初中數(shù)學(xué)滬教版（五四制）（2024）七年級(jí)上冊(cè)9.16 分組分解法精品練習(xí)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

分層練習(xí)
基礎(chǔ)題
題型一四項(xiàng)2-2分組后兩次提取公因式的類(lèi)型
1．（上?！て吣昙?jí)校聯(lián)考期末）分解因式：x2?xy+ax?ay= ．
【答案】x+ax?y
【分析】前兩項(xiàng)一組，提取公因式x，后兩項(xiàng)一組，提取公因式a，然后兩組之間再提取公因式x?y整理即可．
【詳解】解：x2?xy+ax?ay
=x2?xy+ax?ay
=xx?y+ax?y
=x+ax?y
故答案為：x+ax?y
【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式的因式分解，熟練掌握多項(xiàng)式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法，并會(huì)結(jié)合多項(xiàng)式的特征，靈活選用合適的方法是解題的關(guān)鍵．
2．（上海青浦·七年級(jí)?？计谥校┮蚴椒纸猓?ac?6ad+bc?3bd．
【答案】2a+bc?3d
【分析】先分組,然后根據(jù)提公因式法可進(jìn)行求解．
【詳解】解：2ac?6ad+bc?3bd
=c2a+b?3d2a+b
=2a+bc?3d；
【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解的提公因式法，先分組后提取公因式是解題的關(guān)鍵．
3．（上海青浦·七年級(jí)校考期中）因式分解：7x2?3y+xy?21x．
【答案】(7x+y)(x?3)
【分析】先將多項(xiàng)式進(jìn)行分組，然后分別進(jìn)行因式分解即可．
【詳解】解：7x2?3y+xy?21x
=(7x2+xy)?(3y+21x)
=x(7x+y)?3(7x+y)
=(7x+y)(x?3)．
【點(diǎn)睛】本題考查了分組分解法因式分解．正確將多項(xiàng)式進(jìn)行分組是解題的關(guān)鍵．
4．（上海奉賢·七年級(jí)校聯(lián)考期末）因式分解：a2?b2+2a2b?2ab2
【答案】(a?b)(a+b+2ab)
【分析】分別根據(jù)平方差公式和提公因式法分解即可．
【詳解】解：原式=a+ba?b+2aba?b
=a?ba+b+2ab．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的乘積的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法．因式分解必須分解到每個(gè)因式都不能再分解為止．
題型二四項(xiàng)1-3分組或3-1分組后平方差的類(lèi)型
1．（上?！て吣昙?jí)?？计谥校┓纸庖蚴剑簒2?y2+4y?4= ．
【答案】(x+y?2)(x?y+2)/（x-y+2）（x+y-2）
【分析】先分組成x2?(y2?4y+4)，再利用完全平方公式化為x2?(y?2)2，最后利用平方差公式解答．
【詳解】解：x2?y2+4y?4
=x2?(y2?4y+4)
=x2?(y?2)2
=(x+y?2)(x?y+2)
故答案為：(x+y?2)(x?y+2)．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，涉及分組分解法、完全平方公式、平方差公式等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
2．（上海寶山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）分解因式：x2+4x?21= ．
【答案】(x+7)(x?3)/(x?3)(x+7)
【分析】將原多項(xiàng)式分組變形，利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．
【詳解】解：x2+4x?21
=(x2+4x+4)?25
=(x+2)2?52
=(x+2+5)(x+2?5)
=(x+7)(x?3)，
故答案為：(x+7)(x?3)．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟記公式，靈活運(yùn)用因式分解的方法是解答的關(guān)鍵．
3．（上海寶山·七年級(jí)?？计谀┓纸庖蚴剑篵2?4a2?1+4a．
【答案】b+2a?1b?2a+1
【分析】利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．
【詳解】解：b2?4a2?1+4a
=b2?4a2?4a+1
=b2?2a?12
=b+2a?1b?2a+1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解題的關(guān)鍵．
4．（上海青浦·七年級(jí)?？计谀﹛2+4y?1?4y2
【答案】x+1?2yx?1+2y
【分析】觀察原式特點(diǎn)，先給原式后三項(xiàng)添括號(hào)，利用完全平方公式化為x2?1?2y2，再利用平方差公式分解因式即可解答．
【詳解】解：原式=x2?1?4y+4y2
=x2?1?2y2
=x+1?2yx?1+2y．
【點(diǎn)睛】本題考查了分組分解法、公式法分解因式，熟記完全平方公式和平方差公式，能正確的將多項(xiàng)式分組是解答的關(guān)鍵．
5．（上海嘉定·七年級(jí)上海市育才中學(xué)?？计谀┓纸庖蚴剑簒2?4+4y2?4xy
【答案】（x-2y+2）(x-2y-2)
【分析】先利用分組分解法因式分解，再利用平方差公式因式分解即可.
【詳解】解：原式=（x2+4y2?4xy）?4
=x?2y2?4
=（x-2y+2）(x-2y-2)
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的因式分解，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵.
6．（上海嘉定·七年級(jí)?？计谥校┓纸庖蚴剑??a2+4ab?4b2.
【答案】3+a?2b3?a+2b
【分析】先將多項(xiàng)式分組為9?a2?4ab+4b2，再分別利用完全平方公式和平方差公式分解即可．
【詳解】解：9?a2+4ab?4b2
=9?a2?4ab+4b2
=9?a?2b2
=3+a?2b3?a?2b
=3+a?2b3?a+2b．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解-分組分解，熟練掌握完全平方公式和平方差公式，能根據(jù)多項(xiàng)式特點(diǎn)進(jìn)行適當(dāng)分組是解題關(guān)鍵．
7．（上海·七年級(jí)?？计谥校┮蚴椒纸猓篴2?6ab+9b2?16．
【答案】(a?3b+4)(a?3b?4)
【分析】先把前3項(xiàng)利用利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可．
【詳解】解：原式=a2?6ab+3b2?16
=(a?3b)2?42
=(a?3b+4)(a?3b?4)．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握因式分解的方法是解答本題的關(guān)鍵．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法．
8．（上海普陀·七年級(jí)統(tǒng)考期末）因式分解：1﹣a2﹣4b2+4ab．
【答案】(1+a?2b)(1?a+2b)
【分析】先分組，再逆用完全平方公式、平方差公式進(jìn)行因式分解．
【詳解】解：1﹣a2﹣4b2+4ab
＝1﹣（a2+4b2﹣4ab）
＝1﹣（a﹣2b）2
＝（1+a﹣2b）[1﹣（a﹣2b）]
＝（1+a﹣2b）（1﹣a+2b）．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，涉及分組分解法、逆用完全平方公式、平方差公式等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
題型三四項(xiàng)高次方2-2分組后提取公因式與平方差的運(yùn)用
1．（上?！て吣昙?jí)期末）分解因式：a4+4b2c2?a2b2?4a2c2．
【答案】a+ba?ba+2ca?2c
【分析】利用加法的結(jié)合律和交換律，把整式的第一項(xiàng)和第三項(xiàng)，第四項(xiàng)和第二項(xiàng)分組，提取公因式后再利用公式．
【詳解】解：原式=a4?a2b2?4a2c2?4b2c2
=a2a2?b2?4c2a2?b2
=a2?b2a2?4c2
=a+ba?ba+2ca?2c ．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的因式分解，掌握分組分解法、提取公因式法和公式法是解決本題的關(guān)鍵．解決本題亦可第一與第四、第二與第三項(xiàng)分組．
2．（上海寶山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）分解因式：x3+2x2y?9x?18y
【答案】(x+2y)(x?3)(x+3)
【分析】利用分組分解法分解因式即可．
【詳解】解：x3+2x2y?9x?18y，
=x2(x+2y)?9(x+2y)，
=(x+2y)(x2?9)，
=(x+2y)(x?3)(x+3)．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行分組，熟練運(yùn)用提取公因式和公式法進(jìn)行分解．
3．（上海浦東新·七年級(jí)校聯(lián)考期末）分解因式：xy2?x?y2+1．
【答案】x?1y+1y?1．
【分析】先將因式進(jìn)行分組為xy2?y2?x?1，再綜合利用提公因式法和平方差公式分解因式即可得．
【詳解】解：原式=xy2?y2?x?1
=y2x?1?x?1
=x?1y2?1
=x?1y+1y?1．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題關(guān)鍵．
題型四五項(xiàng)2-3分組提取公因式與十字相乘或完全平方的運(yùn)用的類(lèi)型
1．（上海青浦·七年級(jí)?？计谥校┓纸庖蚴剑簒y+y2+x?y?2
【答案】y+1x+y?2
【分析】分組分解法，十字相乘法，提取公因式法分解因式．
【詳解】xy+y2+x?y?2
=xy+x+y2?y?2=xy+1+y+1y?2=y+1x+y?2．
【點(diǎn)睛】本題考查了分組分解法，十字相乘法，提取公因式法分解因式，熟練掌握分解方法是解題的關(guān)鍵．
2．（上?！て吣昙?jí)校考期中）因式分解：x2+9xy+18y2?3x?9y．
【答案】x+3yx+6y?3
【分析】先將原式進(jìn)行分組，再進(jìn)行因式分解即可．
【詳解】解：原式=x2+9xy+18y2?3x+9y
=x+3yx+6y?3x+3y
=x+3yx+6y?3．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是先將原式進(jìn)行分組，熟練掌握用提取公因式，完全平方公式和十字相乘進(jìn)行因式分解的方法．
3.因式分解：?y2?4x+6y?5．
【答案】(x+y?5)(x?y+1)
【分析】變形為x2?4x+4?y2?6y+9后用完全平方公式和平方差公式進(jìn)行分解因式即可．
【詳解】解：原式=x2?4x+4?y2?6y+9
=(x?2)2?(y?3)2
=(x+y?5)(x?y+1)．
【點(diǎn)睛】本題考查了常見(jiàn)的幾種因式分解的方法，有完全平方公式，平方差公式，分組分解法，十字相乘法，熟練掌握以上分解因式的方法是解題的關(guān)鍵．
題型五重新分組的問(wèn)題
1.因式分解：x2(1+x)2+x2?8(1+x)2．
【答案】x+2x3?6x?4
【分析】現(xiàn)將原式進(jìn)行重新分組，再利用平方差公式進(jìn)行因式分解即可．
【詳解】解：x2(1+x)2+x2?8(1+x)2
=x2(1+x)2?4(1+x)2+x2?4(1+x)2
=(1+x)2x2?4+x+21+xx?21+x
=(1+x)2x+2x?2?3x+2x+2
=x+2(1+x)2x?2?3x+2
=x+2x3?6x?4．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分組分解法進(jìn)行因式分解，正確分組是解題的關(guān)鍵．
2.因式分解：2b3?b2?6b+5a?10ab+3．
【答案】(2b?1)(b2?5a?3)
【分析】根據(jù)分組分解法及提取公因式法直接求解即可得到答案；
【詳解】解：原式=(2b3?b2)+(5a?10ab)?(6b?3)
=b2(2b?1)?5a(2b?1)?3(2b?1)
=(2b?1)(b2?5a?3)．
【點(diǎn)睛】本題考查提取公因式法及分組分解法因式分解，解題的關(guān)鍵是正確分組，提取公因式．
3.因式分解：m2?2mn+n2+6?5m+5n
【分析】先用完全平方公式，再用十字相乘因式分解．
【詳解】m2?2mn+n2+6?5m+5n
=m?n2?5m?n+6
=m?n?2m?n?3
【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是熟悉提取公因式法、公式法分解因式．
4.（湖北襄陽(yáng)期末）因式分解下列多項(xiàng)式：4x2?4x?y2+4y?3．
【答案】2x+y?32x?y+1．
【分析】前兩項(xiàng)加1，后三項(xiàng)減1，分別構(gòu)建完全平方式，然后再運(yùn)用平方差公式因式分解即可．
【詳解】4x2?4x?y2+4y?3
=4x2?4x+1?y2+4y?3?1
=4x2?4x+1?y2?4y+4
=2x?12?y?22
=2x?1+y?22x?1?y?2
=2x+y?32x?y+1
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解中分組分解，靈活根據(jù)公因式或公式法對(duì)原式進(jìn)行合理的分組是解題關(guān)鍵．
5.因式分解：a2?2ab+b2?m2?6mn?9n2．
【答案】a?b?m?3na?b+m+3n．
【分析】首先將原式進(jìn)行分組得到原式=a?b2?m+3n2，再利用公式法分解因式即可．
【詳解】解：a2?2ab+b2?m2?6mn?9n2
=a?b2?m+3n2
=a?b?m?3na?b+m+3n；
【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法．
題型六利用因式分解解決求值問(wèn)題
1．（上?！て吣昙?jí)上海市西延安中學(xué)?？计谥校┤鐖D，邊長(zhǎng)分別為a，b的長(zhǎng)方形，它的周長(zhǎng)為15，面積為10，則3a2b+3ab2= ．
【答案】225
【分析】根據(jù)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)及面積可得出a+b=152，ab=10，將其代入3a2b+3ab2中即可求出結(jié)論．
【詳解】解：∵長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為15，面積為10，
∴a+b=152，ab=10，
∴3a2b+3ab2=3aba+b=3×10×152=225．
故答案為：225．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用以及長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)及面積，根據(jù)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)及面積找出a+b=152，ab=10是解題的關(guān)鍵．
2．（上?！て吣昙?jí)?？计谥校┮阎猘，b，c是三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，a2=33124，c2=33856，那么b2= ．
【答案】33489
【分析】利用平方差公式得到c+ac?a=732，再根據(jù)a、b、c是三個(gè)連續(xù)正整數(shù)得到c?a=2，于是可計(jì)算出c+a=366，然后可得c，從而得到b的值．
【詳解】解：c2?a2=c+ac?a=33856?33124=732，
∵a、b、c是三個(gè)連續(xù)正整數(shù)，
∴c?a=2，
∴c+a=366，
∴c=184，a=182，
∴b=183，
∴b2=33489．
故答案為：33489．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用：利用因式分解解決求值問(wèn)題；利用因式分解解決證明問(wèn)題；利用因式分解簡(jiǎn)化計(jì)算問(wèn)題．
3.已知x2+x?1=0，那么x4+2x3?x2?2x+2023的值為．
【答案】2022
【分析】利用因式分解法將原式進(jìn)行分解，再整體代入即可求解．
【詳解】∵x2+x?1=0，
∴x2+x=1
x4+2x3?x2?2x+2023
=x4+x3+x3+x2?2x2?2x+2023
=x2x2+x+xx2+x?2x2+x+2023
=x2+x?2+2023
=1?2+2023
=2022
故答案為：2022．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
4.已知：a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，則代數(shù)式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值是．
【答案】3
【分析】根據(jù)a=-226x+2017，b=-226x+2018，c=-226x+2019，可以求得a-b、b-c、a-c的值，然后將所求式子變形再因式分解即可解答本題．
【詳解】解：∵a=?226x+2017，b=?226x+2018，c=?226x+2019，
∴a?b=?1，b?c=?1，a?c=?2，
∴a2+b2+c2?ab?bc?ca
=12×(2a2+2b2+2c2?2ab?2bc?2ca)
=12×[(a?b)2+(b?c)2+(a?c)2]
=12×[(?1)2+(?1)2+(?2)2]
=12×(1+1+4)
=12×6
=3
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，巧妙變形，利用完全平方公式因式分解，求出所求式子的值．
5.已知a﹣b=3，b+c=﹣5，代數(shù)式ac﹣bc+a2﹣ab的值為．
【答案】-6
【分析】先利用已知條件計(jì)算出a＋c＝?2，然后利用分組分解的方法把a(bǔ)c?bc＋a2?ab因式分解，再利用整體代入的方法計(jì)算．
【詳解】∵ac?bc＋a2?ab＝c（a?b）＋a（a?b）＝（a?b）（c＋a），
∵a?b＝3，b＋c＝?5，
∴a＋c＝?2，
∴ac?bc＋a2?ab＝3×（?2）＝?6．
故答案為：?6．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用：用因式分解解決求值問(wèn)題；利用因式分解解決證明問(wèn)題；利用因式分解簡(jiǎn)化計(jì)算問(wèn)題．本題的關(guān)鍵是把所求代數(shù)式分解因式．
題型七新思路分解因式
1．（上海·七年級(jí)期末）閱讀并解答：對(duì)于多項(xiàng)式x3?5x2+x+10，我們把x=2代入多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)x=2能使多項(xiàng)式的值為0，由此可斷定多項(xiàng)式x3?5x2+x+10中有因式x?2，（注：把x=a代入多項(xiàng)式，能使多項(xiàng)式的值為0，則多項(xiàng)式一定含有因式x?a），于是我們可以把多項(xiàng)式寫(xiě)成：x3?5x2+x+10=x?2x2+mx+n，分別求出m，n后代入，就可以把多項(xiàng)式x3?5x2+x+10因式分解．
(1)求式子中m，n的值；
(2)以上這種因式分解的方法叫“試根法”，用“試根法”分解多項(xiàng)式x3+5x2+8x+4．
【答案】(1)m=?3n=?5
(2)x+1x+22
【分析】（1）根據(jù)x3?5x2+x+10=x?2x2+mx+n，得出有關(guān)m，n的方程求出即可；
（2）由把x=?1代入x3+5x2+8x+4，得其值為0，則多項(xiàng)式可分解為x+1x2+mx+n的形式，進(jìn)而將多項(xiàng)式分解得出答案．
【詳解】（1）解：∵x?2x2+mx+n
=x3+mx2+nx?2x2?2mx?2n
=x3+m?2x2+n?2mx?2n，
∴x3?5x2+x+10=x3+m?2x2+n?2mx?2n，
∴m?2=?5n?2m=1?2n=10，
解得m=?3n=?5；
（2）解：當(dāng)x=?1 時(shí)，x3+5x2+8x+4=?13+5×?12?8+4=0，
∴x3+5x2+8x+4=x+1x2+mx+n，
∴x3+5x2+8x+4=x3+m+1x2+n+mx+n，
∴m+1=5m+n=8n=4，
解得m=4n=4，
∴x3+5x2+8x+4=x+1x2+4x+4=x+1x+22．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的運(yùn)用，掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則是解題的關(guān)鍵．
2．（上?！て吣昙?jí)期末）閱讀理解：
已知x3－8有一個(gè)因式x－2，我們可以用如下方法對(duì)x3－8進(jìn)行因式分解．
解：設(shè)x3－8＝（x－2）（x2＋ax＋b）
因?yàn)?（x－2）（x2＋ax＋b）＝x3＋（a－2）x2＋（b－2a）x－2b
所以 a－2＝0，且b－2a＝0，且－2b＝－8
所以 a＝2，且b＝4
所以 x3－8＝（x－2）（x2＋2x＋4）
這種分解因式的方法叫做待定系數(shù)法．
(1)已知x3＋27有一個(gè)因式x＋3，用待定系數(shù)法分解：x3＋27．
(2)觀察上述因式分解，直接寫(xiě)出答案：
因式分解：a3＋b3＝；a3－b3＝．
【答案】(1)(x+3)(x2?3x+9)
(2)a3+b3=(a+b)(a2?ab+b2)；a3?b3=(a?b)(a2+ab+b2)
【分析】（1）設(shè)x3+27=(x+3)(x2+ax+b)，根據(jù)(x+3)(x2+ax+b)= x3+(a+3)x2+(b+3a)x+3b，可得a+3=0，且3a+b=0，且3b=27，即可求解；
（2）令x為a，底數(shù)3為b，可得a3+b3=(a+b)(a2?ab+b2)，同理a3?b3=(a?b)(a2+ab+b2)，即可求解．
（1）
解：設(shè)x3+27=(x+3)(x2+ax+b)，
∵(x+3)(x2+ax+b)= x3+(a+3)x2+(b+3a)x+3b，
∴a+3=0，且3a+b=0，且3b=27，
∴a=?3,b=9，
x3+27=(x+3)(x2?3x+9)；
（2）
由（1）得：x3+33=(x+3)(x2?3x+9)，
令x為a，底數(shù)3為b，
∴a3+b3=(a+b)(a2?ab+b2)；
同理可得：a3?b3=(a?b)(a2+ab+b2)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解，明確題意，理解閱讀材料，利用類(lèi)比思想解答是解題的關(guān)鍵．
3.（山西運(yùn)城期末）閱讀與思考：“作差法”比較大小
比較代數(shù)式2m2+m?1與m2+m?3的大小時(shí)，可以使用如下方法：
2m2+m?1?m2+m?3=2m2+m?1?m2?m+3=m2+2，
∵m2≥0，∴m2+2>0，
2m2+m?1>m2+m?3，
這種比較大小的方法叫“作差法”．
任務(wù)：
(1)比較大?。簒2+9 6x；
(2)若m>n>1，A=m+1m，B=n+1n，試比較A與B的大?。?br>【答案】(1)≥
(2)A>B
【分析】（1）直接利用作差法，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論即可；
（2）直接利用作差法，判斷差的正負(fù)確定出A與B的大小即可．
【詳解】（1）解：∵x2+9?6x=x?32≥0，
∴x2+9≥6x；
故答案為：≥；
（2）解：∵A?B=m+1m?n+1n
=m?n+1m?1n
=m?n?m?nmn
=m?n1?1mn
∵m>n>1，
∴m?n>0,mn>1，
∴00，
∴A>B．
【點(diǎn)睛】此題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，作差法是比較兩個(gè)式子大小常用的方法，掌握完全平方公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
4.（廣東梅州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）閱讀下面的材料，利用材料解決問(wèn)題的策略解答下面問(wèn)題．
(1)分解因式有一種很重要的方法叫“十字交叉法”，方法的關(guān)鍵核心是“拆兩頭，湊中間”．
例如，分解因式4x2?3xy?y2，方法如下：拆兩頭，4x2拆為4x，x，?y2拆為y，?y，然后排列如下：
4x y
x ?y
交叉相乘，積相加得?3xy，湊得中間項(xiàng)，所以分解為4x2?3xy?y2=4x+yx?y，利用以上方法分解因式：4x2?5x+1；
(2)對(duì)不能直接使用提取公因式法，公式法或者十字交叉法進(jìn)行分解因式的多項(xiàng)式，我們可考慮把被分解的多項(xiàng)式分成若干組，分別按“基本方法”即提取公因式法和運(yùn)動(dòng)公式法進(jìn)行分解，然后，綜合起來(lái)，再?gòu)目傮w上按“基本方法”繼續(xù)進(jìn)行分解，直到分解出最后結(jié)果．這種分解因式的方法叫做分組分解法．
利用以上方法分解因式：x3?x2?x+1．
【答案】(1)4x?1x?1
(2)x?12x+1
【分析】（1）利用十字相乘法因式分解即可得到答案；
（2）利用分組分解法、提公因式法、平方差公式因式分解即可得到答案．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得：
4x2?5x+1=4x?1x?1；
（2）解：根據(jù)題意可得：
x3?x2?x+1
=x3?x2?x?1
=x2x?1?x?1
=x?1x2?1
=x?1x?1x+1
=x?12x+1．
【點(diǎn)睛】本題考查的是多項(xiàng)式的因式分解，熟練掌握十字相乘法、分組分解法因式分解的一般步驟是解題的關(guān)鍵．
5.（甘肅蘭州期末）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．
把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)最簡(jiǎn)整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個(gè)因式分解（也叫作分解因式）．它是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具．
把x4+4分解因式．該因式只有兩項(xiàng)，而且屬于平方和x22+22的形式，要使用公式就必須添一項(xiàng)4x2，再將此項(xiàng)4x2減去，即可得
x4+4=x4+4x2+4?4x2=x2+22?4x2=x2+22?2x2=x2+2x+2x2?2x+2．這種方法叫填項(xiàng)法．
任務(wù)：
請(qǐng)你仿照上面的做法，將下列各式分解因式．
(1)4m4+n4；
(2)x2?2x?y2?4y?3．
【答案】(1)2m2+n2+2mn2m2+n2?2mn
(2)x+y+1x?y?3
【分析】（1）原式仿照題意添一項(xiàng)4m2n2，再減去4m2n2，利用乘法公式分解因式即可；
（2）仿照題意求解即可．
【詳解】（1）解：4m4+n4
=4m4+4m2n2+n4?4m2n2
=2m2+n22?4m2n2
=2m2+n2+2mn2m2+n2?2mn；
（2）解：x2?2x?y2?4y?3
=x2?2x+1?1?y2?4y?4?3+4
=x?12?y+22
=x?1+y+2x?1?y?2
=x+y+1x?y?3．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分解因式，熟知乘法公式分解因式是解題的關(guān)鍵．
題型八已知方程求代數(shù)式的值
1．（上海靜安·七年級(jí)上海市風(fēng)華初級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎獂?y=3，x2+y2=13，則x3y?8x2y2+xy3的值為
【答案】?6
【分析】先根據(jù)完全平方公式的變形求出xy=2，再把所求式子提取公因式xy得到xyx2?8xy+y2，據(jù)此代值計(jì)算即可．
【詳解】解：∵x?y=3，
∴x?y2=9，
又∵x2+y2=13，
∴?2xy=x?y2?x2+y2=?4，
∴xy=2，
∴x3y?8x2y2+xy3
=xyx2?8xy+y2
=2×13?8×2
=?6，
故答案為：?6．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，完全平方公式的變形求值，正確得到x3y?8x2y2+xy3=xyx2?8xy+y2是解題的關(guān)鍵．
2．（上海普陀·八年級(jí)校考期中）已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2x2+y2?7=8，那么x2+y2= .
【答案】8
【分析】將x2+y2看作一個(gè)整體，先進(jìn)行因式分解，再利用平方的非負(fù)性即可求解．
【詳解】解：∵ x2+y2x2+y2?7=8，
∴ x2+y22?7x2+y2?8=0，
∴ x2+y2?8x2+y2+1=0，
∵ x2+y2+1>1，
∴ x2+y2?8=0，
∴ x2+y2=8，
故答案為：8．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握整體思想以及平方的非負(fù)性．
3．（上海楊浦·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：x?2y=8，xy=5，求代數(shù)式x3y+4xy3的值．
【答案】420
【分析】根據(jù)完全平方公式的變形可得x2+4y2=x?2y2+4xy=84，再代入，即可求解．
【詳解】解：∵x?2y=8，xy=5，
∴x2+4y2=x?2y2+4xy=82+4×5=84，
∴x3y+4xy3
=xyx2+4y2
=xyx?2y2+4xy
=5×84
=420
【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式，因式分解的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式，多項(xiàng)式的因式分解是解題的關(guān)鍵．
題型九三角形的存在性問(wèn)題
1．（上海寶山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如果ΔABC的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足等式a2+b2+c2?ab?bc?ca=0，試判斷此ΔABC的形狀并寫(xiě)出你的判斷依據(jù)．
【答案】ΔABC是等邊三角形，理由見(jiàn)解析
【分析】利用因式分解得出三邊長(zhǎng)a,b,c的關(guān)系，即可判斷三角形形狀．
【詳解】解：ΔABC是等邊三角形
證明：∵a2+b2+c2?ab?bc?ca=0，
∴2a2+2b2+2c2?2ab?2bc?2ca=0．
∴a2?2ab+b2+a2?2ca+c2+b2?2bc+c2=0，
即(a?b)2+(a?c)2+(b?c)2=0，
∴a?b=0，a?c=0，b?c=0，
∴a=b，a=c，b=c，即a=b=c，
∴ΔABC是等邊三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟練進(jìn)行因式分解，得出三角形的三邊關(guān)系．
2.將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式分別分解的方法是因式分解中的分組分解法，常見(jiàn)的分組分解法的形式有：“2＋2”分法、“3＋1”分法、“3＋2”分法及“3＋3”分法等．
如“2＋2”分法：
ax+ay+bx+by
=ax+ay+bx+by
=ax+y+bx+y
=x+ya+b
再如“3＋1”分法：
x2?2xy+y2?16
=x2?2xy+y2?16
=x?y2?42
=x?y+4x?y?4
利用上述方法解決下列問(wèn)題：
(1)分解因式：9x2?6xy+y2?16．
(2)△ABC的三邊a，b，c滿足a2+bc?ab=ac，判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)3x?y+43x?y?4；
(2)△ABC是等腰三角形，理由見(jiàn)解析．
【分析】（1）根據(jù)“3＋1”分法即可得出答案；
（2）根據(jù)“2＋2”分法分解因式，得出a?b=0或a?c=0，即可得出答案．
【詳解】（1）解：9x2?6xy+y2?16
=9x2?6xy+y2?16
=3x?y2?16
=3x?y+43x?y?4；
（2）解：a2+bc?ab=ac，
a2+bc?ab?ac=0，
a2?ab?ac?bc=0，
aa?b?ca?b=0，
a?ba?c=0，
∴a?b=0或a?c=0，
∴a=b或a=c，
∴△ABC是等腰三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，利用分組分解法時(shí)，要明確分組的目的，是分組分解后仍能繼續(xù)分解，還是分組后利用各組本身的特點(diǎn)進(jìn)行解題．
3.閱讀材料，解答問(wèn)題：
我們已經(jīng)學(xué)過(guò)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)多項(xiàng)式的因式分解還有別的方法．
下面再介紹一種方法：“添（拆）項(xiàng)分組分解法”．
例題：x3+8=x3+2x2?2x2+8（添上2x2，再減去2x2使多項(xiàng)式的值不變）
=x3+2x2?2x2?8（分成兩組）
=x2x+2?2x+2x?2（兩組分別因式分解）
＝________（兩組有公因式，再提公因式）
(1)請(qǐng)將上面的例題補(bǔ)充完整；
(2)仿照上述方法，因式分解：64x4+1；
(3)若a，b，c是△ABC三邊長(zhǎng)，滿足3a2+4b2-6a-16b+19＝0，且c為整數(shù)，試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)x+2x2?2x+4；
(2)8x2+1+4x8x2+1?4x；
(3)△ABC是等腰三角形，理由見(jiàn)解析．
【分析】（1）運(yùn)用提公因式法分解即可；
（2）需要添項(xiàng)，64x4=8x22，1=12，所以添16x2，湊成完全平方式，然后再運(yùn)用平方差公式繼續(xù)分解；
（3）仿照例題運(yùn)用拆項(xiàng)分組分解法，把19拆成3和16，然后湊成兩個(gè)完全平方式，再利用平方式的非負(fù)性進(jìn)行計(jì)算．
【詳解】（1）解：x3+8=x3+2x2?2x2+8
=x3+2x2?2x2?8
=x2x+2?2x+2x?2
=x+2x2?2x+4．
故答案為：x+2x2?2x+4；
（2）解：64x4+1
=64x4+16x2+1?16x2
=8x22+2?8x2?1+12?16x2
=8x2+12?4x2
=8x2+1+4x8x2+1?4x；
（3）解：∵3a2+4b2?6a?16b+19=0，
∴3a2?6a+3+4b2?16b+16=0，
∴3a2?2a+1+4b2?4b+4=0，
∴3a?12+4b?22=0，
∴a?1=0，b?2=0，
∴a=1，b=2．
∵a，b，c是△ABC三邊長(zhǎng)，
∴b?a＜c＜b+a，
∴1＜c＜3．
又∵c為整數(shù)，
∴c=2，
∴b=c=2，
∴△ABC是等腰三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，需要學(xué)生必須掌握完全平方公式和平方差公式的特征，才能靈活運(yùn)用到解題中去．
4.（江西吉安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下列材料：
常用分解因式的技法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有部分多項(xiàng)式只單純用上述方法就無(wú)法分解，如x2?2xy+y2?16，我們細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前三項(xiàng)符合完全平方公式，進(jìn)行變形后可以與第四項(xiàng)結(jié)合再運(yùn)用平方差公式進(jìn)行分解．過(guò)程如下：
x2?2xy+y2?16=x?y2?16=x?y+4x?y?4
這種分解因式的方法叫分組分解法．利用這種分組的思想方法解決下列問(wèn)題：
(1)分解因式：①x2?4y2?2x+4y；②9a2+4b2?25m2?n2+12ab+10mn
(2)△ABC三邊a，b，c滿足2a2+b2+c2=2ab+c，判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)①(x?2y)(x+2y?2)②(3a+2b+5m?n)(3a+2b?5m+n)
(2)△ABC是等邊三角形，理由見(jiàn)詳解
【分析】（1）①根據(jù)所給代數(shù)式前兩項(xiàng)一組，后兩項(xiàng)一組，分組分解后再提公因式即可；②先運(yùn)用完全平方公式分解，再整體運(yùn)用平方差公式進(jìn)行分解；
（2）將2a2分成兩項(xiàng)，分別與其他項(xiàng)組成完全平方公式，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答．
【詳解】（1）解：①原式=(x+2y)(x?2y)?2(x?2y)
=(x?2y)(x+2y?2)；
②原式=9a2+12ab+4b2?(25m2?10mn+n2)
=(3a+2b)2?(5m?n)2
=(3a+2b+5m?n)(3a+2b?5m+n)；
（2）△ABC是等邊三角形．
理由如下：
∵△ABC三邊a，b，c滿足2a2+b2+c2=2a(b+c)，
∴2a2+b2+c2?2a(b+c)=0，
即有2a2+b2+c2?2ab?2ac=a2?2ab+b2+a2?2ac+c2=(a?b)2+(a?c)2=0，
∵(a?b)2≥0，(a?c)2≥0，
∴(a?b)2=(a?c)2=0，
∴a?b=0且a?c=0，
∴a=b=c，
∴△ABC為等邊三角形．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解以及因式分解的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是利用分組分解法時(shí)要明確分組的目的，并熟練運(yùn)用完全平方式和平方差公式進(jìn)行因式分解．
題型十因式分解探究性問(wèn)題
1．（上?！て吣昙?jí)期末）數(shù)學(xué)業(yè)余小組在活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)：
(a?b)(a+b)=a2?b2
(a?b)(a2+ab+b2)=a3?b3
(a?b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4?b4
(a?b)(a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5)=a6?b6
……
(a?b)(an?1+an?2b+an?3b2???+a2bn?3+abn?2+bn?1)=an?bn
（1）請(qǐng)你在答題卡中寫(xiě)出（補(bǔ)上）上述公式中積為a5?b5的一行；
（2）請(qǐng)仔細(xì)領(lǐng)悟上述公式，并將a3+b3分解因式：
（3）請(qǐng)將a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5分解因式．
【答案】（1）(a?b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)=a5?b5；（2）(a+b)(a2?ab+b2)；（3）(a+b)(a2?ab+b2) (a2+ab+b2)
【分析】（1）將n=5代入公式中即可求出結(jié)論；
（2）根據(jù)a3+b3=a3?(?b)3，然后利用條件中公式因式分解即可；
（3）將多項(xiàng)式乘(a?b)再除以(a?b)，然后根據(jù)條件中公式將分子變形，再利用平方差公式和條件公式將分子因式分解，最后約分即可．
【詳解】解：（1）將n=5代入(a?b)(an?1+an?2b+an?3b2???+a2bn?3+abn?2+bn?1)=an?bn中，得
(a?b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)=a5?b5；
（2）a3+b3
=a3?(?b)3
=[a?(?b)][a2+a(?b)+(?b)2]
=(a+b)(a2?ab+b2)；
（3）a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5
=(a?b)(a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5)a?b
=a6?b6a?b
=(a3+b3)(a3?b3)a?b
=(a+b)(a2?ab+b2)(a?b)(a2+ab+b2)a?b
=(a+b)(a2?ab+b2) (a2+ab+b2)．
【點(diǎn)睛】此題考查的是因式分解，根據(jù)已知條件中公式因式分解是解題關(guān)鍵．
2．（北京昌平·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀：證明命題“一個(gè)三位數(shù)各位數(shù)字之和可以被3整除，則這個(gè)數(shù)就可以被3整除”．
設(shè)abc表示一個(gè)三位數(shù)，
則abc=100a+10b+c=99a+9b+a+b+c =911a+b+a+b+c
因?yàn)?11a+b能被3整除，如果a+b+c也能被3整除，那么abc就能被3整除．
(1)①一個(gè)四位數(shù)abcd，如果a+b+c+d能被9整除，證明abcd能被9整除；
②若一個(gè)五位數(shù)2e3e2能被9整除，則e=______；
(2)若一個(gè)三位數(shù)xyz的各位數(shù)字是任意三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，則xyz的最小正因數(shù)一定是______（數(shù)字“1”除外）；
(3)由數(shù)字1至9組成的一個(gè)九位數(shù)mnp6q47s9，這個(gè)數(shù)的第一位m能被1整除，前兩位組成的兩位數(shù)mn能被2整除，前三位組成的三位數(shù)mnp能被3整除，以此類(lèi)推，一直到整個(gè)九位數(shù)能被9整除，寫(xiě)出這個(gè)九位數(shù)是______．
【答案】(1)①見(jiàn)解析；②1
(2)3
(3)381654729
【分析】（1）①首先把四位數(shù)abcd改寫(xiě)成9111a+11b+c+a+b+c+d，由9111a+11b+c能被9整除，a+b+c+d能被9整除，即可得出結(jié)論；②首先把五位數(shù)改寫(xiě)成9×2255+112e+7+2e，然后根據(jù)這個(gè)五位數(shù)能被9整除得7+2e能被9整除，即可求得答案；
（2）假設(shè)x=k，y=k+1，z=k+2，則三位數(shù)xyz=337k+4，據(jù)此可得出答案；
（3）由m能被1整除，可得m為質(zhì)數(shù)，由四位數(shù)mnp6能被4整除，可得兩位數(shù)p6能被4整除，則p=1，3，5，7，9，由九位數(shù)mnp6q47s9中已有7，9，可得p=1，3，5，由五位數(shù)mnp6q能被5整除，可得末尾數(shù)字q=5，從而得到p=1，3，由八位數(shù)mnp6q47s能被8整除，可得三位數(shù)47s能被8整除，從而得到s=2，從而得到m，n，p對(duì)應(yīng)1，3，8，由m為質(zhì)數(shù)可得m=3，由mn能被2整除可得n=8，從而得到p=1，即可得到答案．
【詳解】（1）①證明：∵abcd是一個(gè)四位數(shù)，
∴abcd=1000a+100b+10c+d
=999a+99b+9c+a+b+c+d
=9111a+11b+c+a+b+c+d
∵ 9111a+11b+c能被9整除，a+b+c+d能被9整除，
∴四位數(shù)abcd能被9整除；
②解：∵ 2e3e2是一個(gè)五位數(shù)，
∴2e3e2=20000+1000e+300+10e+2
=20302+1010e
=9×2255+7+9×112e+2e
=9×2255+112e+7+2e，
∵五位數(shù)2e3e2能被9整除，
∴7+2e能被9整除，
∴e=1，
故答案為：1；
（2）解：∵三位數(shù)xyz的各位數(shù)字是任意三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，
∴不妨假設(shè)x=k，y=k+1，z=k+2，
∴xyz=100x+10y+z=100k+10k+10+k+2=111k+12=337k+4，
∴三位數(shù)xyz的最小正因數(shù)一定是3，
故答案為：3；
（3）解：∵ m，n，p，q，s均為0至9之間的整數(shù)
∴由m能被1整除，可得m為質(zhì)數(shù)，
由四位數(shù)mnp6能被4整除，可得兩位數(shù)p6能被4整除，則p=1，3，5，7，9，
由九位數(shù)mnp6q47s9中已有7，9，可得p=1，3，5，
由五位數(shù)mnp6q能被5整除，可得末尾數(shù)字q=5，從而得到p=1，3，
由八位數(shù)mnp6q47s能被8整除，可得三位數(shù)47s能被8整除，從而得到s=2，
∴這時(shí)的九位數(shù)為：mnp654729，
∴m，n，p對(duì)應(yīng)1，3，8，
∵m為質(zhì)數(shù)，
∴m=3，
∵兩位數(shù)mn能被2整除，且m=3，
∴n=8，
∴p=1，
∴這個(gè)九位數(shù)時(shí)：381654729，
故答案為：381654729．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，數(shù)的整除特征，熟練掌握因式分解的方法，理解整除數(shù)的特征是解答此題的關(guān)鍵．
3．已知：a+b+c=1，ab+bc+ca=?2，abc=?1，設(shè)s1=a+b+c，s2=a2+b2+c2，s3=a3+b3+c3，……，sn=an+bn+cn
（1）計(jì)算s2=___________，s3=____________，s4=____________
（2）寫(xiě)出sn?3，sn?2，sn?1，sn四者之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，直接寫(xiě)出a6+b6+c6的值是_____________
【答案】（1）5，4，13；（2）sn=sn?1+2sn?2?sn?3，見(jiàn)解析；（3）38
【分析】（1）s2=a2+b2+c2=(a+b+c)2﹣2(ab+bc+ca)=1+4=5，由(a+b+c)3=﹣2(a3+b3+c3)+6abc+3(a2+b2+c2)，可求s3，由(a2+b2+c2)2=25變形可求s4；
（2）sn=sn﹣1?(a+b+c)﹣(an﹣1b+an﹣1c+abn﹣1+cbn﹣1+acn﹣1+bcn﹣1)=sn﹣1?(a+b+c)﹣[sn﹣2?(ab+ac+bc)﹣abcn﹣2﹣abn﹣2c﹣an﹣2bc]=sn﹣1?(a+b+c)﹣sn﹣2?(ab+ac+bc)+sn﹣3?abc，將已知條件代入即可；
（3）利用所求關(guān)系式可得：s5=s4+2s3﹣s2=13+8﹣5=16，則s6=s5+2s4﹣s3=16+26﹣4=﹣38．
【詳解】（1）s2=a2+b2+c2=(a+b+c)2﹣2(ab+bc+ca)=1+4=5，
(a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3b2a+3b2c+3c2a+3c2b+6abc=a3+b3+c3+3a2(b+c)+3b2(a+c)+3c2(a+b)+6abc．
∵a+b+c=1，abc=﹣1，
∴(a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2(1-a)+3b2(1-b)+3c2(1-c)+6abc
∴(a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2-3a3+3b2-3b3+3c21-3c3+6abc
∴(a+b+c)3=﹣2(a3+b3+c3)-6+3(a2+b2+c2)，
∴s3=a3+b3+c3=4．
∵ab+bc+ac=-2，
∴(ab+bc+ca)2=4，
∴a2b2+b2c2+a2c2+2ab2c+2a2bc+2abc2=4，
∴a2b2+b2c2+a2c2+2abc(a+b+c)=4，
∴a2b2+b2c2+a2c2=6．
∵s2=a2+b2+c2=5，
∴(a2+b2+c2)2=25，
∴a4+b4+c4+2a2b2+2a2c2+2b2c2=25
∴a4+b4+c4+2×6=25
∴s4=a4+b4+c4=13．
故答案為：5，4，13；
（2）關(guān)系為sn=sn﹣1﹣2sn﹣2﹣sn﹣3；理由：
sn=sn﹣1?(a+b+c)﹣(an﹣1b+an﹣1c+abn﹣1+cbn﹣1+acn﹣1+bcn﹣1)=sn﹣1?(a+b+c)﹣[sn﹣2?(ab+ac+bc)﹣abcn﹣2﹣abn﹣2c﹣an﹣2bc]=sn﹣1?(a+b+c)﹣sn﹣2?(ab+ac+bc)+sn﹣3?abc．
∵a+b+c=1，ab+bc+ca=﹣2，abc=﹣1，
∴sn=sn﹣1+2sn﹣2﹣sn﹣3；
（3）∵s5=s4+2s3﹣s2=13+8﹣5=16，
∴s6=s5+2s4﹣s3=16+26﹣4=﹣38，
∴a6+b6+c6的為38．
故答案為：38．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用；理解題意，將已知式子進(jìn)行合理的變形，再運(yùn)用因式分解進(jìn)行求解是解答本題的關(guān)鍵．

提升題
1．（上海青浦·七年級(jí)校考期中）已知a，b，c三個(gè)數(shù)兩兩不等，且有a2+b2+mab=b2+c2+mbc=c2+a2+mca，試求m的值．
【答案】?2或1
【分析】a2+b2+mab=b2+c2+mbc=c2+a2+mca，得a2+b2+mab=b2+c2+mbc，移項(xiàng)后因式分解得到a?ca+c+mb=0，由a，b，c三個(gè)數(shù)兩兩不等，則a?c≠0，得到a+c+mb=0①，同理可得a+b+mc=0②，b+c+ma=0③，分a+b+c≠0和a+b+c=0兩種情況求解即可．
【詳解】解：∵a2+b2+mab=b2+c2+mbc=c2+a2+mca，
∴a2+b2+mab=b2+c2+mbc，
即a2+b2+mab?b2?c2?mbc=0，
∴a2?c2+mab?mbc=0，
∴a+ca?c+mba?c=0，
∴a?ca+c+mb=0，
∵a，b，c三個(gè)數(shù)兩兩不等，
∴a?c≠0，
∴a+c+mb=0①，
同理可得a+b+mc=0②，b+c+ma=0③，
當(dāng)a+b+c≠0時(shí)，
①＋②＋③得，2a+b+c+ma+b+c=0，
∴2a+b+c+ma+b+c=0，
∴a+b+c2+m=0，
∴2+m=0，
解得m=?2，
當(dāng)a+b+c=0時(shí)，
∵a，b，c三個(gè)數(shù)兩兩不等，
∴a，b，c三個(gè)數(shù)中至少一個(gè)不是0，
設(shè)b≠0，
∴a+c=?b≠0,
∵a+c+mb=0，
∴?b+mb=0，
∴bm?1=0，
∴m?1=0，
解得m=1，
綜上可知，m的值為?2或1．
【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握因式分解是基礎(chǔ)，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．
2．（浙江寧波·七年級(jí)校考期末）已知a2b+c=b2a+c=2023，且a、b、c互不相等，則c2a+b?2024= ．
【答案】?1
【分析】通過(guò)已知條件，找到a、b、c的關(guān)系：ab+ac=?bc，ac+bc=?ab，abc=?2023，即可獲得答案．
【詳解】解：∵a2b+c=b2a+c，
∴a2b+a2c?ab2?b2c=0，
∴ab(a?b)+c(a+b)(a?b)=0，
∴(a?b)(ab+ac+bc)=0，
∵a≠b，
∴a?b≠0，
∴ab+ac+bc=0，即ab+ac=?bc，ac+bc=?ab，
∵a2b+c=aab+ac=2023，
∴a?bc=2023，
∴?abc=2023，
∴abc=?2023，
∴c2a+b?2024=c(ac+bc)?2024=c(?ab)?2024=?abc?2024=?1
故答案為：?1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式求值以及因式分解等知識(shí)，利用已知條件找到ab+ac+bc=0是解題關(guān)鍵．
3．（上海青浦·七年級(jí)?？计谥校┳C明：a2+b2+c2x2+y2+z2≥ax+by+cz2
【答案】見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)完全平方公式進(jìn)行計(jì)算得出a2+b2+c2x2+y2+z2?ax+by+cz2 =ay?bx2+az?cx2+bz?cy2即可得證．
【詳解】解：∵ay?bx2=a2y2?2abxy+b2x2≥0
az?cx2=a2z2?2acxz+c2x2≥0，
bz?cy2=b2z2?2bcyz+c2y2≥0，
∴ay?bx2+az?cx2+bz?cy2≥0，
即a2y2?2abxy+b2x2+a2z2?2acxz+c2x2+b2z2?2bcyz+c2y2≥0，
整理得a2y2+a2z2+b2x2+c2x2+b2z2+c2y2?2abxy?2acxz?2bcyz≥0，
∵a2+b2+c2x2+y2+z2?ax+by+cz2
=a2x2+a2y2+a2z2+b2x2+b2y2+b2z2+c2x2+c2y2+c2z2?a2x2?b2y2?c2z2?2abxy?2bcyz?2acxz
=a2y2+a2z2+c2x2+b2x2+b2z2+c2y2?2abxy?2bcyz?2acxz
=ay?bx2+az?cx2+bz?cy2，
∴a2+b2+c2x2+y2+z2≥ax+by+cz2．
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，平方的非負(fù)性，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多