一、知識(shí)點(diǎn)梳理
一、向量共線
運(yùn)用向量的共線的相關(guān)知識(shí)，可以較容易地處理涉及三點(diǎn)共線、定比分點(diǎn)、直線等問(wèn)題。在處理圓錐曲線中求相關(guān)量的取值范圍、求直線的方程、求待定字母的值、證明過(guò)定點(diǎn)等問(wèn)題時(shí)，如能恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用平面向量共線的相關(guān)知識(shí)，常常能使問(wèn)題較快捷的得到解決.
【一般策略】
通過(guò)適當(dāng)?shù)脑O(shè)點(diǎn)，將向量關(guān)系代數(shù)化，再根據(jù)圓錐曲線的定義以及一些性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題.
二、向量的數(shù)量積
向量的數(shù)量積將一些幾何知識(shí)與代數(shù)知識(shí)充分的聯(lián)系在一起，它可以處理垂直、長(zhǎng)度、三角形面積和三角函數(shù)等問(wèn)題。所以在解決圓錐曲線中的一些問(wèn)題時(shí)，它通常可以運(yùn)用在探索點(diǎn)、線的存在性、求參數(shù)的取值范圍和求圓錐曲線的方程等方面.
【一般策略】
在圓錐曲線問(wèn)題中運(yùn)用向量的數(shù)量積，往往題目中出現(xiàn)了向量的數(shù)量積或構(gòu)造向量的數(shù)量積，通過(guò)向量的數(shù)量積的表達(dá)式、意義和運(yùn)算性質(zhì)，從而達(dá)到將問(wèn)題簡(jiǎn)化.
三、相應(yīng)的知識(shí)儲(chǔ)備
1.共線向量定理
如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實(shí)數(shù)，使．（口訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）．
2.數(shù)量積的運(yùn)算
（1）已知非零向量，，為向量、的夾角．
(2)兩個(gè)向量a，b的夾角為銳角?a·b＞0且a，b不共線；兩個(gè)向量a，b的夾角為鈍角?a·b＜0且a，b不共線
二、題型精講精練
【典例1】已知點(diǎn)，橢圓的離心率為，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求的方程；
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，且，求的面積及直線的方程．
【解析】（1）設(shè)，因?yàn)橹本€的斜率為，，所以，解得．
又，解得，所以橢圓的方程為．
（2）設(shè)、，由題意可設(shè)直線的方程為：，
聯(lián)立，消去得，
當(dāng)，所以，即或時(shí)，，，
由，得，代入上解得，即，
又
點(diǎn)到直線的距離，所以，
此時(shí)直線的方程為：或．
【典例2】已知雙曲線C的漸近線為，右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為A.
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若斜率為1的直線l與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），當(dāng)時(shí)，求直線l的方程.
【解析】（1）雙曲線的漸近線化為，設(shè)雙曲線的方程為，
即，又雙曲線的右焦點(diǎn)，則，解得，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由（1）知，，設(shè)直線的方程為，顯然，
由消去整理得，顯然，，
而，則
，
化簡(jiǎn)得，即，而，解得，
所以直線的方程為，即.
【題型訓(xùn)練-刷模擬】
1.向量共線
一、解答題
1．已知平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)．
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，過(guò)定點(diǎn)的直線和曲線交于不同兩點(diǎn)、滿(mǎn)足，求線段的長(zhǎng)．
2．已知橢圓C：的離心率，點(diǎn)，為橢圓C的左、右焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為9．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)分別作兩條互相垂直的直線，，且與橢圓交于不同兩點(diǎn)A，B，與直線交于點(diǎn)P，若，且點(diǎn)Q滿(mǎn)足，求的最小值．
9．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且，，．求和．
4．已知雙曲線C：的漸近線方程為，且過(guò)點(diǎn)．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若F是雙曲線的右焦點(diǎn)，Q是雙曲線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F，Q的直線l與y軸交于點(diǎn)M，且，求直線l的斜率．
5．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，離心率為2，一個(gè)焦點(diǎn)
(1)求雙曲線方程；
(2)設(shè)Q是雙曲線上一點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)F、Q的直線l與y軸交于點(diǎn)M，若，求直線l的方程．
6．已知雙曲線的兩條漸近線分別為，.
(1)求雙曲線的離心率；
(2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)雙曲線上一點(diǎn)作直線分別交直線，于，兩點(diǎn)（，分別在第一、第四象限），且，求的面積.
7．已知圓，，動(dòng)圓與圓，均外切，記圓心的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)直線過(guò)點(diǎn)，且與曲線交于兩點(diǎn)，滿(mǎn)足，求直線的方程．
8．已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，與橢圓C有相同焦點(diǎn)的雙曲線在第一象限與橢圓C相交于點(diǎn)P，且．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且．若橢圓C上存在點(diǎn)E，使得四邊形OAED為平行四邊形，求m的取值范圍．
9．已知橢圓Γ：，點(diǎn)分別是橢圓Γ與軸的交點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)．
(1)若橢圓焦點(diǎn)在軸上，且其離心率是，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若，求的面積；
(9)設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，證明：三點(diǎn)共線．
10．已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為，且.
(1)求的值；
(2)若直線與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，在第一象限，在第四象限，且，求的值.
11．已知雙曲線C：，直線l在x軸上方與x軸平行，交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，直線l交y軸于點(diǎn)D.當(dāng)l經(jīng)過(guò)C的焦點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為.
(1)求C的方程；
(2)設(shè)OD的中點(diǎn)為M，是否存在定直線l，使得經(jīng)過(guò)M的直線與C交于P，Q，與線段AB交于點(diǎn)N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
12．橢圓的離心率為，過(guò)橢圓焦點(diǎn)并且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)度為1．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)，使得，求的取值范圍．
19．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)，為的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)且垂直于橢圓長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為9.

(1)求橢圓的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)分別作兩條互相垂直的直線，，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，若，且點(diǎn)滿(mǎn)足，求線段的最小值.
14．如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為2．已知雙曲線的焦點(diǎn)為A，D，兩條漸近線分別為直線．
(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求的方程；
(2)過(guò)A的直線l與交于M，N兩點(diǎn)，，若點(diǎn)P滿(mǎn)足，證明：P在一條定直線上．
15．已知拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，與的公共弦長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，且與同向.
（i）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，判斷的形狀；
（ii）若，求直線的斜率.
16．已知橢圓，連接E的四個(gè)頂點(diǎn)所得四邊形的面積為4，是E上一點(diǎn)．
(1)求橢圓E的方程；
(2)設(shè)斜率為的直線與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，D為線段的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若E上存在點(diǎn)C，使得，求三角形的面積．
17．已知雙曲線的離心率為，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與雙曲線Q交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)位于第一象限，是雙曲線Q右支上一點(diǎn)，，設(shè)
(1)求雙曲線Q的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求證：C，D，B三點(diǎn)共線；
(9)若面積為，求直線l的方程．
18．過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為，直線恰為拋物線的準(zhǔn)線.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)是圓的動(dòng)點(diǎn)，拋物線上四點(diǎn)滿(mǎn)足：，，設(shè)中點(diǎn)為.
（i）證明：垂直于軸；
（ii）設(shè)面積為，求的最大值.
2.向量的數(shù)量積
一、解答題
1．已知拋物線：，斜率為的直線過(guò)定點(diǎn)，直線交拋物線于兩點(diǎn)，且位于軸兩側(cè)，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的值．
2．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn).已知拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離比它到軸的距離大1.
(1)求拋物線的方程；
(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn)，求的值；
9．已知橢圓的離心率為，短軸的一個(gè)頂點(diǎn)到橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求直線的方程.
4．已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右、上頂點(diǎn)，是的左焦點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為.
(1)求的方程；
(2)過(guò)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，求的取值范圍.
5．已知橢圓的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，左?右焦點(diǎn)分別為為原點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)為的中點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，對(duì)于任意的都有？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
6．已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，已知點(diǎn)在直線：上，且橢圓的離心率．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，軸，為垂足，為線段的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，求的值．
7．已知雙曲線，直線過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且交右支于兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，．
(1)求雙曲線的漸近線方程；
(2)若，求直線的方程．
8．已知雙曲線：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其中一條漸近線為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)一條過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且縱截距為的直線，交雙曲線于，兩點(diǎn)，求的值.
9．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)，在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過(guò)點(diǎn)．
(1)求雙曲線方程；
(2)若點(diǎn)在雙曲線上，求證：；
(9)在（2）的條件下，求的面積．
10．已知雙曲線C的漸近線為，右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為A.
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若斜率為1的直線l與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），當(dāng)時(shí)，求直線l的方程.
11．已知雙曲線：（，）的左頂點(diǎn)為，到的一條漸近線的距離為．
(1)求的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，求的值．
12．已知雙曲線的一條漸近線是，右頂點(diǎn)是
(1)求雙曲線的方程
(2)若直線：與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)、，且 是原點(diǎn)，求的取值范圍
19．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，位于拋物線C：上，且到拋物線的準(zhǔn)線的距離為2．
(1)求拋物線C的方程；
(2)已知點(diǎn)，過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線l交C于M，N兩點(diǎn)，求的最小值以及此時(shí)直線l的方程．
14．已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是的左、右頂點(diǎn)，而的左、右頂點(diǎn)分別是的左、右焦點(diǎn)．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和，且（其中為原點(diǎn)），求的范圍；
(9)對(duì)于（2）中的點(diǎn)和，在軸上是否存在點(diǎn)使為等邊三角形，若存在請(qǐng)求出的值；不存在則說(shuō)明理由.
15．如圖，已知拋物線，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，拋物線上的點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，.

(1)求的取值范圍；
(2)過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為.求的最大值.
16．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，且為等腰直角三角形．
(1)求橢圓的離心率；
(2)已知斜率為的直線與橢圓相切于點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，若，求橢圓的方程．
17．已知圓心為H的圓和定點(diǎn)，B是圓上任意一點(diǎn)，線段AB的中垂線l和直線BH相交于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)B在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡記為曲線C．
(1)求C的方程．
(2)如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作兩條相互垂直的直線分別與曲線C相交于P，Q和E，F(xiàn)，求的取值范圍
18．已知對(duì)稱(chēng)軸都在坐標(biāo)軸上的橢圓C過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線，分別交直線于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
19．已知橢圓C：的短軸長(zhǎng)為2，離心率為．點(diǎn)，直線：．
(1)證明：直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且每一點(diǎn)與的連線都是橢圓的切線；
(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，求證：．
20．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)過(guò)的直線與交于兩點(diǎn)，過(guò)的左頂點(diǎn)作的垂線，垂足為，求證：.
21．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為的離心率為2，直線過(guò)與交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的面積為9.
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知都在的右支上，設(shè)的斜率為.
①求實(shí)數(shù)的取值范圍；
②是否存在實(shí)數(shù)，使得為銳角？若存在，請(qǐng)求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
22．已知離心率為的雙曲線，直線與C的右支交于兩點(diǎn)，直線l與C的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，且從上至下依次為，．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)求的面積．
【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
素養(yǎng)拓展96 圓錐曲線與向量交匯問(wèn)題（精講+精練）
一、知識(shí)點(diǎn)梳理
一、向量共線
運(yùn)用向量的共線的相關(guān)知識(shí)，可以較容易地處理涉及三點(diǎn)共線、定比分點(diǎn)、直線等問(wèn)題。在處理圓錐曲線中求相關(guān)量的取值范圍、求直線的方程、求待定字母的值、證明過(guò)定點(diǎn)等問(wèn)題時(shí)，如能恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用平面向量共線的相關(guān)知識(shí)，常常能使問(wèn)題較快捷的得到解決.
【一般策略】
通過(guò)適當(dāng)?shù)脑O(shè)點(diǎn)，將向量關(guān)系代數(shù)化，再根據(jù)圓錐曲線的定義以及一些性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題.
二、向量的數(shù)量積
向量的數(shù)量積將一些幾何知識(shí)與代數(shù)知識(shí)充分的聯(lián)系在一起，它可以處理垂直、長(zhǎng)度、三角形面積和三角函數(shù)等問(wèn)題。所以在解決圓錐曲線中的一些問(wèn)題時(shí)，它通?？梢赃\(yùn)用在探索點(diǎn)、線的存在性、求參數(shù)的取值范圍和求圓錐曲線的方程等方面.
【一般策略】
在圓錐曲線問(wèn)題中運(yùn)用向量的數(shù)量積，往往題目中出現(xiàn)了向量的數(shù)量積或構(gòu)造向量的數(shù)量積，通過(guò)向量的數(shù)量積的表達(dá)式、意義和運(yùn)算性質(zhì)，從而達(dá)到將問(wèn)題簡(jiǎn)化.
三、相應(yīng)的知識(shí)儲(chǔ)備
1.共線向量定理
如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實(shí)數(shù)，使．（口訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘）．
2.數(shù)量積的運(yùn)算
（1）已知非零向量，，為向量、的夾角．
(2)兩個(gè)向量a，b的夾角為銳角?a·b＞0且a，b不共線；兩個(gè)向量a，b的夾角為鈍角?a·b＜0且a，b不共線
二、題型精講精練
【典例1】已知點(diǎn)，橢圓的離心率為，是橢圓的右焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求的方程；
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，且，求的面積及直線的方程．
【解析】（1）設(shè)，因?yàn)橹本€的斜率為，，所以，解得．
又，解得，所以橢圓的方程為．
（2）設(shè)、，由題意可設(shè)直線的方程為：，
聯(lián)立，消去得，
當(dāng)，所以，即或時(shí)，，，
由，得，代入上解得，即，
又
點(diǎn)到直線的距離，所以，
此時(shí)直線的方程為：或．
【典例2】已知雙曲線C的漸近線為，右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為A.
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若斜率為1的直線l與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），當(dāng)時(shí)，求直線l的方程.
【解析】（1）雙曲線的漸近線化為，設(shè)雙曲線的方程為，
即，又雙曲線的右焦點(diǎn)，則，解得，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由（1）知，，設(shè)直線的方程為，顯然，
由消去整理得，顯然，，
而，則
，
化簡(jiǎn)得，即，而，解得，
所以直線的方程為，即.
【題型訓(xùn)練-刷模擬】
1.向量共線
一、解答題
1．已知平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)．
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，過(guò)定點(diǎn)的直線和曲線交于不同兩點(diǎn)、滿(mǎn)足，求線段的長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)距離公式可得出關(guān)于、所滿(mǎn)足的等式，化簡(jiǎn)可得點(diǎn)的軌跡方程；
（2）分析可知直線直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，由可得出，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，由結(jié)合韋達(dá)定理可求得的值，然后利用弦長(zhǎng)公式可求得的值.
【詳解】（1）解：因?yàn)槊鎯?nèi)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，
則，整理可得，
因此，點(diǎn)的軌跡方程為.
（2）解：若直線與軸重合，則、為橢圓長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)，
若點(diǎn)、，則，，此時(shí)，不合乎題意，
若點(diǎn)、，同理可得，不合乎題意，
所以，直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，
聯(lián)立可得，，
因?yàn)?，即，所以，，即?br>由韋達(dá)定理可得，所以，，
，解得，
因此，
.
2．已知橢圓C：的離心率，點(diǎn)，為橢圓C的左、右焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為9．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)分別作兩條互相垂直的直線，，且與橢圓交于不同兩點(diǎn)A，B，與直線交于點(diǎn)P，若，且點(diǎn)Q滿(mǎn)足，求的最小值．
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）由通徑性質(zhì)、離心率和橢圓參數(shù)關(guān)系列方程求參數(shù)，即可得橢圓方程；
（2）討論直線斜率，設(shè)，，，為，注意情況，聯(lián)立橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理求，，結(jié)合、坐標(biāo)表示得到，進(jìn)而有求，再求坐標(biāo)，應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式得到關(guān)于的表達(dá)式求最值，注意取值條件.
【詳解】（1）由題意，，解得，，所以橢圓的方程為．
（2）由（1）得，若直線的斜率為0，則為與直線無(wú)交點(diǎn)，不滿(mǎn)足條件．
設(shè)直線：，若，則則不滿(mǎn)足，所以．
設(shè)，，，
由得：，，．
因?yàn)?，即，則，，
所以，解得，則，即，
直線：，聯(lián)立，解得，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立
∴的最小值為5．
9．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且，，．求和．
【答案】，
【分析】設(shè),，,，寫(xiě)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組，消元應(yīng)用韋達(dá)定理得，由向量共線的坐標(biāo)表示得出的關(guān)系，消去，代入韋達(dá)定理的結(jié)論求得值，從而可得的（縱）坐標(biāo)，由此求得．
【詳解】根據(jù)題意可得直線方程為，即，
聯(lián)立，可得，，△，
設(shè),，,，又，
，
，，，
又，，
，
，
，
，
，又，
，
，
，又，
，，
．
故，．
4．已知雙曲線C：的漸近線方程為，且過(guò)點(diǎn)．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若F是雙曲線的右焦點(diǎn)，Q是雙曲線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F，Q的直線l與y軸交于點(diǎn)M，且，求直線l的斜率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)雙曲線的漸近線方程為和雙曲線過(guò)點(diǎn)，聯(lián)立求解；
（2）由題意設(shè)直線方程為，令，得到M的坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)，用k表示點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)Q在雙曲線上，代入雙曲線方程求解.
【詳解】（1）解：因?yàn)殡p曲線C：的漸近線方程為，
所以，
又因?yàn)殡p曲線C：過(guò)點(diǎn)，
所以，解得，
所以雙曲線的方程為；
（2）由（1）知：，則，
由題意設(shè)直線方程為，令，得，則，
設(shè)，則，
因?yàn)椋?br>所以，則，
解得，因?yàn)辄c(diǎn)Q在雙曲線上，
所以，解得，
所以直線l的斜率為.
5．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，離心率為2，一個(gè)焦點(diǎn)
(1)求雙曲線方程；
(2)設(shè)Q是雙曲線上一點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)F、Q的直線l與y軸交于點(diǎn)M，若，求直線l的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）依題意設(shè)所求的雙曲線方程為，則，再根據(jù)離心率求出，即可求出，從而得到雙曲線方程；
（2）依題意可得直線的斜率存在，設(shè)，即可得到的坐標(biāo)，依題意可得或，分兩種情況分別求出的坐標(biāo)，再根據(jù)的雙曲線上，代入曲線方程，即可求出，即可得解；
【詳解】（1）解：設(shè)所求的雙曲線方程為（，），則，，
∴，又則，∴所求的雙曲線方程為．
（2）解：∵直線l與y軸相交于M且過(guò)焦點(diǎn)，
∴l(xiāng)的斜率一定存在，則設(shè)．令得，
∵且M、Q、F共線于l，∴或
當(dāng)時(shí)，，，∴，
∵Q在雙曲線上，∴，∴，
當(dāng)時(shí)，，代入雙曲線可得：
，∴．
綜上所求直線l的方程為：或．
6．已知雙曲線的兩條漸近線分別為，.
(1)求雙曲線的離心率；
(2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)雙曲線上一點(diǎn)作直線分別交直線，于，兩點(diǎn)（，分別在第一、第四象限），且，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)漸近線方程可得，再通過(guò)離心率公式求得離心率；
（2）根據(jù)雙曲線過(guò)點(diǎn)可得雙曲線方程，由已知可設(shè)點(diǎn)，，再由，可得，，進(jìn)而可得，設(shè)直線的傾斜角為，則，即可得，即可得的面積.
【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線的漸近線分別為，，
所以，，
所以雙曲線的離心率為；
（2）由（1）得，
則可設(shè)雙曲線，
因?yàn)樵陔p曲線上，
所以，則雙曲線的方程為，
又點(diǎn)，分別在與上，
設(shè)，，
因?yàn)椋?br>所以，
則，，
又，同理得，
設(shè)的傾斜角為，且，則，
所以.
【點(diǎn)睛】求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法．具體過(guò)程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關(guān)系，求出a，b的值．如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為，再由條件求出λ的值即可.
7．已知圓，，動(dòng)圓與圓，均外切，記圓心的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)直線過(guò)點(diǎn)，且與曲線交于兩點(diǎn)，滿(mǎn)足，求直線的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)兩圓的位置關(guān)系結(jié)合雙曲線的定義分析求解；
（2）不妨設(shè)，，，由可得，結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算求解.
【詳解】（1）由題意可知：圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，
由條件可得，即，
則根據(jù)雙曲線的定義可知，點(diǎn)是以，為焦點(diǎn)，以2為實(shí)軸長(zhǎng)的雙曲線的右支，
則，可得，
所以曲線的方程為．

（2）由（1）可知：雙曲線的漸近線方程為，即，
由于且直線的斜率不等于0，
不妨設(shè)，，，
則，，
由可得，
聯(lián)立方程，消去x得
則，由韋達(dá)定理可得，
由，解得，
代入可得，
解得，即，
因此直線，即.

8．已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，與橢圓C有相同焦點(diǎn)的雙曲線在第一象限與橢圓C相交于點(diǎn)P，且．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且．若橢圓C上存在點(diǎn)E，使得四邊形OAED為平行四邊形，求m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）結(jié)合雙曲線方程可得，，結(jié)合雙曲線和橢圓的定義即可得到，進(jìn)而求解；
（2）設(shè)，，則，結(jié)合平行四邊形OAED，可得，聯(lián)立直線和橢圓方程，利用韋達(dá)定理可得，．進(jìn)而得到，從而求解.
【詳解】（1）由題意，雙曲線的焦點(diǎn)為，，
雙曲線與橢圓C有相同焦點(diǎn)且在第一象限交點(diǎn)為P，
又，，．
，．
．
橢圓C的方程為．
（2）設(shè)，，則．
四邊形OAED為平行四邊形，
，．
點(diǎn)A，B，E均在橢圓C上，
，，．
，
．
．
由消去y，得．
顯然．
，．
．
，
因?yàn)椋?，即?br>所以，即.
．
9．已知橢圓Γ：，點(diǎn)分別是橢圓Γ與軸的交點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)．
(1)若橢圓焦點(diǎn)在軸上，且其離心率是，求實(shí)數(shù)的值；
(2)若，求的面積；
(9)設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，證明：三點(diǎn)共線．
【答案】(1)
(2)
(9)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)離心率的定義計(jì)算即可；
（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，根據(jù)弦長(zhǎng)公式算出，用點(diǎn)到直線的距離公式算出三角形的高后即可；
（9）聯(lián)立直線和橢圓方程，先表示出坐標(biāo)，將共線問(wèn)題轉(zhuǎn)化成證明，結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算.
【詳解】（1）依題意，，解得（負(fù)數(shù)舍去）.
（2）的直線經(jīng)過(guò)，則直線方程為：；
，則橢圓的方程為：.
設(shè)聯(lián)立直線和橢圓方程：，消去得到，
解得，則，故，于是.
依題意知，為橢圓的下頂點(diǎn)，即，由點(diǎn)到直線的距離，到的距離為：.
故
（9）設(shè)聯(lián)立直線和橢圓方程：，得到，由，得到直線方程為：，令，解得，即，又，，為說(shuō)明三點(diǎn)共線，只用證，即證：，下用作差法說(shuō)明它們相等：
，而，，，于是上式變?yōu)椋?
由韋達(dá)定理，，于是，故，命題得證.
10．已知拋物線的焦點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)為，且.
(1)求的值；
(2)若直線與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，在第一象限，在第四象限，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可；
（2）將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合平面向量共線性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）由拋物線的方程可知焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由拋物線的方程可知焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因?yàn)椋?br>所以；
（2）由（1）可知兩個(gè)拋物線的方程分別為，
設(shè)直線，，
根據(jù)題意結(jié)合圖形可知：，且，
聯(lián)立，則，
同理聯(lián)立，則，
由，
所以，
即，
又因?yàn)椋裕?br>由，
聯(lián)立，所以，
故.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是由.
11．已知雙曲線C：，直線l在x軸上方與x軸平行，交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，直線l交y軸于點(diǎn)D.當(dāng)l經(jīng)過(guò)C的焦點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為.
(1)求C的方程；
(2)設(shè)OD的中點(diǎn)為M，是否存在定直線l，使得經(jīng)過(guò)M的直線與C交于P，Q，與線段AB交于點(diǎn)N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)求得，結(jié)合雙曲線的定義求得，進(jìn)一步計(jì)算得出雙曲線的方程即可；
（2）設(shè)直線PQ的方程為，與雙曲線聯(lián)立得出韋達(dá)定理，結(jié)合兩個(gè)向量共線的坐標(biāo)表示求得，得到直線l的方程.
【詳解】（1）由已知C：，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，得，
焦點(diǎn)，，.
所以，，故C：.
（2）設(shè)l的方程為，則，故，
由已知直線PQ斜率存在，設(shè)直線PQ的方程為，故.
與雙曲線方程聯(lián)立得：，
由已知得，，設(shè)，，
則，①
由，得：，，
消去得：，
即②
由①②得：，由已知，
故存在定直線l：滿(mǎn)足條件.
12．橢圓的離心率為，過(guò)橢圓焦點(diǎn)并且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)度為1．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)，使得，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率公式，結(jié)合橢圓垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)直線是否存在斜率，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系分類(lèi)討論進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)樵摍E圓的離心率為，所以有，
在方程中，令，解得，
因?yàn)檫^(guò)橢圓焦點(diǎn)并且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)度為1，
所以有，由可得：，
所以橢圓的方程為；
（2）當(dāng)直線不存在斜率時(shí)，由題意可知直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，與縱軸也有兩個(gè)交點(diǎn)不符合題意；
當(dāng)直線存在斜率時(shí)，設(shè)為，所以直線的方程設(shè)為，
于是有，
因?yàn)樵撝本€與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以一定有，
化簡(jiǎn)，得，
設(shè)，于是有，
因?yàn)椋?br>所以，
代入中，得，
于是有，
化簡(jiǎn)，得，代入中，得.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是由向量等式得到.
19．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)，為的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)且垂直于橢圓長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為9.

(1)求橢圓的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)分別作兩條互相垂直的直線，，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，若，且點(diǎn)滿(mǎn)足，求線段的最小值.
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）由通徑性質(zhì)、離心率和橢圓參數(shù)關(guān)系列方程求參數(shù)，即可得橢圓方程；
（2）討論直線斜率，設(shè)，，，為，注意情況，聯(lián)立橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理求，，結(jié)合、坐標(biāo)表示得到，進(jìn)而有求，再求坐標(biāo)，應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式得到關(guān)于的表達(dá)式求最值，注意取值條件.
【詳解】（1）對(duì)于方程，令，則，解得，
由題意可得，解得，，
所以橢圓的方程為．
（2）由（1）得，若直線的斜率為0，則為與直線無(wú)交點(diǎn)，不滿(mǎn)足條件．
設(shè)直線：，若，則，則不滿(mǎn)足，所以．
設(shè)，，，
由得：，，
所以，．
因?yàn)?，即，則，，
所以，解得，則，即，
直線：，聯(lián)立，解得，即，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí),等號(hào)成立，
∴的最小值為．

14．如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為2．已知雙曲線的焦點(diǎn)為A，D，兩條漸近線分別為直線．
(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求的方程；
(2)過(guò)A的直線l與交于M，N兩點(diǎn)，，若點(diǎn)P滿(mǎn)足，證明：P在一條定直線上．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，從而得到與，結(jié)合即可求得，，從而得解；
（2）先考慮直線為軸的情況，求得此時(shí)，再考慮直線不為軸的情況，聯(lián)立直線與雙曲線的方程得到，再結(jié)合求得，從而得到，由此得證.
【詳解】（1）依題意，以直線為軸，線段的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，
因?yàn)樵谡呅沃?，為正三角形，，?br>設(shè)雙曲線的方程為，
由已知得的漸近線方程為，所以，
又焦距，所以，
又由，則，從而，
所以雙曲線的方程為.
（2）依題意，設(shè)，
當(dāng)直線為軸時(shí)，不失一般性，則，
又由（1）知，故，
所以，從而，
則，即，解得；
當(dāng)直線不為軸時(shí)，設(shè)的方程為，由可知，
聯(lián)立，消去，得，
則，，
因?yàn)?，所以?br>消去，得，
所以，
從而，
又也在直線上，
所以點(diǎn)在定直線上.
15．已知拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，與的公共弦長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，且與同向.
（i）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，判斷的形狀；
（ii）若，求直線的斜率.
【答案】(1)
(2)（i）為鈍角三角形. （ii）
【分析】（1）通過(guò)方程可知，通過(guò)與的公共弦的長(zhǎng)為且與的圖象都關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)可得計(jì)算即得；
（2）設(shè)直線方程為，分別聯(lián)立直線與拋物線、直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理計(jì)算可得繼而判斷三角形形狀,再利用結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算即可可以求參.
【詳解】（1）的焦點(diǎn)為，所以，①
又與的公共弦長(zhǎng)為，且與都關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
代入可得縱坐標(biāo)為，
所以公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，
代入中可得，②
聯(lián)立①②得，故的方程為.
（2）
設(shè)，
（i）設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立得，
則，
，
所以為鈍角三角形.
（ii）因?yàn)榕c同向，且，所以，
從而，即，
所以，
聯(lián)立得，
則，
所以，即，
所以直線的斜率為.
16．已知橢圓，連接E的四個(gè)頂點(diǎn)所得四邊形的面積為4，是E上一點(diǎn)．
(1)求橢圓E的方程；
(2)設(shè)斜率為的直線與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，D為線段的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若E上存在點(diǎn)C，使得，求三角形的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由面積和的坐標(biāo)建立方程組待定即可；
（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，由 D為線段的中點(diǎn)，利用韋達(dá)定理得到，即的坐標(biāo)，又，則點(diǎn)坐標(biāo)也可用表示，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，化簡(jiǎn)得到的關(guān)系，由點(diǎn)線距及弦長(zhǎng)公式求解面積，再由比例關(guān)系即可得到三角形的面積.
【詳解】（1）由題意知連接E的四個(gè)頂點(diǎn)所得四邊形的面積為，
又點(diǎn)在E上，得，
解得，，
故橢圓E的方程為．
（2）設(shè)直線的方程為，
由，消去得，
又，
得，設(shè)，，，則
，．
由，可得為三角形的重心，
所以，且，
，，
故由在橢圓E上，得，得，
，
又原點(diǎn)到直線的距離為，
所以，故．

17．已知雙曲線的離心率為，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與雙曲線Q交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)位于第一象限，是雙曲線Q右支上一點(diǎn)，，設(shè)
(1)求雙曲線Q的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求證：C，D，B三點(diǎn)共線；
(9)若面積為，求直線l的方程．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
(9)
【分析】（1）根據(jù)離心率即可求解，
（2）利用坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合點(diǎn)差法以及向量共線的坐標(biāo)表示即可求解，
（9）根據(jù)三角形面積公式，利用聯(lián)立方程，韋達(dá)定理，代入化簡(jiǎn)即可得到關(guān)于的方程，
【詳解】（1）由雙曲線的離心率為，所以，解得，
所以雙曲線Q的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）由得,又，所以
,，
由得①，
由于，在雙曲線上，所以，
相減得②
由①②得③，
由于，所以，
將③代入得，
所以，因此C，D，B三點(diǎn)共線
（9）設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立直線與雙曲線的方程為：，
故，
所以，
直線的方程為，
聯(lián)立，
所以
由于軸，，所以，
所以，
由于，代入得，令，則，化簡(jiǎn)得，由于，
所以，
因此，解得或
由于，所以，
故直線方程為
18．過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為，直線恰為拋物線的準(zhǔn)線.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)是圓的動(dòng)點(diǎn)，拋物線上四點(diǎn)滿(mǎn)足：，，設(shè)中點(diǎn)為.
（i）證明：垂直于軸；
（ii）設(shè)面積為，求的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）
【分析】（1）設(shè)直線與軸交于，由三角形相似關(guān)系可得，由此可構(gòu)造方程求得的值，從而得到拋物線方程；
（2）（i）根據(jù)共線向量可知為中點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)在拋物線上可確定為方程的兩根，由此可得韋達(dá)定理的結(jié)論；根據(jù)點(diǎn)縱坐標(biāo)可知斜率為零，由此可得結(jié)論；
（ii）由，代入韋達(dá)定理，結(jié)合點(diǎn)在圓上，可化簡(jiǎn)得到，根據(jù)二次函數(shù)最值的求法可求得結(jié)果.
【詳解】（1）
設(shè)直線與軸交于，則，
由圓的方程知：圓心，半徑，
為圓的切線，，又，
∽，，即
，解得：，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
（2）設(shè)，，，
（i）由知：為中點(diǎn)，且在拋物線上，即，
又，，整理可得：；
由知：為中點(diǎn)，且在拋物線上，
同理可得：；
是方程的兩根，，，
點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，直線的斜率為，即垂直于軸.
（ii），，
，
在圓上，，
，
則當(dāng)時(shí)，，
.
2.向量的數(shù)量積
一、解答題
1．已知拋物線：，斜率為的直線過(guò)定點(diǎn)，直線交拋物線于兩點(diǎn)，且位于軸兩側(cè)，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的值．
【答案】
【分析】設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，由根與系數(shù)的關(guān)系及數(shù)量積公式建立關(guān)于的方程，即可求得答案.
【詳解】由已知，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立直線與拋物線方程可得，消得，
.
方程的判別式
，
設(shè)，
則，，
，
由已知，故，
由，得，
故，解得或（舍去）
所以.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）解答直線與拋物線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．
（2）涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．
2．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn).已知拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離比它到軸的距離大1.
(1)求拋物線的方程；
(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn)，求的值；
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用拋物線的定義求出p值即得.
（2）設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算即得.
【詳解】（1）依題意，到拋物線焦點(diǎn)的距離為，則，解得，
所以?huà)佄锞€的方程為.
（2）顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線的方程為，
由消去x得：，顯然，設(shè)，
則，，
所以.

9．已知橢圓的離心率為，短軸的一個(gè)頂點(diǎn)到橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）由橢圓的性質(zhì)得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，由韋達(dá)定理結(jié)合得出直線的方程.
【詳解】（1）∵短軸的一個(gè)頂點(diǎn)到橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2，∴，
又橢圓C的離心率為，∴，故，
∴，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）聯(lián)立，整理得，
∴，，
故，
∵，∴，
解得，滿(mǎn)足，
∴直線的方程為或.

4．已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右、上頂點(diǎn)，是的左焦點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為.
(1)求的方程；
(2)過(guò)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由離心率、等面積法及橢圓參數(shù)關(guān)系列方程求橢圓參數(shù)，即可得方程；
（2）討論直線的斜率，設(shè)的方程并聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到關(guān)于所設(shè)參數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)而求范圍.
【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，
根據(jù)題意解得
故的方程為.
（2）由（1）知：.
當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，點(diǎn)為橢圓的左、右頂點(diǎn)，
不妨取，此時(shí)，則.
當(dāng)直線的斜率不為0或與軸垂直時(shí)，設(shè)其方程為，
代入橢圓并消去得，
設(shè)，則.
而，
所以
.
因?yàn)椋裕?br>所以.
綜上，的取值范圍為.

5．已知橢圓的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，左?右焦點(diǎn)分別為為原點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)為的中點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，對(duì)于任意的都有？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)
(2)存在定點(diǎn)滿(mǎn)足題意.
【分析】（1），結(jié)合，即可求解；
（2）設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，求得，設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)，對(duì)于任意的都有，由求解.
【詳解】（1）由題意得，
又，.
橢圓的方程為.
（2）設(shè)直線的方程為：，
令得，即，
聯(lián)立，得，
所以，
則，，
若在x軸上存在定點(diǎn)，對(duì)于任意的都有，
則，即，
解得，
所以存在定點(diǎn).
6．已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，已知點(diǎn)在直線：上，且橢圓的離心率．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，軸，為垂足，為線段的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，求的值．
【答案】(1)
(2)0
【分析】（1）根據(jù)上下頂點(diǎn)的定義，結(jié)合離心率的定義，建立方程，可得答案；
（2）設(shè)，，則點(diǎn)滿(mǎn)足橢圓方程，根據(jù)題意，易得、，計(jì)算即可
【詳解】（1）
且點(diǎn)在直線：上，，
又， ，，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）
設(shè)，，則，且，
為線段的中點(diǎn)，，
，直線的方程為：，
令，得，
，為線段的中點(diǎn)，，
，，



7．已知雙曲線，直線過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且交右支于兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，．
(1)求雙曲線的漸近線方程；
(2)若，求直線的方程．
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）根據(jù)等軸雙曲線方程即可求解漸近線方程，
（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達(dá)定理，即可根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義將其轉(zhuǎn)化為，由坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.
【詳解】（1）由題知，，所以雙曲線的漸近線方程為．
（2）雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
由題知，直線AB的斜率不為0，設(shè)直線方程為，代入雙曲線中，
化簡(jiǎn)可得：，
設(shè),則．
則
∴線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，
直線方程為．
（i）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)恰好為焦點(diǎn)，此時(shí)存在點(diǎn)或，使得．
此時(shí)直線方程為．
（ii）當(dāng)時(shí)，令可得，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由于所以，
由，即，也即：．
化簡(jiǎn)可得，解出，
由于直線要交雙曲線右支于兩點(diǎn)，所以，即，故舍去．
可得直線的方程為．
綜上：直線方程為或或．

8．已知雙曲線：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其中一條漸近線為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)一條過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且縱截距為的直線，交雙曲線于，兩點(diǎn)，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用雙曲線的漸近線方程和點(diǎn)的坐標(biāo)列式求解即可；
（2）根據(jù)雙曲線方程求出焦點(diǎn)進(jìn)而得到直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式，根據(jù)代入韋達(dá)定理即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以①，
又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以②，
①②聯(lián)立解得，，
所以雙曲線的方程為.
（2）由（1）可知雙曲線中，
所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即直線的橫截距為，
又因?yàn)橹本€的縱截距為，所以直線的方程為，即，

聯(lián)立得，
設(shè)，，則，，
所以.
【點(diǎn)睛】本題考查直線與雙曲線綜合應(yīng)用問(wèn)題，涉及雙曲線方程的求解、平面向量數(shù)量積的求解問(wèn)題，求解數(shù)量積的關(guān)鍵是能夠?qū)⑺罅哭D(zhuǎn)化為符合韋達(dá)定理的形式，通過(guò)直線與雙曲線聯(lián)立得到韋達(dá)定理的結(jié)論，代入可整理出結(jié)果.
9．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)，在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過(guò)點(diǎn)．
(1)求雙曲線方程；
(2)若點(diǎn)在雙曲線上，求證：；
(9)在（2）的條件下，求的面積．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
(9)6
【分析】（1）首先根據(jù)離心率設(shè)出雙曲線方程，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解；
（2）首先將點(diǎn)代入雙曲線方程求，再根據(jù)斜率公式或是數(shù)量積公式，證明垂直；
（9）根據(jù)（1）（2）的結(jié)果，代入面積公式，即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以可設(shè)雙曲線方程為．
因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以，即．
所以雙曲線方程為，即
（2）由（1）可知，雙曲線中，所以，不妨設(shè)，分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，
則，．
方法一：，，
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，
所以，，
所以,
所以，所以．
方法二：因?yàn)椋?br>，
所以．
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，
所以，即，
所以．

（9）的底邊長(zhǎng)，
的高，
所以．
10．已知雙曲線C的漸近線為，右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為A.
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若斜率為1的直線l與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），當(dāng)時(shí)，求直線l的方程.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用給定的漸近線方程設(shè)出雙曲線方程，再利用待定系數(shù)法求解作答.
（2）設(shè)出直線l的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示，求解作答.
【詳解】（1）雙曲線的漸近線化為，設(shè)雙曲線的方程為，
即，又雙曲線的右焦點(diǎn)，則，解得，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由（1）知，，設(shè)直線的方程為，顯然，
由消去整理得，顯然，，
而，則
，
化簡(jiǎn)得，即，而，解得，
所以直線的方程為，即.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為，再由條件求出λ的值即可.
11．已知雙曲線：（，）的左頂點(diǎn)為，到的一條漸近線的距離為．
(1)求的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，求的值．
【答案】(1)
(2)0
【分析】（1）由題意知，取雙曲線的一條漸近線，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可得到與關(guān)系式，從而求得，進(jìn)而可求得的方程；
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，則可得到，的坐標(biāo)，進(jìn)而可直接求解的值；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線的方程和的方程可得到關(guān)于的一元二次方程，從而可得到，，代入即可求解的值，綜上，即可得到的值．
【詳解】（1）由題意知，的一條漸近線方程為，即，
所以到的一條漸近線的距離為，所以，
又，解得，所以的方程為．
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，易得，或，，
所以；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立，得，
所以，解得，
所以，，
所以
．
綜上，．
12．已知雙曲線的一條漸近線是，右頂點(diǎn)是
(1)求雙曲線的方程
(2)若直線：與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)、，且 是原點(diǎn)，求的取值范圍
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及漸近線方程即可求得雙曲線方程；
（2）設(shè)點(diǎn)，，由可知，再將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理即可得到關(guān)于的不等式，并結(jié)合判別式大于零，即可求出的范圍.
【詳解】（1）由雙曲線的右頂點(diǎn)為，則，
漸近線即，則， 故雙曲線方程為．
（2）將雙曲線方程和直線方程聯(lián)立得，
則，即 ，解得且，
設(shè)， 則， ，
，
因?yàn)?，所以，即?br>解得或，
又，綜合可得，的取值范圍是.
19．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，位于拋物線C：上，且到拋物線的準(zhǔn)線的距離為2．
(1)求拋物線C的方程；
(2)已知點(diǎn)，過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線l交C于M，N兩點(diǎn)，求的最小值以及此時(shí)直線l的方程．
【答案】(1)
(2)19；．
【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義計(jì)算即可；
（2）根據(jù)韋達(dá)定理及二次函數(shù)最值計(jì)算即可.
【詳解】（1）根據(jù)題意可得，
又，解方程組得，，
故所求拋物線C方程，
（2）
設(shè)點(diǎn)，，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．
當(dāng)直線l的斜率等于0時(shí)，不存在兩個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)直線l的斜率不等于0時(shí)，不妨設(shè)過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線l的方程為：；
聯(lián)立拋物線方程可得，消去x得：，
，得，
由韋達(dá)定理得，，
易知，
故
．
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為19．
此時(shí)直線l的方程為．
14．已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是的左、右頂點(diǎn)，而的左、右頂點(diǎn)分別是的左、右焦點(diǎn)．
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和，且（其中為原點(diǎn)），求的范圍；
(9)對(duì)于（2）中的點(diǎn)和，在軸上是否存在點(diǎn)使為等邊三角形，若存在請(qǐng)求出的值；不存在則說(shuō)明理由.
【答案】(1)
(2)
(9)存在，
【分析】（1）設(shè)雙曲線的方程，用待定系數(shù)法求出，的值；
（2）將直線方程與雙曲線的方程聯(lián)立，消元得到一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，求解判別式，利用韋達(dá)定理和已知條件求出參數(shù)的取值范圍即可；
（9）分和兩種情況討論，結(jié)合（2）的結(jié)論和弦長(zhǎng)公式求出，利用點(diǎn)到直線的距離公式和題干條件即可求解.
【詳解】（1）設(shè)雙曲線的方程為，則，再由得，
故的方程為.
（2）將代入得
由直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得：
，且①
，，則，
，
又，得，，
即，解得：②，故的取值范圍為.
（9）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，即，
此時(shí)，點(diǎn)到的距離，顯然不合題意；
當(dāng)時(shí)，線段的中垂線方程為，
令，得，由①知，且，
由（2）知：
點(diǎn)到的距離，且，
即，，滿(mǎn)足范圍，
故.
15．如圖，已知拋物線，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，拋物線上的點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，.

(1)求的取值范圍；
(2)過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為.求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以點(diǎn)橫坐標(biāo)為自變量，用坐標(biāo)表示，轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域求解即可；
（2）利用數(shù)量積的幾何意義將轉(zhuǎn)化為，再向量坐標(biāo)化，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值求解即可.
【詳解】（1）直線的方程為，代入拋物線得：
，解得或，所以，
因?yàn)椋?br>所以，，
則有，
又，則有，故的取值范圍是.
（2）由（1）知，，
所以，，
，
令，，
則，
由于當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故，即的最大值為.
16．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，且為等腰直角三角形．
(1)求橢圓的離心率；
(2)已知斜率為的直線與橢圓相切于點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，若，求橢圓的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的幾何性質(zhì)可得出，根據(jù)、、的關(guān)系可求得橢圓的離心率的值；
（2）由題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)切點(diǎn)，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，由可得出、的等量關(guān)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出直線的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)求出的值，即可得出橢圓的方程.
【詳解】（1）解：設(shè)橢圓的半焦距為，由已知得點(diǎn)，
因?yàn)闉榈妊苯侨切危覟榈闹悬c(diǎn)，所以，即，
所以，有．
（2）解：由（1）知，設(shè)橢圓方程為，
因?yàn)榍悬c(diǎn)在第二象限，且直線的斜率為，
設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，
因?yàn)橹本€與橢圓相切，聯(lián)立可得，
由，可得，即，
所以，，，所以，
因?yàn)橹本€與直線垂直，所以直線的斜率為，
則直線的方程為，
聯(lián)立，可得，即點(diǎn)，
又因?yàn)?、?br>有，，
．
所以，所以橢圓的方程為．
17．已知圓心為H的圓和定點(diǎn)，B是圓上任意一點(diǎn)，線段AB的中垂線l和直線BH相交于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)B在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡記為曲線C．
(1)求C的方程．
(2)如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作兩條相互垂直的直線分別與曲線C相交于P，Q和E，F(xiàn)，求的取值范圍
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由l是線段AB的中垂線得，根據(jù)橢圓定義可得答案；
（2）由直線EF與直線PQ垂直可得，①當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，直線EF的斜率為零，可取，，，，可得；②當(dāng)直線PQ的斜率為零時(shí)，直線EF的斜率不存在，同理可得；③當(dāng)直線PQ的斜率存在且不為零時(shí)，直線EF的斜率也存在，于是可設(shè)直線PQ的方程為，設(shè)直線EF的方程為，將直線PQ的方程代入曲線C的方程，令，利用韋達(dá)定理代入，根據(jù)的范圍可得答案．
【詳解】（1）由，得，所以圓心為，半徑為4，
連接MA，由l是線段AB的中垂線，得，
所以，又，
根據(jù)橢圓的定義可知，點(diǎn)M的軌跡是以A，H為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，
所以，，，所求曲線C的方程為；
（2）由直線EF與直線PQ垂直，可得，
于是，
①當(dāng)直線PQ的斜率不存在時(shí)，直線EF的斜率為零，
此時(shí)可不妨取，，，，
所以，
②當(dāng)直線PQ的斜率為零時(shí)，直線EF的斜率不存在，同理可得，
③當(dāng)直線PQ的斜率存在且不為零時(shí)，直線EF的斜率也存在，于是可設(shè)直線PQ的方程為，，，，，
則直線EF的方程為，
將直線PQ的方程代入曲線C的方程，并整理得，，
所以，，
于是
，
將上面的k換成，可得，
所以，
令，則，于是上式化簡(jiǎn)整理可得，
，
由，得，所以，
綜合①②③可知，的取值范圍為．
18．已知對(duì)稱(chēng)軸都在坐標(biāo)軸上的橢圓C過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線，分別交直線于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）設(shè)橢圓C的方程為，由兩點(diǎn)得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）聯(lián)立直線l與橢圓方程，由直線的方程得出坐標(biāo)，再由韋達(dá)定理以及數(shù)量積公式，得出的范圍，進(jìn)而得出的最值.
【詳解】（1）設(shè)橢圓C的方程為且，
因?yàn)闄E圓C過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)，所以，解得.
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）設(shè)直線，
由，得，
即，則.
直線的方程分別為.
令，則.
則，
，
所以
.
因?yàn)?，所?
即的取值范圍為.
所以存在最小值，且最小值為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決問(wèn)題（2）時(shí)，關(guān)鍵在于利用韋達(dá)定理將雙變量變?yōu)閱巫兞繂?wèn)題，從而由的范圍，得出的取值范圍.
19．已知橢圓C：的短軸長(zhǎng)為2，離心率為．點(diǎn)，直線：．
(1)證明：直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且每一點(diǎn)與的連線都是橢圓的切線；
(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，求證：．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由已知求得橢圓方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，即可證得線與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)，得直線的方程為，代入橢圓方程，整理成關(guān)于的一元二次方程，即可證明的連線都是橢圓的切線；
（2）根據(jù)四點(diǎn)共線，要證即證，設(shè)，不妨設(shè)，則證明轉(zhuǎn)化為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與直線，直線與橢圓，利用坐標(biāo)關(guān)系即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）由題意可知，因此，則橢圓方程為：
因?yàn)橛上タ傻?，?br>則該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，所以直線與橢圓相交于兩點(diǎn)；
設(shè)為直線與橢圓的交點(diǎn)，則，，
直線的方程為，即，代入橢圓方程得，
所以，
整理得，
即，所以，
故是橢圓的切線.
（2）因?yàn)樗狞c(diǎn)共線，由（1）可知在線段外，在線段內(nèi)，所以與的方向相同，與的方向相同，
要證，只需要，即證，
設(shè)，不妨設(shè)，
因?yàn)樗狞c(diǎn)共線，所以等價(jià)于，即，
顯然，
設(shè)直線的方程為，即，
由，可得；
由可得，
從而可知，
因此
，
所以結(jié)論成立.
20．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)過(guò)的直線與交于兩點(diǎn)，過(guò)的左頂點(diǎn)作的垂線，垂足為，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得雙曲線的方程.
（2）設(shè)出直線的方程并與雙曲線方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，由得到直線與直線垂直，利用相似三角形證得結(jié)論成立.
【詳解】（1）的右焦點(diǎn)為，
漸近線方程為，
，
，
的方程為：；
（2）設(shè)方程為，
聯(lián)立得：，
，
，
設(shè)，則，，
，
，
，
直線與直線垂直，
在中，
，
，
即.

21．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為的離心率為2，直線過(guò)與交于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的面積為9.
(1)求雙曲線的方程；
(2)已知都在的右支上，設(shè)的斜率為.
①求實(shí)數(shù)的取值范圍；
②是否存在實(shí)數(shù)，使得為銳角？若存在，請(qǐng)求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)
(2)①②不存在，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）由已知條件可得，然后利用勾股定理結(jié)合雙曲線的定義，及的面積可求出，再由離心率可求出，從而可求得雙曲線的方程，
（2）①設(shè)直線，代入雙曲線方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合判別式可求出實(shí)數(shù)的取值范圍；②假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使為銳角，則，所以，再結(jié)合前面的式子化簡(jiǎn)計(jì)算即可得結(jié)論.
【詳解】（1）因?yàn)椋?
則，所以，
的面積.
又的離心率為，所以.
所以雙曲線的方程為.
（2）①根據(jù)題意，則直線，
由，得，
由，得恒成立.
設(shè)，則，
因?yàn)橹本€與雙曲線的右支相交于不同的兩點(diǎn)，
所以，即，
所以，解得.
②假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使為銳角，所以，即，
因?yàn)椋?br>所以，
由①得，
即解得，
與矛盾，故不存在.

22．已知離心率為的雙曲線，直線與C的右支交于兩點(diǎn)，直線l與C的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，且從上至下依次為，．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)求的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1），根據(jù)雙曲線離心率表示出的關(guān)系，可得雙曲線漸近線方程，記，進(jìn)而可求得的坐標(biāo)表達(dá)式，聯(lián)立可得根與系數(shù)關(guān)系式，從而推出與的中點(diǎn)均為同一個(gè)點(diǎn)P，結(jié)合，推出是線段的兩個(gè)四等分點(diǎn)，即可求得，從而，即可求得，可得答案；
（2）利用（1）的結(jié)論，可求得，利用三角形面積公式結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算，將面積化為，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得答案.
【詳解】（1）設(shè)，設(shè)的中點(diǎn)為，
記，則直線即，
因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，故，
于是雙曲線的漸近線為．
聯(lián)立,解得,即，
同理由,解得,即，于是．
聯(lián)立,消去x，得．
即,需滿(mǎn)足，
由韋達(dá)定理，得，
所以，，說(shuō)明與的中點(diǎn)均為同一個(gè)點(diǎn)P，
所以，關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱(chēng)，關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱(chēng)，所以，
因?yàn)椋允蔷€段的兩個(gè)四等分點(diǎn)，
故P點(diǎn)縱坐標(biāo)為，所以，
于是，即，結(jié)合，
解得，滿(mǎn)足，則，
故所求雙曲線方程為．
（2）由（1）可知，，
于是．
設(shè)，則
，
代入，
得，
故的面積為．
結(jié)論
幾何表示
坐標(biāo)表示
模
數(shù)量積
夾角
的充要
條件
的充要
條件
與
的關(guān)系
(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)
結(jié)論
幾何表示
坐標(biāo)表示
模
數(shù)量積
夾角
的充要
條件
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條件
與
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(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)

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