一、知識點梳理
1.冪函數(shù)的定義
一般地，(為有理數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，冪為因變量，指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù).
2.冪函數(shù)的特征：同時滿足一下三個條件才是冪函數(shù)
①的系數(shù)為1；②的底數(shù)是自變量；③指數(shù)為常數(shù).
(3)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)
3.常見的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)：
4．二次函數(shù)的圖像
二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，二次項系數(shù)a的正負(fù)決定圖象的開口方向，對稱軸方程為，頂點坐標(biāo)為.
【常用結(jié)論】
1.冪函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象的畫法如下：
①當(dāng)時，其圖象可類似畫出；
②當(dāng)時，其圖象可類似畫出；
③當(dāng)時，其圖象可類似畫出．
2．實系數(shù)一元二次方程的實根符號與系數(shù)之間的關(guān)系
（1）方程有兩個不等正根
（2）方程有兩個不等負(fù)根
（3）方程有一正根和一負(fù)根，設(shè)兩根為
二、題型分類精講
題型一 冪函數(shù)的定義與圖像
策略方法 若冪函數(shù)y＝xα(α∈Z)是偶函數(shù)，則α必為偶數(shù)．當(dāng)α是分?jǐn)?shù)時，一般將其先化為根式，再判斷．
【典例1】已知冪函數(shù)滿足，則的值為（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)出冪函數(shù)的解析式，根據(jù)已知，求出參數(shù)的關(guān)系式，即可計算作答.
【詳解】依題意，設(shè)，則，
所以.
故選：B
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．現(xiàn)有下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中冪函數(shù)的個數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義逐個辨析即可
【詳解】冪函數(shù)滿足形式，故，滿足條件，共2個
故選：B
2．已知為冪函數(shù)， 且， 則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)冪函數(shù)及求其解析式，進(jìn)而求.
【詳解】因為為冪函數(shù)，
設(shè)，則，
所以，可得，則.
故選：B
3．下列冪函數(shù)中，定義域為R的冪函數(shù)是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用分?jǐn)?shù)指數(shù)式與根式的互化，結(jié)合具體函數(shù)的定義域的求法逐項分析即可求出結(jié)果.
【詳解】A，則需要滿足，即，所以函數(shù)的定義域為，故A不符合題意；
B，則需要滿足，所以函數(shù)的定義域為，故B不符合題意；
C，則需要滿足，所以函數(shù)的定義域為，故C不符合題意；
D，故函數(shù)的定義域為，故D正確；
故選：D.
4．已知冪函數(shù)的圖像過點，則 的值域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】先求出冪函數(shù)解析式，根據(jù)解析式即可求出值域.
【詳解】冪函數(shù)的圖像過點，
，解得，
，
的值域是.
故選：D.
5．函數(shù)的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用函數(shù)的奇偶性及冪函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行排除可得答案.
【詳解】因為，所以為偶函數(shù)，排除A,B選項；
易知當(dāng)時，為增函數(shù)，且增加幅度較為緩和，所以D不正確.
故選：C.
6．下列函數(shù)中，其圖像如圖所示的函數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項分析即得．
【詳解】由圖象可知函數(shù)為奇函數(shù)，定義域為，且在單調(diào)遞減，
對于A，，定義域為，，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，在單調(diào)遞減，故A正確；
對于B，，定義域為，故B錯誤；
對于C，，定義域為，故C錯誤；
對于D，，定義域為，，函數(shù)為偶函數(shù)，故D錯誤.
故選：A．
7．如圖所示是函數(shù)(且互質(zhì))的圖象，則（ ）
A．是奇數(shù)且B．是偶數(shù)，是奇數(shù)，且
C．是偶數(shù)，是奇數(shù)，且D．是偶數(shù)，且
【答案】C
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)及圖象判斷即可；
【詳解】解：函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，故為奇數(shù)，為偶數(shù)，
在第一象限內(nèi)，函數(shù)是凸函數(shù)，故，
故選：C.
二、填空題
8．函數(shù)的定義域為_______．
【答案】
【解析】將函數(shù)解析式變形為，即可求得原函數(shù)的定義域.
【詳解】，所以，.
因此，函數(shù)的定義域為.故答案為：.
9．設(shè)集合，集合，則________．
【答案】/
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的性質(zhì)，先求出集合A、B，然后根據(jù)交集的定義即可求解.
【詳解】解：因為集合，，
所以，
故答案為：.
10．若函數(shù)的圖像經(jīng)過點與，則m的值為____________．
【答案】81
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象過的點求得參數(shù)，可得函數(shù)解析式，再代入求值即得答案.
【詳解】由題意函數(shù)的圖像經(jīng)過點與，
則，則
故，
故答案為：81
11．冪函數(shù)滿足：任意有，且，請寫出符合上述條件的一個函數(shù)___________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】取，再驗證奇偶性和函數(shù)值即可.
【詳解】取，則定義域為R，且，
，，滿足.
故答案為：.
12．已知函數(shù)若函數(shù)在上不是增函數(shù)，則a的一個取值為___________.
【答案】-2(答案不唯一，滿足或即可)
【分析】作出y=x和y=的圖象，數(shù)形結(jié)合即可得a的范圍，從而得到a的可能取值．
【詳解】y=x和y=的圖象如圖所示：
∴當(dāng)或時，y=有部分函數(shù)值比y=x的函數(shù)值小，
故當(dāng)或時，函數(shù)在上不是增函數(shù)．
故答案為：-2．
題型二 冪函數(shù)的性質(zhì)和綜合應(yīng)用
策略方法
(1)緊扣冪函數(shù)的定義、圖像、性質(zhì)，特別注意它的單調(diào)性在不等式中的作用，這里注意為奇數(shù)時，為奇函數(shù)，為偶數(shù)時，為偶函數(shù).
(2)若冪函數(shù)y＝xα在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則α＞0；若在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則α＜0．
(3)在比較冪值的大小時，必須結(jié)合冪值的特點，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較．
【典例1】函數(shù)同時滿足①對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，都有；②在上是減函數(shù)，則的值為（ ）
A．8B．4C．2D．1
【答案】B
【分析】由的值依次求出的值，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)確定，得函數(shù)解析式，計算函數(shù)值．
【詳解】，，，代入分別是，
在定義域內(nèi)，即是偶函數(shù)，因此取值或0，
時，在上不是減函數(shù)，
只有滿足，此時，，
．
故選：B．
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，則實數(shù)的值為（ ）
A．3B．2C．1D．1或2
【答案】C
【分析】由題意利用冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，得出結(jié)論．
【詳解】冪函數(shù)為偶函數(shù)，
，且為偶數(shù)，
則實數(shù)，
故選：C
2．冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且在上是增函數(shù)，則的值為（ ）
A．B．C．D．和
【答案】D
【分析】分別代入的值，由冪函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)增減性即可.
【詳解】因為，，
所以當(dāng)時，，由冪函數(shù)性質(zhì)得，在上是減函數(shù)；
所以當(dāng)時，，由冪函數(shù)性質(zhì)得，在上是常函數(shù)；
所以當(dāng)時，，由冪函數(shù)性質(zhì)得，圖象關(guān)于 y 軸對稱,在上是增函數(shù)；
所以當(dāng)時，，由冪函數(shù)性質(zhì)得，圖象關(guān)于 y 軸對稱,在上是增函數(shù)；
故選：D.
3．已知、，則“”是“”的（ ）條件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】利用函數(shù)在上單調(diào)遞增即可判斷出結(jié)論.
【詳解】是奇函數(shù)且為遞增函數(shù)，所以，則，即，同理，，則，函數(shù)單調(diào)遞增，得；
“”是“”的充要條件.
故選：C.
4．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且，則的取值范圍為( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】首先根據(jù)已知條件求出的解析式，再根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性求解即可.
【詳解】由題意可知，，解得，，
故，易知，為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，
又因為，
所以，解得，或.
故的取值范圍為.
故選：C.
5．已知，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用中間值比較a,b的大小，再讓b，c與中間值比較，判斷b,c的大小，即可得解.
【詳解】，又因為通過計算知，所以，即，
又，所以，所以.
故選：B
二、多選題
6．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則下列命題正確的有（ ）．
A．函數(shù)的定義域為
B．函數(shù)為非奇非偶函數(shù)
C．過點且與圖象相切的直線方程為
D．若，則
【答案】BC
【分析】先利用待定系數(shù)法求出冪函數(shù)的解析式，寫出函數(shù)的定義域、判定奇偶性，即判定選項A錯誤、選項B正確；設(shè)出切點坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和過點求出切線方程，進(jìn)而判定選項C正確；平方作差比較大小，進(jìn)而判定選項D錯誤.
【詳解】設(shè)，將點代入，
得，則，即，
對于A：的定義域為，即選項A錯誤；
對于B：因為的定義域為，
所以不具有奇偶性，即選項B正確；
對于C：因為，所以，
設(shè)切點坐標(biāo)為，則切線斜率為，
切線方程為，又因為切線過點，
所以，解得，
即切線方程為，即，
即選項C正確；
對于D：當(dāng)時，
，
即成立，即選項D錯誤．
故選：BC．
7．已知函數(shù)是冪函數(shù)，對任意，，且，滿足.若，，且的值為負(fù)值，則下列結(jié)論可能成立的有（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】BC
【解析】首先根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)，求得的兩個值，然后根據(jù)題意判斷函數(shù)在上是增函數(shù)，確定的具體值，再結(jié)合函數(shù)的奇偶性可判斷得正確選項.
【詳解】由于函數(shù)為冪函數(shù)，故，即，解得.當(dāng)時，，當(dāng)時，.由于“對任意，且，滿足”知，函數(shù)在上為增函數(shù)，故.
易見，故函數(shù)是單調(diào)遞增的奇函數(shù).
由于，即，得，所以，此時，若當(dāng)時，，故；當(dāng)時，，故，故；當(dāng)時，由知，，故或或，即或或.
綜上可知，，且或或.
故選：BC.
【點睛】本題解題關(guān)鍵是熟知冪函數(shù)定義和性質(zhì)突破參數(shù)m，再綜合應(yīng)用奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)確定和的符號情況.
三、填空題
8．已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，在上遞增的，且滿足.請寫出一個滿足條件的的值，__________.
【答案】
【分析】結(jié)合偶函數(shù)和單調(diào)性及可得，答案不是唯一的.
【詳解】因為，所以；
因為在上遞增的，所以；
因為冪函數(shù)是偶函數(shù)，所以的值可以為.
故答案為：.
【點睛】本題主要考查冪函數(shù)的性質(zhì)，冪函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性取決于，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).
9．已知y=f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時， ，則f(-8)的值是____.
【答案】
【分析】先求，再根據(jù)奇函數(shù)求
【詳解】，因為為奇函數(shù)，所以
故答案為：
【點睛】本題考查根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)值，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.
10．已知函數(shù)，則關(guān)于的表達(dá)式的解集為__________.
【答案】
【分析】利用冪函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可求解.
【詳解】由題意可知，的定義域為，
所以，
所以函數(shù)是奇函數(shù)，
由冪函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在函數(shù)上單調(diào)遞增，
由，得，即，
所以，即，解得，
所以關(guān)于的表達(dá)式的解集為.
故答案為：.
四、解答題
11．已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱．
(1)求的解析式；
(2)求函數(shù)在上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)求出m的值即可；
(2)由(1)求出函數(shù)的解析式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）因為是冪函數(shù)，
所以，解得或．
又的圖像關(guān)于y軸對稱，所以，
故．
（2）由（1）可知，．
因為，所以，
又函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以．
故在上的值域為．
12．已知冪函數(shù)的定義域為R.
(1)求實數(shù)的值；
(2)若函數(shù)在上不單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由冪函數(shù)定義求得參數(shù)值；
（2）由二次函數(shù)的單調(diào)性知對稱軸在開區(qū)間上，再由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，對數(shù)的定義得結(jié)論．
【詳解】（1）由題意且，解得；
（2）由（1），的對稱軸 ，
因為在上不單調(diào)，所以，
解得．
題型三 二次函數(shù)單調(diào)性問題
策略方法 二次函數(shù)單調(diào)性問題的求解策略
(1)對于二次函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是開口方向與對稱軸的位置，若開口方向或?qū)ΨQ軸的位置不確定，則需要分類討論求解．
(2)利用二次函數(shù)的單調(diào)性比較大小，一定要將待比較的兩數(shù)通過二次函數(shù)的對稱性轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上比較．
【典例1】“函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分且必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性以及充分且必要條件的概念可得答案.
【詳解】由函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，可得，即；
由，得，得函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，
所以“函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)”是“”的充分且必要條件.
故選：C
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．若二次函數(shù)，滿足，則下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先根據(jù)，判斷出二次函數(shù)的對稱軸，然后再根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.
【詳解】因為，所以二次函數(shù)的對稱軸為，
又因為，所以，
又，所以.
故選：B.
2．已知在為單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出的單調(diào)性，從而得到.
【詳解】在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故要想在為單調(diào)函數(shù)，需滿足，
故選：D
3．已知二次函數(shù)的兩個零點都在區(qū)間內(nèi)，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸與單調(diào)區(qū)間，結(jié)合已知可得到關(guān)于a的不等式，進(jìn)而求解.
【詳解】二次函數(shù)，對稱軸為，開口向上，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
要使二次函數(shù)的兩個零點都在區(qū)間內(nèi)，
需，解得
故實數(shù)a的取值范圍是
故選：C
4．已知函數(shù)，若函數(shù)在R上為減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)單調(diào)性的定義，建立關(guān)于a的不等式組，解不等式組即可得答案.
【詳解】解：因為函數(shù)在R上為減函數(shù)，
所以，解得，
所以實數(shù)a的取值范圍為，
故選：B.
二、填空題
5．若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為 __．
【答案】
【分析】根據(jù)一元二次函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合條件，可知，然后求出的取值范圍即可.
【詳解】易知二次函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，
又因為函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，
所以，
即，解得.
故答案為：.
6．若函數(shù)滿足下列性質(zhì)：
（1）定義域為，值域為；
（2）圖象關(guān)于直線對稱；
（3）對任意的，且，都有．
寫出函數(shù)的一個解析式：_______．
【答案】（不唯一）
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性、值域及單調(diào)性可得一個符合條件的函數(shù)式.
【詳解】由二次函數(shù)的對稱性、值域及單調(diào)性可得解析式，
此時對稱軸為，開口向上，滿足（），
因為對任意，，且，都有，
等價于在上單調(diào)減，
∴，滿足（），
又，滿足（），
故答案為：（不唯一）．
7．若定義在R上的二次函數(shù)f(x)=ax2-4ax+b在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),且f(m)≥f(0),則實數(shù)m的取值范圍是_____________.
【答案】[0,4]
【分析】可先求出二次函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)函數(shù)的增減性及對稱性可求得m的取值范圍．
【詳解】二次函數(shù)的對稱軸，時函數(shù)單調(diào)遞增，，二次函數(shù)開口向下，函數(shù)單調(diào)遞減，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，，f(m)≥f(0)，
【點睛】二次函數(shù)是對稱函數(shù)，解題時，一定要根據(jù)對稱性來解題，防止漏解錯解．
題型四 二次函數(shù)最值問題
策略方法 二次函數(shù)最值問題的類型及解題思路
(1)類型：
①對稱軸、區(qū)間都是給定的；
②對稱軸動、區(qū)間固定；
③對稱軸定、區(qū)間變動．
(2)解決這類問題的思路：抓住“三點一軸”數(shù)形結(jié)合，“三點”是指區(qū)間兩個端點和中點，“一軸”指的是對稱軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想解決問題．
【典例1】若函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1，2]上有最大值4，則a的值為( )
A．B．－3C．或－3D．4
【答案】C
【分析】按分類討論求的最大值，然后由最大值為4得參數(shù)值．
【詳解】由題意得f(x)＝a(x＋1)2＋1－a．①當(dāng)a＝0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，2]上的值為常數(shù)1，不符合題意，舍去；
②當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，2]上是增函數(shù)，最大值為f(2)＝8a＋1＝4，解得；
③當(dāng)a

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