1．（2022秋·上海徐匯·八年級上海市南洋模范中學?？计谥校┫铝姓f法正確的是（ ）
A．的根為B． 是的根
C．方程的根為D．沒有實數根
2．下列方程①x2﹣5x＝2022，②，③，④，一定是關于x的一元二次方程的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
3．把方程化成一般式，則正確的是（ ）
A．，B．，C．，D．，
4．（2022秋·北京朝陽·九年級統(tǒng)考期末）若關于x的方程有兩個相等的實數根，則c的值是（ ）
A．36B．C．9D．
5．（2022秋·河南洛陽·九年級?？计谥校┫铝幸辉畏匠虩o實數根的是（ ）
A．B．
C．D．
6．若是方程的兩個實數根，則的值為（ ）
A．3或B．或9C．3或D．或6
7．若實數k、b是一元二次方程的兩個根，且，則一次函數的圖象不經過（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．（2022秋·山東青島·九年級?？计谥校┪覈糯鳌端脑耔b》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，遣人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準與一株椽．”其大意為：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文．如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株椽？設這批椽的數量為x株，則符合題意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2022秋·山西朔州·九年級校聯(lián)考期末）一份攝影作品【七寸照片（長7英寸，寬5英寸）】，現(xiàn)將照片貼在一張矩形襯紙的正中央，照片四周外露襯紙的寬度相同；矩形襯紙的面積為照片面積的2倍．設照片四周外露襯紙的寬度為x英寸（如圖），下面所列方程正確的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022秋·寧夏銀川·九年級?？茧A段練習）在一次酒會上，每兩人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，則參加酒會的人數為（ ）
A．9人B．10人C．11人D．12人
二、填空題（每題4分，共20分）
11．（2022春·四川成都·九年級專題練習）若一個直角三角形兩條直角邊的長分別是一元二次方程的兩個實數根，則這個直角三角形斜邊的長是_________．
12．已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一個根，則代數式a（2a﹣7）＋5＝__．
13．（2022秋·福建龍巖·九年級校聯(lián)考期中）已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列結論：①若方程兩根為-1和2，則2a+c=0；②若b＞a+c，則方程有兩個不相等的實數根；③若b=2a+3c，則方程有兩個不相等的實數根；④若m是方程的一個根，則一定有b2-4ac=（2am+b）2成立．其中結論正確的序號是__________．
14．（2022秋·重慶綦江·九年級?？茧A段練習）一元二次方程的兩根為，則________________
15．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在一塊長為22m，寬為14m的矩形空地內修建三條寬度相等的小路（陰影部分），其余部分種植花草．若花草的種植面積為240m2，則小路的寬為________m．
三、解答題（16-18題每題4分，19題6分，20題7分，21、22題每題8分，23題9分，共50分）
16．關于x的一元二次方程的常數項為0，求m的值．
17．已知關于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0．
(1)m為何值時，此方程是一元一次方程？求出該一元一次方程的解；
(2)m為何值時，此方程是一元二次方程？并寫出這個一元二次方程的二次項系數、一次項系數和常數項．
18．（2022秋·江西贛州·九年級統(tǒng)考期中）小敏與小霞兩位同學解方程的過程如下框：
你認為他們的解法是否正確？若正確請在框內打“√”；若錯誤請在框內打“×”，并寫出你的解答過程．
19．已知關于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分別為△ABC三邊的長．
（1）如果x=﹣1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）如果方程有兩個相等的實數根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．
20．已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，．
(1)求m的取值范圍；
(2)當時，求m的值．
21．（2022秋·內蒙古包頭·九年級統(tǒng)考期末）某商場將進貨價為30元的臺燈以40元售出，一月份售出32臺，二、三月份這種臺燈銷售量連續(xù)增長，其中三月份售出50臺．
(1)求二月份、三月份兩個月這種臺燈銷售量的月均增長率；
(2)從四月份起商場決定采取降價促銷措施，調查發(fā)現(xiàn)，在三月份銷量的基礎上，如果這種臺燈的售價每降價2元，那么月銷售量增加4臺．當每臺降價多少元時，四月份銷售這種臺燈可獲利348元？
22．距臺風中心的區(qū)域（包括邊界）為受臺風影響區(qū)．如圖，如果輪船不改變航向，會進入臺風影響區(qū)嗎？
23．某造紙廠為節(jié)約木材，實現(xiàn)企業(yè)綠色低碳發(fā)展，通過技術改造升級，使再生紙項目的生產規(guī)模不斷擴大．該廠3，4月份共生產再生紙800噸，其中4月份再生紙產量是3月份的2倍少100噸．
(1)求4月份再生紙的產量；
(2)若4月份每噸再生紙的利潤為1000元，5月份再生紙產量比上月增加．5月份每噸再生紙的利潤比上月增加，則5月份再生紙項目月利潤達到66萬元．求的值；
(3)若4月份每噸再生紙的利潤為1200元，4至6月每噸再生紙利潤的月平均增長率與6月份再生紙產量比上月增長的百分數相同，6月份再生紙項目月利潤比上月增加了．求6月份每噸再生紙的利潤是多少元？
二十一章 一元二次方程（單元測試）
一、單選題（每題3分，共30分）
1．（2022秋·上海徐匯·八年級上海市南洋模范中學?？计谥校┫铝姓f法正確的是（ ）
A．的根為B． 是的根
C．方程的根為D．沒有實數根
【詳解】解：A、的根為；選項錯誤，不符合題意；
B、 是的根；選項正確，符合題意；
C、方程 無實數根；選項錯誤，不符合題意；
D、當 時， 有實數根；選項錯誤，不符合題意；
故選：B．
2．下列方程①x2﹣5x＝2022，②，③，④，一定是關于x的一元二次方程的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【詳解】解：①x2﹣5x＝2022，是一元二次方程；
②，當a=0時不是一元二次方程；
③，是一元二次方程；
④，整理后不含二次項，不是一元二次方程，
所以，一定是關于x的一元二次方程的是①③，共2個，
故選：B
3．把方程化成一般式，則正確的是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【詳解】將去括號得；移項得
∴，
故選C．
4．（2022秋·北京朝陽·九年級統(tǒng)考期末）若關于x的方程有兩個相等的實數根，則c的值是（ ）
A．36B．C．9D．
【詳解】解：∵方程有兩個相等的實數根
∴
解得
故選：C．
5．（2022秋·河南洛陽·九年級?？计谥校┫铝幸辉畏匠虩o實數根的是（ ）
A．B．
C．D．
【詳解】解：A．，方程有兩個不等的實數根，不符合題意；
B．，方程有兩個不等的實數根，不符合題意；
C．，方程沒有實數根，符合題意；
D．，方程有兩個相等的實數根，不符合題意；
故選： C．
6．若是方程的兩個實數根，則的值為（ ）
A．3或B．或9C．3或D．或6
【詳解】解：∵，
∴，
,則兩根為：3或-1，
當時，，
當時，，
故選：A．
7．若實數k、b是一元二次方程的兩個根，且，則一次函數的圖象不經過（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【詳解】∵實數k、b是一元二次方程的兩個根，且，
∴,
∴一次函數表達式為，
有圖像可知，一次函數不經過第三象限．
故選：C．
8．（2022秋·山東青島·九年級?？计谥校┪覈糯鳌端脑耔b》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，遣人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準與一株椽．”其大意為：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文．如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株椽？設這批椽的數量為x株，則符合題意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【詳解】解：∵這批椽的數量為x株，每株椽的運費是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，
∴一株椽的價錢為3（x?1）文，依題意得：3（x?1）x＝6210，
故選：A．
9．（2022秋·山西朔州·九年級校聯(lián)考期末）一份攝影作品【七寸照片（長7英寸，寬5英寸）】，現(xiàn)將照片貼在一張矩形襯紙的正中央，照片四周外露襯紙的寬度相同；矩形襯紙的面積為照片面積的2倍．設照片四周外露襯紙的寬度為x英寸（如圖），下面所列方程正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【詳解】解：設照片四周外露襯紙的寬度為x英寸，則矩形襯紙的長為英寸，寬為英寸，
由題意得，
故選D．
10．（2022秋·寧夏銀川·九年級?？茧A段練習）在一次酒會上，每兩人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，則參加酒會的人數為（ ）
A．9人B．10人C．11人D．12人
【詳解】設參加酒會的人數為x人，依題可得：
x（x-1）=55，
化簡得：x2-x-110=0，
解得：x1=11，x2=-10（舍去），
故答案為C.
二、填空題（每題4分，共20分）
11．（2022春·四川成都·九年級專題練習）若一個直角三角形兩條直角邊的長分別是一元二次方程的兩個實數根，則這個直角三角形斜邊的長是_________．
【詳解】解：一個直角三角形兩條直角邊的長分別是一元二次方程的兩個實數根，
由公式法解一元二次方程可得，
根據勾股定理可得直角三角形斜邊的長是，
故答案為：．
12．已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一個根，則代數式a（2a﹣7）＋5＝______．
【詳解】解：∵a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一個根，
∴2a2﹣7a﹣1＝0，
∴2a2﹣7a＝1，
∴a（2a﹣7）+5＝2a2﹣7a+5＝1+5＝6．
故答案為：6．
13．（2022秋·福建龍巖·九年級校聯(lián)考期中）已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列結論：①若方程兩根為-1和2，則2a+c=0；②若b＞a+c，則方程有兩個不相等的實數根；③若b=2a+3c，則方程有兩個不相等的實數根；④若m是方程的一個根，則一定有b2-4ac=（2am+b）2成立．其中結論正確的序號是__________．
【詳解】解：若方程兩根為-1和2，則=-1×2=-2，即c=-2a，2a+c=2a-2a=0，故①正確；
由b＞a+c不能判斷Δ=b2-4ac值的大小情況，故②錯誤；
若b=2a+3c，則Δ=b2-4ac=4（a+c）2+5c2＞0，一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數根，故③正確．
若m是方程ax2+bx+c=0的一個根，所以有am2+bm+c=0，即am2=-（bm+c），
而（2am+b）2=4a2m2+4abm+b2
=4a[-（bm+c）]+4abm+b2
=4abm-4abm-4ac+b2
=b2-4ac．故④正確；
故答案為：①③④．
14．（2022秋·重慶綦江·九年級?？茧A段練習）一元二次方程的兩根為，則________________
【詳解】∵，
∴，，，
∴，，
∴，
=，
=．
故答案為．
15．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在一塊長為22m，寬為14m的矩形空地內修建三條寬度相等的小路（陰影部分），其余部分種植花草．若花草的種植面積為240m2，則小路的寬為________m．
【詳解】解：設小路寬為xm，則種植花草部分的面積等同于長（22-x）m，寬（14-x）m的矩形的面積，
依題意得：（22-x）（14-x）=240，
整理得：x2-36x+68=0，
解得：x1=2，x2=34（不合題意，舍去）．
故答案為：2．
三、解答題（16-18題每題4分，19題6分，20題7分，21、22題每題8分，23題9分，共50分）
16．關于x的一元二次方程的常數項為0，求m的值．
【詳解】解：∵關于x的一元二次方程的常數項為0，
∴
解得：
17．已知關于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0．
(1)m為何值時，此方程是一元一次方程？求出該一元一次方程的解；
(2)m為何值時，此方程是一元二次方程？并寫出這個一元二次方程的二次項系數、一次項系數和常數項．
【詳解】（1）解：若關于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0是一元一次方程，
則m﹣1＝0且m﹣2≠0，
解得m＝1．
∴原方程變形為﹣x﹣2+1＝0
解得x＝﹣1．
（2）解：當m≠1時，關于x的方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣2m+1＝0是一元二次方程，
此時該方程的二次項系數為m﹣1，
一次項系數為m﹣2，
常數項為﹣2m+1．
18．（2022秋·江西贛州·九年級統(tǒng)考期中）小敏與小霞兩位同學解方程的過程如下框：
你認為他們的解法是否正確？若正確請在框內打“√”；若錯誤請在框內打“×”，并寫出你的解答過程．
【詳解】解：
正確解答：
移項，得，
提取公因式，得，
去括號，得，
則或，
解得，．
19．已知關于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分別為△ABC三邊的長．
（1）如果x=﹣1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）如果方程有兩個相等的實數根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．
【詳解】（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x=﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵方程有兩個相等的實數根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）當△ABC是等邊三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理為：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=﹣1．
20．已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，．
(1)求m的取值范圍；
(2)當時，求m的值．
【詳解】（1）∵原一元二次方程有兩個不相等的實數根，
∴，且m≠0，
整理，得：，
解得：，且m≠0，
即m的取值范圍為，且m≠0；
（2）∵，，
∴，
∵，
即，即，
設，則有：，
利用因式分解法，解得：，，
根據，得，
可得m為4或者-1，
又∵，且m≠0，
∴m的值為4．
21．（2022秋·內蒙古包頭·九年級統(tǒng)考期末）某商場將進貨價為30元的臺燈以40元售出，一月份售出32臺，二、三月份這種臺燈銷售量連續(xù)增長，其中三月份售出50臺．
(1)求二月份、三月份兩個月這種臺燈銷售量的月均增長率；
(2)從四月份起商場決定采取降價促銷措施，調查發(fā)現(xiàn)，在三月份銷量的基礎上，如果這種臺燈的售價每降價2元，那么月銷售量增加4臺．當每臺降價多少元時，四月份銷售這種臺燈可獲利348元？
【詳解】（1）設二月份、三月份兩個月這種臺燈銷售量的月均增長率為x，
依題意，得：，
解得：，（不合題意，舍去）．
答：二月份、三月份兩個月這種臺燈銷售量的月均增長率為25%．
（2）設每臺降價y元，則四月份可售出臺，
依題意，得：，
解得：，（不合題意，舍去）．
答：當每臺降價4元時，四月份銷售這種臺燈可獲利348元．
22．距臺風中心的區(qū)域（包括邊界）為受臺風影響區(qū)．如圖，如果輪船不改變航向，會進入臺風影響區(qū)嗎？
【詳解】解：輪船會受到臺風影響．如圖，
∵，
∴．
設當輪船接到報警后經過t小時后，輪船到達點D，臺風到達點E，
由勾股定理得：
，
整理得，
，
方程有兩個不相等的實數解，
∴如果輪船不改變航向，會進入臺風影響區(qū)．
23．某造紙廠為節(jié)約木材，實現(xiàn)企業(yè)綠色低碳發(fā)展，通過技術改造升級，使再生紙項目的生產規(guī)模不斷擴大．該廠3，4月份共生產再生紙800噸，其中4月份再生紙產量是3月份的2倍少100噸．
(1)求4月份再生紙的產量；
(2)若4月份每噸再生紙的利潤為1000元，5月份再生紙產量比上月增加．5月份每噸再生紙的利潤比上月增加，則5月份再生紙項目月利潤達到66萬元．求的值；
(3)若4月份每噸再生紙的利潤為1200元，4至6月每噸再生紙利潤的月平均增長率與6月份再生紙產量比上月增長的百分數相同，6月份再生紙項目月利潤比上月增加了．求6月份每噸再生紙的利潤是多少元？
【詳解】（1）解：設3月份再生紙產量為噸，則4月份的再生紙產量為噸，
由題意得：，
解得：，
∴，
答：4月份再生紙的產量為500噸；
（2）解：由題意得：，
解得：或（不合題意，舍去）
∴，
∴的值20；
（3）解：設4至6月每噸再生紙利潤的月平均增長率為，5月份再生紙的產量為噸，
∴
答：6月份每噸再生紙的利潤是1500元．
小敏：
兩邊同除以，得
，
則．
小霞：
移項，得，
提取公因式，得．
則或，
解得，．
小敏：
兩邊同除以，得
，
則．
小霞：
移項，得，
提取公因式，得．
則或，
解得，．
小敏：
兩邊同除以，得
，
則．
（×）
小霞：
移項，得，
提取公因式，得．
則或，
解得，．
（×）

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