TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc26904" 第一部分：基礎知識 PAGEREF _Tc26904 \h 1
\l "_Tc4300" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc4300 \h 2
\l "_Tc23207" 第三部分：高頻考點一遍過 PAGEREF _Tc23207 \h 3
\l "_Tc23394" 高頻考點一：幾類不同增長的函數(shù)模型 PAGEREF _Tc23394 \h 3
\l "_Tc6844" 高頻考點二：利用常見函數(shù)模型解決實際問題（二次模型；分段模型） PAGEREF _Tc6844 \h 10
\l "_Tc17087" 高頻考點三：利用常見函數(shù)模型解決實際問題（指、對、冪函數(shù)模型） PAGEREF _Tc17087 \h 14
\l "_Tc22648" 高頻考點四：利用給定函數(shù)模型解決實際問題 PAGEREF _Tc22648 \h 20
第一部分：基礎知識
1、常見函數(shù)模型
2、指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較
第二部分：高考真題回顧
1．（多選）（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：
已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，則（ ）．
A．B．
C．D．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：幾類不同增長的函數(shù)模型
典型例題
例題1．（2023上·廣東廣州·高三鐵一中學校考階段練習）函數(shù)的數(shù)據(jù)如下表，則該函數(shù)的解析式可能形如（ ）
A．
B．
C．
D．
例題2．（2023上·河北石家莊·高一石家莊二中?？茧A段練習）有一組實驗數(shù)據(jù)如表：
則體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)模型是
A．B．
C．D．
例題3．（2023上·山西臨汾·高一統(tǒng)考期中）在一次物理實驗中某同學測量獲得如下數(shù)據(jù)：
下列所給函數(shù)模型較適合的是（ ）
A．B．
C．D．
例題4．（2023上·四川南充·高一四川省南充高級中學?？茧A段練習）假設某學習小組對家庭每月用水的收費提供了如下兩種模型：模型一：若用水量不超過基本月用水量，則只付基本費8元和損耗費c元（）；若用水量超過基本月用水量，則除了需付基本費和損耗費外，超過部分還需按元進行付費；模型二：用函數(shù)模型（其中k，m，n為常數(shù)，且）來模擬說明每月支付費用y（元）關于月用水量的函數(shù)關系.已知該市某家庭1—3月的用水量x分別為，和，支付的費用y分別為9元，19元和31元.
(1)寫出模型一中每月支付費用y（元）關于月用水量的函數(shù)解析式；
(2)寫出模型二中每月支付費用y（元）關于月用水量的函數(shù)解析式，并分析說明學習小組提供的模型哪個更合理？
練透核心考點
1．（2023上·江蘇·高一專題練習）今有一組實驗數(shù)據(jù)如下：
現(xiàn)準備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·浙江·高一校聯(lián)考階段練習）今有一組實驗數(shù)據(jù)及對應散點圖如下所示，則體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關系的最佳函數(shù)模型是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023上·上海·高一上海市建平中學?？茧A段練習）近來，國內(nèi)多個城市紛紛加碼布局“夜經(jīng)濟”，以滿足不同層次的多元消費，并拉動就業(yè)、帶動創(chuàng)業(yè)，進而提升區(qū)域經(jīng)濟發(fā)展活力，某夜市的一位工藝品售賣者，通過對每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過去的一個月內(nèi)（以30天計），每件的銷售價格（單位：元）與時間（單位：天）的函數(shù)關系近似滿足.且銷售量（單位：件）與時間（單位：天）的部分數(shù)據(jù)如下表所示
(1)給出以下四個函數(shù)模型：①；②；③；④.請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認為最合適的一種函數(shù)模型來描述日銷售量與時間的變化關系，并求出該函數(shù)的解析式及定義域
(2)設該工藝品的日銷售收入為（單位：元），求的最小值.
4．（2023上·四川宜賓·高一統(tǒng)考階段練習）2023年宜賓市新添城市名片“中國動力電池之都”，初步建成較為完整的配套協(xié)同動力電池產(chǎn)業(yè)布局，并搭建起從原材料到整車制造的新能源汽車產(chǎn)業(yè)鏈.新能源電動車主要采用電能作為動力來源，目前比較常見的主要有兩種：混合動力汽車?純電動汽車.有關部門在國道上對某型號純電動汽車進行測試，國道限速.經(jīng)數(shù)次測試，得到該純電動汽車每小時耗電量（單位：）與速度（單位：）的數(shù)據(jù)如下表所示：
為了描述該純電動汽車國道上行駛時每小時耗電量與速度的關系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：①；②；③.
(1)當時，請選出你認為最符合表格中所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型（需說明理由），并求出相應的函數(shù)表達式；
(2)現(xiàn)有一輛同型號純電動汽車從宜賓行駛到重慶某地，其中，國道上行駛，高速上行駛.假設該電動汽車在國道和高速上均做勻速運動，國道上每小時的耗電量與速度的關系滿足（1）中的函數(shù)表達式；高速路上車速（單位：）滿足，且每小時耗電量（單位：）與速度（單位：）的關系滿足.則當國道和高速上的車速分別為多少時，該車輛的總耗電量最少，最少總耗電量為多少？
高頻考點二：利用常見函數(shù)模型解決實際問題（二次模型；分段模型）
典型例題
例題1．（2023上·湖南岳陽·高二統(tǒng)考期末）2022年某開發(fā)區(qū)一家汽車生產(chǎn)企業(yè)計劃引進一批新能源汽車制造設備，通過市場分析，全年需投入固定成本1000萬元，生產(chǎn)（百輛）新能源汽車，還需另投入成本萬元，且.由市場調(diào)研，每輛車售價5萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當年能全部銷售完.
(1)求出2022年該企業(yè)生產(chǎn)新能源汽車的利潤（萬元）關于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關系式；（利潤銷售量-成本）
(2)2022年產(chǎn)量為多少百輛時，該企業(yè)生產(chǎn)新能源汽車所獲利潤最大？并求出最大利潤.
例題2．（2023上·貴州六盤水·高一統(tǒng)考期末）心理學家根據(jù)高中生心理發(fā)展規(guī)律，對高中生的學習行為進行研究，發(fā)現(xiàn)學生學習的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間.上課開始時，學生的興趣激增，中間有一段時間學生的興趣保持理想狀態(tài)，隨后學生的注意力開始分散.分析結(jié)果和實驗表明，用表示學生掌握和接受概念的能力（的值越大，表示接受能力越強），x表示提出和講授概念的時間（單位：），滿足以下關系：
(1)上課多少分鐘后，學生的接受能力最強？能維持多少分鐘？
(2)有一道數(shù)學難題，需要54的接受能力及的講授時間，老師能否及時在學生處于所需接受能力的狀態(tài)下講授完成這道難題？
練透核心考點
1．（2023下·河南·高一校聯(lián)考階段練習）中國建設新的芯片工廠的速度處于世界前列，這是朝著提高半導體自給率目標邁出的重要一步.根據(jù)國際半導體產(chǎn)業(yè)協(xié)會(SEMI)的數(shù)據(jù)，在截至2024年的4年里，中國計劃建設31家大型半導體工廠.某公司打算在2023年度建設某型芯片的生產(chǎn)線，建設該生產(chǎn)線的成本為300萬元，若該型芯片生產(chǎn)線在2024年產(chǎn)出萬枚芯片，還需要投入物料及人工等成本（單位：萬元），已知當時，；當時，；當時，，已知生產(chǎn)的該型芯片都能以每枚80元的價格售出.
(1)已知2024年該型芯片生產(chǎn)線的利潤為（單位：萬元），試求出的函數(shù)解析式.
(2)請你為該型芯片的生產(chǎn)線的產(chǎn)量做一個計劃，使得2024年該型芯片的生產(chǎn)線所獲利潤最大，并預測最大利潤.
2．（2023上·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中學校考期中）“智能”是本屆杭州亞運會的辦賽理念之一.在亞運村里，時常能看到一輛極具科技感的小巴車出現(xiàn)在主干道上，車內(nèi)沒有司機，也沒有方向盤，這就是無人駕駛AR智能巴士.某地在亞運會后也采購了一批無人駕駛巴士作為公交車，公交車發(fā)車時間間隔（單位：分鐘）滿足，，經(jīng)測算，該路無人駕駛公交車載客量與發(fā)車時間間隔滿足：，其中.
(1)求，并說明的實際意義；
(2)若該路公交車每分鐘的凈收益（元），問當發(fā)車時間間隔為多少時，該路公交車每分鐘的凈收益最大？并求每分鐘的最大凈收益.
高頻考點三：利用常見函數(shù)模型解決實際問題（指、對、冪函數(shù)模型）
典型例題
例題1．（2023上·湖南長沙·高一長沙市第十五中學校聯(lián)考階段練習）中國茶文化源遠流傳，博大精深，茶水的口感與茶葉的類型和水的溫度有關，某種綠茶用的水泡制，再等到茶水溫度降至時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感．為了控制水溫，某研究小組聯(lián)想到牛頓提出的物體在常溫下的溫度變化冷卻規(guī)律：設物體的初始溫度是，經(jīng)過后的溫度是，則，其中表示環(huán)境溫度，表示半衰期．該研究小組經(jīng)過測量得到，剛泡好的綠茶水溫度是，放在的室溫中，以后茶水的溫度是，在上述條件下，大約需要放置多長時間能達到最佳飲用口感？（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)，）（ ）
A．B．
C．D．
例題2．（2023上·湖北咸寧·高一?？茧A段練習）中國的5G技術領先世界，5G技術的數(shù)學原理之一便是著名的香農(nóng)公式：．它表示在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W，信道內(nèi)信號的平均功率S，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫作信噪比．當信噪比比較大時，公式中真數(shù)里面的1可以忽略不計．按照香農(nóng)公式，若帶寬W不變，信噪比從1000提升到12000，則C比原來大約增加了（ ）．(附：)
A．32%B．43%C．36%D．68%
例題3．（2023上·安徽六安·高一?？茧A段練習）一種放射性元素，最初質(zhì)量為，按每年衰減．
(1)寫出年后這種放射性元素質(zhì)量與之間的函數(shù)關系式
(2)求這種放射性元素的半衰期（放射性物質(zhì)的質(zhì)量衰減為原來的一半所需要的時間）精確到0.1年，已知（，）.
例題4．（2023上·全國·高一期末）“實施科教興國戰(zhàn)略,強化現(xiàn)代化建設人才支撐”是2022年10月16日習近平同志在中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會上報告的一部分.必須堅持科技是第一生產(chǎn)力、人才是第一資源、創(chuàng)新是第一動力,深入實施科教興國戰(zhàn)略、人才強國戰(zhàn)略、創(chuàng)新驅(qū)動發(fā)展戰(zhàn)略,開辟發(fā)展新領域新賽道,不斷塑造發(fā)展新動能新優(yōu)勢.某科技企業(yè)通過加大科技研發(fā)投資,提高了企業(yè)的技術競爭力,也提高了收入.下列一組數(shù)據(jù)是該公司從2017年以來每年的收入(單位:億元),2017年記為1,后面的年份依次類推.
(1)給出以下兩個函數(shù)模型:①y=;②y=.試問:用哪個模型更適合模擬該企業(yè)的收入?
(2)該企業(yè)大約在哪一年收入超過100億元?(參考數(shù)據(jù):）
練透核心考點
1．（2023上·江蘇·高一期末）生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一個新的環(huán)境，從而對入侵地的生態(tài)系統(tǒng)造成危害的現(xiàn)象，若某入侵物種的個體平均繁殖數(shù)量為，一年四季均可繁殖，繁殖間隔為相鄰兩代間繁殖所需的平均時間．在物種入侵初期，可用對數(shù)模型（為常數(shù)）來描述該物種累計繁殖數(shù)量與入侵時間（單位：天）之間的對應關系，且，在物種入侵初期，基于現(xiàn)有數(shù)據(jù)得出．據(jù)此估計該物種累計繁殖數(shù)量是初始累計繁殖數(shù)量的倍所需要的時間為（ ）天．（結(jié)果保留一位小數(shù)．參考數(shù)據(jù)：）
A．19.5B．20.5C．18.5D．19
2．（2023上·江蘇南通·高一海安高級中學?？茧A段練習）牛頓冷卻定律描述一個物體在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體初始溫度為，則經(jīng)過一定時間（單位：分鐘）后的溫度滿足，其中是環(huán)境溫度，為常數(shù)，現(xiàn)有一杯的熱水用來泡茶，研究表明，此茶的最佳飲用口感會出現(xiàn)在.經(jīng)測量室溫為，茶水降至大約用時一分鐘，那么為了獲得最佳飲用口感，從泡茶開始大約需要等待 分鐘.
（參考數(shù)據(jù)：.）
高頻考點四：利用給定函數(shù)模型解決實際問題
典型例題
例題1．（2023上·福建莆田·高一統(tǒng)考期末）已知某種放射性元素在一升液體中的放射量（單位：）與時間（單位：年）近似滿足關系式且.已知當時，；當時，，則據(jù)此估計，這種放射性元素在一升液體中的放射量為10時，大約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：）
A．50B．52C．54D．56
例題2．（2023上·江蘇鹽城·高一校考期中）天氣轉(zhuǎn)冷，某暖手寶廠商為擴大銷量，擬進行促銷活動.根據(jù)前期調(diào)研，獲得該產(chǎn)品的銷售量萬件與投入的促銷費用萬元滿足關系式（為常數(shù)），而如果不搞促銷活動，該產(chǎn)品的銷售量為4萬件.已知該產(chǎn)品每一萬件需要投入成本18萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為元，設該產(chǎn)品的利潤為萬元.（注：利潤=銷售收入-投入成本-促銷費用）
(1)求出的值，并將表示為的函數(shù)；
(2)促銷費用為多少萬元時，該產(chǎn)品的利潤最大？此時最大利潤為多少？
例題3．（2023·全國·高三專題練習）學校鼓勵學生課余時間積極參加體育鍛煉，現(xiàn)需要制定一個課余鍛煉考核評分制度，建立一個每天得分y與當天鍛煉時間x（單位：分鐘）的函數(shù)關系，要求如下：（i）函數(shù)的圖象接近圖示；（ii）每天運動時間為0分鐘時，當天得分為0分；（iii）每天運動時間為30分鐘時，當天得分為3分；（iiii）每天最多得分不超過6分.現(xiàn)有以下三個函數(shù)模型供選擇：①；②；③.
(1)請根據(jù)函數(shù)圖像性質(zhì)你從中選擇一個合適的函數(shù)模型不需要說明理由；
(2)根據(jù)你對（1）的判斷以及所給信息完善你的模型并給出函數(shù)的解析式；
(3)已知學校要求每天的分數(shù)不少于4.5分，求每天至少運動多少分鐘（結(jié)果保留整數(shù)）.
練透核心考點
1．（2023·廣東東莞·東莞市東華高級中學?？家荒＃┲袊?G技術領先世界，其數(shù)學原理之一便是著名的香農(nóng)公式：，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)信號的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫做信噪比，按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬W，而將信噪比從1000提升至5000，則C大約增加了（ ）．
A．20%B．23%C．28%D．50%
2．（2023上·廣東·高一校聯(lián)考期末）某企業(yè)生產(chǎn)的一款新產(chǎn)品，在市場上經(jīng)過一段時間的銷售后，得到銷售單價x（單位：元）與銷量Q（單位：萬件）的數(shù)據(jù)如下：
為了描述銷售單價與銷量的關系，現(xiàn)有以下三種模型供選擇：．
(1)選擇你認為最合適的一種函數(shù)模型，并求出相應的函數(shù)解析式；
(2)已知每生產(chǎn)一件該產(chǎn)品，需要的成本（單位：元）與銷量Q（單位：萬件）的關系為，不考慮其他因素，結(jié)合（1）中所選的函數(shù)模型，若要使生產(chǎn)的產(chǎn)品可以獲得利潤，問該產(chǎn)品的銷售單價應該高于多少元？
3．（2023上·河南·高一校聯(lián)考期中）2023年9月23日，第19屆亞運會開幕式在杭州舉行，完美展現(xiàn)了“綠色”與“科技”的融合.已知某種綠色科技產(chǎn)品在亞運會開幕式后的30天內(nèi)（包括第30天），第天每件的銷售價格（單位：元）滿足，第天的日銷售量（單位：千件）滿足，且第2天的日銷售量為13000件，第3天的日銷售量為12000件.
(1)求的解析式；
(2)若每件該產(chǎn)品的總成本為20元，求該產(chǎn)品在開幕式后的30天內(nèi)第天的日銷售利潤（單位：千元）的解析式，并求開幕式后的第幾日銷售利潤最小.
函數(shù)模型
函數(shù)解析式
一次函數(shù)模型
(為常數(shù)，)
反比例函數(shù)模型
(為常數(shù)且)
二次函數(shù)模型
（均為常數(shù)，）
指數(shù)函數(shù)模型
（均為常數(shù)，，，）
對數(shù)函數(shù)模型
（為常數(shù)，）
冪函數(shù)模型
（為常數(shù)，）
分段函數(shù)
函數(shù)
性質(zhì)
在(0，＋∞)上的增減性
單調(diào)遞增
單調(diào)遞增
單調(diào)遞增
增長速度
先慢后快，指數(shù)爆炸
先快后慢，增長平緩
介于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間,相對平穩(wěn)
圖象的變化
隨x的增大，圖象與軸接近平行
隨x的增大，圖象與軸接近平行
隨n值變化而各有不同
值的比較
存在一個，當時，有
聲源
與聲源的距離
聲壓級
燃油汽車
10
混合動力汽車
10
電動汽車
10
40
-2
-1
0
1
2
3
5
2.3
1.1
0.7
1.1
2.3
5.9
49.1
2
3
4
5
6
1.40
2.56
5.31
11
21.30
1
2
3
4
5
5.380
11.232
20.184
34.356
53.482
10
20
29
41
50
58
70
1
2
3.8
7.4
11
15
21.8
10
15
20
25
30
50
55
60
55
50
0
10
40
60
0
1420
4480
6720
x/年
1
2
3
4
5
6
y/億元
0.9
1.40
2.56
5.31
11
21.30
元
1
2
3
4
萬件
3
2
1.5
1.2
第09講 函數(shù)模型及其應用
目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc26904" 第一部分：基礎知識 PAGEREF _Tc26904 \h 1
\l "_Tc4300" 第二部分：高考真題回顧 PAGEREF _Tc4300 \h 2
\l "_Tc23207" 第三部分：高頻考點一遍過 PAGEREF _Tc23207 \h 3
\l "_Tc23394" 高頻考點一：幾類不同增長的函數(shù)模型 PAGEREF _Tc23394 \h 3
\l "_Tc6844" 高頻考點二：利用常見函數(shù)模型解決實際問題（二次模型；分段模型） PAGEREF _Tc6844 \h 10
\l "_Tc17087" 高頻考點三：利用常見函數(shù)模型解決實際問題（指、對、冪函數(shù)模型） PAGEREF _Tc17087 \h 14
\l "_Tc22648" 高頻考點四：利用給定函數(shù)模型解決實際問題 PAGEREF _Tc22648 \h 20
第一部分：基礎知識
1、常見函數(shù)模型
2、指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較
第二部分：高考真題回顧
1．（多選）（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級：
已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車處測得實際聲壓分別為，則（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)題意可知，結(jié)合對數(shù)運算逐項分析判斷.
【詳解】由題意可知：，
對于選項A：可得，
因為，則，即，
所以且，可得，故A正確；
對于選項B：可得，
因為，則，即，
所以且，可得，
當且僅當時，等號成立，故B錯誤；
對于選項C：因為，即，
可得，即，故C正確；
對于選項D：由選項A可知：，
且，則，
即，可得，且，所以，故D正確；
故選：ACD.
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：幾類不同增長的函數(shù)模型
典型例題
例題1．（2023上·廣東廣州·高三鐵一中學?？茧A段練習）函數(shù)的數(shù)據(jù)如下表，則該函數(shù)的解析式可能形如（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由函數(shù)的數(shù)據(jù)即可得出答案.
【詳解】由函數(shù)的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)，
偶函數(shù)滿足此性質(zhì)，可排除B，D；
當時，由函數(shù)的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)增長越來越快，可排除C.
故選：A.
例題2．（2023上·河北石家莊·高一石家莊二中校考階段練習）有一組實驗數(shù)據(jù)如表：
則體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)模型是
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)判斷函數(shù)的增長速度選擇函數(shù)模型.
【詳解】，，，，
通過所給數(shù)據(jù)可知，y隨x的增大而增大，且增長的速度越來越快，
AC選項函數(shù)增長的速度越來越慢，D選項函數(shù)增長的速度不變，B選項函數(shù)增長的速度越來越快，所以B正確.
故選：B.
例題3．（2023上·山西臨汾·高一統(tǒng)考期中）在一次物理實驗中某同學測量獲得如下數(shù)據(jù)：
下列所給函數(shù)模型較適合的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由數(shù)據(jù)中y隨x的變化情況，分析適用的函數(shù)模型.
【詳解】由所給數(shù)據(jù)可知y隨x的增大而增大，且增長速度越來越快，
而A中的函數(shù)增長速度保持不變，B中的函數(shù)增長速度越來越慢，C中的函數(shù)是隨x的增大而y減小，D中的函數(shù)符合題意.
故選:D．
例題4．（2023上·四川南充·高一四川省南充高級中學?？茧A段練習）假設某學習小組對家庭每月用水的收費提供了如下兩種模型：模型一：若用水量不超過基本月用水量，則只付基本費8元和損耗費c元（）；若用水量超過基本月用水量，則除了需付基本費和損耗費外，超過部分還需按元進行付費；模型二：用函數(shù)模型（其中k，m，n為常數(shù)，且）來模擬說明每月支付費用y（元）關于月用水量的函數(shù)關系.已知該市某家庭1—3月的用水量x分別為，和，支付的費用y分別為9元，19元和31元.
(1)寫出模型一中每月支付費用y（元）關于月用水量的函數(shù)解析式；
(2)寫出模型二中每月支付費用y（元）關于月用水量的函數(shù)解析式，并分析說明學習小組提供的模型哪個更合理？
【答案】(1)
(2)，，模型一與生活中的實際情況更接近
【分析】（1）分析出第2，3月份用水量和均大于最低限量，列出方程組，求出，，不妨設，推出矛盾，故，得到，求出答案；
（2）得到方程組，求出，，，得到解析式，并用三個方面說明模型一與生活中的實際情況更接近.
【詳解】（1）由題意得，
第2，3月份水費均大于13元，故用水量和均大于最低限量，
于是有，解得，
從而，
再考慮1月份用水量是否超過最低限量，
不妨設，將代入中，得，
故，與矛盾，舍去，
故，即，解得，
故，
所以每月支付費用（元）關于月用水量的函數(shù)解析式.
（2），
由題意知，，即
由得，由得，
所以，解得，所以，
代入，解得，又，所以，
所以，.
模型一與生活中的實際情況更接近（言之有理即可）.
建議從以下三方面考慮：
原因一：惠民政策，生活中，比如：打車，交稅，交氣費等都是與模型一接近，
百姓繳費少；
原因二：指數(shù)爆炸，由知，關于x是快速增長，
但模型一在上勻速增長，更符合實際意義；
原因三：當時，，
由于，，，
所以，故，不符合實際意義.
練透核心考點
1．（2023上·江蘇·高一專題練習）今有一組實驗數(shù)據(jù)如下：
現(xiàn)準備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】選代入四個選項的解析式中選取所得的最接近的解析式即可.
【詳解】對于選項A：當時，，與相差較多，故選項A不正確；
對于選項B：當時，，與相差較多，故選項B不正確；
對于選項C：當時，，故選項C正確；
對于選項D：當時，，與相差較多，故選項D不正確；
故選：C.
2．（2023上·浙江·高一校聯(lián)考階段練習）今有一組實驗數(shù)據(jù)及對應散點圖如下所示，則體現(xiàn)這些數(shù)據(jù)關系的最佳函數(shù)模型是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)散點圖的變化趨勢及散點的分布情況判斷回歸方程的類型.
【詳解】由散點圖中各點的變化趨勢：非線性、且在第一象限內(nèi)上單調(diào)遞增，
對于，由題意可得：
可知，近似于線性，所以適合二次函數(shù)模型.
故選：C
3．（2023上·上海·高一上海市建平中學?？茧A段練習）近來，國內(nèi)多個城市紛紛加碼布局“夜經(jīng)濟”，以滿足不同層次的多元消費，并拉動就業(yè)、帶動創(chuàng)業(yè)，進而提升區(qū)域經(jīng)濟發(fā)展活力，某夜市的一位工藝品售賣者，通過對每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過去的一個月內(nèi)（以30天計），每件的銷售價格（單位：元）與時間（單位：天）的函數(shù)關系近似滿足.且銷售量（單位：件）與時間（單位：天）的部分數(shù)據(jù)如下表所示
(1)給出以下四個函數(shù)模型：①；②；③；④.請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認為最合適的一種函數(shù)模型來描述日銷售量與時間的變化關系，并求出該函數(shù)的解析式及定義域
(2)設該工藝品的日銷售收入為（單位：元），求的最小值.
【答案】(1)選擇模型②，
(2)441元.
【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)的增減性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可得答案；
（2）根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式，可得答案.
【詳解】（1）由表格數(shù)據(jù)知，當時間變換時，先增后減，而①③④都是單調(diào)函數(shù)
所以選擇模型②，
由，可得，解得
由，解得
所以日銷售量與時間的變化的關系式為.
（2）由（1）知：
所以
即
當時，
由基本不等式，可得，
當且僅當時，即時等號成立，
當時，為減函數(shù)，
所以函數(shù)的最小值為，
綜上，當時，函數(shù)取得最小值441元.
4．（2023上·四川宜賓·高一統(tǒng)考階段練習）2023年宜賓市新添城市名片“中國動力電池之都”，初步建成較為完整的配套協(xié)同動力電池產(chǎn)業(yè)布局，并搭建起從原材料到整車制造的新能源汽車產(chǎn)業(yè)鏈.新能源電動車主要采用電能作為動力來源，目前比較常見的主要有兩種：混合動力汽車?純電動汽車.有關部門在國道上對某型號純電動汽車進行測試，國道限速.經(jīng)數(shù)次測試，得到該純電動汽車每小時耗電量（單位：）與速度（單位：）的數(shù)據(jù)如下表所示：
為了描述該純電動汽車國道上行駛時每小時耗電量與速度的關系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇：①；②；③.
(1)當時，請選出你認為最符合表格中所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型（需說明理由），并求出相應的函數(shù)表達式；
(2)現(xiàn)有一輛同型號純電動汽車從宜賓行駛到重慶某地，其中，國道上行駛，高速上行駛.假設該電動汽車在國道和高速上均做勻速運動，國道上每小時的耗電量與速度的關系滿足（1）中的函數(shù)表達式；高速路上車速（單位：）滿足，且每小時耗電量（單位：）與速度（單位：）的關系滿足.則當國道和高速上的車速分別為多少時，該車輛的總耗電量最少，最少總耗電量為多少？
【答案】(1)選①，；
(2)在高速上的行駛速度為，在國道上的行駛速度為，.
【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，對3個函數(shù)模型逐一判斷即得.
（2）分別求出國道和高速上該輛車耗電量的最小值及對應行駛速度即可得解.
【詳解】（1）對于③，，當時，它無意義，不符合題意；
對于②，，當時，，又，
所以，不符合原意；
因此選①，.
由表中的數(shù)據(jù)得，，解得，
所以.
（2）高速上行駛，所用時間為，
則所耗電量為，
顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，
于是；
國道上行駛，所用時間為，
則所耗電量為，
而，則當時，.
所以當這輛車在高速上的行駛速度為，在國道上的行駛速度為時，
該車從宜賓行駛到重慶某地的總耗電量最少，最少為.
高頻考點二：利用常見函數(shù)模型解決實際問題（二次模型；分段模型）
典型例題
例題1．（2023上·湖南岳陽·高二統(tǒng)考期末）2022年某開發(fā)區(qū)一家汽車生產(chǎn)企業(yè)計劃引進一批新能源汽車制造設備，通過市場分析，全年需投入固定成本1000萬元，生產(chǎn)（百輛）新能源汽車，還需另投入成本萬元，且.由市場調(diào)研，每輛車售價5萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當年能全部銷售完.
(1)求出2022年該企業(yè)生產(chǎn)新能源汽車的利潤（萬元）關于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關系式；（利潤銷售量-成本）
(2)2022年產(chǎn)量為多少百輛時，該企業(yè)生產(chǎn)新能源汽車所獲利潤最大？并求出最大利潤.
【答案】(1)
(2)50百輛時，企業(yè)所獲得利潤最大為1600萬元
【分析】（1）根據(jù)利潤與產(chǎn)量、成本之間的關系，寫出分段函數(shù)的解析式即可；
（2）分別根據(jù)二次函數(shù)、均值不等式求函數(shù)在每一段的最值，比較大小即可得解.
【詳解】（1）當時，
當時，
（2）當時，
取得最大值，最大值為1250
當時，
當且僅當?shù)忍柍闪ⅲ?br>所以當時，有最大值1600.
綜上所述：，取得最大值，最大值為1600，即2022年生產(chǎn)量為50百輛時，企業(yè)所獲得利潤最大，最大利潤為1600萬元.
例題2．（2023上·貴州六盤水·高一統(tǒng)考期末）心理學家根據(jù)高中生心理發(fā)展規(guī)律，對高中生的學習行為進行研究，發(fā)現(xiàn)學生學習的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間.上課開始時，學生的興趣激增，中間有一段時間學生的興趣保持理想狀態(tài)，隨后學生的注意力開始分散.分析結(jié)果和實驗表明，用表示學生掌握和接受概念的能力（的值越大，表示接受能力越強），x表示提出和講授概念的時間（單位：），滿足以下關系：
(1)上課多少分鐘后，學生的接受能力最強？能維持多少分鐘？
(2)有一道數(shù)學難題，需要54的接受能力及的講授時間，老師能否及時在學生處于所需接受能力的狀態(tài)下講授完成這道難題？
【答案】(1)上課10分鐘后，學生的接受能力最強，能維持10分鐘
(2)老師不能及時在學生處于所需接受能力的狀態(tài)下講授完這道題
【分析】（1）在上利用二次函數(shù)求得最大值；時，，在利用一次函數(shù)求得最大值即可；
（2）當，，時分別令求解.
【詳解】（1）解：由題知在上單調(diào)遞增，
所以，
又時， ，
在上單調(diào)遞減，，
所以上課10分鐘后，學生的接受能力最強，能維持10分鐘.
（2）當時，令，即，
化簡得，解得，又，
所以，此時有效時間為2分鐘 ，
當時，，有效時間為10分鐘，
當時，令，解得，有效時間為1分鐘，
由于講授時間需15分鐘，但有效時間分鐘，，
所以老師不能及時在學生處于所需接受能力的狀態(tài)下講授完這道題.
練透核心考點
1．（2023下·河南·高一校聯(lián)考階段練習）中國建設新的芯片工廠的速度處于世界前列，這是朝著提高半導體自給率目標邁出的重要一步.根據(jù)國際半導體產(chǎn)業(yè)協(xié)會(SEMI)的數(shù)據(jù)，在截至2024年的4年里，中國計劃建設31家大型半導體工廠.某公司打算在2023年度建設某型芯片的生產(chǎn)線，建設該生產(chǎn)線的成本為300萬元，若該型芯片生產(chǎn)線在2024年產(chǎn)出萬枚芯片，還需要投入物料及人工等成本（單位：萬元），已知當時，；當時，；當時，，已知生產(chǎn)的該型芯片都能以每枚80元的價格售出.
(1)已知2024年該型芯片生產(chǎn)線的利潤為（單位：萬元），試求出的函數(shù)解析式.
(2)請你為該型芯片的生產(chǎn)線的產(chǎn)量做一個計劃，使得2024年該型芯片的生產(chǎn)線所獲利潤最大，并預測最大利潤.
【答案】(1)；
(2)當2024年該型芯片產(chǎn)量為40萬枚時利潤最大，最大利潤為220萬元．
【分析】（1）根據(jù)利潤等于售價減成本可求利潤的表達式；
（2）根據(jù)的表達式分別求出每段函數(shù)的最大值即可.
【詳解】（1）（1）由題意可得，，
所以，
即.
（2）當時，；
當時，，對稱軸，；
當時，由基本不等式知，
當且僅當，即時等號成立，故，
綜上，當2024年該型芯片產(chǎn)量為40萬枚時利潤最大，最大利潤為220萬元．
2．（2023上·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中學?？计谥校爸悄堋笔潜緦煤贾輥嗊\會的辦賽理念之一.在亞運村里，時常能看到一輛極具科技感的小巴車出現(xiàn)在主干道上，車內(nèi)沒有司機，也沒有方向盤，這就是無人駕駛AR智能巴士.某地在亞運會后也采購了一批無人駕駛巴士作為公交車，公交車發(fā)車時間間隔（單位：分鐘）滿足，，經(jīng)測算，該路無人駕駛公交車載客量與發(fā)車時間間隔滿足：，其中.
(1)求，并說明的實際意義；
(2)若該路公交車每分鐘的凈收益（元），問當發(fā)車時間間隔為多少時，該路公交車每分鐘的凈收益最大？并求每分鐘的最大凈收益.
【答案】(1)35；發(fā)車時間間隔為5分鐘時，載客量為35
(2)6分鐘，38元
【分析】（1）根據(jù)題意求得，從而說明其實際意義；
（2）根據(jù)題意，分類討論的取值范圍，利用基本不等式與反比例函數(shù)的單調(diào)性即可得解.
【詳解】（1）因為，
所以，
實際意義為：發(fā)車時間間隔為5分鐘時，載客量為35.
（2）因為，
所以當時，，
當且僅當，即時，等號成立，
所以當時，取得最大值38；
當時，，該函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則當時，取得最大值28.4；
綜上所述，當發(fā)車時間間隔為6分鐘時，該路公交車每分鐘的凈收益最大，最大凈收益為38元.
高頻考點三：利用常見函數(shù)模型解決實際問題（指、對、冪函數(shù)模型）
典型例題
例題1．（2023上·湖南長沙·高一長沙市第十五中學校聯(lián)考階段練習）中國茶文化源遠流傳，博大精深，茶水的口感與茶葉的類型和水的溫度有關，某種綠茶用的水泡制，再等到茶水溫度降至時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感．為了控制水溫，某研究小組聯(lián)想到牛頓提出的物體在常溫下的溫度變化冷卻規(guī)律：設物體的初始溫度是，經(jīng)過后的溫度是，則，其中表示環(huán)境溫度，表示半衰期．該研究小組經(jīng)過測量得到，剛泡好的綠茶水溫度是，放在的室溫中，以后茶水的溫度是，在上述條件下，大約需要放置多長時間能達到最佳飲用口感？（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)，）（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)已知條件列出關于，的方程組可得答案.
【詳解】由題意可得方程組：
，由①式化簡可得：，代入②式，
所以，
大約需要放置能達到最佳飲用口感．
故選：A．
例題2．（2023上·湖北咸寧·高一?？茧A段練習）中國的5G技術領先世界，5G技術的數(shù)學原理之一便是著名的香農(nóng)公式：．它表示在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W，信道內(nèi)信號的平均功率S，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫作信噪比．當信噪比比較大時，公式中真數(shù)里面的1可以忽略不計．按照香農(nóng)公式，若帶寬W不變，信噪比從1000提升到12000，則C比原來大約增加了（ ）．(附：)
A．32%B．43%C．36%D．68%
【答案】C
【分析】根據(jù)和表示出對應，然后根據(jù)結(jié)合對數(shù)的運算求解出結(jié)果.
【詳解】當時，最大信息傳遞速度為，
當時，最大信息傳遞速度為，
所以比原來增加了
，
故選：C.
例題3．（2023上·安徽六安·高一?？茧A段練習）一種放射性元素，最初質(zhì)量為，按每年衰減．
(1)寫出年后這種放射性元素質(zhì)量與之間的函數(shù)關系式
(2)求這種放射性元素的半衰期（放射性物質(zhì)的質(zhì)量衰減為原來的一半所需要的時間）精確到0.1年，已知（，）.
【答案】(1)
(2)6.6年
【分析】（1）由遞推關系寫出函數(shù)解析式即可.
（2）依據(jù)題意列出方程，求解即可.
【詳解】（1）最初的質(zhì)量為，經(jīng)過年后，，
經(jīng)過年后，，由此推知，年后，，
年后，關于的表達式為．
（2）列出方程，
，
年，
即這種放射性元素的半衰期約為年．
例題4．（2023上·全國·高一期末）“實施科教興國戰(zhàn)略,強化現(xiàn)代化建設人才支撐”是2022年10月16日習近平同志在中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會上報告的一部分.必須堅持科技是第一生產(chǎn)力、人才是第一資源、創(chuàng)新是第一動力,深入實施科教興國戰(zhàn)略、人才強國戰(zhàn)略、創(chuàng)新驅(qū)動發(fā)展戰(zhàn)略,開辟發(fā)展新領域新賽道,不斷塑造發(fā)展新動能新優(yōu)勢.某科技企業(yè)通過加大科技研發(fā)投資,提高了企業(yè)的技術競爭力,也提高了收入.下列一組數(shù)據(jù)是該公司從2017年以來每年的收入(單位:億元),2017年記為1,后面的年份依次類推.
(1)給出以下兩個函數(shù)模型:①y=;②y=.試問:用哪個模型更適合模擬該企業(yè)的收入?
(2)該企業(yè)大約在哪一年收入超過100億元?(參考數(shù)據(jù):）
【答案】(1)用模型②y=更適合模擬該企業(yè)的收入
(2)大約在2025年該企業(yè)的收入超過100億元.
【分析】（1）在同一平面直角坐標系內(nèi)作出函數(shù)與的圖象,并在此坐標系內(nèi)描出表格提供的數(shù)據(jù)對應的點,觀察即可；
（2）解出，,則，即可求解.
【詳解】（1）在同一平面直角坐標系內(nèi)作出函數(shù)與的圖象,
并在此坐標系內(nèi)描出表格提供的數(shù)據(jù)對應的點如圖所示.
觀察圖象知,這些點基本上都落在函數(shù)的圖象上或附近,
所以用模型②更適合模擬該企業(yè)的收入.
（2）當時,,
因此=≈,
而,則,
所以大約在2025年該企業(yè)的收入超過100億元.
練透核心考點
1．（2023上·江蘇·高一期末）生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一個新的環(huán)境，從而對入侵地的生態(tài)系統(tǒng)造成危害的現(xiàn)象，若某入侵物種的個體平均繁殖數(shù)量為，一年四季均可繁殖，繁殖間隔為相鄰兩代間繁殖所需的平均時間．在物種入侵初期，可用對數(shù)模型（為常數(shù)）來描述該物種累計繁殖數(shù)量與入侵時間（單位：天）之間的對應關系，且，在物種入侵初期，基于現(xiàn)有數(shù)據(jù)得出．據(jù)此估計該物種累計繁殖數(shù)量是初始累計繁殖數(shù)量的倍所需要的時間為（ ）天．（結(jié)果保留一位小數(shù)．參考數(shù)據(jù)：）
A．19.5B．20.5C．18.5D．19
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，利用結(jié)定的函數(shù)模型求得，進而利用對數(shù)的運算法則列式即可得解.
【詳解】因為，，，所以，解得，
設初始時間為，初始累計繁殖數(shù)量為，累計繁殖數(shù)量是初始累計繁殖數(shù)量的倍的時間為，
則
（天．
故選：A.
2．（2023上·江蘇南通·高一海安高級中學?？茧A段練習）牛頓冷卻定律描述一個物體在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體初始溫度為，則經(jīng)過一定時間（單位：分鐘）后的溫度滿足，其中是環(huán)境溫度，為常數(shù)，現(xiàn)有一杯的熱水用來泡茶，研究表明，此茶的最佳飲用口感會出現(xiàn)在.經(jīng)測量室溫為，茶水降至大約用時一分鐘，那么為了獲得最佳飲用口感，從泡茶開始大約需要等待 分鐘.
（參考數(shù)據(jù)：.）
【答案】6
【分析】根據(jù)已知條件求出參數(shù)的值，進而轉(zhuǎn)化為解指數(shù)方程，利用對數(shù)的運算以及換底公式即可求出結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意可知, 環(huán)境溫度，初始溫度，
經(jīng)過一定時間（單位：分鐘）后的溫度滿足
因為茶水降至大約用時一分鐘，即，
所以，解得，則，
所以要使得該茶降至，即，則有，得，
故.
所以大約需要等待6分鐘.
故答案為：6.
3．（2023上·上?！じ咭簧虾Ｄ蠀R中學?？茧A段練習）用打點滴的方式治療“支原體感染”病患時，血藥濃度（血藥濃度是指藥物吸收后，在血漿內(nèi)的總濃度）隨時間變化的函數(shù)符合，其函數(shù)圖象如圖所示，其中為與環(huán)境相關的常數(shù)，此種藥物在人體內(nèi)有效治療效果的濃度在4到15之間，當達到上限濃度時，必須馬上停止注射，之后血藥濃度隨時間變化的函數(shù)符合，其中c為停藥時的人體血藥濃度．
(1)求出函數(shù)的解析式；
(2)一病患開始注射后，最遲隔多長時間停止注射？為保證治療效果，最多再隔多長時間開始進行第二次注射？（如果計算結(jié)果不是整數(shù)，保留小數(shù)點后一位）
【答案】(1)
(2)最遲隔16小時停止注射，為保證治療效果，最多再隔7.7小時開始進行第二次注射．
【分析】（1）根據(jù)已知條件及函數(shù)的圖象，利用點在圖象上列方程求解即可；
（2）根據(jù)已知條件得出最遲停止注射時間，利用函數(shù)關系式及對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）由圖象可知，圖象經(jīng)過，兩點，將兩點代入，
則，解得，
所以；
（2）由題意，可知有治療效果的濃度在4到15之間，
所以濃度為15時為最遲停止注射時間，
故，解得，
濃度從15降到4為最長間隔時間，
故，即，
兩邊同時取以2為底的對數(shù)，則，
即
，
所以，
所以最遲隔16小時停止注射，為保證治療效果，
最多再隔7.7小時開始進行第二次注射．
4．（2023上·廣東汕頭·高一統(tǒng)考期末）潮汕人喜歡喝功夫茶，茶水的口感和水的溫度有關，如果剛泡好的茶水溫度是℃，環(huán)境溫度是℃，那么t分鐘后茶水的溫度（單位：℃）可由公式求得．現(xiàn)有剛泡好茶水溫度是100℃，放在室溫25℃的環(huán)境中自然冷卻，5分鐘以后茶水的溫度是50℃．
(1)求k的值；
(2)經(jīng)驗表明，當室溫為15℃時，該種茶剛泡好的茶水溫度95℃，自然冷卻至60℃時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感，那么，剛泡好的茶水大約需要放置多長時間才能達到最佳飲用口感？（結(jié)果精確到0.1；參考值：，）
【答案】(1)
(2)2.7分鐘
【分析】（1）由所給函數(shù)模型結(jié)合已知條件列方程得，由指對互換即可求解.
（2）由所給函數(shù)模型結(jié)合已知條件列方程得，由指對互換以及對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）依題意，，．
則
化簡得，，
，
即：．（寫也正確）
（2）由（1）得
令，
即．得，
；
得．
所以剛泡好的茶水大約需要放置2.7分鐘才能達到最佳飲用口感．
高頻考點四：利用給定函數(shù)模型解決實際問題
典型例題
例題1．（2023上·福建莆田·高一統(tǒng)考期末）已知某種放射性元素在一升液體中的放射量（單位：）與時間（單位：年）近似滿足關系式且.已知當時，；當時，，則據(jù)此估計，這種放射性元素在一升液體中的放射量為10時，大約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：）
A．50B．52C．54D．56
【答案】B
【分析】根據(jù)已知列方程組先求出的值，然后利用對數(shù)運算可得.
【詳解】由題知，，解得，
所以，
由，得.
故選：B
例題2．（2023上·江蘇鹽城·高一?？计谥校┨鞖廪D(zhuǎn)冷，某暖手寶廠商為擴大銷量，擬進行促銷活動.根據(jù)前期調(diào)研，獲得該產(chǎn)品的銷售量萬件與投入的促銷費用萬元滿足關系式（為常數(shù)），而如果不搞促銷活動，該產(chǎn)品的銷售量為4萬件.已知該產(chǎn)品每一萬件需要投入成本18萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為元，設該產(chǎn)品的利潤為萬元.（注：利潤=銷售收入-投入成本-促銷費用）
(1)求出的值，并將表示為的函數(shù)；
(2)促銷費用為多少萬元時，該產(chǎn)品的利潤最大？此時最大利潤為多少？
【答案】(1)4；
(2)7萬元，125萬元
【分析】（1）根據(jù)時，，即可求得k的值；根據(jù)利潤=銷售收入-投入成本-促銷費用即可求得表示為的函數(shù)關系式；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)果，化簡變形，利用基本不等式，即可求得答案.
【詳解】（1）由題意知時，，故，
則，
故，
即；
（2），
當且僅當，即時等號成立，
故促銷費用為7萬元時，該產(chǎn)品的利潤最大，此時最大利潤為125萬元.
例題3．（2023·全國·高三專題練習）學校鼓勵學生課余時間積極參加體育鍛煉，現(xiàn)需要制定一個課余鍛煉考核評分制度，建立一個每天得分y與當天鍛煉時間x（單位：分鐘）的函數(shù)關系，要求如下：（i）函數(shù)的圖象接近圖示；（ii）每天運動時間為0分鐘時，當天得分為0分；（iii）每天運動時間為30分鐘時，當天得分為3分；（iiii）每天最多得分不超過6分.現(xiàn)有以下三個函數(shù)模型供選擇：①；②；③.
(1)請根據(jù)函數(shù)圖像性質(zhì)你從中選擇一個合適的函數(shù)模型不需要說明理由；
(2)根據(jù)你對（1）的判斷以及所給信息完善你的模型并給出函數(shù)的解析式；
(3)已知學校要求每天的分數(shù)不少于4.5分，求每天至少運動多少分鐘（結(jié)果保留整數(shù)）.
【答案】(1)
(2)，
(3)55
【分析】（1）根據(jù)圖像和函數(shù)性質(zhì)選擇模型，
（2）將，代入求解系數(shù)即可.
（3）將代入解析式即可.
【詳解】（1）根據(jù)題中材料和題圖選擇合適的函數(shù)模型
從題圖看應選擇先快后慢增長的函數(shù)模型，故選；
（2）將，代入解析式得到，即，
解得，，即.
為了描述銷售單價與銷量的關系，現(xiàn)有以下三種模型供選擇：．
(1)選擇你認為最合適的一種函數(shù)模型，并求出相應的函數(shù)解析式；
(2)已知每生產(chǎn)一件該產(chǎn)品，需要的成本（單位：元）與銷量Q（單位：萬件）的關系為，不考慮其他因素，結(jié)合（1）中所選的函數(shù)模型，若要使生產(chǎn)的產(chǎn)品可以獲得利潤，問該產(chǎn)品的銷售單價應該高于多少元？
【答案】(1)最合適，
(2)元．
【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合給定的函數(shù)模型，代入驗證，即可求解；
（2）由成本與銷量Q的關系為，列出不等式，結(jié)合不等式的解法，即可求解.
【詳解】（1）解：若選擇模型，將代入可得，即，
經(jīng)驗證，均不滿足，故模型不合適．
若選擇模型，因為過點，所以模型不合適．
若選擇模型，將代入可得，即，
經(jīng)驗證，，均滿足，故模型最合適，且．
（2）解：由成本與銷量Q的關系為．
要使生產(chǎn)的產(chǎn)品可以獲得利潤，則．
因為，所以，即．
因為，所以．
故該產(chǎn)品的銷售單價應該高于元．
3．（2023上·河南·高一校聯(lián)考期中）2023年9月23日，第19屆亞運會開幕式在杭州舉行，完美展現(xiàn)了“綠色”與“科技”的融合.已知某種綠色科技產(chǎn)品在亞運會開幕式后的30天內(nèi)（包括第30天），第天每件的銷售價格（單位：元）滿足，第天的日銷售量（單位：千件）滿足，且第2天的日銷售量為13000件，第3天的日銷售量為12000件.
(1)求的解析式；
(2)若每件該產(chǎn)品的總成本為20元，求該產(chǎn)品在開幕式后的30天內(nèi)第天的日銷售利潤（單位：千元）的解析式，并求開幕式后的第幾日銷售利潤最小.
【答案】(1)（，）
(2)，開幕式后的第30天的日銷售利潤最小
【分析】（1）由題可知，求出即可得解；
（2）先求出每件該產(chǎn)品的銷售利潤，再根據(jù)日銷售利潤即可求出的解析式，再根據(jù)基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性即可得解.
【詳解】（1）由題可知，解得，
所以（，）；
（2）由題可得每件該產(chǎn)品的銷售利潤為，
所以第天的日銷售利潤，
即，
當時，，
當且僅當，即時等號成立，
當時，，
因為函數(shù)在上都是減函數(shù)，
所以函數(shù)在上為減函數(shù)，
所以此時，
綜上所述，當時，取得最小值714，
即開幕式后的第30天的日銷售利潤最小.
函數(shù)模型
函數(shù)解析式
一次函數(shù)模型
(為常數(shù)，)
反比例函數(shù)模型
(為常數(shù)且)
二次函數(shù)模型
（均為常數(shù)，）
指數(shù)函數(shù)模型
（均為常數(shù)，，，）
對數(shù)函數(shù)模型
（為常數(shù)，）
冪函數(shù)模型
（為常數(shù)，）
分段函數(shù)
函數(shù)
性質(zhì)
在(0，＋∞)上的增減性
單調(diào)遞增
單調(diào)遞增
單調(diào)遞增
增長速度
先慢后快，指數(shù)爆炸
先快后慢，增長平緩
介于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間,相對平穩(wěn)
圖象的變化
隨x的增大，圖象與軸接近平行
隨x的增大，圖象與軸接近平行
隨n值變化而各有不同
值的比較
存在一個，當時，有
聲源
與聲源的距離
聲壓級
燃油汽車
10
混合動力汽車
10
電動汽車
10
40
-2
-1
0
1
2
3
5
2.3
1.1
0.7
1.1
2.3
5.9
49.1
2
3
4
5
6
1.40
2.56
5.31
11
21.30
1
2
3
4
5
5.380
11.232
20.184
34.356
53.482
10
20
29
41
50
58
70
1
2
3.8
7.4
11
15
21.8
10
20
29
41
50
58
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.57
10
15
20
25
30
50
55
60
55
50
0
10
40
60
0
1420
4480
6720
x/年
1
2
3
4
5
6
y/億元
0.9
1.40
2.56
5.31
11
21.30

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