已知函數(shù)f(x)=e|2x|?4ax2，對(duì)任意x1，x2∈(?∞,0]且x1≠x2，都有 (x2?x1)(f(x2)?f(x1))0時(shí)，xf'(x)?f(x)f(x)g'(x)，且f(x)=axg(x)(a>0,且a≠1),f(1)g(1)+f(?1)g(?1)=103，若數(shù)列f(n)g(n)的前n項(xiàng)和大于363，則n的最小值為( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
二、單空題（本大題共4小題，共20.0分）
設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)fx滿足f'x>fx，則不等式ex?1fx0)在[1,+∞)上的最大值為33，則a的值為_(kāi)_______．
已知函數(shù)f(x)=a?x2(0ex+1的解集為_(kāi)_________．
三、解答題（本大題共3小題，共30分）
已知函數(shù)f(x)=12x2?(a+1)x+alnx+1．
(Ⅰ)若x=3是f(x)的極值點(diǎn)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ)若f(x)≥1恒成立，求a的取值范圍．











已知函數(shù)fx=ax+lnx，gx=ex?1?1．
(1)討論函數(shù)y=fx的單調(diào)性;
(2)若不等式fx≤gx+a在x∈1,+∞上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．









已知函數(shù)f(x)=ax+lnx，g(x)=12bx2?2x+2，a,b∈R．
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)記函數(shù)?(x)=f(x)+g(x)，當(dāng)a=0時(shí)，?(x)在(0,1)上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．
專題10 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
一、單選題（本大題共10小題，共50.0分）
已知函數(shù)f(x)=e|2x|?4ax2，對(duì)任意x1，x2∈(?∞,0]且x1≠x2，都有 (x2?x1)(f(x2)?f(x1))0，函數(shù)?x是增函數(shù)，
所以當(dāng)x=?12時(shí)，函數(shù)?x有最小值??12=2e，
因此4a≤2e，即a≤e2．
故選A．
f(x)是定義在(0,+∞)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf'(x)+f(x)0，g(x)在(?∞,0)，(2,+∞)上單調(diào)遞增，
當(dāng)00時(shí)，xf'(x)?f(x)0，
∴函數(shù)g'(x)在(0,+∞)上為增函數(shù)，
①當(dāng)k≤1時(shí)，g'(x)>g'(0)=1?k≥0，故函數(shù)g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù)，
∴g(x)>g(0)=0，即f(x)≥kx成立；
②當(dāng)k>1時(shí)，g'(0)=1?k0，
所以?(x)在0,e13內(nèi)單調(diào)遞增，在e13,+∞內(nèi)單調(diào)遞減，
所以實(shí)數(shù)b的最大值為?e13=32e23．
故選B．
已知函數(shù)f(x)=13x3+mx2+nx+2，其導(dǎo)函數(shù)f'(x)為偶函數(shù)，f(1)=?23，則函數(shù)g(x)=f'(x)ex在區(qū)間[0,2]上的最小值為( )
A. ?3eB. ?2eC. eD. 2e
【答案】B
【解析】f'(x)=x2+2mx+n，
要使導(dǎo)函數(shù)f'(x)為偶函數(shù)，則m=0，
故f(x)=13x3+nx+2，
則f(1)=13+n+2=?23，解得n=?3，
所以f'(x)=x2?3，
故g(x)=ex(x2?3)，g'(x)=ex(x2?3+2x)=ex(x?1)(x+3)，
當(dāng)x∈[0,1)時(shí)，g'(x)1時(shí)，?'(x)>0，函數(shù)為增函數(shù)，
當(dāng)00時(shí)，g'(x)>0，則g(x)為增函數(shù)，
設(shè)?(x)=m(x?12)與g(x)=xex相切時(shí)的切點(diǎn)為(a,aea)，切線斜率k=(a+1)ea，
則切線方程為y?aea=(a+1)ea(x?a)，
當(dāng)切線過(guò)(12,0)時(shí)，?aea=(a+1)ea(12?a)，
即?a=12a+12?a2?a，即2a2?a?1=0，得a=1或a=?12(舍)，則切線斜率k=(1+1)e=2e，
要使g(x)與?(x)在(0,+∞)上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則m>2e，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(2e,+∞)
故選：D．
已知f(x),g(x)都是定義在R上的函數(shù)，g(x)≠0，f'(x)g(x)>f(x)g'(x)，且f(x)=axg(x)(a>0,且a≠1),f(1)g(1)+f(?1)g(?1)=103，若數(shù)列f(n)g(n)的前n項(xiàng)和大于363，則n的最小值為( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】解：∵f(x)=ax?g(x)(a>0且a≠1)，∴f(x)g(x)=ax，
又∵f'(x)g(x)>f(x)g'(x)，
∴(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)?f(x)g'(x)g2(x)>0，
∴f(x)g(x)=ax是增函數(shù)，
∴a>1，
∵f(1)g(1)+f(?1)g(?1)=103．
∴a+a?1=103，解得a=13或a=3，
綜上得a=3．
∴數(shù)列{f(n)g(n)}是等比數(shù)列，fngn=3n．
∵數(shù)列{f(n)g(n)}的前n項(xiàng)和大于363，
∴3+32+33+…+3n=3(1?3n)1?3=12(3n+1?3)>363，
即3n+1>729，
∴n+1>6，解得n>5．
∴n的最小值為6．
故選C．
二、單空題（本大題共4小題，共20.0分）
設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)fx滿足f'x>fx，則不等式ex?1fx0，即函數(shù)F(x)在定義域R上單調(diào)遞增，
∵ex?1f(x)ex?ex=0，
∴gx=ex·fx?ex為R上的增函數(shù)，
∵g0=e0·f0?e0=1，
∴不等式ex·f(x)>ex+1轉(zhuǎn)化為gx>g0，
∴x>0．
則解集為0,+∞．
故答案為0,+∞．
三、解答題（本大題共3小題，共30分）
已知函數(shù)f(x)=12x2?(a+1)x+alnx+1．
(Ⅰ)若x=3是f(x)的極值點(diǎn)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ)若f(x)≥1恒成立，求a的取值范圍．
【答案】解：(Ⅰ)由題意知函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞)，
f'(x)=x?(a+1)+ax，
∵x=3是f(x)的極值點(diǎn)，
∴f'(3)=3?(a+1)+a3=0，解得a=3，
當(dāng)a=3時(shí)，f'(x)=(x?1)(x?3)x，
當(dāng)x變化時(shí)，
故f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，在(3,+∞)上單調(diào)遞增；
(Ⅱ)要使得f(x)≥1恒成立，即當(dāng)x>0時(shí)，12x2?(a+1)x+alnx≥0恒成立，
設(shè)g(x)=12x2?(a+1)x+alnx，則g'(x)=x?(a+1)+ax=(x?1)(x?a)x，
(ⅰ)當(dāng)a≤0時(shí)，由g'(x)0時(shí)，F(xiàn)'(1)=?a0時(shí)，f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(0,a)，單調(diào)增區(qū)間是(a,+∞)；
(2)a=0時(shí)，，
∴?'(x)=bx?2+1x=bx2?2x+1x ，
∵?(x)在(0,1)上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，
則?'(x)=0在(0,1)上有唯一實(shí)數(shù)解，且兩側(cè)異號(hào)，
由?'(x)=0，得bx2?2x+1=0；
令p(x)=bx2?2x+1，則p(x)在(0,1)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
易知p(0)=1>0，
①當(dāng)b=0，由p(x)=0，得x=12，滿足題意;
②當(dāng)b>0時(shí)，由Δ=4?4b>0p1=b?1

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