.
（1）證明：，
側面是菱形，
，又，，
平面，平面，
，
因為側面是矩形，所以，
又，
平面，又平面,
.
（2）解：由（1），以C為坐標原點，射線、為x、y軸的正向，平面上過C且垂直于的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．

由條件，，，設，
由（1），面，所以，面的法向量為.
設面的法向量為，
由，即，
可設，
∴，
∴，得，
即，得，（舍），即，
所以，存在點P滿足條件，此時（即P是中點時）.
18. 如圖，已知圓：的直徑與橢圓：的短軸長相等，，分別為橢圓的左、右頂點，，分別為圓與軸的交點，為橢圓的右焦點，.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若過的直線與橢圓交于，兩點，與圓交于，兩點，證明：為定值.
（1）解：根據：方程，可知圓心O0,0，半徑為，直徑為，
因為圓：的直徑與橢圓：的短軸長相等，
所以，
又因為，所以，解得，
所以橢圓的標準方程為.
（2）證明：當與軸重合時，，，所以；
當不與軸重合時，設Ax1,y1，Bx2,y2，直線的方程為，
由整理得，
，
則，，
故
，
圓心到直線的距離為，，
則，所以，
所以.
綜上，為定值24.
19. 當一個函數值域內任意一個函數值都有且只有一個自變量與之對應時，可以把這個函數的函數值作為一個新的函數的自變量，而這個函數的自變量作為新的函數的函數值，我們稱這兩個函數互為反函數.例如，由，得，通常用表示自變量，則寫成，我們稱與互為反函數.已知函數與互為反函數，若兩點在曲線y=fx上，兩點在曲線y=gx上，以四點為頂點構成的四邊形為矩形，且該矩形的其中一條邊與直線垂直，則我們稱這個矩形為與的“關聯(lián)矩形”.
（1）若函數，且點在曲線y=fx上.
（i）求曲線y=fx在點A處的切線方程；
（ii）求以點A為一個頂點的“關聯(lián)矩形”的面積.
（2）若函數fx=lnx，且與的“關聯(lián)矩形”是正方形，記該“關聯(lián)矩形”的面積為S.證明：.（參考數據：）
（1）解：（i）因為點在曲線上，所以，
即，
由，得，則，
所以曲線y=fx在點A處的切線方程為即.
（ii）由（1），由得其反函數為，
則函數和圖象關于直線對稱，設A關于直線對稱的點為D，
則D在曲線上，且，，
則，
由題意以及由圖象特征可知，則，直線的方程為，
聯(lián)立方程組解得或（舍去），
則，
則該“關聯(lián)矩形”的面積.
（2）證明：由fx=lnx得其反函數為，
所以和圖象關于直線對稱，且由其性質可知，
根據對稱性可設關于直線對稱，關于直線對稱，則，
設，其中，
則，，因為“關聯(lián)矩形”是正方形，
所以，，
所以，
由，得，所以，
所以由得即.
對于函數，則，
故函數在0,+∞上單調遞增，故即，
令，
則且，
則hx在0,+∞上單調遞增，所以，
所以，因為，
令，則，當x∈0,+∞時，單調遞增，
則，
從而.

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