一、知識(shí)點(diǎn)梳理
一、阿波羅尼斯圓
1.阿波羅尼斯圓的定義
在平面上給定兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在同一平面上且滿足，當(dāng)且時(shí)，點(diǎn)的軌跡是個(gè)圓，稱之為阿波羅尼斯圓．（時(shí)點(diǎn)的軌跡是線段的中垂線）
2.阿波羅尼斯圓的證明
設(shè)．若（且），則點(diǎn)的軌跡方程是，其軌跡是以為圓心，半徑為的圓．
證明：由及兩點(diǎn)間距離公式，可得，
化簡(jiǎn)可得①，
（1）當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線；
（2）當(dāng)時(shí)，方程①兩邊都除以得，化為標(biāo)準(zhǔn)形式即為：
，∴點(diǎn)的軌跡方程是以為圓心，半徑為的圓．

圖① 圖② 圖③
【定理】為兩已知點(diǎn)，分別為線段的定比為的內(nèi)外分點(diǎn)，則以為直徑的圓上任意點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之比為．
證明：以為例．如圖②，設(shè)，，則，
．過作的垂線圓交于兩點(diǎn)，由相交弦定理及勾股定理得，于是．
同時(shí)在到兩點(diǎn)距離之比等于的圓上，而不共線的三點(diǎn)所確定的圓是唯一的，
圓上任意一點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之比恒為．同理可證的情形．
9.阿波羅尼斯圓的相關(guān)結(jié)論
【結(jié)論1】當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B在圓內(nèi)，點(diǎn)A在圓外；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A在圓內(nèi)，點(diǎn)B在圓外．
【結(jié)論2】因，故是圓的一條切線．若已知圓及圓外一點(diǎn)A，可以作出與之對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B，反之亦然．
【結(jié)論9】所作出的阿波羅尼斯圓的直徑為，面積為．
【結(jié)論4】過點(diǎn)作圓的切線（為切點(diǎn)），則分別為的內(nèi)、外角平分線．
【結(jié)論5】阿波羅尼斯圓的直徑兩端是按比例內(nèi)分和外分所得的兩個(gè)分點(diǎn)，如圖所示，是的內(nèi)分點(diǎn)，是的外分點(diǎn)，此時(shí)必有平分，平分的外角．
證明：如圖①，由已知可得（且），，又，
平分．由等角的余角相等可得，平分的外角．
【結(jié)論6】過點(diǎn)作圓不與重合的弦，則AB平分．
證明：如圖③，連結(jié)，由已知（且），又，平分．
平分．
二、蒙日?qǐng)A
1.蒙日?qǐng)A的定義
在橢圓上，任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于橢圓長(zhǎng)半軸短半軸平方和的幾何平方根，這個(gè)圓叫蒙日?qǐng)A，如圖1．
證明：設(shè)橢圓的方程為，則橢圓兩條互相垂直的切線交點(diǎn)的軌跡是蒙日?qǐng)A：．①當(dāng)題設(shè)中的兩條互相垂直的切線斜率均存在且不為時(shí)，可設(shè)（且），過的橢圓的切線方程為，由得，
由其判別式值為，得，
是這個(gè)關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，，
由已知點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程．
②當(dāng)題設(shè)中的兩條互相垂直的切線有斜率不存在或斜率為時(shí)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為或，此時(shí)點(diǎn)也在圓上．
綜上所述：橢圓兩條互相垂直的切線交點(diǎn)的軌跡是蒙日?qǐng)A：．
2.蒙日?qǐng)A的幾何性質(zhì)
【結(jié)論1】過圓上的動(dòng)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，則．
證明：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，由，得
，由其判別式的值為0，
得，
，是這個(gè)關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，，，，．
【結(jié)論2】設(shè)為蒙日?qǐng)AO：上任一點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，交橢圓于點(diǎn)為原點(diǎn)，則的斜率乘積為定值．
【結(jié)論9】設(shè)為蒙日?qǐng)AO：上任一點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為為原點(diǎn)，則的斜率乘積為定值，且的斜率乘積為定值（垂徑定理的推廣）．
【結(jié)論4】過圓上的動(dòng)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，O為原點(diǎn)，則平分橢圓的切點(diǎn)弦．
證明：點(diǎn)坐標(biāo)，直線斜率，由切點(diǎn)弦公式得到方程，，，由點(diǎn)差法可知，平分，如圖是中點(diǎn)．
【結(jié)論5】設(shè)為蒙日?qǐng)A上任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，交蒙日?qǐng)AO于兩點(diǎn)C，D，則的斜率乘積為定值．
【結(jié)論6】設(shè)為蒙日?qǐng)A上任一點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為為原點(diǎn)，則的斜率乘積為定值：．
【結(jié)論7】設(shè)為蒙日?qǐng)A上任一點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為為原點(diǎn)，則的最大值為，的最小值為．
【結(jié)論8】設(shè)為蒙日?qǐng)A上任一點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的最大值為的最小值為．
二、題型精講精練
【典例1】設(shè)，是平面上兩點(diǎn)，則滿足(其中為常數(shù)，且)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓，已知，，且.
（1）求點(diǎn)所在圓的方程.
（2）已知圓與軸交于，兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左邊)，斜率不為0的直線過點(diǎn)且與圓交于，兩點(diǎn)，證明：.
【詳解】（1）解：由題意可得，，即，
則，整理得，即圓的方程為.
（2）證明：對(duì)于圓，令，得或，所以，.
設(shè)直線的方程為，，.
由得，
則，.
則直線與關(guān)于軸對(duì)稱，即.
【典例2】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為．
（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）若動(dòng)點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)到橢圓的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)的軌跡方程．
【詳解】（I）可知，又，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（II）設(shè)兩切線為，
①當(dāng)軸或//軸時(shí)，對(duì)應(yīng)//軸或軸，可知或．
②當(dāng)與軸不垂直且不平行時(shí)，，設(shè)的斜率為，則的斜率為，的方程為，聯(lián)立，得，
∵直線與橢圓相切，∴，得
，整理得
（*），是方程（*）的一個(gè)根，同理是方程（*）的另一個(gè)根，其中，點(diǎn)的軌跡方程為，又或滿足上式．綜上知：點(diǎn)P的軌跡方程為．
【題型訓(xùn)練-刷模擬】
1.阿波羅尼斯圓
一、單選題
1．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）我們都知道：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于定值（不為1）的動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓．后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓．已知平面內(nèi)有兩點(diǎn)和，且該平面內(nèi)的點(diǎn)滿足，若點(diǎn)的軌跡關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值是（ ）
A．10B．20C．90D．40
2．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將之稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓為橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，為橢圓短軸的端點(diǎn)，，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足面積的最大值為面積的最小值為，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
9．（2092秋·江西宜春·高三江西省豐城中學(xué)?？计谥校┌⒉_尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)Q，P的距離之比，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓．已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，且，若點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
4．（2029·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)（且），那么點(diǎn)的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓.若點(diǎn)到，的距離比為，則點(diǎn)到直線：的距離的最大值是（ ）
A．B．C．D．
5．（2029·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，動(dòng)點(diǎn)滿足，得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡是阿氏圓.若對(duì)任意實(shí)數(shù)，直線與圓恒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．（2029·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得?阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值，且的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)滿足.設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．的方程為
B．當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，則
C．在C上存在點(diǎn)M，使得
D．若，則的最小值為
7．（2029·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知平面上兩定點(diǎn)A，B，則所有滿足（且）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓心在直線AB上，半徑為的圓.這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在棱長(zhǎng)為6的正方體的一個(gè)側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
8．（2029秋·云南保山·高三統(tǒng)考期末）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得?阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值且的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．曲線的方程為
B．曲線與圓外切
C．曲線被直線截得的弦長(zhǎng)為
D．曲線上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1
9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓．”后來人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足，點(diǎn)的軌跡為曲線，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．曲線的方程為
B．直線與曲線有公共點(diǎn)
C．曲線被軸截得的弦長(zhǎng)為
D．面積的最大值為
10．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足．設(shè)點(diǎn)的軌跡為，則（ ）．
A．軌跡的方程為
B．在軸上存在異于，的兩點(diǎn)，，使得
C．當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，射線是的角平分線
D．在上存在點(diǎn)，使得
11．（2029春·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中校聯(lián)考階段練習(xí)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值（，且）的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足.設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，則下列說法正確的是（ ）
A．的方程為
B．當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，則
C．在上存在點(diǎn)，使得
D．若，則的最小值為
三、填空題
12．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）阿波羅尼斯（約前262—前190年）證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡方程是 ．
19．（2029春·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？奸_學(xué)考試）阿波羅尼斯證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B間的距離為9，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的范圍為 .
14．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓，現(xiàn)有，，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，則的長(zhǎng)為 .
15．（2029·河北衡水·校聯(lián)考二模）希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得?阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)是滿足的阿氏圓上的任一點(diǎn)，若拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與此阿氏圓相交所得的最長(zhǎng)弦與最短弦的和為 .
16．（2029·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┮阎矫嫔蟽啥c(diǎn)A、B，則所有滿足（且）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓心在直線AB上，半徑為的圓．這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓．已知棱長(zhǎng)為9的正方體ABCD-A1B1C1D1表面上動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為 ．
四、解答題
17．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得?阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值且的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.在平面直角坐標(biāo)系中，，，動(dòng)點(diǎn)滿足.設(shè)點(diǎn)的軌跡為.
(1)求曲線的方程；
(2)若曲線和無公共點(diǎn)，求的取值范圍.
18．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）平面上兩點(diǎn)A、B，則所有滿足且k不等于1的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿氏圓.已知圓上的動(dòng)點(diǎn)P滿足：其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(1)直線上任取一點(diǎn)Q，作圓的切線，切點(diǎn)分別為M，N，求四邊形面積的最小值；
(2)在（1）的條件下，證明：直線MN恒過一定點(diǎn)并寫出該定點(diǎn)坐標(biāo).
19．（2029秋·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)?？计谀┌⒉_尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中．阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比，是一個(gè)常數(shù)，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線上．已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點(diǎn)分別為橢圓的右焦點(diǎn)與右頂點(diǎn)，且橢圓的離心率為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如圖，過右焦點(diǎn)斜率為的直線與橢圓相交于，（點(diǎn)在軸上方），點(diǎn)，是橢圓上異于，的兩點(diǎn)，平分，平分．
①求的取值范圍；
②將點(diǎn)、、看作一個(gè)阿波羅尼斯圓上的三點(diǎn)，若外接圓的面積為，求直線的方程．
2.蒙日?qǐng)A
一、單選題
1．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）加斯帕爾·蒙日（圖1）是18～19世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”（圖2）．則橢圓 的蒙日?qǐng)A的半徑為（ ）
A．9B．4C．5D．6
2．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）畫法幾何創(chuàng)始人蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)必在一個(gè)與橢圓同心的圓上，且圓半徑的平方等于長(zhǎng)半軸?短半軸的平方和，此圓被命名為該橢圓的蒙日?qǐng)A.若橢圓的蒙日?qǐng)A為，則該橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
9．（2029秋·新疆烏魯木齊·高三?？茧A段練習(xí)）法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”．他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓被稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A．若橢圓：（）的蒙日?qǐng)A為，則橢圓Γ的離心率為（ ）
A．B．C．D．
4．（2029·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）定義：圓錐曲線的兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，這個(gè)圓稱為蒙日?qǐng)A.已知橢圓的方程為，是直線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線與橢圓相切于、兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，連接，當(dāng)為直角時(shí)，則（ ）
A．或B．或C．或D．或
5．（2029·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）畫法幾何的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：過橢圓外一點(diǎn)作橢圓的兩條互相垂直的切線，那么這一點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓被稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A．已知橢圓的蒙日?qǐng)A為圓，若圓不透明，則一束光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)軸反射到圓上的最大路程是（ ）
A．2B．4C．5D．8
6．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，其蒙日?qǐng)A方程為，M為蒙日?qǐng)A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，與蒙日?qǐng)A分別交于P，Q兩點(diǎn)，若面積的最大值為96，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
7．（2029·貴州畢節(jié)·校考模擬預(yù)測(cè)）加斯帕爾-蒙日是1819世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家．如圖，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”．若長(zhǎng)方形的四邊均與橢圓相切，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）

A．橢圓的離心率為B．橢圓的蒙日?qǐng)A方程為
C．若為正方形，則的邊長(zhǎng)為D．長(zhǎng)方形的面積的最大值為18
8．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）研究發(fā)現(xiàn)橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)圓叫做橢圓的蒙日?qǐng)A．設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為，，為橢圓上的任意一點(diǎn)，為橢圓的蒙日?qǐng)A的半徑．若的最小值為，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
9．（2029秋·安徽·高三安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”．他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A．若橢圓：的蒙日?qǐng)A為C：，過C上的動(dòng)點(diǎn)M作的兩條切線，分別與C交于P，Q兩點(diǎn)，直線PQ交于A，B兩點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．橢圓的離心率為
B． 面積的最大值為
C．M到的左焦點(diǎn)的距離的最小值為
D．若動(dòng)點(diǎn)D在上，將直線DA，DB的斜率分別記為，，則
二、多選題
10．（2029·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）加斯帕爾·蒙日（如圖甲）是18~19世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”（圖乙）．已知長(zhǎng)方形R的四邊均與橢圓相切，則下列說法正確的是（ ）
A．橢圓C的離心率為B．橢圓C的蒙日?qǐng)A方程為
C．橢圓C的蒙日?qǐng)A方程為D．長(zhǎng)方形R的面積最大值為18
11．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”、“微分幾何之父”．他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A．若橢圓的蒙日?qǐng)A為，過上的動(dòng)點(diǎn)作的兩條切線，分別與交于，兩點(diǎn)，直線交于，兩點(diǎn)，則（ ）
A．橢圓的離心率為
B．面積的最大值為
C．到的左焦點(diǎn)的距離的最小值為
D．若動(dòng)點(diǎn)在上，將直線，的斜率分別記為，，則
12．（2029秋·重慶永川·高三重慶市永川北山中學(xué)校校考期末）在橢圓中，其所有外切矩形的頂點(diǎn)在一個(gè)定圓上，稱此圓為該橢圓的蒙日?qǐng)A.該圓由法國(guó)數(shù)學(xué)家最新發(fā)現(xiàn).若橢圓，則下列說法中正確的有（ ）
A．橢圓外切矩形面積的最大值為
B．點(diǎn)為蒙日?qǐng)A上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)最大值時(shí)
C．過橢圓的蒙日?qǐng)A上一點(diǎn)，作橢圓的一條切線，與蒙日?qǐng)A交于點(diǎn)，若存在，則為定值
D．若橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過橢圓上一點(diǎn)和原點(diǎn)作直線與蒙日?qǐng)A相交于，且，則
19．（2029·江蘇鹽城·?？既＃┊嫹◣缀蔚膭?chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.已知橢圓.分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線的方程為，為橢圓的蒙日?qǐng)A上一動(dòng)點(diǎn)，分別與橢圓相切于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列說法正確的是（ ）
A．橢圓的蒙日?qǐng)A方程為
B．記點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為
C．一矩形四條邊與橢圓相切，則此矩形面積最大值為
D．的面積的最小值為，最大值為
三、填空題
14．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）法國(guó)數(shù)學(xué)家蒙日（Mnge，）發(fā)現(xiàn)：橢圓的兩條互相垂直切線的交點(diǎn)的軌跡方程為：，這個(gè)圓被稱為蒙日?qǐng)A．若某橢圓對(duì)應(yīng)的蒙日?qǐng)A方程為，則 ．
15．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，該圓的圓心是橢圓中心，則稱這個(gè)圓為蒙日?qǐng)A.若橢圓的蒙日?qǐng)A的半徑為，則橢圓的離心率為 .
16．（2029春·吉林長(zhǎng)春·高三長(zhǎng)春十一高?？奸_學(xué)考試）“蒙日?qǐng)A”涉及幾何學(xué)中的一個(gè)著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，它的圓心是橢圓中心，這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A．已知橢圓C：的蒙日?qǐng)A方程為，則橢圓C的離心率為 ．
17．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）畫法幾何的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓．我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A．已知橢圓的蒙日?qǐng)A方程為，橢圓的離心率為，為蒙日?qǐng)A上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，與蒙日?qǐng)A分別交于、兩點(diǎn)，則面積的最大值為 .（用含的代數(shù)式表示）
四、解答題
18．（2029秋·浙江寧波·高三期末）法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日被譽(yù)為畫法幾何之父.他在研究橢圓切線問題時(shí)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的重要結(jié)論：一橢圓的任兩條互相垂直的切線交點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，尊稱為蒙日?qǐng)A，且蒙日?qǐng)A的圓心是該橢圓的中心，半徑為該橢圓的長(zhǎng)半軸與短半軸平方和的算術(shù)平方根.已知在橢圓中，離心率，左、右焦點(diǎn)分別是、，上頂點(diǎn)為Q，且，O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程，并請(qǐng)直接寫出橢圓C的蒙日?qǐng)A的方程；
(2)設(shè)P是橢圓C外一動(dòng)點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），過P作橢圓C的兩條切線，過P作x軸的垂線，垂足H，若兩切線斜率都存在且斜率之積為，求面積的最大值.
19．（2029·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在橢圓：（）中，其所有外切矩形的頂點(diǎn)在一個(gè)定圓：上，稱此圓為橢圓的蒙日?qǐng)A.橢圓過，.
(1)求橢圓的方程；
(2)過橢圓的蒙日?qǐng)A上一點(diǎn)，作橢圓的一條切線，與蒙日?qǐng)A交于另一點(diǎn)，若，存在，證明：為定值.
【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
素養(yǎng)拓展90 阿波羅尼斯圓和蒙日?qǐng)A的問題（精講+精練）
一、知識(shí)點(diǎn)梳理
一、阿波羅尼斯圓
1.阿波羅尼斯圓的定義
在平面上給定兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在同一平面上且滿足，當(dāng)且時(shí)，點(diǎn)的軌跡是個(gè)圓，稱之為阿波羅尼斯圓．（時(shí)點(diǎn)的軌跡是線段的中垂線）
2.阿波羅尼斯圓的證明
設(shè)．若（且），則點(diǎn)的軌跡方程是，其軌跡是以為圓心，半徑為的圓．
證明：由及兩點(diǎn)間距離公式，可得，
化簡(jiǎn)可得①，
（1）當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線；
（2）當(dāng)時(shí)，方程①兩邊都除以得，化為標(biāo)準(zhǔn)形式即為：
，∴點(diǎn)的軌跡方程是以為圓心，半徑為的圓．

圖① 圖② 圖③
【定理】為兩已知點(diǎn)，分別為線段的定比為的內(nèi)外分點(diǎn)，則以為直徑的圓上任意點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之比為．
證明：以為例．如圖②，設(shè)，，則，
．過作的垂線圓交于兩點(diǎn)，由相交弦定理及勾股定理得，于是．
同時(shí)在到兩點(diǎn)距離之比等于的圓上，而不共線的三點(diǎn)所確定的圓是唯一的，
圓上任意一點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之比恒為．同理可證的情形．
9.阿波羅尼斯圓的相關(guān)結(jié)論
【結(jié)論1】當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B在圓內(nèi)，點(diǎn)A在圓外；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A在圓內(nèi)，點(diǎn)B在圓外．
【結(jié)論2】因，故是圓的一條切線．若已知圓及圓外一點(diǎn)A，可以作出與之對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B，反之亦然．
【結(jié)論9】所作出的阿波羅尼斯圓的直徑為，面積為．
【結(jié)論4】過點(diǎn)作圓的切線（為切點(diǎn)），則分別為的內(nèi)、外角平分線．
【結(jié)論5】阿波羅尼斯圓的直徑兩端是按比例內(nèi)分和外分所得的兩個(gè)分點(diǎn)，如圖所示，是的內(nèi)分點(diǎn)，是的外分點(diǎn)，此時(shí)必有平分，平分的外角．
證明：如圖①，由已知可得（且），，又，
平分．由等角的余角相等可得，平分的外角．
【結(jié)論6】過點(diǎn)作圓不與重合的弦，則AB平分．
證明：如圖③，連結(jié)，由已知（且），又，平分．
平分．
二、蒙日?qǐng)A
1.蒙日?qǐng)A的定義
在橢圓上，任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于橢圓長(zhǎng)半軸短半軸平方和的幾何平方根，這個(gè)圓叫蒙日?qǐng)A，如圖1．
證明：設(shè)橢圓的方程為，則橢圓兩條互相垂直的切線交點(diǎn)的軌跡是蒙日?qǐng)A：．①當(dāng)題設(shè)中的兩條互相垂直的切線斜率均存在且不為時(shí)，可設(shè)（且），過的橢圓的切線方程為，由得，
由其判別式值為，得，
是這個(gè)關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，，
由已知點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程．
②當(dāng)題設(shè)中的兩條互相垂直的切線有斜率不存在或斜率為時(shí)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為或，此時(shí)點(diǎn)也在圓上．
綜上所述：橢圓兩條互相垂直的切線交點(diǎn)的軌跡是蒙日?qǐng)A：．
2.蒙日?qǐng)A的幾何性質(zhì)
【結(jié)論1】過圓上的動(dòng)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，則．
證明：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，由，得
，由其判別式的值為0，
得，
，是這個(gè)關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，，，，．
【結(jié)論2】設(shè)為蒙日?qǐng)AO：上任一點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，交橢圓于點(diǎn)為原點(diǎn)，則的斜率乘積為定值．
【結(jié)論9】設(shè)為蒙日?qǐng)AO：上任一點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為為原點(diǎn)，則的斜率乘積為定值，且的斜率乘積為定值（垂徑定理的推廣）．
【結(jié)論4】過圓上的動(dòng)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，O為原點(diǎn)，則平分橢圓的切點(diǎn)弦．
證明：點(diǎn)坐標(biāo)，直線斜率，由切點(diǎn)弦公式得到方程，，，由點(diǎn)差法可知，平分，如圖是中點(diǎn)．
【結(jié)論5】設(shè)為蒙日?qǐng)A上任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，交蒙日?qǐng)AO于兩點(diǎn)C，D，則的斜率乘積為定值．
【結(jié)論6】設(shè)為蒙日?qǐng)A上任一點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為為原點(diǎn)，則的斜率乘積為定值：．
【結(jié)論7】設(shè)為蒙日?qǐng)A上任一點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為為原點(diǎn)，則的最大值為，的最小值為．
【結(jié)論8】設(shè)為蒙日?qǐng)A上任一點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的最大值為的最小值為．
二、題型精講精練
【典例1】設(shè)，是平面上兩點(diǎn)，則滿足(其中為常數(shù)，且)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓，已知，，且.
（1）求點(diǎn)所在圓的方程.
（2）已知圓與軸交于，兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左邊)，斜率不為0的直線過點(diǎn)且與圓交于，兩點(diǎn)，證明：.
【詳解】（1）解：由題意可得，，即，
則，整理得，即圓的方程為.
（2）證明：對(duì)于圓，令，得或，所以，.
設(shè)直線的方程為，，.
由得，
則，.
則直線與關(guān)于軸對(duì)稱，即.
【典例2】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為．
（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）若動(dòng)點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)到橢圓的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)的軌跡方程．
【詳解】（I）可知，又，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（II）設(shè)兩切線為，
①當(dāng)軸或//軸時(shí)，對(duì)應(yīng)//軸或軸，可知或．
②當(dāng)與軸不垂直且不平行時(shí)，，設(shè)的斜率為，則的斜率為，的方程為，聯(lián)立，得，
∵直線與橢圓相切，∴，得
，整理得
（*），是方程（*）的一個(gè)根，同理是方程（*）的另一個(gè)根，其中，點(diǎn)的軌跡方程為，又或滿足上式．綜上知：點(diǎn)P的軌跡方程為．
【題型訓(xùn)練-刷模擬】
1.阿波羅尼斯圓
一、單選題
1．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）我們都知道：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于定值（不為1）的動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓．后來該軌跡被人們稱為阿波羅尼斯圓．已知平面內(nèi)有兩點(diǎn)和，且該平面內(nèi)的點(diǎn)滿足，若點(diǎn)的軌跡關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值是（ ）
A．10B．20C．90D．40
【答案】B
【分析】點(diǎn)的軌跡為圓，直線過圓心，得，利用基本不等式求的最小值.
【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，則，
即，
所以點(diǎn)的軌跡方程為，
因?yàn)辄c(diǎn)的軌跡關(guān)于直線對(duì)稱，
所以圓心在此直線上，即，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值是.
故選：B.
2．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將之稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓為橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，為橢圓短軸的端點(diǎn)，，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足面積的最大值為面積的最小值為，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題可得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，可得，，即求.
【詳解】設(shè)，，
由，可得=2，
化簡(jiǎn)得.
∵△MAB面積的最大值為面積的最小值為，
∴，，
∴，即，
∴．
故選：A．
9．（2029秋·江西宜春·高三江西省豐城中學(xué)?？计谥校┌⒉_尼斯是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)Q，P的距離之比，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓．已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，且，若點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)點(diǎn)的軌跡方程可得，結(jié)合條件可得，即得.
【詳解】設(shè)，，所以，
又，所以．
因?yàn)榍?，所以?br>整理可得，
又動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是，
所以，解得，
所以，又，
所以，因?yàn)椋?br>所以的最小值為．
故選：C．
4．（2029·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)（且），那么點(diǎn)的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓.若點(diǎn)到，的距離比為，則點(diǎn)到直線：的距離的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先由題意求出點(diǎn)的軌跡方程，再由直線和圓的位置關(guān)系求解即可.
【詳解】由題意，設(shè)點(diǎn)，則，
∴，化簡(jiǎn)得點(diǎn)的軌跡方程為，
∴點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑的圓.
圓心到直線：的距離，
∴點(diǎn)到直線最大距離為.
故選：A.
5．（2029·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，動(dòng)點(diǎn)滿足，得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡是阿氏圓.若對(duì)任意實(shí)數(shù)，直線與圓恒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)點(diǎn)，求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡圓的方程，再求出直線過定點(diǎn)坐標(biāo)，依題意點(diǎn)在圓的內(nèi)部，即可得到不等式，解得即可.
【詳解】設(shè)點(diǎn)，，，
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為阿氏圓：，
又直線恒過點(diǎn)，
若對(duì)任意實(shí)數(shù)直線與圓恒有公共點(diǎn)，
在圓的內(nèi)部或圓上，所以，所以，解得，
即的取值范圍為.
故選：C
6．（2029·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得?阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值，且的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)滿足.設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．的方程為
B．當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，則
C．在C上存在點(diǎn)M，使得
D．若，則的最小值為
【答案】C
【分析】根據(jù)已知條件及兩點(diǎn)之間的距離公式，利用三角形的角平分線定理及圓與圓的位置關(guān)系，結(jié)合三點(diǎn)共線時(shí)線段取得最短即可求解.
【詳解】設(shè)，由，得，化簡(jiǎn)得，故A正確；
當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，，所以是的角平分線，所以，故B正確；
設(shè),則，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以C上不存在點(diǎn)M，使得，故C錯(cuò)
誤；
因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)，等號(hào)成立，故D正確.
故選：C.
7．（2029·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知平面上兩定點(diǎn)A，B，則所有滿足（且）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓心在直線AB上，半徑為的圓.這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在棱長(zhǎng)為6的正方體的一個(gè)側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)阿氏圓的定義分析得P點(diǎn)軌跡為球與側(cè)面的交線，計(jì)算其弧長(zhǎng)即可
【詳解】在圖1中，以B為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示，
設(shè)阿氏圓圓心為，半徑為r.因?yàn)椋裕?br>所以.
設(shè)圓O與AB交于點(diǎn)M.由阿氏圓性質(zhì)，知.
又，所以.又，
所以，解得，所以，
所以點(diǎn)P在空間內(nèi)的軌跡為以O(shè)為球心，半徑為4的球.
當(dāng)點(diǎn)P在側(cè)面內(nèi)部時(shí)，如圖2所示，截面圓與，分別交于點(diǎn)M，R，
所以點(diǎn)P在側(cè)面內(nèi)的軌跡為.
因?yàn)樵谥?，，，所以?br>所以，所以點(diǎn)P在側(cè)面內(nèi)部的軌跡長(zhǎng)為.

故選：B.
二、多選題
8．（2029秋·云南保山·高三統(tǒng)考期末）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得?阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值且的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．曲線的方程為
B．曲線與圓外切
C．曲線被直線截得的弦長(zhǎng)為
D．曲線上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1
【答案】ACD
【分析】對(duì)于A，設(shè)點(diǎn)，由兩點(diǎn)間距離公式代入化簡(jiǎn)判斷；對(duì)于B，根據(jù)圓心距與兩半徑和的關(guān)系進(jìn)行判斷；對(duì)于C，先求出點(diǎn)到直線的距離，再結(jié)合勾股定理求出弦長(zhǎng)；對(duì)于D，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離以及圓C的半徑分析判斷.
【詳解】對(duì)于A，設(shè)，由定義，得，化簡(jiǎn)整理得，故A正確；
對(duì)于B，的圓心為，半徑；的圓心為，半徑；圓心距，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，圓心到直線的距離，
所以弦長(zhǎng)為，故C正確；
對(duì)于D，圓心到直線的距離，半徑，所以圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1,故D正確.
故選：ACD.
9．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓．”后來人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓．在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足，點(diǎn)的軌跡為曲線，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．曲線的方程為
B．直線與曲線有公共點(diǎn)
C．曲線被軸截得的弦長(zhǎng)為
D．面積的最大值為
【答案】ACD
【分析】通過阿氏圓的定義結(jié)合，設(shè)，從而可以得到曲線C的方程；
通過計(jì)算圓心到直線的距離是否小于等于半徑，從而判斷B的正確性；
計(jì)算圓心到軸的距離，結(jié)合，得到曲線被軸截得的弦長(zhǎng)，從而判斷C的正確性；
的長(zhǎng)度確定，所以面積的最大值即為點(diǎn)到距離的最大值，從而判斷C的正確性.
【詳解】設(shè)，
對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)榍€C為，所以圓心為，半徑為，計(jì)算圓心到直線的距離為，
所以直線與曲線C沒有公共點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，曲線的圓心在軸上，所以被軸截得的弦即為直徑，所以曲線被軸截得的弦長(zhǎng)為，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，，所?故，
而曲線C為，所以，即的最大值為，故D正確.
故選：ACD
10．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足．設(shè)點(diǎn)的軌跡為，則（ ）．
A．軌跡的方程為
B．在軸上存在異于，的兩點(diǎn)，，使得
C．當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，射線是的角平分線
D．在上存在點(diǎn)，使得
【答案】BC
【分析】利用求軌跡方程的方法確定軌跡的方程可判斷A；設(shè)，，由兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合軌跡的方程可判斷B；由角平分線的定義可判斷C；設(shè)，由求出點(diǎn)的軌跡方程與聯(lián)立，可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足，
設(shè)，則，化簡(jiǎn)得，
即，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，假設(shè)在軸上存在異于，的兩點(diǎn)，，使得，
設(shè)，，則，
化簡(jiǎn)得，
由軌跡的方程為，可得，，
解得，或，（舍去），所以B正確；
對(duì)于C，當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，，
可得射線是的角平分線，所以C正確；
對(duì)于D，若在上存在點(diǎn)，使得，可設(shè)，
則，化簡(jiǎn)得，
與聯(lián)立，方程組無解，故不存在點(diǎn)，所以D錯(cuò)誤．
故選：BC．
11．（2029春·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中校聯(lián)考階段練習(xí)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值（，且）的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足.設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，則下列說法正確的是（ ）
A．的方程為
B．當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，則
C．在上存在點(diǎn)，使得
D．若，則的最小值為
【答案】ABD
【分析】對(duì)于A，通過直接法求出點(diǎn)的軌跡方程即可判斷；
對(duì)于B，由題意，結(jié)合三角形內(nèi)角平分線定理進(jìn)行判斷即可；
對(duì)于C，由“阿波羅尼斯圓”定義，求點(diǎn)軌跡方程，用圓與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可；
對(duì)于D，將轉(zhuǎn)化為進(jìn)行判斷即可.
【詳解】設(shè)，（不與，重合）
∵，，∴，，
∴，得，化簡(jiǎn)得，
∴點(diǎn)的軌跡曲線是以為圓心，半徑的圓，
對(duì)于A，曲線的方程為，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B，由已知，，，∴，
∴當(dāng)，，三點(diǎn)不共線時(shí)，由三角形內(nèi)角平分線定理知，是內(nèi)角的角平分線，
∴，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于C，若，則，由題意，點(diǎn)軌跡是圓，
設(shè)，由得，化簡(jiǎn)得點(diǎn)軌跡方程為，
即點(diǎn)的軌跡是圓心為，半徑的圓，
圓與圓的圓心距，
∴圓與圓的位置關(guān)系為內(nèi)含，圓與圓無公共點(diǎn)，
∴上不存在點(diǎn)，使得，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，∵，∴，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)，等號(hào)成立，故選項(xiàng)D正確.
故選：ABD.
三、填空題
12．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）阿波羅尼斯（約前262—前190年）證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡方程是 ．
【答案】
【分析】直接設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式代入化簡(jiǎn)整理可求點(diǎn)P的軌跡方程．
【詳解】設(shè)，即，整理得：即．
故答案為：．
19．（2029春·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？奸_學(xué)考試）阿波羅尼斯證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B間的距離為9，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的范圍為 .
【答案】
【分析】以中點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線為軸，以的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)，由題可得點(diǎn)P軌跡方程，后可得答案.
【詳解】以中點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線為軸，以的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，所以?
設(shè)，因?yàn)?，所以?br>整理得，即.
.
又，
則，則.
故答案為：
14．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓，現(xiàn)有，，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，則的長(zhǎng)為 .
【答案】
【分析】利用正弦定理將角化邊，即可求得點(diǎn)的軌跡方程，然后確定三角形面積的最大值和點(diǎn)的坐標(biāo)，最后求解的長(zhǎng)度即可．
【詳解】解：因?yàn)?，由正弦定理可得，即，因?yàn)?，不妨令，，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的軌跡方程滿足：，
整理可得：，，
即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，4為半徑的圓（除與軸兩交點(diǎn)外），
當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)或時(shí)三角形的面積最大，其最大值為，
由勾股定理可得．
故答案為：．
15．（2029·河北衡水·校聯(lián)考二模）希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得?阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)是滿足的阿氏圓上的任一點(diǎn)，若拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與此阿氏圓相交所得的最長(zhǎng)弦與最短弦的和為 .
【答案】
【分析】由阿氏圓的定義得到點(diǎn)的軌跡方程，即阿氏圓的方程，然后由圓的性質(zhì)即可求解.
【詳解】設(shè)，由阿氏圓的定義可得，
即，化簡(jiǎn)得.
所以，所以點(diǎn)在圓心為，半徑為的圓上，
因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為.所以，
因?yàn)?所以點(diǎn)在圓內(nèi)，
因?yàn)辄c(diǎn)到與圓心的距離為，
所以過點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為，過點(diǎn)的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為，
所以過點(diǎn)的最長(zhǎng)弦與最短弦的和為.
故答案為：
16．（2029·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考三模）已知平面上兩定點(diǎn)A、B，則所有滿足（且）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓心在直線AB上，半徑為的圓．這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓．已知棱長(zhǎng)為9的正方體ABCD-A1B1C1D1表面上動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為 ．
【答案】
【分析】以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合題意可得點(diǎn)在空間內(nèi)的軌跡為以為球心，半徑為2的球.再根據(jù)球的性質(zhì)求解即可.
【詳解】在圖1中，以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如圖2所示，
設(shè)阿氏圓圓心為，半徑為，
因?yàn)?，所以，所以?br>設(shè)圓與交于點(diǎn)，由阿氏圓性質(zhì)，知，
又，所以，
又，所以，解得，所以，
所以點(diǎn)在空間內(nèi)的軌跡為以為球心，半徑為2的球，
當(dāng)點(diǎn)在面內(nèi)部時(shí)，如圖2所示，截面圓與分別交于點(diǎn)，
所以點(diǎn)在面內(nèi)的軌跡為，
因?yàn)樵谥?，，所以?br>所以，所以點(diǎn)在面內(nèi)部的軌跡長(zhǎng)為，
同理，點(diǎn)在面內(nèi)部的軌跡長(zhǎng)為，
當(dāng)點(diǎn)在面內(nèi)部時(shí)，如圖9所示，因?yàn)槠矫妫?br>所以平面截球所得小圓是以為圓心，以長(zhǎng)為半徑的圓，
截面圓與分別交于點(diǎn)，且，
所以點(diǎn)在面內(nèi)的軌跡為，且，
綜上，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求球與平面公共點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度時(shí)先求出平面截球所得圓面的半徑，當(dāng)截面為完整的圓時(shí)可直接求圓周長(zhǎng)，當(dāng)截面只是圓的一部分時(shí)先求圓心角的大小再計(jì)算弧長(zhǎng).
四、解答題
17．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得?阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為定值且的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱阿氏圓.在平面直角坐標(biāo)系中，，，動(dòng)點(diǎn)滿足.設(shè)點(diǎn)的軌跡為.
(1)求曲線的方程；
(2)若曲線和無公共點(diǎn)，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)，然后根據(jù)列方程化簡(jiǎn)計(jì)算即可得曲線的方程，
（2）先求出兩圓的圓心和半徑，再由題意可得兩圓外離或內(nèi)含，從而可得或，從而可求出的取值范圍
（1）
設(shè)，
因?yàn)?，，?dòng)點(diǎn)滿足，
所以，
化簡(jiǎn)得，即，
所以曲線的方程為，
（2）曲線的圓心為，半徑為4，
的圓心為，半徑為，
因?yàn)榍€和無公共點(diǎn)，所以兩圓外離或內(nèi)含，
所以或，
所以或，
所以或，
所以的取值范圍為
18．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）平面上兩點(diǎn)A、B，則所有滿足且k不等于1的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿氏圓.已知圓上的動(dòng)點(diǎn)P滿足：其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(1)直線上任取一點(diǎn)Q，作圓的切線，切點(diǎn)分別為M，N，求四邊形面積的最小值；
(2)在（1）的條件下，證明：直線MN恒過一定點(diǎn)并寫出該定點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】(1)4；
(2)證明見解析，.
【分析】（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求出點(diǎn)P的軌跡方程為，求出，，求出最小值即得解；
（2）設(shè)，兩圓方程相減可得MN的方程為，即得解.
【詳解】（1）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，根據(jù)題設(shè)條件有，
所以有，
化簡(jiǎn)得.
所以
，
由題知，當(dāng)時(shí)，此時(shí)， |QM|最小，
即四邊形面積取得最小值4.
（2）解；設(shè)，由幾何性質(zhì)，可知M，N兩點(diǎn)在以為直徑的圓上，
此圓的方程為，
而直線MN是此圓與圓的相交弦所在直線，
相減可得MN的方程為，
所以直線MN恒過定點(diǎn).
19．（2029秋·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)?？计谀┌⒉_尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中．阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比，是一個(gè)常數(shù)，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線上．已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點(diǎn)分別為橢圓的右焦點(diǎn)與右頂點(diǎn)，且橢圓的離心率為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如圖，過右焦點(diǎn)斜率為的直線與橢圓相交于，（點(diǎn)在軸上方），點(diǎn)，是橢圓上異于，的兩點(diǎn)，平分，平分．
①求的取值范圍；
②將點(diǎn)、、看作一個(gè)阿波羅尼斯圓上的三點(diǎn)，若外接圓的面積為，求直線的方程．
【答案】（1）；（2）①；②．
【分析】（1）方法1，利用特殊值法，求得橢圓方程，方法2，利用定義整理得，再根據(jù)條件列式求得橢圓方程；方法9，利用定義進(jìn)行整理，由為常數(shù)，求得系數(shù)，得到橢圓方程；（2）①首先由面積比值求得，令，則，利用坐標(biāo)表示向量，求得，再求范圍；②由阿波羅尼斯圓定義知，，，在以，為定點(diǎn)得阿波羅尼斯圓上，由幾何關(guān)系列式得，求得，再根據(jù)，求得，即可計(jì)算直線方程.
【詳解】（1）方法（1）特殊值法，令，，且，解得
∴，，橢圓的方程為
方法（2）設(shè)，由題意（常數(shù)），
整理得：，
故，又，解得：，．
∴，橢圓的方程為．
方法（9）設(shè)，則．
由題意
∵為常數(shù)，∴，又，解得：，，故
∴橢圓的方程為
（2）①由，又，
∴（或由角平分線定理得）
令，則，設(shè)，則有，
又直線的斜率，則，代入得：
，即，
∵，∴．
②由①知，，由阿波羅尼斯圓定義知，
，，在以，為定點(diǎn)得阿波羅尼斯圓上，設(shè)該圓圓心為，半徑為，與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為，
則有，即，解得：．
又，故，∴
又，
∴，
解得：，，
∴，∴直線的方程為．
2.蒙日?qǐng)A
一、單選題
1．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）加斯帕爾·蒙日（圖1）是18～19世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”（圖2）．則橢圓 的蒙日?qǐng)A的半徑為（ ）
A．9B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】由蒙日?qǐng)A的定義，確定出圓上的一點(diǎn)即可求出圓的半徑.
【詳解】由蒙日?qǐng)A的定義，可知橢圓 的兩條切線的交點(diǎn)
在圓上，
所以，
故選：A
2．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）畫法幾何創(chuàng)始人蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)必在一個(gè)與橢圓同心的圓上，且圓半徑的平方等于長(zhǎng)半軸?短半軸的平方和，此圓被命名為該橢圓的蒙日?qǐng)A.若橢圓的蒙日?qǐng)A為，則該橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題可得，然后利用離心率公式即得.
【詳解】由題可得，
∴，即橢圓為，
∴.
故選：A.
9．（2029秋·新疆烏魯木齊·高三?？茧A段練習(xí)）法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”．他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓被稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A．若橢圓：（）的蒙日?qǐng)A為，則橢圓Γ的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】找過右頂點(diǎn)的切線和過上頂點(diǎn)的切線，得到這兩條切線的交點(diǎn)在蒙日?qǐng)A上，再建立關(guān)于的方程，即可求解.
【詳解】
如圖，分別與橢圓相切，顯然.
所以點(diǎn)在蒙日?qǐng)A上，
所以，所以，即，
所以橢圓的離心率.
故選：D
4．（2029·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）定義：圓錐曲線的兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，這個(gè)圓稱為蒙日?qǐng)A.已知橢圓的方程為，是直線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線與橢圓相切于、兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，連接，當(dāng)為直角時(shí)，則（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】D
【分析】求出蒙日?qǐng)A的方程，求出直線與蒙日?qǐng)A的交點(diǎn)、的坐標(biāo)，求出直線、的斜率，分析可知當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)、重合時(shí)，為直角，即可得出的值.
【詳解】根據(jù)蒙日?qǐng)A定義，圓方程為，
因?yàn)橹本€與圓交于、兩點(diǎn)，聯(lián)立，可得或，
即點(diǎn)、，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或重合時(shí)，為直角，且，，
所以，直線的斜率為或.
故選：D.
5．（2029·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）畫法幾何的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：過橢圓外一點(diǎn)作橢圓的兩條互相垂直的切線，那么這一點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓被稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A．已知橢圓的蒙日?qǐng)A為圓，若圓不透明，則一束光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)軸反射到圓上的最大路程是（ ）
A．2B．4C．5D．8
【答案】B
【分析】由特殊切線求得蒙日?qǐng)A方程，求出點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，求出過點(diǎn)的圓的切線長(zhǎng)即可得．
【詳解】由題意直線和是橢圓的兩條相互垂直的切線，因此它們的交點(diǎn)在蒙日?qǐng)A上，從而，即蒙日?qǐng)A方程為，
設(shè)從點(diǎn)出發(fā)的光線在軸上反向點(diǎn)為，如圖，反射光線是圓的切線（在蒙日?qǐng)A上此時(shí)為切點(diǎn)）時(shí)，路程為最大，
關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，由對(duì)稱性知在直線上，因此是圓的切線，，
．
故選：B．

6．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，其蒙日?qǐng)A方程為，M為蒙日?qǐng)A上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，與蒙日?qǐng)A分別交于P，Q兩點(diǎn)，若面積的最大值為96，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由橢圓離心率，用半焦距c表示a，b，再利用橢圓蒙日?qǐng)A的性質(zhì)及面積最大值求出c即可求出結(jié)果.
【詳解】令橢圓的半焦距為c，
由橢圓的離心率，得，，
因此橢圓的蒙日?qǐng)A方程為，由蒙日?qǐng)A的性質(zhì)得，
于是線段PQ是圓的直徑，即，
則面積的最大值為，即，，
所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.
故選：B
7．（2029·貴州畢節(jié)·?？寄M預(yù)測(cè)）加斯帕爾-蒙日是1819世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家．如圖，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”．若長(zhǎng)方形的四邊均與橢圓相切，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）

A．橢圓的離心率為B．橢圓的蒙日?qǐng)A方程為
C．若為正方形，則的邊長(zhǎng)為D．長(zhǎng)方形的面積的最大值為18
【答案】D
【分析】由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求得后再求得，從而可得離心率，利用特殊的長(zhǎng)方形（即邊長(zhǎng)與橢圓的軸平行）求得蒙日?qǐng)A方程，從而可得長(zhǎng)方形邊長(zhǎng)的關(guān)系，結(jié)合基本不等式得面積最大值，并得出長(zhǎng)方形為正方形時(shí)的邊長(zhǎng)．
【詳解】由橢圓方程知，，則，離心率為，A正確；
當(dāng)長(zhǎng)方形的邊與橢圓的軸平行時(shí)，長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)分別為和4，其對(duì)角線長(zhǎng)為，因此蒙日?qǐng)A半徑為，圓方程為，B正確；
設(shè)矩形的邊長(zhǎng)分別為，因此，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以長(zhǎng)方形的面積的最大值是20，此時(shí)該長(zhǎng)方形為正方形，邊長(zhǎng)為，C正確，D錯(cuò)誤．
故選：D．
8．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）研究發(fā)現(xiàn)橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)圓叫做橢圓的蒙日?qǐng)A．設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為，，為橢圓上的任意一點(diǎn)，為橢圓的蒙日?qǐng)A的半徑．若的最小值為，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)分析可得蒙日?qǐng)A的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑，設(shè)，根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，進(jìn)而可得，代入運(yùn)算即可得離心率.
【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸、短軸、焦距分別為，
不妨設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，顯然均為橢圓的切線，
即均在蒙日?qǐng)A上，
根據(jù)對(duì)稱性分析可得：蒙日?qǐng)A的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑，
設(shè)橢圓方程為，橢圓上任一點(diǎn)，
∵，則，
可得
，
注意到，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
即的最小值為，故，
整理得，即，
整理得，即.
故選：D.
9．（2029秋·安徽·高三安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”．他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A．若橢圓：的蒙日?qǐng)A為C：，過C上的動(dòng)點(diǎn)M作的兩條切線，分別與C交于P，Q兩點(diǎn)，直線PQ交于A，B兩點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．橢圓的離心率為
B． 面積的最大值為
C．M到的左焦點(diǎn)的距離的最小值為
D．若動(dòng)點(diǎn)D在上，將直線DA，DB的斜率分別記為，，則
【答案】B
【分析】根據(jù)特殊位置的切線可得交點(diǎn)，代入可得，即可判斷A，根據(jù)， PQ為圓C的直徑，即可求解B，根據(jù)兩點(diǎn)距離以及范圍即可判斷C，根據(jù)點(diǎn)差法即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，依題意，過橢圓的上頂點(diǎn)作y軸的垂線，過橢圓的右頂點(diǎn)作x軸的垂線，
則這兩條垂線的交點(diǎn)在圓C上，
∴，得，∴橢圓的離心率，故A正確；
對(duì)于B，∵點(diǎn)M，P，Q都在圓C上，且，∴PQ為圓C的直徑，∴，
當(dāng)?shù)母邽榘霃綍r(shí)，此時(shí)高最大，面積最大，最大值為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，解法一：設(shè)，的左焦點(diǎn)為，連接MF，∵，
∴，
又，∴當(dāng)時(shí)取得最小值，
則M到的左焦點(diǎn)的距離的最小值為，故C正確；
解法二：M為圓上的動(dòng)點(diǎn)，M到左焦點(diǎn)的距離的最小值就是M到圓心O的距離減去O到左焦點(diǎn)的距離，
即為，故C正確；
對(duì)于D，由直線PQ經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，易得點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
設(shè)，，則，，，
又，兩式相減得，∴，
又，，∴，故D正確．故選：B
二、多選題
10．（2029·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考階段練習(xí)）加斯帕爾·蒙日（如圖甲）是18~19世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”（圖乙）．已知長(zhǎng)方形R的四邊均與橢圓相切，則下列說法正確的是（ ）
A．橢圓C的離心率為B．橢圓C的蒙日?qǐng)A方程為
C．橢圓C的蒙日?qǐng)A方程為D．長(zhǎng)方形R的面積最大值為18
【答案】CD
【分析】由結(jié)合離心率公式判斷A；當(dāng)長(zhǎng)方體R的對(duì)稱軸恰好就是的對(duì)稱軸橢圓C時(shí)，求出蒙日?qǐng)A的半徑，進(jìn)而判斷BC；設(shè)長(zhǎng)方體R的長(zhǎng)為，寬為，由基本不等式判斷D.
【詳解】由題意可知，則橢圓C的離心率為，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)長(zhǎng)方體R的對(duì)稱軸恰好就是橢圓C的對(duì)稱軸時(shí)，其長(zhǎng)為寬為，
所以橢圓C的蒙日?qǐng)A的半徑為，即橢圓C的蒙日?qǐng)A方程為，故C正確，B錯(cuò)誤；
設(shè)長(zhǎng)方體R的長(zhǎng)為，寬為，則，長(zhǎng)方形R的面積為，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，即長(zhǎng)方形R的面積最大值為18，故D正確；
故選：CD
11．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”、“微分幾何之父”．他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A．若橢圓的蒙日?qǐng)A為，過上的動(dòng)點(diǎn)作的兩條切線，分別與交于，兩點(diǎn)，直線交于，兩點(diǎn)，則（ ）
A．橢圓的離心率為
B．面積的最大值為
C．到的左焦點(diǎn)的距離的最小值為
D．若動(dòng)點(diǎn)在上，將直線，的斜率分別記為，，則
【答案】ABD
【分析】由條件可得，由此可求橢圓的離心率，由此判斷A，由條件可得為圓的直徑，確定面積的表達(dá)式求其最值，由此判斷B，由條件確定的表達(dá)式求其范圍，由此判斷C，結(jié)合點(diǎn)差法判斷D.
【詳解】依題意，過橢圓的上頂點(diǎn)作軸的垂線，過橢圓的右頂點(diǎn)作軸的垂線，則這兩條垂線的交點(diǎn)在圓上，
所以，得，所以橢圓的離心率，故A正確；
因?yàn)辄c(diǎn)，，都在圓上，且，所以為圓的直徑，所以，所以面積的最大值為，故B正確；
設(shè)，的左焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，所以，又，所以?br>則到的左焦點(diǎn)的距離的最小值為，故C不正確；
由直線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，易得點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)，，則，，，又，所以，所以，所以，
故D正確
故選：ABD．
【點(diǎn)睛】橢圓的蒙日?qǐng)A及其幾何性質(zhì)
過橢圓上任意不同兩點(diǎn)，作橢圓的切線，若兩切線垂直且相交于，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓，此圓即橢圓的蒙日?qǐng)A．橢圓的蒙日?qǐng)A有如下性質(zhì)：
性質(zhì)1：．
性質(zhì)2：平分切點(diǎn)弦．
性質(zhì)9：的最大值為，的最小值為．
12．（2029秋·重慶永川·高三重慶市永川北山中學(xué)校?？计谀┰跈E圓中，其所有外切矩形的頂點(diǎn)在一個(gè)定圓上，稱此圓為該橢圓的蒙日?qǐng)A.該圓由法國(guó)數(shù)學(xué)家最新發(fā)現(xiàn).若橢圓，則下列說法中正確的有（ ）
A．橢圓外切矩形面積的最大值為
B．點(diǎn)為蒙日?qǐng)A上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)最大值時(shí)
C．過橢圓的蒙日?qǐng)A上一點(diǎn)，作橢圓的一條切線，與蒙日?qǐng)A交于點(diǎn)，若存在，則為定值
D．若橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過橢圓上一點(diǎn)和原點(diǎn)作直線與蒙日?qǐng)A相交于，且，則
【答案】BCD
【分析】先求得橢圓的蒙日?qǐng)A，然后根據(jù)外切矩形的面積、兩角和的正切公式、根與系數(shù)關(guān)系、判別式、向量運(yùn)算的指數(shù)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).
【詳解】解：由題意可知，圓，
對(duì)于選項(xiàng)A，橢圓的一個(gè)外切矩形可設(shè)為，
則其面積，
所以矩形的面積最大值為，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B，由題意可知當(dāng)與圓相切時(shí)最大，
此時(shí)，在Rt中，，
則，
且，所以，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，可設(shè)直線的方程為，
由聯(lián)立，消去可得，
則，
則，
當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，
由聯(lián)立，消去可得，
化簡(jiǎn)得，
所以，
當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，則或，
此時(shí)，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，
因?yàn)椋?br>則，
所以，
由，
所以①，
②，
則①②，可得，解得，
所以，故選項(xiàng)D正確；
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】本題解題的關(guān)鍵一方面結(jié)合題目要求求出蒙日?qǐng)A方程，建立參數(shù)間的關(guān)系式來表示面積進(jìn)而利用函數(shù)求最值問題，另一方面結(jié)合橢圓定義式，向量的運(yùn)算推導(dǎo)的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.
19．（2029·江蘇鹽城·校考三模）畫法幾何的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.已知橢圓.分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，直線的方程為，為橢圓的蒙日?qǐng)A上一動(dòng)點(diǎn)，分別與橢圓相切于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列說法正確的是（ ）
A．橢圓的蒙日?qǐng)A方程為
B．記點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為
C．一矩形四條邊與橢圓相切，則此矩形面積最大值為
D．的面積的最小值為，最大值為
【答案】ACD
【分析】當(dāng)斜率不存在時(shí)可得點(diǎn)坐標(biāo)，斜率存在時(shí)，將切線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用和垂直關(guān)系可構(gòu)造等式求得點(diǎn)軌跡；結(jié)合兩種情況可知A正確；利用橢圓定義將轉(zhuǎn)化為，由平面幾何知識(shí)可知最小值為點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可求得B錯(cuò)誤；根據(jù)矩形為蒙日?qǐng)A的內(nèi)接矩形，結(jié)合基本不等式可求得C正確；推導(dǎo)可得過橢圓外一點(diǎn)的橢圓的切點(diǎn)弦直線方程為，當(dāng)時(shí)，可求得的值；當(dāng)時(shí)，將直線與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論，結(jié)合弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式可化簡(jiǎn)得到，結(jié)合二次函數(shù)最值的求法可求得結(jié)果，知D正確.
【詳解】
對(duì)于A，當(dāng)直線一條斜率為，另一條斜率不存在時(shí)，則；
當(dāng)直線斜率均存在時(shí)，設(shè)，切線方程為：，
由得：，
由整理可得：，，
又，，即，，
點(diǎn)軌跡為；
將檢驗(yàn)，滿足，
蒙日?qǐng)A的方程為，A正確；
對(duì)于B，為橢圓上的點(diǎn)，，
；
的最小值為點(diǎn)到直線的距離，又，
，，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，矩形四條邊均與相切，該矩形為蒙日?qǐng)A的內(nèi)接矩形，
設(shè)矩形的長(zhǎng)為，寬為，蒙日?qǐng)A的半徑，，
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
此矩形面積最大值為，C正確；
對(duì)于D，設(shè)位于橢圓上半部分，即，，
在處的切線斜率，切線方程為：，
即，在處的切線方程為；
同理可得：當(dāng)位于橢圓下半部分，即時(shí)，切線方程為：；
在點(diǎn)處的切線方程為，同理可知：在點(diǎn)處的切線方程為；
設(shè)，則，可知坐標(biāo)滿足方程，
即切點(diǎn)弦所在直線方程為：；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)所在直線方程為：，
，；
當(dāng)時(shí)，由得：，
由A知：，，
設(shè)，則，，
，
又原點(diǎn)到直線的距離，
，
令，，，則，
為開口方向向下，對(duì)稱軸為的拋物線，
，，
，，
綜上所述：的面積的最小值為，最大值為，D正確.
故選：ACD.
三、填空題
14．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）法國(guó)數(shù)學(xué)家蒙日（Mnge，）發(fā)現(xiàn)：橢圓的兩條互相垂直切線的交點(diǎn)的軌跡方程為：，這個(gè)圓被稱為蒙日?qǐng)A．若某橢圓對(duì)應(yīng)的蒙日?qǐng)A方程為，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意寫出橢圓對(duì)應(yīng)的蒙日?qǐng)A方程，可得出關(guān)于的等式，即可求得正數(shù)的值.
【詳解】由已知可得橢圓對(duì)應(yīng)的蒙日?qǐng)A方程為，
所以，，，.
故答案為：.
15．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，該圓的圓心是橢圓中心，則稱這個(gè)圓為蒙日?qǐng)A.若橢圓的蒙日?qǐng)A的半徑為，則橢圓的離心率為 .
【答案】
【分析】由蒙日?qǐng)A定義可知在蒙日?qǐng)A上，由此可根據(jù)半徑構(gòu)造方程求得，由此可求得橢圓離心率.
【詳解】過可作橢圓的兩條互相垂直的切線和，在蒙日?qǐng)A上，
，解得：，
橢圓的離心率.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解圓錐曲線離心率或離心率取值范圍問題的基本思路有兩種：
（1）根據(jù)已知條件，求解得到的值或取值范圍，由求得結(jié)果；
（2）根據(jù)已知的等量關(guān)系或不等關(guān)系，構(gòu)造關(guān)于的齊次方程或齊次不等式，配湊出離心率，從而得到結(jié)果.
16．（2029春·吉林長(zhǎng)春·高三長(zhǎng)春十一高?？奸_學(xué)考試）“蒙日?qǐng)A”涉及幾何學(xué)中的一個(gè)著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，它的圓心是橢圓中心，這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A．已知橢圓C：的蒙日?qǐng)A方程為，則橢圓C的離心率為 ．
【答案】
【分析】取橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)作橢圓的兩條切線，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，又因?yàn)樵冢肟汕蟪?，再由離心率的公式即可得出答案.
【詳解】由橢圓C：知，橢圓的右頂點(diǎn)為，
上頂點(diǎn)為，過作橢圓的切線，
則交點(diǎn)坐標(biāo)為，
因?yàn)闄E圓上任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，
所以在，
所以，解得：，
則橢圓C的離心率為.
故答案為：
17．（2029·全國(guó)·高三專題練習(xí)）畫法幾何的創(chuàng)始人——法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓．我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A．已知橢圓的蒙日?qǐng)A方程為，橢圓的離心率為，為蒙日?qǐng)A上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，與蒙日?qǐng)A分別交于、兩點(diǎn)，則面積的最大值為 .（用含的代數(shù)式表示）
【答案】
【分析】由橢圓的離心率可得出，根據(jù)已知條件推導(dǎo)出為圓的一條直徑，利用勾股定理可得出，再利用三角形的面積公式結(jié)合基本不等式可求得面積的最大值.
【詳解】因?yàn)椋?，?br>所以，蒙日?qǐng)A的方程為，
由已知條件可得，則為圓的一條直徑，
由勾股定理可得，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
因此，面積的最大值為.
故答案為：.
四、解答題
18．（2029秋·浙江寧波·高三期末）法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日被譽(yù)為畫法幾何之父.他在研究橢圓切線問題時(shí)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的重要結(jié)論：一橢圓的任兩條互相垂直的切線交點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，尊稱為蒙日?qǐng)A，且蒙日?qǐng)A的圓心是該橢圓的中心，半徑為該橢圓的長(zhǎng)半軸與短半軸平方和的算術(shù)平方根.已知在橢圓中，離心率，左、右焦點(diǎn)分別是、，上頂點(diǎn)為Q，且，O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程，并請(qǐng)直接寫出橢圓C的蒙日?qǐng)A的方程；
(2)設(shè)P是橢圓C外一動(dòng)點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），過P作橢圓C的兩條切線，過P作x軸的垂線，垂足H，若兩切線斜率都存在且斜率之積為，求面積的最大值.
【答案】(1)橢圓C的方程為，蒙日?qǐng)A的方程為
(2)
【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率結(jié)合題設(shè)求得，即得橢圓方程，進(jìn)而寫出蒙日?qǐng)A的方程；
（2）設(shè)，設(shè)過點(diǎn)P的切線方程為，聯(lián)立橢圓方程結(jié)合判別式確定點(diǎn)的軌跡方程，進(jìn)而利用基本不等式求得，即可求得答案.
【詳解】（1）設(shè)橢圓方程為，焦距為2c.
由題意可知，
所以，橢圓C的方程為，
且蒙日?qǐng)A的方程為；
（2）設(shè)，設(shè)過點(diǎn)P的切線方程為，
由，消去y得①，
由于相切，所以方程①的，可得：，
整理成關(guān)于k的方程可得：，
由于P在橢圓外，故，
故，
設(shè)過點(diǎn)P的兩切線斜率為，
據(jù)題意得，，，
又因?yàn)?，所以可得?br>即點(diǎn)的軌跡方程為：，
由不等式可知：，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，
所以，即的面積的最大值為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解面積的最大值時(shí)，設(shè)出過點(diǎn)P的切線方程并聯(lián)立橢圓方程，利用判別式為0結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得點(diǎn)P的軌跡方程后，關(guān)鍵要利用基本不等式求出，即可求解.
19．（2029·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在橢圓：（）中，其所有外切矩形的頂點(diǎn)在一個(gè)定圓：上，稱此圓為橢圓的蒙日?qǐng)A.橢圓過，.
(1)求橢圓的方程；
(2)過橢圓的蒙日?qǐng)A上一點(diǎn)，作橢圓的一條切線，與蒙日?qǐng)A交于另一點(diǎn)，若，存在，證明：為定值.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）將坐標(biāo)代入橢圓方程求出，即可得解；
（2）根據(jù)題意求出蒙日?qǐng)A方程為：，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，易求出；當(dāng)直線斜率存在，設(shè)直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)判別式等于求出，聯(lián)立直線方程與蒙日?qǐng)A方程，得、，利用、、可求出為定值.
【詳解】（1）將，代入到，
可得，解得，，
所以橢圓的方程為：.
（2）由題意可知，蒙日?qǐng)A方程為：.
（?。┤糁本€斜率不存在，則直線的方程為：或.
不妨取，易得，，，，
.
（ⅱ）若直線斜率存在，設(shè)直線的方程為：.
聯(lián)立，化簡(jiǎn)整理得：，
據(jù)題意有，于是有：.
設(shè)（），（）.
化簡(jiǎn)整理得：，
，
，.
則
，
，所以.
綜上可知，為定值.

【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：聯(lián)立直線與圓錐曲線方程時(shí)，字母運(yùn)算較難，容易出錯(cuò)，需仔細(xì)運(yùn)算.

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