TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc13894" 第一部分：基礎(chǔ)知識 PAGEREF _Tc13894 \h 1
\l "_Tc440" 第二部分：高頻考點一遍過 PAGEREF _Tc440 \h 2
\l "_Tc12099" 高頻考點一：周長（邊長）定值（求周長） PAGEREF _Tc12099 \h 2
\l "_Tc21803" 高頻考點二：周長（邊長）定值（求邊的代數(shù)和） PAGEREF _Tc21803 \h 3
\l "_Tc32068" 高頻考點三：周長（邊長）最值（周長最值） PAGEREF _Tc32068 \h 4
\l "_Tc1851" 高頻考點四：周長（邊長）最值（邊的代數(shù)和最值） PAGEREF _Tc1851 \h 6
\l "_Tc13191" 高頻考點五：周長（邊長）取值范圍（周長取值范圍） PAGEREF _Tc13191 \h 7
\l "_Tc7484" 高頻考點六：周長（邊長）取值范圍（邊的代數(shù)和取值范圍） PAGEREF _Tc7484 \h 8
\l "_Tc27836" 頻考點七：周長（邊長）取值范圍（銳角三角形中周長（邊長）取值范圍） PAGEREF _Tc27836 \h 10
第一部分：基礎(chǔ)知識
1、基本不等式
核心技巧：利用基本不等式，在結(jié)合余弦定理求周長取值范圍；
2、利用正弦定理化角
核心技巧：利用正弦定理，，代入周長（邊長）公式，再結(jié)合輔助角公式，根據(jù)角的取值范圍，求周長（邊長）的取值范圍.
第二部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：周長（邊長）定值（求周長）
典型例題
例題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，角所對的邊分別為的外接圓半徑為，且．
(1)求的值；
(2)若的面積為，求的周長．
例題2．（2024·湖南常德·三模）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．
(1)求角；
(2)若，，成等差數(shù)列，且的面積為，求的周長．
【答案】(1)
(2)15
練透核心考點
1．（23-24高一下·天津靜?！るA段練習(xí)）在中，角、、所對的邊分別為、、，已知.
(1)求角的大??；
(2)若，且，求的周長.
2．（23-24高一下·云南昆明·階段練習(xí)）在中，角所對的邊分別為，且．
(1)求；
(2)已知的面積為，設(shè)為的中點，且，求的周長．
高頻考點二：周長（邊長）定值（求邊的代數(shù)和）
典型例題
例題1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知的面積．
(1)求；
(2)若，，求．
例題2．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）在中，角，，所對的邊分別為，，，的面積為，且.
(1)求角的大??；
(2)若外接圓的半徑為1，邊上的高為，求的值.
練透核心考點
1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知的面積．
(1)求；
(2)若,，求．
2．（23-24高三上·廣東湛江·期末）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，.
(1)求角A；
(2)作角A的平分線與交于點，且，求.
高頻考點三：周長（邊長）最值（周長最值）
典型例題
例題1．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測）中，D為BC邊的中點，.
(1)若的面積為，且，求的值；
(2)若，求的周長的最大值.
例題2．（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）如圖，中，角、、的對邊分別為、、.
(1)若，求角的余弦值大??；
(2)已知、，若為外接圓劣弧上一點，求周長的最大值.
練透核心考點
1．（23-24高三下·廣東·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，．
(1)若，證明：；
(2)若，求周長的最大值．
2．（23-24高三上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且的面積為
(1)求；
(2)求周長的最小值.
高頻考點四：周長（邊長）最值（邊的代數(shù)和最值）
典型例題
例題1．（23-24高三上·安徽·階段練習(xí)）記的角的對邊分別為，且．
(1)求；
(2)若，求的最小值．
例題2．（23-24高三上·福建福州·期中）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè).
(1)求A；
(2)若AD為∠BAC的角平分線，且，求的最小值.
練透核心考點
1．（23-24高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對邊分別為，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若的中點為且，，請寫出與的關(guān)系式，并求出的最大值.
2．（22-23高一下·安徽六安·期末）從條件①；②中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答.在中：內(nèi)角的對邊分別為，______.
(1)求角的大??；
(2)設(shè)為邊的中點，求的最大值.
高頻考點五：周長（邊長）取值范圍（周長取值范圍）
典型例題
例題1．（23-24高一下·河南商丘·階段練習(xí)）設(shè)銳角三角形的內(nèi)角的對邊分別為，，，已知，且．
(1)求的值；
(2)若為的延長線上一點，且，求三角形周長的取值范圍．
例題2．（23-24高三上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）的三個內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，設(shè)向量，，且.
(1)求角C的大??；
(2)若，求周長的取值范圍.
例題2．（23-24高一下·浙江寧波·階段練習(xí)）在銳角中，已知.
(1)求；
(2)求的取值范圍.
例題3．（23-24高一上·浙江紹興·期末）在中，內(nèi)角對應(yīng)的邊分別為，，，若.
(1)證明：；
(2)求的取值范圍.
練透核心考點
1．（23-24高一下·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）在中，已知，且.
(1)試確定的形狀；
(2)求的值．
2．（22-23高一下·江蘇·階段練習(xí)）在銳角三角形中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．
(1)求角B的值；
(2)若，求的取值范圍．
3．（23-24高三上·黑龍江牡丹江·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.
(1)求；
(2)若為的內(nèi)心，求的取值范圍.
頻考點七：周長（邊長）取值范圍（銳角三角形中周長（邊長）取值范圍）
典型例題
例題1．（23-24高一下·河南洛陽·階段練習(xí)）在中，角的對邊分別為，且．
(1)求角的大?。?br>(2)若為銳角三角形，且，求周長的取值范圍．
例題2．（23-24高三下·黑龍江·階段練習(xí)）已知在銳角三角形中，邊，，對應(yīng)角，向量，，且與垂直，．
(1)求角；
(2)求的取值范圍．
例題3．（2023·四川成都·一模）已知函數(shù).在銳角中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足.
(1)求A的值；
(2)若，求的取值范圍.
練透核心考點
1．（2023·全國·模擬預(yù)測）在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.
(1)證明：；
(2)求的取值范圍.
2．（23-24高三上·安徽·階段練習(xí)）在銳角中，內(nèi)角所對的邊分別為，且.
(1)證明：；
(2)若，求的周長的取值范圍.
3．（22-23高三上·浙江麗水·期末）已知銳角內(nèi)角的對邊分別為.若.
(1)求；
(2)若，求的范圍.
第09講 拓展四：三角形中周長（定值，最值，取值范圍）問題
目錄
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc13894" 第一部分：基礎(chǔ)知識 PAGEREF _Tc13894 \h 1
\l "_Tc440" 第二部分：高頻考點一遍過 PAGEREF _Tc440 \h 1
\l "_Tc12099" 高頻考點一：周長（邊長）定值（求周長） PAGEREF _Tc12099 \h 1
\l "_Tc21803" 高頻考點二：周長（邊長）定值（求邊的代數(shù)和） PAGEREF _Tc21803 \h 5
\l "_Tc32068" 高頻考點三：周長（邊長）最值（周長最值） PAGEREF _Tc32068 \h 8
\l "_Tc1851" 高頻考點四：周長（邊長）最值（邊的代數(shù)和最值） PAGEREF _Tc1851 \h 11
\l "_Tc13191" 高頻考點五：周長（邊長）取值范圍（周長取值范圍） PAGEREF _Tc13191 \h 15
\l "_Tc7484" 高頻考點六：周長（邊長）取值范圍（邊的代數(shù)和取值范圍） PAGEREF _Tc7484 \h 20
\l "_Tc27836" 頻考點七：周長（邊長）取值范圍（銳角三角形中周長（邊長）取值范圍） PAGEREF _Tc27836 \h 27
第一部分：基礎(chǔ)知識
1、基本不等式
核心技巧：利用基本不等式，在結(jié)合余弦定理求周長取值范圍；
2、利用正弦定理化角
核心技巧：利用正弦定理，，代入周長（邊長）公式，再結(jié)合輔助角公式，根據(jù)角的取值范圍，求周長（邊長）的取值范圍.
第二部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：周長（邊長）定值（求周長）
典型例題
例題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，角所對的邊分別為的外接圓半徑為，且．
(1)求的值；
(2)若的面積為，求的周長．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)輔助角公式結(jié)合已知即可得解；
（2）由（1）求出，再根據(jù)正弦定理可得出的關(guān)系，再根據(jù)三角形的面積公式求出邊長，即可得解.
【詳解】（1）由，結(jié)合正弦定理，
得，化簡得，
因為，且不同時為鈍角，則，
所以，
又，所以，因此；
（2）由（1）知，
則，
由正弦定理得，
令，則，
則，解得，
因此的周長為．
例題2．（2024·湖南常德·三模）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．
(1)求角；
(2)若，，成等差數(shù)列，且的面積為，求的周長．
【答案】(1)
(2)15
【分析】（1）先利用正弦定理角化邊得出；再結(jié)合余弦定理得出即可求解.
（2先根據(jù)，，成等差數(shù)列得出；再利用三角形的面積公式得出；最后結(jié)合(1)中的，求出，，即可解答.
【詳解】（1）因為，
由正弦定理可得：.
由余弦定理可得：.
又因為，
所以.
（2）由,,成等差數(shù)列可得：①.
因為三角形的面積為，，
，即②.
由(1)知：③
由①②③解得：.
，
故三角形的周長為15.
練透核心考點
1．（23-24高一下·天津靜海·階段練習(xí)）在中，角、、所對的邊分別為、、，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，且，求的周長.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理及特殊角的三角函數(shù)值求解即可；
（2）根據(jù)三角形面積公式和余弦定理求解，即可求解三角形的周長.
【詳解】（1）由正弦定理得，
因為，則，所以，所以，
因為，所以；
（2）因為，且，所以，
由余弦定理可得，
所以，解得，
因此周長為.
2．（23-24高一下·云南昆明·階段練習(xí)）在中，角所對的邊分別為，且．
(1)求；
(2)已知的面積為，設(shè)為的中點，且，求的周長．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由正弦定理及三角恒等變換化簡即可得解；
（2）由中線的向量表示平方后化簡，由三角形面積公式可求出，再由余弦定理求出即可.
【詳解】（1）由題意知中，，
由正弦定理邊角關(guān)系得：
，
所以，
因，所以，
所以，所以，
又，
所以，即．
（2）在中，為中線，，
，
，
，
，
，
，的周長為．
高頻考點二：周長（邊長）定值（求邊的代數(shù)和）
典型例題
例題1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知的面積．
(1)求；
(2)若，，求．
【答案】(1)；
(2)20.
【分析】（1）由三角形的面積公式和正弦定理求解即可.
（2）由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再由正弦定理求出，最后由余弦定理求解即可.
【詳解】（1）由題意可知，，
由，得，
由正弦定理可知，，
由，得，即
（或
由正弦定理可知：，
因為，所以.）
（2）由，可知角為銳角，
所以，得，，
因為，
由正弦定理得，所以，
由余弦定理，
得
例題2．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）在中，角，，所對的邊分別為，，，的面積為，且.
(1)求角的大?。?br>(2)若外接圓的半徑為1，邊上的高為，求的值.
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）利用三角形面積公式與余弦定理的邊角變換即可得解；
（2）利用正弦定理求得，再利用三角形面積公式求得，從而利用整體法，結(jié)合余弦定理即可得解.
【詳解】（1），
即，即，
所以，又，則.
（2）由外接圓的半徑為1，得，，
邊上的高為，所以，
則，所以，
，，即，
故.
練透核心考點
1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知的面積．
(1)求；
(2)若,，求．
【答案】(1)
(2)12
【分析】（1）由三角形面積公式、正弦定理及同角三角函數(shù)基本關(guān)系得解；
（2）根據(jù)三角恒等變換化簡后由正余弦定理求解即可.
【詳解】（1）由題意可知，，
由正弦定理可知：，
因為，所以.
（2）由，可知角為銳角，
所以，得，，
所以，
由，
又，得，
由正弦定理得，所以，
由余弦定理，
得.
2．（23-24高三上·廣東湛江·期末）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，.
(1)求角A；
(2)作角A的平分線與交于點，且，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理邊角互化，化簡后利用正切值求角即得；
（2）充分利用三角形的角平分線將三角形面積進(jìn)行分割化簡得，再運用余弦定理解方程即得.
【詳解】（1）因，由正弦定理可得：，
即.
因，故，則有，即，
因，故.
（2）因為為角平分線，所以，
所以.
因，，，則，
即，所以.
又由余弦定理可得：，
把，分別代入化簡得：，
解得：或（舍去），所以.
高頻考點三：周長（邊長）最值（周長最值）
典型例題
例題1．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測）中，D為BC邊的中點，.
(1)若的面積為，且，求的值；
(2)若，求的周長的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】
（1）根據(jù)三角形的面積之和等于的面積，求得，結(jié)合余弦定理求得，再由正弦定理即可求得；
（2）根據(jù)，結(jié)合已知條件求得，再利用不等式即可求得三角形周長的最大值.
【詳解】（1）設(shè)，由，即，解得；
在中，，由余弦定理得，，
即，解得；
由正弦定理得：，即，解得.
（2）設(shè)，，
則中，，
中，，
因為，，所以，即；
由得，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號；
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，
即的周長的最大值為.
例題2．（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）如圖，中，角、、的對邊分別為、、.
(1)若，求角的余弦值大??；
(2)已知、，若為外接圓劣弧上一點，求周長的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理化邊為角，利用三角形內(nèi)角和定理與和角的正弦公式化簡即得；
（2）由余弦定理得到的關(guān)系式，利用基本不等式求得，即得周長的最大值.
【詳解】（1）在中，由及正弦定理，得即，
則，整理得，而，即.
（2）在中，，
由余弦定理得，即，
于是，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以當(dāng)時，周長取得最大值.
練透核心考點
1．（23-24高三下·廣東·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，．
(1)若，證明：；
(2)若，求周長的最大值．
【答案】(1)證明見解析
(2)6
【分析】（1）利用余弦定理結(jié)合題設(shè)可得，再利用正弦定理邊化角，即可證明結(jié)論；
（2）由可推出，利用基本不等式可推出，即可求得周長的最大值.
【詳解】（1）證明：由余弦定理知和，
得，
又，則，
結(jié)合正弦定理得，
；
（2）由（1）知，又，
故，即，
，所以，
則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
故，即周長的最大值為6.
2．（23-24高三上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且的面積為
(1)求；
(2)求周長的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知條件結(jié)合余弦定理求出，得角；
（2）由的面積求出，余弦定理得，由基本不等式求周長的最小值.
【詳解】（1）由，得，
即，則，
由，得.
（2），得，
由余弦定理，有，得，
周長，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以周長的最小值為.
高頻考點四：周長（邊長）最值（邊的代數(shù)和最值）
典型例題
例題1．（23-24高三上·安徽·階段練習(xí)）記的角的對邊分別為，且．
(1)求；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）利用正弦定理化角為邊，再根據(jù)余弦定理即可得解；
（2）先利用正弦定理求出，再根據(jù)二倍角公式和商數(shù)關(guān)系結(jié)合基本不等式即可得出答案.
【詳解】（1）因為，由正弦定理得：，
即，
由余弦定理得：，
因為，所以；
（2）由正弦定理：，
，
則，
又因為代入得：
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最小值為3．
例題2．（23-24高三上·福建福州·期中）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè).
(1)求A；
(2)若AD為∠BAC的角平分線，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)9
【分析】（1）首先根據(jù)正弦定理將角轉(zhuǎn)化成邊，然后再根據(jù)余弦定理求解即可；
（2）首先根據(jù)已知條件結(jié)合等面積的關(guān)系求出，然后再根據(jù)均值定理進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1），
即：，
由正弦定理可得：，
所以，
又因為，所以.
（2）為的角平分線，.
由，得，
又，所以，故，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，的最小值為9.
練透核心考點
1．（23-24高三上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對邊分別為，，，且.
(1)求角的大??；
(2)若的中點為且，，請寫出與的關(guān)系式，并求出的最大值.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用正弦定理及兩角和得正弦公式即可求得，結(jié)合角的范圍可知；
（2）依題意在中由正弦定理可得，即可得，利用輔助角公式可知，結(jié)合角的范圍及三角函數(shù)單調(diào)性可得的最大值為.
【詳解】（1）因為，由正弦定理得，
即可得，
所以，
又，所以，所以，
又，所以；
（2）如下圖所示：

依題意，
則在中，由知，
又，利用正弦定理得，
所以，，
又，所以，，
所以
，
因為，所以，根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性可知，
所以，
即的最大值為.
2．（22-23高一下·安徽六安·期末）從條件①；②中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答.在中：內(nèi)角的對邊分別為，______.
(1)求角的大??；
(2)設(shè)為邊的中點，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若選①，利用正弦定理邊化角，結(jié)合輔助角公式可整理得到，由角的范圍可求得；
若選②，利用二倍角和輔助角公式可化簡求得，由角的范圍可求得；
（2）由，平方后可用表示出，結(jié)合基本不等式可求得最大值.
【詳解】（1）若選條件①：由正弦定理得：，
，
，，，
即，，
又，，，解得：；
若選條件②：，
，，
，，，解得：.
（2）
，，
即，
（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），
的最大值為.
高頻考點五：周長（邊長）取值范圍（周長取值范圍）
典型例題
例題1．（23-24高一下·河南商丘·階段練習(xí)）設(shè)銳角三角形的內(nèi)角的對邊分別為，，，已知，且．
(1)求的值；
(2)若為的延長線上一點，且，求三角形周長的取值范圍．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得，即可得結(jié)果；
（2）在中，可得，，在中，利用正弦定理結(jié)合三角函數(shù)可得，進(jìn)而可得結(jié)果.
【詳解】（1）因為，
由正弦定理可得，
則，整理得，
由正弦定理可得，即，
且，所以.
（2）在中，由題意可知：，，
可知，
由余弦定理可得，即，
在中，由正弦定理，
可得，
因為且為銳角三角形，則，解得，
則，可得，所以，
且三角形周長為，
所以三角形周長的取值范圍為.
例題2．（23-24高三上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）的三個內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，設(shè)向量，，且.
(1)求角C的大??；
(2)若，求周長的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)向量平行的坐標(biāo)形式，得到邊和角之間的等式關(guān)系，根據(jù)正弦定理將角化為邊，解得邊之間關(guān)系，再根據(jù)余弦定理即可求解；
（2）由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求周長為：，由，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）由題知向量，，且.
所以，由正弦定理可得，
所以，所以，因為，所以；
（2）因為，，，
所以，，
所以.
因為，所以，所以，
所以，
所以，即周長的取值范圍為.
練透核心考點
1．（22-23高二上·湖南岳陽·期末）在①，②，③三個條件中任選一個補充在下列問題中，并解決該問題.
在中，角所對的邊分別為，__________，且.求：
(1)；
(2)周長的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）選①由三角恒等變換可得求出角，選②由三角形面積公式及數(shù)量積公式化簡得出即可求解，選③轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，利用正弦定理、余弦定理求出得解；
（2）由正弦定理及三角恒等變換可得，利用正弦函數(shù)的值域求范圍即可得解.
【詳解】（1）若選①
，由正弦定理得：
，
，
，，
，
.
若選②
，
，，
，.
若選③
，
，
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
，.
（2）,
，
，，
，，
即，所以△ABC周長的取值范圍.
2．（22-23高一下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角的對邊分別為，若的角平分線交于點D．

(1)若，求的長度；
(2)若為銳角三角形，且的角平分線交于點E，且與交于點O，求周長的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）由關(guān)系，結(jié)合面積公式列方程求解；
（2）由正弦定理化邊為角，結(jié)合三角恒等變換化簡求，結(jié)合正弦定理利用角表示，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)求的范圍，由此可得結(jié)論.
【詳解】（1）因為為的角平分線，，
所以，
因為
所以，
所以.
（2）在中，由正弦定理得，，
所以，
又，則，
又，所以，又，則.
在，由正弦定理得，，
所以
，
因為是銳角三角形，所以，于是，
則，所以，
所以，從而，
所以三角形周長的取值范圍為.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第二問的關(guān)鍵是首先是求出，再利用正弦定理和三角恒等變換得到，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)得到其值域，則得到周長的范圍.
高頻考點六：周長（邊長）取值范圍（邊的代數(shù)和取值范圍）
典型例題
例題1．（23-24高一下·湖南衡陽·階段練習(xí)）在中，角，，的對邊分別是，，，且.
(1)求的大小；
(2)設(shè)的中點為，且，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式得到，即可得到，再由輔助角公式計算可得；
（2）設(shè)，則，則，利用正弦定理表示出、，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù)，利用三角恒等變換公式化簡，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.
【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，
所以，
即，
則.
因為，所以，即，
所以，
又，所以，
所以，解得.
（2）設(shè)，則，則，
根據(jù)正弦定理可得，
所以，，
所以
，
由，得，所以，
故的取值范圍為.
例題2．（23-24高一下·浙江寧波·階段練習(xí)）在銳角中，已知.
(1)求；
(2)求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）利用正弦定理邊化角，再借助三角函數(shù)和差角公式化簡可解；
（2）利用正弦定理邊化角，再借助輔助角公式化簡求范圍.
【詳解】（1）由題意，根據(jù)正弦定理可得，
則，展開可得，
.
（2）由正弦定理，
則
，其中，
是銳角三角形，，.
，，
顯然，當(dāng)時，，
.
例題3．（23-24高一上·浙江紹興·期末）在中，內(nèi)角對應(yīng)的邊分別為，，，若.
(1)證明：；
(2)求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用正弦定理，以及余弦定理將條件變形整理可得結(jié)論；
（2）由已知變形可得，然后利用換元法求的取值范圍.
【詳解】（1）解法1：，
即證.
解法2：要證，只要證，
即證
只要證，
因為，所以成立，
故；
（2），
設(shè)
.
練透核心考點
1．（23-24高一下·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）在中，已知，且.
(1)試確定的形狀；
(2)求的值．
【答案】(1)直角三角形；
(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理角化邊化簡已知等式可得，結(jié)合兩角和差的余弦公式以及正弦定理化簡可得，即可推出，從而可判斷三角形形狀；
（2）由（1）可得，運算即可得解.
【詳解】（1）在中，設(shè)其外接圓半徑為R，
根據(jù)正弦定理得，，
代入，得，所以①，
因為，所以，
所以，
由正弦定理，得，所以②，
把②代入①得，，即，
所以是直角三角形；
（2）由（1）知，即，所以，
又，所以，所以.
2．（22-23高一下·江蘇·階段練習(xí)）在銳角三角形中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．
(1)求角B的值；
(2)若，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理邊化角后整理化簡即可；
（2）利用正弦定理得到，則，利用三角公式變形整理，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值.
【詳解】（1）因為，
由正弦定理邊化角可得，
所以，又，
所以，又為銳角，
則；
（2）由正弦定理，
則，
所以，
，
因為在銳角三角形中，得，
所以，
則，
所以的取值范圍為.
3．（23-24高三上·黑龍江牡丹江·階段練習(xí)）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.
(1)求；
(2)若為的內(nèi)心，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理與正余弦兩角和差公式得，從而求解.
（2）結(jié)合（1）及的內(nèi)心作出圖像，求得，并利用正弦定理得，從而求解.
【詳解】（1）由及正弦定理，得：
即：，所以：，
又：，所以：，
又：，所以：，
所以：.
（2）因為，所以，
如圖，連接，因為為的內(nèi)心，所以：，
所以：，
設(shè)，則.
在中，由正弦定理得:，
所以：，
所以：，
其中：，
因為，所以不妨取，
又，所以，其中，
當(dāng)時，取得最大值.
因為，所以，
又，所以，
綜上，的取值范圍是.

頻考點七：周長（邊長）取值范圍（銳角三角形中周長（邊長）取值范圍）
典型例題
例題1．（23-24高一下·河南洛陽·階段練習(xí)）在中，角的對邊分別為，且．
(1)求角的大小；
(2)若為銳角三角形，且，求周長的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行角化邊，然后根據(jù)余弦定理求解出的值，即可求出角；
（2）法一：根據(jù)正弦定理可得，根據(jù)三角恒等變換化簡可得，再根據(jù)的范圍求解即可；法二：過點作，垂足為，根據(jù)直角三角形性質(zhì)結(jié)合圖形分析求解.
【詳解】（1）由正弦定理得，
整理得，所以，
又，所以．
（2）法一：由（1）知，即．
因為為銳角三角形，所以解得．
由正弦定理，得，
則
，
當(dāng)時，，則．
又，
所以，所以，
所以，即，
所以周長的取值范圍是．
法二：（數(shù)形結(jié)合）過點作，垂足為，
在直線上取一點，使，則與均為直角三角形．
為銳角三角形，
點在線段上（不含端點）．
在中，，易得，
，周長為；
在中，，易得，周長為，
所以周長的范圍是．
例題2．（23-24高三下·黑龍江·階段練習(xí)）已知在銳角三角形中，邊，，對應(yīng)角，向量，，且與垂直，．
(1)求角；
(2)求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通過，利用三角恒等變形公式計算即可；
（2）利用正弦定理，將用角表示出來，然后利用的范圍求的取值范圍．
【詳解】（1）因為與垂直，
所以，
即，
即，
即，
即，又，所以，
所以，即；
（2）由正弦定理得
，
根據(jù)三角形是銳角三角形得，
解得，則，所以，
所以，則，
則的取值范圍為.
例題3．（2023·四川成都·一模）已知函數(shù).在銳角中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足.
(1)求A的值；
(2)若，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角恒等變換公式計算可得；
（2）首先由正弦定理和（1）求出，然后用銳角三角形和（1）求出B的取值范圍，最后結(jié)合正切函數(shù)公式計算出結(jié)果.
【詳解】（1）.
由，即.
為銳角三角形，，
.
.
（2）由正弦定理，.
，.
，.
是銳角三角形，
，且.
，，
，
.
.
.
綜上，的取值范圍為.
練透核心考點
1．（2023·全國·模擬預(yù)測）在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.
(1)證明：；
(2)求的取值范圍.
簡得出，進(jìn)而根據(jù)余弦函數(shù)的取值范圍，即可得出答案.
【詳解】（1）由余弦定理可得，.
又，
所以有，
整理可得.
由正弦定理邊化角可得，.
又，
所以，，
整理可得，.
因為為銳角三角形，
所以，，，
所以，，.
（2）由（1）知，，則.
因為為銳角三角形，
所以，，解得.
根據(jù)正弦定理可得，
，.
因為
，
所以，，
，
所以，.
因為，
所以，，
，
所以，，
所以，.
所以，的周長的取值范圍為.
3．（22-23高三上·浙江麗水·期末）已知銳角內(nèi)角的對邊分別為.若.
(1)求；
(2)若，求的范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)正弦定理角化邊后得到條件，再由余弦定理可求出，即可求解；
（2）根據(jù)正弦定理，把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，再根據(jù)角的范圍即可求解.
【詳解】（1）由正弦定理，
，
則，又,
所以
（2）因為，
所以,
則
，
因為三角形為銳角三角形，
所以,解得，
令，所以，
所以.

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