1.經(jīng)歷觀察、分析、交流，概括出單項式、多項式、整式的概念，發(fā)展有條理的思考能力及語言表達能力.
2.通過交流研討活動，培養(yǎng)學(xué)生主動與他人合作的意識.
重點：掌握整式及多項式的有關(guān)概念.
難點：準確判斷多項式的次數(shù).

一、情境導(dǎo)入
方方和圓圓的房間窗簾的裝飾物如圖所示，它們分別由兩個四分之一圓和四個半圓組成（半徑都分別相同）.現(xiàn)在方方和圓圓想算出窗簾的裝飾物的面積分別是多少，窗戶能射進陽光的面積分別是多少（窗框面積不計）.要解決這些問題，我們來學(xué)習(xí)下面的內(nèi)容，就會知道答案.
二、合作探究
探究點一：單項式、多項式與整式的識別
指出下列各式中哪些是單項式？哪些是多項式？哪些是整式？
x2＋y2，－x， eq \f(a＋b,3) ，10，6xy＋1， eq \f(1,x) ， eq \f(1,7) m2n，2x2－x－5， eq \f(2,x2＋x) ，a7.
解析：根據(jù)整式、單項式、多項式的概念和區(qū)別來進行判斷.
解： eq \f(2,x2＋x) ， eq \f(1,x) 的分母中含有字母，既不是單項式，也不是多項式，更不是整式.
單項式有：－x，10， eq \f(1,7) m2n，a7；
多項式有：x2＋y2， eq \f(a＋b,3) ，6xy＋1，2x2－x－5；
整式有：x2＋y2，－x， eq \f(a＋b,3) ，10，6xy＋1， eq \f(1,7) m2n，2x2－x－5，a7.
方法總結(jié)：（1）分母中含有字母的式子不是整式；（2）單項式和多項式都是整式；（3）單項式不含加、減運算，多項式必含加、減運算.
探究點二：單項式與多項式
【類型一】 確定單項式的系數(shù)和次數(shù)
分別寫出下列單項式的系數(shù)和次數(shù).
（1）－ab2； （2） eq \f(5ab3c2,7) ； （3） eq \f(2πxy2,3) .
解析：單項式的系數(shù)就是單項式中的數(shù)字因數(shù)；單項式的次數(shù)就是單項式中所有字母指數(shù)的和，只要將這些字母的指數(shù)相加即可.
解：（1）單項式的系數(shù)是－1，次數(shù)是3.
（2）單項式的系數(shù)是 eq \f(5,7) ，次數(shù)是6.
（3）單項式的系數(shù)是 eq \f(2π,3) ，次數(shù)是3.
方法總結(jié)：（1）當單項式的系數(shù)是1或－1時，“1”通常省略不寫；單項式的系數(shù)是帶分數(shù)時，通常寫成假分數(shù).單項式的系數(shù)包括前面的符號.（2）我們把常數(shù)項的次數(shù)看做0.確定單項式的次數(shù)時，單項式中單獨一個字母的指數(shù)1不能忽略，如－3x3y，它的指數(shù)是4而不是3.（3）π是圓周率，是一個確定的數(shù)，不是字母.
【類型二】 確定多項式的項和次數(shù)
寫出下列各多項式的項數(shù)和次數(shù)，并指出是幾次幾項式.
（1） eq \f(2,3) x2－3x＋5；
（2）a＋b＋c－d；
（3）－a2＋a2b＋2a2b2.
解：（1） eq \f(2,3) x2－3x＋5的項數(shù)為3，次數(shù)為2，是二次三項式.
（2）a＋b＋c－d的項數(shù)為4，次數(shù)為1，是一次四項式.
（3）－a2＋a2b＋2a2b2的項數(shù)為3，次數(shù)為4，是四次三項式.
方法總結(jié)：（1）多項式的項包括它的符號；（2）多項式的次數(shù)是多項式里次數(shù)最高的項的次數(shù)，而不是各項次數(shù)的和；（3）幾次項是指多項式中次數(shù)是幾的項.
探究點三：與多項式有關(guān)的探究性問題
【類型一】 根據(jù)次數(shù)確定未知字母的值
已知－5xm＋104xm－4xmy2是關(guān)于x，y的六次多項式，求m的值，并寫出該多項式.
解析：根據(jù)多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)叫作多項式的次數(shù)可得m＋2＝6，解得m＝4，進而可得此多項式.
解：由題意得m＋2＝6，解得m＝4，
此多項式是－5x4＋104x4－4x4y2.
方法總結(jié)：此題考查了多項式，解題的關(guān)鍵是弄清多項式次數(shù)是多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù).
【類型二】 根據(jù)不含某項確定未知字母的值
若關(guān)于x的多項式－5x3－mx2＋（n－1）x－1不含二次項和一次項，求m，n的值.
解析：多項式不含二次項和一次項，則二次項和一次項系數(shù)為0.
解：因為關(guān)于x的多項式－5x3－mx2＋（n－1）x－1不含二次項和一次項，
所以m＝0，n－1＝0，則m＝0，n＝1.
方法總結(jié)：多項式不含哪一項，則哪一項的系數(shù)為0.
探究點四：多項式的應(yīng)用
如圖，某居民小區(qū)有一塊寬為2a米，長為b米的長方形空地，為了美化環(huán)境，準備在此空地的四個頂點處各修建一個半徑為a米的扇形花臺，在花臺內(nèi)種花，其余種草.如果建造花臺及種花費用每平方米為100元，種草費用每平方米為50元，那么美化這塊空地共需多少元？
解析：四個角圍成一個半徑為a米的圓，陰影部分面積是長方形面積減去一個圓面積.
解：花臺面積和為πa2平方米，草地面積為（2ab－πa2）平方米.所以需資金為[100πa2＋50（2ab－πa2）]元.
方法總結(jié)：用式子表示實際問題中的數(shù)量關(guān)系時，首先要分清語言敘述中關(guān)鍵詞的含義，理清它們之間的數(shù)量關(guān)系和運算順序.
探究點五：規(guī)律探究問題
如圖是由邊長為1的等邊三角形擺出的一系列圖形，按這種方式擺下去，則第n個圖形的周長是 Ｗ.
解析：第（1）個圖形的周長為3，；第（2）個圖形的周長為4＝3＋1；第（3）個圖形的周長為5＝3＋1×2；第（4）個圖形的周長為6＝3＋1×3.故第（n）個圖形的周長為3＋1（n－1）＝2＋n.
方法總結(jié)：解答此類問題應(yīng)采用比較歸納的方法和由特殊到一般的方法.通過探究特例，從中發(fā)現(xiàn)一些基本規(guī)律，然后推廣到一般情況.
三、板書設(shè)計
整式 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(單項式\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù),次數(shù)：所有字母的指數(shù)和)),多項式\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(項數(shù)：單項式的個數(shù),次數(shù)：次數(shù)最高的項的次數(shù)))))
教學(xué)過程中，應(yīng)通過豐富的現(xiàn)實情景，使學(xué)生經(jīng)歷從具體問題中抽象出數(shù)量關(guān)系，在解決問題中了解數(shù)學(xué)的價值，發(fā)展“用數(shù)學(xué)”的信心，培養(yǎng)學(xué)生認識從特殊與一般的辯證關(guān)系.

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1 代數(shù)式

版本： 北師大版（2024）

年級： 七年級上冊（2024）

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