一元二次方程的定義及一般形式
????(2022山東德州期中)下列關(guān)于x的方程中是一元二次方 程的是　　　????(填序號).①x2+1=0;②x2+?=?;③x2+y+1=0;④mx2-3x=5;⑤x3-x2-x+1=0;⑥2x(3x-5)=6x2+4.
判斷方程是不是一元二次方程,需看方程是否同 時滿足三個條件:①是整式方程;②只含有一個未知數(shù);③未知 數(shù)的最高次數(shù)是2.另外,一些復(fù)雜的方程要先化簡再根據(jù)定 義進(jìn)行判斷.
????(2019四川遂寧中考)已知關(guān)于x的一元二次方程(a-1)x2- 2x+a2-1=0有一個根為x=0,則a的值為?(　????)A.0　????B.±1　????C.1　????D.-1
∵關(guān)于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+a2-1=0有一個根為x=0, ∴代入,得a2-1=0,又a-1≠0,∴a=-1.故選D.
????(2022湖北孝感期中)已知a是方程x2-2 022x+1=0的一個 根,則a2-2 021a+?=　　　????.
根據(jù)實際問題列出一元二次方程
????(2022福建泉州期中)如圖,用一段籬笆靠墻圍成一個大 長方形花圃(靠墻處不用籬笆),中間用籬笆隔開分成兩個小 長方形區(qū)域,分別種植兩種花草,籬笆總長為19 m(恰好用完), 圍成的大長方形花圃的面積為24 m2,設(shè)垂直于墻的一段籬笆 長為x m,可列出方程為　　　　　　　????.?
x(19-3x)=24
垂直于墻的一段籬笆長為x m,則平行于墻的籬笆長為(19- 3x)m,根據(jù)矩形面積公式可列方程為x(19-3x)=24.
未整理成一般形式就確定各項及其系數(shù),導(dǎo)致錯解
確定一元二次方程的各項系數(shù)及常數(shù)項時,必須將方程化為 一般形式.若二次項系數(shù)為負(fù)數(shù),一般將二次項系數(shù)化為正數(shù), 再確定各項系數(shù)及常數(shù)項.
????(2022湖北丹江口期中)將一元二次方程2x2+3x=5化成 一般式后,如果二次項系數(shù)是2,則一次項系數(shù)和常數(shù)項分別 是?(　????)A.3,5　????B.3,-5　????C.-3,5　????D.3x,-5
????(2022遼寧葫蘆島期中)如果關(guān)于x的方程(m-3)x|m-1|-3x+1 =0是一元二次方程,則m=　　　????.
理解概念不透徹,忽視二次項系數(shù)不為0這個條件
第二十一章　一元二次方程
21.2　解一元二次方程
知識點1?用直接開平方法解一元二次方程
知識點2?用配方法解一元二次方程
用直接開平方法解一元二次方程
解下列方程:(1)2x2=54;(2)9x2+6x+1=8;(3)2(?x-3)2=12.
當(dāng)p>0時,利用直接開平方法解形如(mx+n)2=p的 一元二次方程,開方后不要丟掉負(fù)值.
用配方法解一元二次方程
用配方法解下列方程:(1)x2-?x+1=0;(2)2x2-2=3x;(3)3x2+8x-3=0.
(2)移項,得2x2-3x=2.二次項系數(shù)化為1,得x2-?x=1.配方,得x2-?x+?=1+?,即?=?.可得x-?=±?,解得x1=2,x2=-?.(3)移項,得3x2+8x=3.二次項系數(shù)化為1,得x2+?x=1.配方,得x2+?x+?=1+?,即?=?.可得x+?=±?,解得x1=-3,x2=?.
知識點1?一元二次方程根的判別式
知識點2?用公式法解一元二次方程
一元二次方程根的判別式
(2022福建泉州期中)下列關(guān)于x的方程沒有實數(shù)根的是 ?(　????)A.x2+1=0　????B.x2-2x+1=0C.(x-1)(x+2)=0　????D.x2+2x-1=0
直線y=-x+a不經(jīng)過第一象限,則關(guān)于x的方程ax2+2x+1=0 的實數(shù)解的個數(shù)是(　????)A.0　????B.1　????C.2　????D.1或2
用公式法解一元二次方程
用公式法解方程:(1)x2-5x+2=0;　????(2)2x2-2x=x+5;(3)x2-2?x+3=0;????(4)?x-2=2x2.
(2)方程整理得2x2-3x-5=0,a=2,b=-3,c=-5,Δ=(-3)2-4×2×(-5)=9+40=49>0,
方程有兩個不相等的實數(shù)根,x=?=?=?,即x1=-1,x2=?.(3)a=1,b=-2?,c=3,Δ=(-2?)2-4×1×3=12-12=0,
方程有兩個相等的實數(shù)根,x1=x2=-?=-?=?.(4)方程整理得2x2-?x+2=0,
a=2,b=-?,c=2,Δ=(-?)2-4×2×2=2-16=-140,∴x9,∴x=16不符合題意,舍去,∴x=1.答:小路的寬應(yīng)為1 m.
數(shù)學(xué)建?！N售中的一元二次方程
素養(yǎng)解讀　　數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言表達(dá) 問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng).數(shù)學(xué)建模過程 主要包括:在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題, 分析問題、建立模型,確定參數(shù)、計算求解,檢驗結(jié)果、改進(jìn) 模型,最終解決實際問題.
　　建立一元二次方程模型解決銷售利潤問題、幾何圖形 面積問題、平均增長(或降低)率問題是常見的實際問題,也 是中考命題的熱點內(nèi)容,解題時,要通過分析建立相應(yīng)的一元
二次方程模型,將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解.
典例剖析 ????(2022山西左權(quán)月考)為了保護(hù)人民群眾生命安全,減少 交通事故,自2021年6月1日起,某市市民騎車出行必須嚴(yán)格遵 守“一盔一帶”規(guī)定.某頭盔經(jīng)銷商4至6月份統(tǒng)計,某品牌頭 盔4月份銷售150個,6月份銷售216個,且從4月份到6月份銷售 量的月增長率相同.(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率;(2)若此種頭盔的進(jìn)價為30元/個,經(jīng)測算,在新市場中,當(dāng)售價 為40元/個時,月銷售量為600個,若在原售價的基礎(chǔ)上每個上
漲0.5元,則月銷售量將減少5個,為使月銷售利潤達(dá)到10 000 元,而且盡可能讓顧客得到實惠,則該品牌頭盔的實際售價應(yīng) 定為多少元?
(2)設(shè)該品牌頭盔的實際售價為y元,依題意,得(y-30)?=10 000,整理,得y2-130y+4 000=0,解得y1=80,y2=50,因為要盡可能讓顧客得到實惠,所以取y=50.答:該品牌頭盔的實際售價應(yīng)定為50元.
(2)本小題是“銷量隨售價變化,已知利潤求售價”問題,實質(zhì)上為一元二次方程問題,關(guān)系如下:

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21.1 一元二次方程

版本： 人教版（2024）

年級： 九年級上冊

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