分層練習
基礎題
一、單選題
1．（上?！て吣昙壣虾Ｊ忻褶k新復興初級中學?？计谥校┤绻囗検絰2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正確的是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】根據(jù)十字相乘法進行因式分解的方法，對選項逐個判斷即可．
【詳解】解：A、x2?5x+2，不能用十字相乘法進行因式分解，不符合題意；
B、x2?5x+3，不能用十字相乘法進行因式分解，不符合題意；
C、x2?5x+4=(x?1)(x?4)，能用十字相乘法進行因式分解，符合題意；
D、x2?5x+5，不能用十字相乘法進行因式分解，不符合題意；
故選C
【點睛】此題考查了十字相乘法進行因式分解，解題的關鍵是掌握十字相乘法進行因式分解．
2．（安徽合肥·七年級統(tǒng)考期末）下列因式分解錯誤的是（ ）
A．x2?4=x+2x?2 B．x2+xy=xx+y
C．x3+6x2+9x=xx+32 D．x2?7x+12=xx?7+12
【答案】D
【分析】利用提公因式法、公式法逐個分解每個選項，根據(jù)分解結果得結論．
【詳解】解：A、x2?4=x+2x?2，不符合題意；
B、x2+xy=xx+y，不符合題意；
C、x3+6x2+9x=xx+32，不符合題意；
D、x2?7x+12=x?3x?4，符合題意．
故選：D．
【點睛】此題考查了因式分解-十字相乘法等以及提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．
3．（上?！て吣昙壠谀┮箈2+mx?6能在有理數(shù)的范圍內(nèi)因式分解，則整數(shù)m的值有（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
【答案】C
【分析】根據(jù)把-6分解成兩個因數(shù)的積，m等于這兩個因數(shù)的和，分別分析得出即可．
【詳解】解：∵-1×6=-6，-6×1=-6，-2×3=-6，-3×2=-6，
∴m=-1+6=5或m=-6+1=-5或m=-2+3=1或m=-3+2=-1，
∴整數(shù)m的值有4個，
故選：C．
【點睛】此題主要考查了十字相乘法分解因式，對常數(shù)16的正確分解是解題的關鍵．
4．（上海·七年級期末）已知甲、乙、丙均為x的一次多項式，且其一次項的系數(shù)皆為正整數(shù)．若甲與乙相乘，積為x2?49，乙與丙相乘，積為x2?9x+14，則甲與丙相加的結果是（ ）
A．2x+5B．2x?5C．2x+9D．2x?9
【答案】A
【分析】首先將兩個代數(shù)式進行因式分解，從而得出甲、乙、丙三個代數(shù)式，進而得出答案．
【詳解】解：∵x2?49=x+7x?7,x2?9x+14=x?7x?2
∴甲為：x+7，乙為：x－7，丙為：x-2，
∴甲+丙=（x+7）+（x-2）=2x+5，
故選A．
【點睛】本題主要考查的就是因式分解的應用，屬于基礎題型．
5．（山東德州·八年級?？计谀┫铝幸蚴椒纸饨Y果正確的是（ ）
A．x2+3x+2=x（x+3）+2B．4x2﹣9=（4x+3）（4x﹣3）
C．a(chǎn)2﹣2a+1=（a+1）2D．x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）
【答案】D
【分析】根據(jù)因式分解的方法進行計算即可判斷．
【詳解】A．因為x2+3x+2=（x+1）（x+2），故A錯誤；
B．因為4x2﹣9=（2x+3）（2x﹣3），故B錯誤；
C．因為a2﹣2a+1=（a﹣1）2，故C錯誤；
D．因為x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3），故D正確．
故選：D．
【點睛】本題考查了因式分解-十字相乘法、公式法，解決本題的關鍵是掌握因式分解的方法．
6．（七年級課時練習）若多項式5x2+17x?12可因式分解為x+abx+c，其中a、b、c均為整數(shù)，則a?c的值是（ ）
A．1B．7C．11D．13
【答案】B
【分析】將多項式5x2+17x-12進行因式分解后，確定a、b、c的值即可．
【詳解】解：因為5x2+17x-12=（x+4）（5x-3）=（x+a）（bx+c），
所以a=4，b=5，c=-3，
所以a-c=4-（-3）=7，
故選：B．
【點睛】本題考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法是正確分解因式的前提，確定a、b、c的值是得出正確答案的關鍵．
7．（寧夏吳忠·八年級校聯(lián)考期末）下列因式分解正確的是（ ）
A．x2+3x+2=xx+3+2B．4x2?9=4x+34x?3
C．4x2?20x=4xx?5D．a(chǎn)2?2a+1=(a+1)2
【答案】C
【分析】根據(jù)十字相乘法、提公因式法、公式法中的平方差公式、完全平方差公式分解即可得到結果．
【詳解】解：A、x2+3x+2==x+1x+2≠xx+3+2，分解錯誤，不符合題意；
B、4x2?9=2x+32x?3≠4x+34x?3，分解錯誤，不符合題意；
C、4x2?20x=4xx?5，分解正確，符合題意；
D、a2?2a+1=(a?1)2≠(a+1)2，分解錯誤，不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查因式分解，涉及十字相乘法、平方差公式、完全平方差公式等知識，綜合運用提公因式法與公式法進行因式分解是解決問題的關鍵．
8．（七年級課時練習）將下列多項式因式分解，結果中不含因式(x+2)的是（ ）
A．2x2+4xB．3x2?12
C．x2+x?6D．(x?2)2+8(x?2)+16
【答案】C
【分析】將四個選項的式子分別進行因式分解，即可作出判斷．
【詳解】A、2x2+4x=2x(x+2)，故該選項不符合題意；
B、3x2?12=3(x2?4)=3(x+2)(x?2)，故該選項不符合題意；
C、x2+x?6=(x?2)(x+3)，故該選項符合題意；
D、(x?2)2+8(x?2)+16=x?2+42=x+22，故該選項不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題考查了因式分解，涉及提公因式法、公式法、十字相乘法，熟練掌握因式分解的方法是解決本題的關鍵．
9．（湖南邵陽·七年級統(tǒng)考期末）多項式x2+x?6可因式分解成x+ax+b，其中a，b均為整數(shù)，則a+b2023的值為（ ）
A．?1B．1C．?2023D．2023
【答案】B
【分析】先分解因式，求出a、b的值，再結合有理數(shù)的乘方進行計算，即可得到答案．
【詳解】解：∵x2+x?6=x+3x?2，
又∵多項式x2+x?6可因式分解成x+ax+b，
∴a=3，b=?2或a=?2，b=3，
∴a+b2023=3?22023=12023=1，
故選：B．
【點睛】本題考查了因式分解、有理數(shù)的乘方，熟練掌握十字相乘法分解因式是解題關鍵．
10．（上海靜安·七年級上海市靜安區(qū)教育學院附屬學校?？计谥校┒囗検?7x2-13x-30可分解成（7x+a）（bx+c），其中a，b，c均為整數(shù)，求a+b+c的值為
A．0B．10
C．12D．22
【答案】C
【分析】利用十字相乘法將77x2-13x-30因式分解，求得a，b，c的值，即可得a＋b＋c的值．
【詳解】利用十字相乘法將77x2-13x-30因式分解，可得：77x2-13x-30=(7x-5)(11x+6)．
∴a=-5，b=11，c=6，
則a+b+c=（-5）+11+6=12．
故選C．
【點睛】本題考查了十字相乘法分解因式，熟練運用十字相乘法分解因式是解題的關鍵．
二、填空題
11．（上海寶山·七年級?？计谥校┓纸庖蚴剑簒2?11x+24= ．
【答案】x?3x?8
【分析】根據(jù)十字相乘法可進行因式分解．
【詳解】解：x2?11x+24=x?3x?8；
故答案為：x?3x?8．
【點睛】本題主要考查因式分解，熟練掌握十字相乘法因式分解是解題的關鍵．
12．（上海靜安·七年級上海市風華初級中學?？计谥校┓纸庖蚴剑簒2?5x?6= ．
【答案】x?6x+1
【分析】直接根據(jù)十字相乘法分解即可．
【詳解】x2?5x?6= x?6x+1，
故答案為x?6x+1．
【點睛】本題考查了因式分解，把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法．因式分解必須分解到每個因式都不能再分解為止．
13．（上海青浦·七年級?？计谀┮蚴椒纸猓?x2?6x?8= ．
【答案】2x?4x+1
【分析】原式先提取公因數(shù)2，再利用十字相乘法求出解即可．
【詳解】解：原式=2x2?3x?4 =2x?4x+1，
故答案為：2x?4x+1．
【點睛】本題考查了因式分解—十字相乘法，熟練掌握十字相乘的方法是解題的關鍵．
14．（上海黃浦·七年級上海市民辦立達中學?？计谥校┤绻囗検絰2+mx?6在整數(shù)范圍內(nèi)可以因式分解，那么m可以取的值是 （填一個即可）.
【答案】±1或±5．
【分析】把-6分成3和-2，-3和2，6和-1，-6和1，進而得出即原式分解為（x+3）（x-2），（x-3）（x+2），（x+6）（x-1），（x-6）（x+1），即可得到答案．
【詳解】當x2+mx-6=（x+3）（x-2）時，m=3+（-2）=1，
當x2+mx-6=（x-3）（x+2）時，m=-3+2=-1，
當x2+mx-6=（x+6）（x-1）時，m=6+（-1）=5，
當x2+mx-6=（x-6）（x+1）時，m=-6+1=-5，
綜上所述：±1或±5，
故答案為±1或±5．
【點睛】此題考查因式分解-十字相乘法，解題關鍵在于理解x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）．
15．（上海普陀·七年級統(tǒng)考期末）已知關于x的多項式x2+kx﹣3能分解成兩個一次多項式的積，那么整數(shù)k的值為 ．
【答案】±2
【分析】把常數(shù)項分解成兩個整數(shù)的乘積，k就等于那兩個整數(shù)之和．
【詳解】解：∵﹣3＝﹣3×1或﹣3＝﹣1×3，
∴k＝﹣3+1＝﹣2或k＝﹣1+3＝2，
∴整數(shù)k的值為：±2，
故答案為：±2．
【點睛】本題考查因式分解—十字相乘法，是重要考點，掌握相關知識是解題關鍵．
三、解答題
16．（上海徐匯·七年級上海市徐匯中學校聯(lián)考期末）分解因式：
(1)2ab2?6a2b2+4a3b2
(2)(x2?4x)2?5(x2?4x)?24
【答案】(1)2ab2(2a?1)(a?1)
(2)(x2?4x?8)(x?1)(x?3)
【分析】（1）先提公因式2ab2，然后根據(jù)十字相乘法，即可；
（2）設x2?4x=a，方程變?yōu)椋篴2?5a?24；根據(jù)十字相乘法，把式子變形為：a2?5a?24=a?8a+3，把x2?4x=a代入，式子為：(x2?4x?8)(x2?4x+3)，根據(jù)x2?4x+3，十字相乘法為：x?1x?3，即可得到原式的因式分解．
【詳解】（1）2ab2?6a2b2+4a3b2
=2ab21?3a+2a2
=2ab2(2a?1)(a?1)．
（2）設x2?4x=a
∴(x2?4x)2?5(x2?4x)?24=a2?5a?24
∵a2?5a?24=a?8a+3
∴(x2?4x)2?5(x2?4x)?24=(x2?4x?8)(x2?4x+3)
∵x2?4x+3=x?1x?3
∴(x2?4x)2?5(x2?4x)?24=(x2?4x?8)x?1x?3．
【點睛】本題考查因式分解的知識，解題的關鍵是熟練掌握十字相乘法的方法．
17．（上海徐匯·七年級上海市徐匯中學校聯(lián)考期末）分解因式：xy+x+1y+1xy+1
【答案】(xy+1+x)(xy+1+y)
【分析】先展開原式，得xy+xy+x+y+1xy+1，令xy+1=a，式子變形為：xy+a+x+ya=xy+a2+ax+ay，再根據(jù)十字相乘法，即可．
【詳解】xy+x+1y+1xy+1=xy+xy+x+y+1xy+1，
令xy+1=a，
∴xy+x+1y+1xy+1
=xy+a+x+ya
=xy+a2+ax+ay
=a2+ax+y+xy
=a+xa+y，
把xy+1=a代入a+xa+y，
∴a+xa+y=xy+1+xxy+1+y，
∴xy+x+1y+1xy+1=xy+1+xxy+1+y．
【點睛】本題考查因式分解的知識，解題的關鍵是把xy+1看成一個整體，熟練掌握因式分解-十字相乘法的運用．
18．（上海青浦·七年級校考期末）分解因式：x2?5xy2?16y4．
【答案】x?yx?4yx2?5xy?4y2
【分析】先直接利用完全平方公式，然后再運用十字相乘法繼續(xù)因式分解即可．
【詳解】解：x2?5xy2?16y4
=x2?5xy2?4y22
=x2?5xy+4y2x2?5xy?4y2
=x2?5xy+4y2x2?5xy?4y2
=x?yx?4yx2?5xy?4y2．
【點睛】本題考查了運用平方差公式和十字相乘法進行因式分解；解題的關鍵是分解因式要徹底．
19．（上?！て吣昙壭Ｂ?lián)考期末）分解因式：3x2?9x?30．
【答案】3x?5x+2．
【分析】先提取公因式，再利用十字相乘法繼續(xù)分解即可．
【詳解】解：3x2?9x?30
=3x2?3x?10
=3x?5x+2．
【點睛】本題考查了用提公因式法和十字相乘法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．
20．（上海浦東新·七年級?？计谀┓纸庖蚴剑?br>(1)m2?n2+6n?9
(2)x+2yx2+6(x+2y)x?7x?14y．
【答案】(1)m+n?3m?n+3
(2)x+2yx+7x?1
【分析】（1）通過添括號，將m2?n2+6n?9轉(zhuǎn)化為m2?n2?6n+9，再利用平方差公式進行分解因式即可求解．
（2）將x+2yx2+6(x+2y)x?7x?14y轉(zhuǎn)化為x+2yx2+6(x+2y)x?7x+2y，先提出公因式，再利用十字相乘法進行分解因式即可求解．
【詳解】（1）m2?n2+6n?9
=m2?n2?6n+9
=m2?n?32
=m+n?3m?n+3
（2）x+2yx2+6(x+2y)x?7x?14y
=x+2yx2+6(x+2y)x?7x+2y
=x+2yx2+6x?7
=x+2yx+7x?1
【點睛】本題考查分解因式的方法，解題的關鍵是掌握提公因式法，公式法和十字相乘法．
21．（上海嘉定·七年級上海市育才中學?？计谀┮蚴椒纸猓篴x4?8ax2?9a．
【答案】ax2+1x+3x?3
【分析】先提取公因式a，再用十字相乘法分解，最后再用平方差公式分解．
【詳解】解：ax4?8ax2?9a
=ax4?8x2?9
=ax2+1x2?9
=ax2+1x+3x?3．
【點睛】本題考查了因式分解，把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分組分解法．因式分解必須分解到每個因式都不能再分解為止．
22．（上海寶山·七年級校考期中）分解因式：2x2?4x?6．
【答案】2x?3x+1
【分析】先提取公因數(shù)，再用十字相乘法分解因式即可
【詳解】解：2x2?4x?6
=2x2?2x?3
=2x?3x+1
故答案為：2x?3x+1；
【點睛】本題考查了十字相乘法分解因式，能夠熟練運用十字相乘法是解題的關鍵
23．（上海靜安·七年級上海市風華初級中學校考期中）分解因式：2x2+4x2?42x2+4x?12．
【答案】4x+3x?1x+12
【分析】直接利用十字相乘法和完全平方公式進行因式分解即可得到答案．
【詳解】解：2x2+4x2?42x2+4x?12
=2x2+4x?62x2+4x+2
=2x2+2x?3×2x2+2x+1
=4x+3x?1x+12．
【點睛】本題主要考查了利用十字相乘法和完全平方公式分解因式，熟練掌握十字相乘法和完全平方公式是解題的關鍵．
24．（上海青浦·七年級?？计谥校┮蚴椒纸猓簒4?13x2+36．
【答案】(x?2)(x+2)(x?3)(x+3)
【分析】把x2看作一個整體，這個多項式就可以化為關于x2的二次三項式，常數(shù)36可以分解成：36=(?4)×(?9)，其中一次項系數(shù)?13=(?4)+(?9)，因此可以利用十字相乘法進行因式分解，然后再利用公式法繼續(xù)分解徹底即可．
【詳解】解：x4?13x2+36
=(x2?4)(x2?9)
=(x?2)(x+2)(x?3)(x+3)．
【點睛】本題考查因式分解的方法．因式分解時，一般先提公因式，然后再運用公式法進行因式分解．對于一個一次項系數(shù)為1的二次三項式x2+mx+n，如果能把常數(shù)n分解成兩個因數(shù)a，b的積，并且a，b的和恰好等于一次項的系數(shù)m，那么，這個二次三項式就可以分解為(x+m)(x+n)，即x2+mx+n=(x+m)(x+n)．把運用乘法公式： a2?b2=(a+b)(a?b)； a2+2ab+b2=(a+b)2，a2?2ab+b2=(a?b)2進行因式分解的方法叫做公式法．熟練掌握十字相乘法進行因式分解是解題的關鍵．特別需要注意的是，分解一定要徹底，直到不能再分解為止．
25．（上海青浦·七年級?？计谀┮蚴椒纸猓?x2?x)2?14(x2?x)+24．
【答案】(x-2)(x+1)(x-4)(x+3)
【分析】先把x2－x看做一個整體，然后根據(jù)十字相乘法的分解方法和特點分解因式．
【詳解】原式=（x2-x-2）（x2－x﹣12）
=(x-2)(x+1)(x-4)(x+3)
【點睛】本題考查了十字相乘法分解因式，用十字相乘法分解因式時，要注意觀察，嘗試，并體會它實質(zhì)是二項式乘法的逆過程，難點在于要二次利用十字相乘法分解因式，整體思想的利用也比較關鍵．
26．（上海寶山·七年級?？计谀┓纸庖蚴剑簃4?10m2n2+9n4．
【答案】m+nm?nm+3nm?3n
【分析】先利用十字相乘法分解因式，然后利用平方差公式分解因式即可．
【詳解】解：m4?10m2n2+9n4
=m2?n2m2?9n2
=m+nm?nm+3nm?3n．
【點睛】本題主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解題的關鍵．
27．（北京海淀·七年級清華附中?？计谀┊攎為何值時，多項式6x2+mxy?5y2?15x+38y?21可以分解為兩個關于x，y的一次三項式的乘積？
【答案】m=?7或2397
【分析】先將x項和常數(shù)項進行十字分解，設出兩個因式，兩式相乘與原式比較，列出方程求解即可．
【詳解】解：利用“十字相乘法”分解二次三項式的知識，可以判定給出的二元二次六項式6x2+mxy?5y2?15x+38y?21中6x2?15x?21三項應當分解為：2x?73x+3，
現(xiàn)在要考慮y，只須先改寫作2x?7+ay3x+3+by，
然后根據(jù)?5y2，38y這兩項，即可斷定是：ab=?53a?7b=38，
解得：a=1，b=?5或a=353，b=?37，
又∵m=2b+3a，
∴當a=1，b=?5時，m=?7，
當a=353，b=?37時，m=2397．
【點睛】本題考查了多項式乘多項式，十字相乘法分解因式，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
提升題
1．通過計算幾何圖形的面積，可表示一些代數(shù)恒等式，如圖所示，我們可以得到恒等式：a2+3ab+2b2= ．
【答案】(a+2b)(a+b)．
【分析】根據(jù)圖形中的正方形和長方形的面積，以及整體圖形的面積進而得出恒等式．
【詳解】解：由面積可得：a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b)．
故答案為(a+2b)(a+b)．
【點睛】此題主要考查了十字相乘法分解因式，正確利用面積得出等式是解題關鍵．
2．
(1)【閱讀與思考】
整式乘法與因式分解是方向相反的變形．如何把二次三項式ax2+bx+ca≠0分解因式呢？我們已經(jīng)知道：a1x+c1a2x+c2=a1a2x2+a1c2x+a2c1x+c1c2=a1a2x2+a1c2+a2c1x+c1c2．反過來，就得到：a1a2x2+a1c2+a2c1x+c1c2=a1x+c1a2x+c2．我們發(fā)現(xiàn)，二次三項式ax2+bx+ca≠0的二次項的系數(shù)a分解成a1a2，常數(shù)項c分解成c1c2，并且把a1，a2，c1，c2，如圖1所示擺放，按對角線交叉相乘再相加，就得到a1c2+a2c1，如果a1c2+a2c1的值正好等于ax2+bx+c的一次項系數(shù)b，那么ax2+bx+c就可以分解為a1x+c1a2x+c2，其中a1，c1位于圖的上一行，a2，c2位于下一行．像這種借助畫十字交叉圖分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，將式子x2?x?6分解因式的具體步驟為：首先把二次項的系數(shù)1分解為兩個因數(shù)的積，即1=1×1，把常數(shù)項?6也分解為兩個因數(shù)的積，即?6=2×?3；然后把1，1，2，?3按圖2所示的擺放，按對角線交叉相乘再相加的方法，得到1×?3+1×2=?1，恰好等于一次項的系數(shù)?1，于是x2?x?6就可以分解為x+2x?3．
請同學們認真觀察和思考，嘗試在圖3的虛線方框內(nèi)填入適當?shù)臄?shù)，并用“十字相乘法”分解因式： x2+x?6=__________．
(2)【理解與應用】
請你仔細體會上述方法并嘗試對下面兩個二次三項式進行分解因式：
① 2x2+5x?7=__________；
② 6x2?7xy+2y2=__________．
(3)【探究與拓展】
對于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的關于x，y的二元二次多項式也可以用“十字相乘法”來分解，如圖將a分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成jk乘積作為第三列，如果mq+np=b，pk+pj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式=mx+py+jnx+qy+k，請你認真閱讀上述材料并嘗試挑戰(zhàn)下列問題：
① 分解因式3x2+5xy?2y2+x+9y?4=__________；
② 若關于x，y的二元二次式x2+7xy?18y2?5x+my?24可以分解成兩個一次因式的積，求m的值．
【答案】(1)(x+3)(x?2)
(2)(2x+7)(x?1)；(2x?y)(3x?2y)
(3)(3x?y+4)(x+2y?1)；43或?78
【分析】（1）首先把二次項的系數(shù)1分解為兩個因數(shù)的積，即1=1×1，把常數(shù)項?6也分解為兩個因數(shù)的積，即?6=3×（?2)，寫出結果即可．
（2）①把二次項系數(shù)2寫成2=1×2，常數(shù)項寫成?7=?1×7，滿足1×7+(?1)×2=5，寫出分解結果即可．
②把x2項系數(shù)6寫成6=2×3，把y2項系數(shù)2寫成2=?2×（?1），滿足?2×2+(?1)×3=?7，寫出分解結果即可．
（3）①把x2項系數(shù)3寫成3=1×3，把y2項系數(shù)-2寫成?2=2×（?1），常數(shù)項-4寫成?4=（?1）×4滿足條件，寫出分解結果即可．
②把x2項系數(shù)1寫成1=1×1，把y2項系數(shù)-18寫成?18=?2×9，常數(shù)項-24寫成?24=3×(?8)或?24=（?3）×8滿足條件，寫出分解結果，計算即可．
【詳解】（1）首先把二次項的系數(shù)1分解為兩個因數(shù)的積，即1=1×1，把常數(shù)項?6也分解為兩個因數(shù)的積，即?6=3×（?2)，所以x2+x?6= (x+3)(x?2)．
故答案為：(x+3)(x?2)．
（2）①把二次項系數(shù)2寫成2=1×2，?7=?1×7，滿足1×7+(?1)×2=5，所以2x2+5x?7= (2x+7)(x?1)．
故答案為：(2x+7)(x?1)．
②把x2項系數(shù)6寫成6=2×3，把y2項系數(shù)2寫成2=?1×（?2），滿足?2×2+(?1)×3=?7，
所以6x2?7xy+2y2= (2x?y)(3x?2y)．
故答案為：(2x?y)(3x?2y)．
（3）①把x2項系數(shù)3寫成3=1×3，把y2項系數(shù)-2寫成?2=2×（?1），常數(shù)項-4寫成?4=（?1）×4滿足條件，
所以3x2+5xy?2y2+x+9y?4= (3x?y+4)(x+2y?1)．
故答案為：(3x?y+4)(x+2y?1)．
②把x2項系數(shù)1寫成1=1×1，把y2項系數(shù)-18寫成?18=?2×9，常數(shù)項-24寫成?24=3×(?8)或?24=（?8）×3滿足條件，
所以m=3×9+(?2)×(?8)=43或m=9×(?8)+(?2)×3=?78，
故m的值為43或-78．
【點睛】本題考查了因式分解的十字相乘法，讀懂閱讀材料，理解其中的內(nèi)涵是解題的關鍵．
3.（2023春·廣西桂林·七年級統(tǒng)考期中）閱讀下列材料：
材料1：將一個形如x2＋px＋q的二次三項式因式分解時，如果能滿足q＝mn且p＝m＋n則可以把x2＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．
材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：將“x＋y看成一個整體，令x+y＝A，則原式＝A2＋2A＋1＝（A＋1）2，再將“A”還原得：原式＝（x＋y＋1）2
上述解題用到“整體思想”整體思想是數(shù)學解題中常見的一種思想方法，請你解答下列問題：
（1）根據(jù)材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；
（2）結合材料1和材料2，完成下面小題；
①分解因式：（x﹣y）2﹣8（x﹣y）＋16；
②分解因式：m（m﹣2）（m2﹣2m﹣2）﹣3
【答案】（1）（x-y-4）2；（2）①（x-y-4）2；②（m-3）（m+1）（m-1）2
【分析】（1）將x2+2x-24寫成x2+（6-4）x+6×（-4），根據(jù)材料1的方法可得（x+6）（x-4）即可；
（2）①令x-y=A，原式可變?yōu)锳2-8A+16，再利用完全平方公式即可；
②令B=m（m-2）=m2-2m，原式可變?yōu)锽（B-2）-3，即B2-2B-3，利用十字相乘法可分解為（B-3）（B+1），再代換后利用十字相乘法和完全平方公式即可．
【詳解】解：（1）x2+2x-24=x2+（6-4）x+6×（-4）=（x+6）（x-4）；
（2）①令x-y=A，則原式可變?yōu)锳2-8A+16，
A2-8A+16=（A-4）2=（x-y-4）2，
所以（x-y）2-8（x-y）+16=（x-y-4）2；
②設B=m2-2m，則原式可變?yōu)锽（B-2）-3，
即B2-2B-3=（B-3）（B+1）
=（m2-2m-3）（m2-2m+1）
=（m-3）（m+1）（m-1）2，
所以m（m-2）（m2-2m-2）-3=（m-3）（m+1）（m-1）2．
【點睛】本題考查十字相乘法，公式法分解因式，掌握十字相乘法和完全平方公式的結構特征是正確應用的前提．

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