第一部分：典型例題講解
題型一：集合的表示
1．（2023上·遼寧·高一校聯(lián)考期中）已知集合，且是中的一個(gè)元素，則（ ）
A．B．或3C．D．或
2．（多選）（2024下·浙江·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2024上·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，且，則 .
4．（2023下·遼寧阜新·高二校考期末）集合用列舉法表示為 .
5．（2023上·廣東·高一校聯(lián)考期中）已知集合，則的子集個(gè)數(shù)為 ．
題型二：集合的基本關(guān)系
1．（2024上·河南洛陽·高一統(tǒng)考期末）已知集合，若，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·安徽合肥·高三合肥一中?？计谀┮阎希?，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024下·重慶·高三重慶一中?？奸_學(xué)考試）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2024上·江蘇無錫·高一江蘇省天一中學(xué)校考期末）已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024上·吉林延邊·高一統(tǒng)考期末）已知全集，集合.

(1)求圖中陰影部分表示的集合；
(2)若非空集合，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
題型三：集合的基本運(yùn)算
1．（2024·陜西·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的值域?yàn)锽，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024下·江西·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）設(shè)集合，，若的真子集的個(gè)數(shù)是，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
3．（2024上·河北石家莊·高一石家莊市第二十四中學(xué)?？计谀┮阎希?br>(1)求；
(2)若，且，求的取值范圍．
4．（2024上·江西南昌·高一校聯(lián)考期末）在①；②“”是“”的必要條件；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問題中，并解答．
間題：已知集合．
(1)當(dāng)時(shí)，求；
(2)若___________，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
5．（2023下·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
6．（2024上·湖南衡陽·高一統(tǒng)考期末）已知集合，函數(shù)定義域?yàn)榧螧．
(1)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
題型四：充分條件與必要條件
1．（2024上·全國·高三校聯(lián)考競賽）設(shè)，集合．則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
2．（2022上·北京·高一?？茧A段練習(xí)）“”是“”的（ ）
A．必要不充分條件B．充分不必要條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．（2024上·天津·高三校聯(lián)考期末）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
4．（2024上·北京密云·高一統(tǒng)考期末）已知，，，則“”的一個(gè)充分而不必要條件是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024上·江蘇南京·高一統(tǒng)考期末）設(shè)全集，已知集合.
(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若“”是“”的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
題型五：“的”字結(jié)構(gòu)與“是”字結(jié)構(gòu)對比
1．（2023·湖南岳陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）“”是“”的（ ）
A．必要不充分條件B．充分不必要條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
2．（2024上·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
3．（2024上·福建南平·高一統(tǒng)考期末）不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024上·陜西咸陽·高一統(tǒng)考期末）“不等式在上恒成立”的一個(gè)必要不充分條件是（ ）
A．B．C．D．
5．（多選）（2024上·四川廣安·高一統(tǒng)考期末）“，”為真命題的充分條件可以是（ ）
A．B．C．D．
題型六：全稱量詞與存在量詞
1．（2024下·廣東·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，；，．若為假命題，為真命題，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·廣西南寧·南寧三中校聯(lián)考一模）已知命題，則為（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024上·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）若命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)的最小值為（ ）
A．1B．2C．4D．8
4．（2023上·云南昆明·高一官渡五中校考期中）命題：R，是假命題，則實(shí)數(shù)的值可能是 （ ）
A．B．
C．D．
5．（多選）（2024上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高一校考期末）命題“”是真命題的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A．B．
C．D．
題型七：一元二次不等式
1．（2023·湖南岳陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．或
2．（2024上·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）不等式的解集為 ．
3．（2015下·福建·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知不等式的解集為或
(1)求的值
(2)解不等式．
4．（2023上·吉林白山·高一統(tǒng)考期末）解關(guān)于x的不等式：
(1)；
(2)．
5．（2024上·四川南充·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)若關(guān)于的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)，的值；
(2)求關(guān)于的不等式的解集.
題型八：一元二次不等式中的恒成立與有解問題
1．（2024上·重慶·高一重慶市青木關(guān)中學(xué)校校考期末）函數(shù)的定義域?yàn)?，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024上·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末）命題，若是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
3．（2024上·福建龍巖·高一福建省武平縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知二次函數(shù)，對任意都有，且．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若對于，不等式恒成立，求x的取值范圍．
4．（2024上·江蘇無錫·高一江蘇省天一中學(xué)校考期末）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，求該函數(shù)的值域；
(2)若對于恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
C．D．的最小值為4
5．（2023·陜西咸陽·咸陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）已知，且，則的最小值為 ．
6．（2022上·河南·高二校聯(lián)考期末）已知中，點(diǎn)D在線段（不含端點(diǎn)）上，且滿足，則的最小值為 .
7．（2022上·河南·高三校聯(lián)考專題練習(xí)）若正數(shù)，滿足，則的最小值為 ．
8．（2024下·湖北·高二應(yīng)城市第一高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，，其中，，若，則的最小值為 ．
題型十：復(fù)數(shù)的綜合應(yīng)用
1．（2024下·陜西安康·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)，則 （ ）
A．B．C．D．
2．（2023·湖南岳陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知為虛數(shù)單位，為實(shí)數(shù)，若，則（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（2023·湖南岳陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024下·江蘇南通·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）若，且是純虛數(shù)，則（ ）
A．B．1C．D．2
5．（2024下·浙江·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)，其中且，則的最小值是（ ）
A．B．2C．D．
6．（2024·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知i為復(fù)數(shù)單位，，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
7．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，且滿足，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）
A．B．C．D．
第二部分：新定義題
1．（2024上·上?！じ咭簧虾Ｊ薪ㄆ街袑W(xué)校考期末）已知集合是由某些正整數(shù)組成的集合，且滿足：若，則當(dāng)且僅當(dāng)（其中正整數(shù)、且）或（其中正整數(shù)、且）．現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：①；②集合．則下列判斷正確的是（ ）
A．①對②對B．①對②錯(cuò)C．①錯(cuò)②對D．①錯(cuò)②錯(cuò)
2．（2023上·上海嘉定·高一上海市育才中學(xué)?？计谥校┮阎螾，Q中都至少有兩個(gè)元素，并且滿足下列條件：①集合P，Q中的元素都為正數(shù)；②對于任意，都有；③對于任意，都有；則下列說法正確的是（ ）
A．若P有2個(gè)元素，則Q有3個(gè)元素
B．若P有2個(gè)元素，則有4個(gè)元素
C．若P有2個(gè)元素，則有1個(gè)元素
D．存在滿足條件且有3個(gè)元素的集合P
3．（2015上·上海浦東新·高一上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┤鬤是一個(gè)非空集合，M是一個(gè)以X的某些子集為元素的集合，且滿足：①，；②對于X的任意子集A，B，當(dāng)且時(shí)，有；③對于X的任意子集A，B，當(dāng)且時(shí)，有，則稱M是集合X的一個(gè)“M-集合類”.例如：是集合得一個(gè)“M—集合類”.若，則所有含的“M—集合類”的個(gè)數(shù)為（ ）
A．9B．10C．11D．12
4．（2023上·上海浦東新·高一?？计谥校┮阎邢藜?，如果A中的元素滿足，就稱A為“完美集”.
①集合是“完美集”；
②若、是兩個(gè)不同的正數(shù)，且是“完美集”，則、至少有一個(gè)大于2；
③二元“完美集”有無窮多個(gè)；
④若，則“完美集”A有且只有一個(gè)，且.
其中正確的結(jié)論是 （填上你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號）
5．（2012·四川·統(tǒng)考一模）已知集合，對任意、、，規(guī)定運(yùn)算“”滿足如下性質(zhì)：
（1）；（2）；（3）；
給出下列命題：①；
②若，則；
③若，且，則；
④若、、，且，，則．
其中所有正確命題的序號是 ．
6．（2023上·北京·高三北京四中校考開學(xué)考試）正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，定義.當(dāng)集合中恰有個(gè)元素時(shí)，稱集合A具有性質(zhì).
(1)判斷集合，是否具有性質(zhì)；
(2)若集合A具有性質(zhì)，且A中所有元素能構(gòu)成等比數(shù)列，中所有元素也能構(gòu)成等比數(shù)列，求集合A中的元素個(gè)數(shù)的最大值：
(3)若集合A具有性質(zhì)，且中的所有元素能構(gòu)成等比數(shù)列.問：集合A中的元素個(gè)數(shù)是否存在最大值?若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由.
7．（2018上·北京西城·高一北京市第三十五中學(xué)校考期中）對于函數(shù)，若，則稱為的“不動(dòng)點(diǎn)”；若，則稱為的“穩(wěn)定點(diǎn)”．函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別記為和，即，．
(1)設(shè)函數(shù)，求集合和；
(2)求證：；
(3)設(shè)函數(shù)，且，求證：．
第08講：第一章 集合與常用邏輯用語、不等式、復(fù)數(shù)
章節(jié)總結(jié)
第一部分：典型例題講解
題型一：集合的表示
1．（2023上·遼寧·高一校聯(lián)考期中）已知集合，且是中的一個(gè)元素，則（ ）
A．B．或3C．D．或
【答案】A
【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，利用集合元素滿足互異性可得出實(shí)數(shù)的值.
【詳解】集合，且.
①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，集合中的元素不滿足互異性，故不符合題意，舍去；
②當(dāng)時(shí)，（舍）或.
若，則，此時(shí)集合，符合題意，
綜上所述，.
故選：A.
2．（多選）（2024下·浙江·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)條件得到，從而得到選項(xiàng)A正確，再由元素與集合，集合與集合間的關(guān)系，對B，C和D逐一分析判斷，即可得出結(jié)果.
【詳解】易知方程無解，所以，所以選項(xiàng)A正確，
因?yàn)?，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，
因?yàn)榧鲜且詾樵氐募?，由元素與集合間的關(guān)系，知選項(xiàng)C正確，
又空集是任何集合的子集，所以選項(xiàng)D正確，
故選：ACD.
3．（2024上·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，且，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意，列出方程，求得的值，結(jié)合集合元素的互異性，即可求解.
【詳解】因?yàn)椋曰?，解得或?br>當(dāng)時(shí)，，，集合不滿足元素的互異性，所以舍去；
當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，所以．
故答案為：．
4．（2023下·遼寧阜新·高二?？计谀┘嫌昧信e法表示為 .
【答案】
【分析】依題意逐個(gè)驗(yàn)證即可.
【詳解】時(shí)，時(shí)，時(shí)，時(shí)，時(shí)，時(shí)，不合題意，
故滿足題意的有，
故答案為：.
5．（2023上·廣東·高一校聯(lián)考期中）已知集合，則的子集個(gè)數(shù)為 ．
【答案】4
【分析】利用描述法及子集的概念計(jì)算即可.
【詳解】易知，有2個(gè)元素，
所以的子集個(gè)數(shù)為．
故答案為：4
題型二：集合的基本關(guān)系
1．（2024上·河南洛陽·高一統(tǒng)考期末）已知集合，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出集合，然后結(jié)合集合相等的條件即可求解．
【詳解】由題意得，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)或時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，則，
若，且，則，，
所以，．
故選：B．
2．（2024上·安徽合肥·高三合肥一中?？计谀┮阎?，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)，建立條件關(guān)系即可求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【詳解】因?yàn)椋?br>若，則，
則，所以．
故選：B．
3．（2024下·重慶·高三重慶一中?？奸_學(xué)考試）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】通過解不等式求得集合，進(jìn)而判斷出正確答案.
【詳解】，解得或，
所以或.
，解得或，
所以或.
所以，B選項(xiàng)正確，其它選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：B
4．（2024上·江蘇無錫·高一江蘇省天一中學(xué)校考期末）已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)集合是集合的子集，結(jié)合集合中元素的互異性求解即可.
【詳解】集合，，
由于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
故選：B．
5．（2024上·吉林延邊·高一統(tǒng)考期末）已知全集，集合.

(1)求圖中陰影部分表示的集合；
(2)若非空集合，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由韋恩圖分析得，再化簡集合，從而利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可得解；
（2）先求得，利用集合的包含關(guān)系得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.
【詳解】（1）根據(jù)題意，分析可得，
而，，
則或，
所以；
（2）因?yàn)?，則，
若非空集合，且，
則有，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
題型三：集合的基本運(yùn)算
1．（2024·陜西·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的值域?yàn)锽，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出函數(shù)的定義域可得集合，求出函數(shù)的值域可得集合B，再求可得答案.
【詳解】，則且，
可得的值域．
故選：B.
2．（2024下·江西·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）設(shè)集合，，若的真子集的個(gè)數(shù)是，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】解出集合，分析可知，集合的元素個(gè)數(shù)為，確定集合，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解之即可.
【詳解】由可得，解得，
因?yàn)?，則且，
因?yàn)榈恼孀蛹膫€(gè)數(shù)為，設(shè)的元素個(gè)數(shù)為，則，解得，
因?yàn)?，則，所以，，解得,
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
3．（2024上·河北石家莊·高一石家莊市第二十四中學(xué)?？计谀┮阎希?br>(1)求；
(2)若，且，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求得集合，然后由并集定義計(jì)算；
（2）由，可得，列出相應(yīng)不等式組，從而可求解.
【詳解】（1）由題意知：，解得，所以，
所以.
（2）由題意，得，所以，解得.
故的取值范圍為.
4．（2024上·江西南昌·高一校聯(lián)考期末）在①；②“”是“”的必要條件；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的問題中，并解答．
間題：已知集合．
(1)當(dāng)時(shí)，求；
(2)若___________，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，求得或，，結(jié)合集合的運(yùn)算，即可求解；
（2）由或和，若選擇①②，轉(zhuǎn)化為，列出不等式，即可求得的取值范圍；若選擇③：得到，結(jié)合集合的運(yùn)算，列出不等式，即可求解.
【詳解】（1）解：由不等式，解得或，可得或，
當(dāng)時(shí)，可得，
則，所以．
（2）解：由集合或和，
若選擇①：由，即，可得，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為；
若選擇②：由“”是“”的必要條件，可得，可得，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為；
若選擇③：由或，可得，
要使得，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
5．（2023下·河南·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出集合后可求；
（2）先求出，再根據(jù)可得的不等式，故可求其取值范圍.
【詳解】（1）由得，，
當(dāng)時(shí)，,
，所以．
（2）因?yàn)榛颍?br>又,
所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是
6．（2024上·湖南衡陽·高一統(tǒng)考期末）已知集合，函數(shù)定義域?yàn)榧螧．
(1)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)或
(2)且或
【分析】（1）由可得，解不等式可得所求范圍；
（2）由可得，根據(jù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解不等式可得所求范圍.
【詳解】（1）由題可得，得，即，
所以或.
（2）；對函數(shù)，，由于，
當(dāng)時(shí)，即，，函數(shù)無意義，所以，得，
由，知或，得且或.
題型四：充分條件與必要條件
1．（2024上·全國·高三校聯(lián)考競賽）設(shè)，集合．則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】利用集合相等的定義得到關(guān)于的方程組，推得充分性成立；再簡單證得必要性也成立即可得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，則有，或，
若，顯然解得；
若，則，整理得，
因?yàn)?，?br>所以無解；
綜上，，即充分性成立；
當(dāng)時(shí)，顯然，即必要性成立；
所以“”是“”的充分必要條件.
故選：C.
2．（2022上·北京·高一?？茧A段練習(xí)）“”是“”的（ ）
A．必要不充分條件B．充分不必要條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】解得或，根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可.
【詳解】解得或，
所以“”“”，“”“”，
所以“”是“”的充分不必要條件．
故選：B．
3．（2024上·天津·高三校聯(lián)考期末）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.
【詳解】由，得，必有，
而當(dāng)時(shí)，可以是負(fù)數(shù)，如成立，卻有，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
4．（2024上·北京密云·高一統(tǒng)考期末）已知，，，則“”的一個(gè)充分而不必要條件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合充分、必要條件逐項(xiàng)分析判斷.
【詳解】當(dāng)時(shí)，滿足，但不成立，不滿足充分性，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，若，則，反之，若，則，
所以是的充要條件，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，滿足，但不成立，不滿足充分性，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
若，則有，反之，不能得到，比如當(dāng)時(shí)，不成立，
所以是的充分不必要條件，D選項(xiàng)正確.
故選：D
5．（2024上·江蘇南京·高一統(tǒng)考期末）設(shè)全集，已知集合.
(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若“”是“”的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)或
(2).
【分析】（1）求出集合A，由集合運(yùn)算列式可得結(jié)果，
（2）由充分條件得，根據(jù)子集關(guān)系列式可得結(jié)果.
【詳解】（1）由，解得，所以.
因?yàn)椋?，所以或，解得或?br>所以實(shí)數(shù)的取值范圍是或.
（2）因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞謼l件，所以，
所以，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
題型五：“的”字結(jié)構(gòu)與“是”字結(jié)構(gòu)對比
1．（2023·湖南岳陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）“”是“”的（ ）
A．必要不充分條件B．充分不必要條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】解一元一次不等式結(jié)合必要不充分條件的定義即可得解.
【詳解】由題意，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：A.
2．（2024上·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】先求出不等式的解集，再根據(jù)兩個(gè)范圍的包含關(guān)系即可判斷.
【詳解】由可得: ,解得：，
因是的真子集，故 “”是“”的必要不充分條件.
故選：B．
3．（2024上·福建南平·高一統(tǒng)考期末）不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先分析不等式成立的一個(gè)充分不必要條件的性質(zhì)，再解不等式即可得解.
【詳解】要成為不等式成立的一個(gè)充分不必要條件，
則該條件所對應(yīng)的集合為不等式的解集的真子集，
解，得，故不等式的解集為，
逐一分析各選項(xiàng)，可知只有D選項(xiàng)對應(yīng)的集合滿足題意，故D正確.
故選：D.
4．（2024上·陜西咸陽·高一統(tǒng)考期末）“不等式在上恒成立”的一個(gè)必要不充分條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先求出不等式恒成立的充要條件，然后逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】因?yàn)椤安坏仁皆谏虾愠闪ⅰ保?br>顯然不滿足題意，
所以，解得，
則“不等式在上恒成立”等價(jià)于，
故要找的必要不充分條件需要被推出.
對于A，是充要條件，故A錯(cuò)誤；
對于B，因?yàn)橥撇怀?，故B錯(cuò)誤；
對于C，因?yàn)椋粗荒芡瞥?，故C正確；
對于D，因?yàn)橥撇怀?，故D錯(cuò)誤．
故選：C．
5．（多選）（2024上·四川廣安·高一統(tǒng)考期末）“，”為真命題的充分條件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】變形得到，恒成立，由基本不等式求出的最小值，從而得到，分析四個(gè)選項(xiàng)，得到AB滿足要求.
【詳解】，恒成立，
其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，
故，
由于和均為的真子集，故AB正確，CD不合要求.
故選：AB
題型六：全稱量詞與存在量詞
1．（2024下·廣東·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，；，．若為假命題，為真命題，則的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)全稱命題以及特稱命題的真假，結(jié)合二次函數(shù)的最值以及一元二次方程的判別式，即可求得答案.
【詳解】由題意知，為假命題，
則，為真命題，
當(dāng)時(shí)，的圖象的對稱軸為，
此時(shí)其最大值為，則；
又，為真命題，
即，即得，
綜合可得的取值范圍為，
故選：A
2．（2024·廣西南寧·南寧三中校聯(lián)考一模）已知命題，則為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)含有一個(gè)量詞命題的否定，即可得答案.
【詳解】由題意知命題為存在量詞命題，
其否定為全稱量詞命題：，
故選：A
3．（2024上·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）若命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)的最小值為（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】根據(jù)特稱命題與全稱命題的真假性質(zhì)，結(jié)合一元二次不等式的解集的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)槊}“，”是假命題，
所以命題“，”是真命題，
因此有，所以實(shí)數(shù)的最小值為，
故選：C
4．（2023上·云南昆明·高一官渡五中校考期中）命題：R，是假命題，則實(shí)數(shù)的值可能是 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】先由p是假命題，得到是真命題，求出b的范圍，對四個(gè)選項(xiàng)一一驗(yàn)證.
【詳解】由，，得，.
由于命題p是假命題，可知是真命題，所以在時(shí)恒成立，
則，解得.
故選：CD.
5．（多選）（2024上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高一?？计谀┟}“”是真命題的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】先將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題求出的范圍，然后利用充分不必要條件的概念選擇答案.
【詳解】，
則對都成立，
又，所以，
觀察選項(xiàng)可得命題“”是真命題的一個(gè)充分不必要條件是BCD.
故選：BCD.
題型七：一元二次不等式
1．（2023·湖南岳陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】C
【分析】將不等式化簡成一元二次不等式的標(biāo)準(zhǔn)形式，即可求得結(jié)果.
【詳解】由不等式可得，
即，可得，
因此不等式的解集是.
故選：C
2．（2024上·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】將分?jǐn)?shù)不等式轉(zhuǎn)換為與之等價(jià)的不等式組即可求解.
【詳解】，即，則且．解得，
不等式的解集為.
故答案為：.
3．（2015下·福建·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知不等式的解集為或
(1)求的值
(2)解不等式．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）由題知,是方程的兩個(gè)解，根據(jù)韋達(dá)定理列出方程，解出即可；
（2）化簡不等式，分類討論，即可得到不等式的解集.
【詳解】（1）因?yàn)椴坏仁降慕饧饧癁榛?
所以，是方程的兩個(gè)解，
所以，解得.
（2）由（1）知原不等式為，
即，
當(dāng)時(shí)，不等式解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式解集為.
4．（2023上·吉林白山·高一統(tǒng)考期末）解關(guān)于x的不等式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）利用分式不等式的解法求解即可得解；
（2）將不等式化為，分類討論的取值范圍，從而得解.
【詳解】（1）由題意，
可得，解得或，
所以不等式的解集為.
（2）不等式可化為，
當(dāng)時(shí)，，不等式的解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式化為，其解集為；
當(dāng)時(shí)，不等式化為，
（?。┊?dāng)，即時(shí)，不等式的解集為；
（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為；
（ⅲ）當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為.
5．（2024上·四川南充·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).
(1)若關(guān)于的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)，的值；
(2)求關(guān)于的不等式的解集.
【答案】(1)；
(2)答案見解析.
【分析】（1）由不等式解集可得是的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)關(guān)系求參數(shù)值；
（2）由題意有，討論、、求不等式解集.
【詳解】（1）由題設(shè)的解集為，即是的兩個(gè)根，
所以.
（2）由題意，
當(dāng)時(shí)，解得或，故解集為；
當(dāng)時(shí)，解得，故解集為；
當(dāng)時(shí)，解得或，故解集為；
題型八：一元二次不等式中的恒成立與有解問題
1．（2024上·重慶·高一重慶市青木關(guān)中學(xué)校校考期末）函數(shù)的定義域?yàn)?，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題意得恒有成立，結(jié)合二次不等式恒成立性質(zhì)對進(jìn)行分類討論進(jìn)行求解即可.
【詳解】由題意得恒成立，當(dāng)時(shí), 恒成立，滿足題意；
當(dāng)時(shí), ,解得,綜上.
故選:C.
2．（2024上·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末）命題，若是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由題意確定為真命題，則只需，設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得在上的最大值，即可求得答案.
【詳解】若是假命題，則為真命題，故，
只需，
設(shè)，則在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，其中，
故，所以,即實(shí)數(shù)的取值范圍是,
故答案為:
3．（2024上·福建龍巖·高一福建省武平縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）已知二次函數(shù)，對任意都有，且．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若對于，不等式恒成立，求x的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意可得函數(shù)關(guān)于對稱，再根據(jù)求出即可；
（2）不等式即為，將當(dāng)作參數(shù)，分，和三種情況討論，利用分離參數(shù)法求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以函?shù)關(guān)于對稱，
則，解得，
所以；
（2）不等式即為，
當(dāng)時(shí)，則恒成立，
而，
所以，即，
因?yàn)椋?br>所以；
當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，則恒成立，
而，
所以，解得，
綜上所述，的取值范圍為．
4．（2024上·江蘇無錫·高一江蘇省天一中學(xué)校考期末）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，求該函數(shù)的值域；
(2)若對于恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換元法，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，可得所求值域；
由題意可得，恒成立，運(yùn)用換元法和參數(shù)分離，以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解不等式可得所求范圍．
【詳解】（1），
令，則函數(shù)化為，，
因此當(dāng)時(shí)，取得最小值，
當(dāng)時(shí)，，取得最大值0，
即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值0，
可得函數(shù)的值域?yàn)椋?br>（2），恒成立，
即，恒成立，
令，則，恒成立，
令，，
則，
解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為
5．（2024上·安徽蕪湖·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，關(guān)于的一元二次不等式的解集為．
(1)求不等式的解集；
(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)或
(2)．
【分析】（1）利用韋達(dá)定理求參數(shù)后再解不等式即可.
（2）對變量范圍進(jìn)行討論，分離參數(shù)法求解參數(shù)即可.
【詳解】（1）因?yàn)橐辉尾坏仁降慕饧癁椋?br>所以和1是方程的兩個(gè)實(shí)根，則，
解得．因此所求不等式即為：，解集為或．
（2）可化為：，當(dāng)時(shí)顯然成立；
當(dāng)時(shí)，對恒成立，
令，則，
當(dāng)，即時(shí)，
所以，即．
6．（2024上·安徽安慶·高一安慶一中?？计谀┰O(shè)定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，（其中為實(shí)數(shù)）．
(1)求的值；
(2)是否存在實(shí)數(shù)和，使不等式成立？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【分析】（1）由是定義在的奇函數(shù)，利用，即可求出的值，再利用定義驗(yàn)證.
（2）先證明函數(shù)單調(diào)性脫去不等式中的，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，通過分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題求解.
【詳解】（1）由是定義在的奇函數(shù)，則有，得，把代入函數(shù)得，
而，所以符合題意.
（2），因?yàn)楹瘮?shù)且在單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞減，從而在上單調(diào)遞減.
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減. 所以
設(shè)函數(shù)，要想滿足題意，只需大于在上的最小值或者小于在上的最大值即可，
由雙勾函數(shù)的性質(zhì)可知在遞減，在遞增，在上遞減，
所以在上的最小值為，在上的最大值為.
所以存在.
題型九：基本不等式及其應(yīng)用
1．（2023上·新疆·高一?？计谀┤粽龑?shí)數(shù)、滿足，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式可求得的最小值.
【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)、滿足，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，
故的最小值為.
故選：B.
2．（2024上·河北滄州·高一統(tǒng)考期末）已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值為（ ）
A．6B．C．D．
【答案】B
【分析】借助基本不等式計(jì)算即可得.
【詳解】，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，因此的最小值為.
故選：B．
3．（2024上·廣西·高一校聯(lián)考期末）已知，則的最大值為（ ）
A．2B．4C．8D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式可得關(guān)于的一元二次不等式，解不等式即可.
【詳解】，則有，
可得，即4，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.
所以的最大值為4.
故選：B
4．（多選）（2024上·河南駐馬店·高一統(tǒng)考期末）已知正實(shí)數(shù)，下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．的最小值為4
【答案】BC
【分析】利用基本不等式對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，A選項(xiàng)不正確.
B選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，B選項(xiàng)正確.
C選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，C選項(xiàng)正確.
D選項(xiàng)，，
但無解，所以等號不成立，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：BC
5．（2023·陜西咸陽·咸陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎?，則的最小值為 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【詳解】由，，
得
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.
故答案為：
6．（2022上·河南·高二校聯(lián)考期末）已知中，點(diǎn)D在線段（不含端點(diǎn)）上，且滿足，則的最小值為 .
【答案】/
【分析】根據(jù)向量共線可得，即可利用基本不等式的乘“1”法求解.
【詳解】∵，由于D在線段（不含端點(diǎn)）上，
故三點(diǎn)共線，所以且，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號，
故有最小值.
故答案為：.
7．（2022上·河南·高三校聯(lián)考專題練習(xí)）若正數(shù)，滿足，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】變形后，利用基本不等式求出最小值.
【詳解】正數(shù)，滿足，
依題意，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，
故的最小值為．
故答案為：．
8．（2024下·湖北·高二應(yīng)城市第一高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知，，其中，，若，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)形式可得的等量關(guān)系，利用基本不等式可求的最小值.
【詳解】因?yàn)?，故即?br>故，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故的最小值為，
故答案為：.
題型十：復(fù)數(shù)的綜合應(yīng)用
1．（2024下·陜西安康·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)，則 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則結(jié)合共軛復(fù)數(shù)概念可得答案.
【詳解】，則.
故選：B
2．（2023·湖南岳陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知為虛數(shù)單位，為實(shí)數(shù)，若，則（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】由復(fù)數(shù)相等可列出方程組求解.
【詳解】由題意，
所以，解得，所以.
故選：D.
3．（2023·湖南岳陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用乘方運(yùn)算和模長計(jì)算可得，可知虛部為.
【詳解】根據(jù)題意可得，
易知的虛部是.
故選：D
4．（2024下·江蘇南通·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）若，且是純虛數(shù)，則（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡得到，結(jié)合是純虛數(shù)，求得，即可求解．
【詳解】設(shè)，則
因?yàn)槭羌兲摂?shù)，可得，即，所以．
故選：B.
5．（2024下·浙江·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)，其中且，則的最小值是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】由復(fù)數(shù)模的幾何意義，問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離.
【詳解】復(fù)數(shù)，其中且，
復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)，在直線上，
的幾何意義是點(diǎn)到點(diǎn)的距離，
其最小值為點(diǎn)到直線的距離，最小值為.
故選：D
6．（2024·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知i為復(fù)數(shù)單位，，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】D
【分析】由復(fù)數(shù)相等求出的值，再由復(fù)數(shù)幾何意義得解.
【詳解】由，則，
由復(fù)數(shù)相等得，
所以在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限.
故選：D
7．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，且滿足，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)運(yùn)算公式化簡求，根據(jù)純虛數(shù)定義列方程求.
【詳解】由題意得，，
因?yàn)閺?fù)數(shù)z為純虛數(shù)，
所以，解得，
故選：A.
第二部分：新定義題
1．（2024上·上?！じ咭簧虾Ｊ薪ㄆ街袑W(xué)校考期末）已知集合是由某些正整數(shù)組成的集合，且滿足：若，則當(dāng)且僅當(dāng)（其中正整數(shù)、且）或（其中正整數(shù)、且）．現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：①；②集合．則下列判斷正確的是（ ）
A．①對②對B．①對②錯(cuò)C．①錯(cuò)②對D．①錯(cuò)②錯(cuò)
【答案】A
【分析】根據(jù)集合的定義即可判斷①是假命題，根據(jù)集合的定義先判斷，，再由，有，，且，所以，可判斷 ②是真命題.
【詳解】因?yàn)槿簦瑒t當(dāng)且僅當(dāng)其中且，或其中且，
且集合是由某些正整數(shù)組成的集合，
所以，，
因?yàn)?，滿足其中且，所以，
因?yàn)?，且，，所以?br>因?yàn)?，，，所以，故①對?br>下面討論元素與集合的關(guān)系，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，，，所以；
當(dāng)時(shí)，，，，所以；
當(dāng)時(shí)，，，，所以；依次類推，
當(dāng)時(shí)，，，，
所以，則，故②對.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于判斷，，，，再根據(jù)集合的定義求解.
2．（2023上·上海嘉定·高一上海市育才中學(xué)校考期中）已知集合P，Q中都至少有兩個(gè)元素，并且滿足下列條件：①集合P，Q中的元素都為正數(shù)；②對于任意，都有；③對于任意，都有；則下列說法正確的是（ ）
A．若P有2個(gè)元素，則Q有3個(gè)元素
B．若P有2個(gè)元素，則有4個(gè)元素
C．若P有2個(gè)元素，則有1個(gè)元素
D．存在滿足條件且有3個(gè)元素的集合P
【答案】C
【分析】若集合中有個(gè)元素，設(shè)，根據(jù)集合中元素的特性和題設(shè)條件進(jìn)行分析推導(dǎo)，可判斷出選項(xiàng)ABC；假若有個(gè)元素，設(shè)，再根據(jù)題設(shè)條件推導(dǎo)分析，可得到中還有第四個(gè)元素，推出矛盾，從而可判斷出D選項(xiàng).
【詳解】若有2個(gè)元素，設(shè)，則，
因?yàn)橹辽儆袀€(gè)元素，所以中除外至少還有一個(gè)元素，
不妨設(shè)，，則，
若，則且，
所以，與假設(shè)矛盾，所以，
所以或，
當(dāng)時(shí)，則，所以，
若，則，與矛盾，所以，同理可知，
所以此時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，則，所以，
若，則，與矛盾，所以，同理可知，
此時(shí)，；
由上可知，當(dāng)有2個(gè)元素，則有個(gè)元素，有個(gè)元素，有個(gè)元素，
故A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤，C正確；
不妨假設(shè)有個(gè)元素，設(shè)，則為互不相等的正數(shù)，
由③可知：，
又因?yàn)闉榛ゲ幌嗟鹊恼龜?shù)，所以也為互不相等的正數(shù)，
由②可知：都是集合的元素，
因?yàn)闉榛ゲ幌嗟鹊恼龜?shù)，所以都是不等于的正數(shù)，所以，
又因?yàn)闉榛ゲ幌嗟鹊恼龜?shù)，所以，
考慮到和，若，則為互不相等的正數(shù)，
又因?yàn)?，所以，所以是與不相等正數(shù)，
因?yàn)槎际羌系脑?，所以集合中至少有個(gè)元素，這與假設(shè)矛盾，
因此考慮的情況，所以，同理可得，所以，
所以，這與集合中元素的互異性矛盾，所以有個(gè)元素不可能成立，故D錯(cuò)誤；
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查元素與集合的關(guān)系以及集合運(yùn)算后集合中元素個(gè)數(shù)的判斷，本題的難點(diǎn)在于如何通過假設(shè)推導(dǎo)出矛盾，解答過程中主要利用集合中元素的互異性去檢驗(yàn)元素，從而達(dá)到確定集合中元素個(gè)數(shù)的目的.
3．（2015上·上海浦東新·高一上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期中）若X是一個(gè)非空集合，M是一個(gè)以X的某些子集為元素的集合，且滿足：①，；②對于X的任意子集A，B，當(dāng)且時(shí)，有；③對于X的任意子集A，B，當(dāng)且時(shí)，有，則稱M是集合X的一個(gè)“M-集合類”.例如：是集合得一個(gè)“M—集合類”.若，則所有含的“M—集合類”的個(gè)數(shù)為（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】D
【分析】確定M中一定含有，再分類討論，一一列舉出能含有的其他元素，綜合即可得答案.
【詳解】的子集有，
由題意知M中一定含有，
則M中可以含有的其他元素從剩余的5個(gè)集合中選??；
當(dāng)剩余的5個(gè)集合都不選時(shí)，，共1個(gè)；
當(dāng)只取1個(gè)時(shí)，或，
或，滿足題意，此時(shí)M有3個(gè)；
當(dāng)取2個(gè)時(shí)，或，
或，滿足題意，此時(shí)M有3個(gè)；
當(dāng)取3個(gè)時(shí)，或，
或或，滿足題意，此時(shí)M有4個(gè)；
當(dāng)取4個(gè)時(shí)，沒有符合題意的情況；
當(dāng)5個(gè)全選時(shí)，，共1個(gè)，
故所有含的“M—集合類”的個(gè)數(shù)為，
故選：D
4．（2023上·上海浦東新·高一校考期中）已知有限集，如果A中的元素滿足，就稱A為“完美集”.
①集合是“完美集”；
②若、是兩個(gè)不同的正數(shù)，且是“完美集”，則、至少有一個(gè)大于2；
③二元“完美集”有無窮多個(gè)；
④若，則“完美集”A有且只有一個(gè)，且.
其中正確的結(jié)論是 （填上你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號）
【答案】①②③④
【分析】根據(jù)題設(shè)中的“完美集”的定義，結(jié)合集合的運(yùn)算，以及一元二次方程的性質(zhì)，可判定①②③正確；設(shè)A中，得到，分和，兩種情況分類討論，可判定④正確.
【詳解】對于①中，，，
集合是“完美集”，所以①正確；
對于②中，若、是兩個(gè)不同的正數(shù)，且是“完美集”，
設(shè)，
根據(jù)根和系數(shù)的關(guān)系和相當(dāng)于的兩根，
由，解得或（舍去），所以，
所以、至少有一個(gè)大于2，所以②正確；
對于③中，由②知，一元二次方程，當(dāng)t取不同的值時(shí)，的值是不同的，
所以二元“完美集”有無窮多個(gè)，所以③正確；
對于④中，不妨設(shè)A中，
由，得，
當(dāng)時(shí)，即有，所以，于是，無解，
即不存在滿足條件的“完美集”；
當(dāng)時(shí)，，故只能，，求得，
于是“完美集”A只有一個(gè)，為．
當(dāng)時(shí)，由，即有，
事實(shí)上，，矛盾，
所以當(dāng)時(shí)不存在完美集，所以④正確.
故答案為：①②③④.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：新定義有關(guān)的問題的求解策略：
①通過給出一個(gè)新的數(shù)列的定義，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；
(2)若集合A具有性質(zhì)，且A中所有元素能構(gòu)成等比數(shù)列，中所有元素也能構(gòu)成等比數(shù)列，求集合A中的元素個(gè)數(shù)的最大值：
(3)若集合A具有性質(zhì)，且中的所有元素能構(gòu)成等比數(shù)列.問：集合A中的元素個(gè)數(shù)是否存在最大值?若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)具有性質(zhì)；不具有性質(zhì).
(2)3
(3)存在，4
【分析】（1）將集合，進(jìn)行計(jì)算，得出集合中的元素個(gè)數(shù)即可知具有性質(zhì)；不具有性質(zhì).
（2）利用等比數(shù)列性質(zhì)和集合性質(zhì)的定義，即可得集合中的元素個(gè)數(shù)最大值為3；
（3）根據(jù)集合具有的性質(zhì)的定義，對集合中的元素個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論，再由集合元素的互異性得出矛盾即可求出中的元素個(gè)數(shù)最大值是4.
【詳解】（1）具有性質(zhì)；不具有性質(zhì).
若，則，恰有個(gè)元素，所以具有性質(zhì)；
若，，有5個(gè)元素，，不具有性質(zhì).
（2）當(dāng)中的元素個(gè)數(shù)時(shí)，因?yàn)橹兴性啬軜?gòu)成等比數(shù)列，
不妨設(shè)元素依次為構(gòu)成等比數(shù)列，則，其中互不相同.
于是這與具有性質(zhì)，中恰有個(gè)元素，即任取中兩個(gè)不同元素組成組合的兩個(gè)數(shù)其積的結(jié)果互不相同相矛盾.
當(dāng)中的元素個(gè)數(shù)恰有3個(gè)時(shí)，取時(shí)滿足條件，
所以集合中的元素個(gè)數(shù)最大值為3.
（3）因?yàn)?，不妨設(shè)，
所以.
（1）當(dāng)時(shí)，構(gòu)成等比數(shù)列，
所以，即，其中互不相同.
這與中恰有個(gè)元素，即任取中兩個(gè)不同元素組成組合的兩個(gè)數(shù)其積的結(jié)果互不相同相矛盾.
（2）當(dāng)時(shí)，構(gòu)成等比數(shù)列，第3項(xiàng)是或.
① 若第3項(xiàng)是，則，即，
所以，與題意矛盾.
② 若第3項(xiàng)是，則，即，
所以成等比數(shù)列，設(shè)公比為，則中等比數(shù)列的前三項(xiàng)為：
，其公比為，第四項(xiàng)為，第十項(xiàng)為.
(ⅰ)若第四項(xiàng)為，則，得，
又，得，此時(shí)中依次為
顯然，不合題意.
(ⅱ)若第四項(xiàng)為，則，得，又，得，
此時(shí)中依次為，顯然，不合題意.
因此，.
取滿足條件.
所以中的元素個(gè)數(shù)最大值是4.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于“新定義”的題目關(guān)鍵在于充分理解定義的本質(zhì)，把新定義與高中已學(xué)內(nèi)容建立聯(lián)系，靈活運(yùn)用類比、歸納、分類討論等數(shù)學(xué)思想才能將問題解決.
7．（2018上·北京西城·高一北京市第三十五中學(xué)?？计谥校τ诤瘮?shù)，若，則稱為的“不動(dòng)點(diǎn)”；若，則稱為的“穩(wěn)定點(diǎn)”．函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別記為和，即，．
(1)設(shè)函數(shù)，求集合和；
(2)求證：；
(3)設(shè)函數(shù)，且，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，直接解方程、，可得出集合、；
（2）分、兩種情況討論，第一種情況直接驗(yàn)證即可；在第二種情況下，任取，由“穩(wěn)定點(diǎn)”和“不動(dòng)點(diǎn)”的定義證得，即可得出結(jié)論；
（3）分、兩種情況討論，在第一種情況下，推導(dǎo)出，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可得出，從而得出；在第二種情況下，推導(dǎo)出，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可得出，從而得出.綜合可證得結(jié)論成立.
【詳解】（1）解：由，可得，即，
由，解得，即.
故當(dāng)時(shí)，.
（2）證明：當(dāng)，則成立，
若，對任意的，，則，所以，，
因此，.
綜上所述，.
（3）證明：因?yàn)?，則關(guān)于的方程無實(shí)解，
即方程無實(shí)解，則，
構(gòu)造函數(shù)，
①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒在軸上方，
即對任意的，則恒成立，
則，即恒成立，即；
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒在軸下方，
即對任意的，則恒成立，
則，即恒成立，即.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在證明第三問時(shí)，要注意分、兩種情況分析，確定與之間的大小關(guān)系，進(jìn)而可得出與的大小，從而證出結(jié)論成立.

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