考點一 圓的基本概念
考點二 判斷點與圓的位置關系
考點三 利用垂徑定理求值
考點四 垂徑定理的實際應用
考點五 垂徑定理的推論
典型例題

考點一 圓的基本概念
例題：（2022·上海民辦建平遠翔學校九年級階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．半圓是弧B．過圓心的線段是直徑
C．弦是直徑D．長度相等的兩條弧是等弧
【變式訓練】
1．（2022·山東煙臺·九年級期末）有下列說法：（1）直徑是弦；（2）經(jīng)過三點一定可以作圓；（3）圓有無數(shù)條對稱軸；（4）優(yōu)弧的長度大于劣弧的長度．其中正確的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
2．（2020·廣東·惠州市惠陽區(qū)第一中學九年級期中）下列判斷正確的個數(shù)有（ ）
①直徑是圓中最大的弦；
②長度相等的兩條弧一定是等?。?br>③半徑相等的兩個圓是等圓；
④弧分優(yōu)弧和劣??；
⑤同一條弦所對的兩條弧一定是等?。?br>A．1個B．2個C．3個D．4個
考點二 判斷點與圓的位置關系
例題：（2022·浙江寧波·九年級期末）已知⊙O的半徑為5，點P到圓心O的距離為d，若點P在圓內，則d的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【變式訓練】
1．（2022·廣東廣州·一模）A，B兩個點的坐標分別為（3，4），（﹣5，1），以原點O為圓心，5為半徑作⊙O，則下列說法正確的是（ ）
A．點A，點B都在⊙O上B．點A在⊙O上，點B在⊙O外
C．點A在⊙O內，點B在⊙O上D．點A，點B都在⊙O外
2．（2021·全國·九年級期中）已知⊙O的半徑為6cm，當線段OA＝8cm時，點A和⊙O的位置關系是_________．
考點三 利用垂徑定理求值
例題：（2022·江蘇·鹽城市第四中學（鹽城市藝術高級中學、鹽城市逸夫中學）三模）如圖，⊙O的直徑CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC=3：5，則AB的長為（ ）
A．8 B．12 C．16 D．2
【變式訓練】
1．（2022·浙江寧波·三模）已知的直徑，是的弦，，垂足為，且，則的長為（ ）
A．B．C．或D．或
2．（2022·湖南長沙·一模）如圖，在直徑為10cm的⊙O中，AB=8cm，弦OC⊥AB于點C，則OC等于________cm．
考點四 垂徑定理的實際應用
例題：（2022·廣東廣州·二模）往圓柱形容器內裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬，水的最大深度為16cm，則圓柱形容器的截面直徑為（ ）cm．
A．10B．14C．26D．52
【變式訓練】
1．（2022·四川自貢·中考真題）一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測得弦長20厘米，弓形高為2厘米，則鏡面半徑為____________厘米．
2．（2022·浙江寧波·九年級期末）如圖1，水車又稱孔明車，是我國最古老的農(nóng)業(yè)灌溉工具，是珍貴的歷史文化遺產(chǎn)．如圖2，圓心O在水面上方，且被水面截得的弦AB長為8米，半徑為5米，則圓心O到水面AB的距離為_______米．
考點五 垂徑定理的推論
例題：（2022·上海嘉定·二模）下列命題中假命題是（ ）
A．平分弦的半徑垂直于弦B．垂直平分弦的直線必經(jīng)過圓心
C．垂直于弦的直徑平分這條弦所對的弧D．平分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦
【變式訓練】
1．（2021·云南省個舊市第二中學九年級期中）下列語句中不正確的有（ ）
①長度相等的弧是等?。虎诖怪庇谙业闹睆狡椒窒?；③圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸；④平分弦的直線也必平分弦所對的兩條??；⑤半圓是圓中最長的弧；⑥不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓.
A．5個B．4個C．3個D．2個
2．（2022·黑龍江·大慶市第三十六中學九年級期末）下列說法正確的是（ ）
A．相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等
B．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧
C．等弧所對的圓心角相等，所對的弦相等
D．圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條直徑
課后訓練
一、選擇題
1．（2021·四川·成都嘉祥外國語學校九年級階段練習）下列說法正確的個數(shù)是（ ）
①平分弦的直徑，必垂直于這條弦；
②圓的切線垂直于圓的半徑；
③三點確定一個圓；
④同圓或等圓中；等弦所對的圓周角相等．
A．0個B．1個C．2個D．3個
2．（2021·遼寧撫順·九年級階段練習）矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，點P在邊AB上，且AP＝3，如果⊙P是以點P為圓心，PD為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（ ）
A．點B、C均在⊙P內B．點B在⊙P上、點C在⊙P內
C．點B、C均在⊙P外D．點B在⊙P上、點C在⊙P外
3．（2022·湖北襄陽·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O的弦CD＝8，且CD⊥AB于點E．若OE∶OB＝3∶5，則直徑AB的長為（ ）
A．16B．13C．10D．
4．（2022·浙江·溫州繡山中學九年級期末）如圖，在矩形中，，．若以點B為圓心，以4cm長為半徑作OB，則下列選項中的各點在外的是（ ）
A．點AB．點BC．點CD．點D
5．（2022·湖北·鄂州市教學研究室一模）如圖，小麗蕩秋千，秋千鏈子的長為，秋千向兩邊擺動的角度相同，擺動的水平距離為3米，秋千擺至最高位置時與最低位置時的高度之差（即）為0.5米．則秋千鏈子的長為（ ）
A．2米B．2.5米C．1.5米D．米
二、填空題
6．（2022·黑龍江七臺河·九年級期末）若兩個圓的半徑分別為3和4，圓心之間的距離是5，則這兩個圓的位置關系是______．
7．（2021·江蘇泰州·九年級期中）已知⊙O與點P在同一平面內，若⊙O的半徑為6，線段OP的長為4，則點P與⊙O的位置關系是 _________．
8．（2020·全國·九年級期中）下列說法：①半徑為3cm且經(jīng)過點P的圓有無數(shù)個；②直徑是圓的對稱軸；③菱形的四個頂點在同一個圓上；④平分弦的直徑垂直于這條弦．其中真命題有___．（填序號）
9．（2022·四川·瀘縣毗盧鎮(zhèn)學校九年級期末）《九章算術》是我國古代數(shù)學成就的杰出代表作，其中《方田》章計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式是：弧田面積＝．弧田是由圓弧和其所對的弦圍成（如圖），公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．現(xiàn)已知弦AB＝16米，半徑等于10米的弧田，按照上述公式計算出弧田的面積為_________平方米．
10．（2022·浙江·九年級專題練習）如圖，在⊙O中，半徑r＝10，弦AB＝16，P是弦AB上的動點，則線段OP長的最小值是 ______．
三、解答題
11．（2021·江蘇泰州·九年級期中）如圖，AB為圓O直徑，F(xiàn)點在圓上，E點為AF中點，連接EO，作CO⊥EO交圓O于點C，作CD⊥AB于點D，已知直徑為10，OE＝4，求OD的長度．
12．（2021·全國·九年級課時練習）已知A為上的一點，的半徑為1，所在的平面上另有一點P．
（1）如果，那么點P與有怎樣的位置關系？
（2）如果，那么點P與有怎樣的位置關系？
13．（2022·重慶·九年級期末）某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，下圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
(1)請你補全這個輸水管道的圓形截面（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
(2)若這個輸水管道有水部分的水面寬，水面最深地方的高度（即的中點到弦AB的距離）為4cm，求這個圓形截面所在圓的半徑．
14．（2022·湖南長沙·一模）如圖，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的兩條弦，ODAB，OEAC，垂足分別為D、E．
(1)求證：四邊形ADOE是正方形；
(2)若AC=2cm，求⊙O的半徑．
15．（2022·山東省棗莊市第四十一中學一模）在《折疊圓形紙片》綜合實踐課上，小東同學展示了如下的操作及問題：
(1)如圖1，的半徑為4cm，通過折疊圓形紙片，使得劣弧AB沿弦AB折疊后恰好過圓心，求AB長；
(2)如圖2，弦AB，垂足為點C，劣弧AB沿弦AB折疊后經(jīng)過的中點D，，求的半徑．
專題05 圓與圓的對稱性壓軸題五種模型全攻略
考點一 圓的基本概念
考點二 判斷點與圓的位置關系
考點三 利用垂徑定理求值
考點四 垂徑定理的實際應用
考點五 垂徑定理的推論
典型例題

考點一 圓的基本概念
例題：（2022·上海民辦建平遠翔學校九年級階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．半圓是弧B．過圓心的線段是直徑
C．弦是直徑D．長度相等的兩條弧是等弧
【答案】A
【解析】
【分析】
利用圓的有關定義分別判斷即可．
【詳解】
解：A、半圓是弧，正確，符合題意；
B、過圓心的弦是直徑，故原命題錯誤，不符合題意；
C、直徑是弦，但弦不一定是直徑，故原命題錯誤，不符合題意；
D、在同圓或等圓中，長度相等的兩條弧是等弧，故原命題錯誤，不符合題意．
故選：A．
【點睛】
本題考查了圓的認識，解題的關鍵是了解圓的有關定義及性質．
【變式訓練】
1．（2022·山東煙臺·九年級期末）有下列說法：（1）直徑是弦；（2）經(jīng)過三點一定可以作圓；（3）圓有無數(shù)條對稱軸；（4）優(yōu)弧的長度大于劣弧的長度．其中正確的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)連接圓上任意兩點的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧進行分析．
【詳解】
解：直徑是圓中最長的弦，說法正確，符合題意；
經(jīng)過不在同一條直線上的三點一定可以作圓，不符合題意；
圓有無數(shù)條對稱軸，符合題意；
沒有強調是在同圓或等圓中，不符合題意；
正確的說法有2個，
故選：B．
【點睛】
本題主要考查了圓的認識，關鍵是掌握直徑、弧的定義，注意在同圓或等圓中，優(yōu)弧的長度一定大于劣弧的長度．
2．（2020·廣東·惠州市惠陽區(qū)第一中學九年級期中）下列判斷正確的個數(shù)有（ ）
①直徑是圓中最大的弦；
②長度相等的兩條弧一定是等?。?br>③半徑相等的兩個圓是等圓；
④弧分優(yōu)弧和劣??；
⑤同一條弦所對的兩條弧一定是等?。?br>A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】B
【解析】
【詳解】
①直徑是圓中最大的弦；故①正確，
②同圓或等圓中長度相等的兩條弧一定是等?。还盛诓徽_
③半徑相等的兩個圓是等圓；故③正確
④弧分優(yōu)弧、劣弧和半圓，故④不正確
⑤同一條弦所對的兩條弧可位于弦的兩側，故不一定相等，則⑤不正確．
綜上所述，正確的有①③
故選B
【點睛】
本題考查了圓相關概念，掌握弦與弧的關系以及相關概念是解題的關鍵．
考點二 判斷點與圓的位置關系
例題：（2022·浙江寧波·九年級期末）已知⊙O的半徑為5，點P到圓心O的距離為d，若點P在圓內，則d的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)點與圓的位置關系判斷得出即可．
【詳解】
解：∵點P在圓內，且⊙O的半徑為5，
∴0≤d＜5，
故選：D．
【點睛】
此題主要考查了點與圓的位置關系．解題的關鍵在于熟練掌握點與圓的位置關系有3種：⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則有：①點P在圓外?d＞r，②點P在圓上?d=r，③點P在圓內?d＜r．
【變式訓練】
1．（2022·廣東廣州·一模）A，B兩個點的坐標分別為（3，4），（﹣5，1），以原點O為圓心，5為半徑作⊙O，則下列說法正確的是（ ）
A．點A，點B都在⊙O上B．點A在⊙O上，點B在⊙O外
C．點A在⊙O內，點B在⊙O上D．點A，點B都在⊙O外
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)勾股定理，可得OA、OB的長，根據(jù)點與圓心的距離d，則d＞r時，點在圓外；當d=r時，點在圓上；當d＜r時，點在圓內．
【詳解】
解：∵OA＝＝5，
OB＝＝＞5，
∴點A在⊙O上，點B在⊙O外．
故選：B．
【點睛】
本題主要考查了對點與圓的位置關系的判斷．關鍵要記住若半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：當d＞r時，點在圓外；當d=r時，點在圓上，當d＜r時，點在圓內．
2．（2021·全國·九年級期中）已知⊙O的半徑為6cm，當線段OA＝8cm時，點A和⊙O的位置關系是_________．
【答案】點A在⊙O外
【解析】
【分析】
根據(jù)點與圓的位置關系進行判斷．
【詳解】
解：∵⊙O的半徑為6cm，OA＝8cm，
∴OA＞⊙O的半徑，
∴點A在⊙O外．
故答案為點A在⊙O外．
【點睛】
本題考查了點與圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP=d，則點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d=r；點P在圓內?d＜r．
考點三 利用垂徑定理求值
例題：（2022·江蘇·鹽城市第四中學（鹽城市藝術高級中學、鹽城市逸夫中學）三模）如圖，⊙O的直徑CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC=3：5，則AB的長為（ ）
A．8 B．12 C．16 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
連接OA，先計算OM=，根據(jù)垂徑定理，得到直角三角形AOM，利用勾股定理計算AM，根據(jù)垂徑定理，得到AB=2AM，判斷選擇即可．
【詳解】
連接OA，
∵⊙O的直徑CD=20， AB⊥CD， OM：OC=3：5，
∴AO=OC=10，OM=，AM=MB，
∴AM==8，
∴AB=2AM=16，
故選C．
【點睛】
本題考查了圓的垂徑定理，勾股定理，熟練掌握兩個定理是解題的關鍵．
【變式訓練】
1．（2022·浙江寧波·三模）已知的直徑，是的弦，，垂足為，且，則的長為（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【解析】
【分析】
先畫好一個圓，標上直徑CD，已知AB的長為8cm，可知分為兩種情況，第一種情況AB與OD相交，第二種情況AB與OC相交，利用勾股定理即可求出兩種情況下的AC的長；
【詳解】
連接AC，AO，
∵圓O的直徑CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，
當C點位置如圖1所示時，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM==3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC=cm；
當C點位置如圖2所示時，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5?3=2cm，
在Rt△AMC中，AC=cm．
故選C．
【點睛】
本題考查垂徑定理和勾股定理，根據(jù)題意正確畫出圖形進行分類討論，熟練運用垂徑定理是解決本題的關鍵．
2．（2022·湖南長沙·一模）如圖，在直徑為10cm的⊙O中，AB=8cm，弦OC⊥AB于點C，則OC等于________cm．
【答案】3
【解析】
【分析】
根據(jù)垂徑定理可將AC的長求出，再根據(jù)勾股定理可將OC求出．
【詳解】
解：如圖，連結OA，
則由垂徑定理可得：OC⊥AB，且AC=BC=AB=4cm，
在Rt△ACO中，AC=4，OA=5，
由勾股定理可得OC==3cm，
故答案為3．
【點睛】
本題綜合考查了圓的垂徑定理與勾股定理．
考點四 垂徑定理的實際應用
例題：（2022·廣東廣州·二模）往圓柱形容器內裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬，水的最大深度為16cm，則圓柱形容器的截面直徑為（ ）cm．
A．10B．14C．26D．52
【答案】D
【解析】
【分析】
如圖，記圓柱形容器的截面圓心為O，過O作于D，交圓于C，設圓的半徑為r，而 再利用勾股定理建立方程即可．
【詳解】
解：如圖，記圓柱形容器的截面圓心為O，過O作于D，交圓于C，
則
設圓的半徑為r，而


解得：
圓柱形容器的截面直徑為52cm．
故選D
【點睛】
本題考查的是垂徑定理的實際應用，作輔助線構建符合垂徑定理的模型是解本題的關鍵．
【變式訓練】
1．（2022·四川自貢·中考真題）一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測得弦長20厘米，弓形高為2厘米，則鏡面半徑為____________厘米．
【答案】26
【解析】
【分析】
令圓O的半徑為OB=r，則OC=r-2，根據(jù)勾股定理求出OC2+BC2=OB2，進而求出半徑．
【詳解】
解：如圖，由題意，得OD垂直平分AB，
∴BC=10cm，
令圓O的半徑為OB=r，則OC=r-2，
在Rt△BOC中
OC2+BC2=OB2，
∴（r-2）2+102=r2，
解得r=26．
故答案為：26．
【點睛】
本題考查垂徑定理和勾股定理求線段長，熟練地掌握圓的基本性質是解決問題的關鍵．
2．（2022·浙江寧波·九年級期末）如圖1，水車又稱孔明車，是我國最古老的農(nóng)業(yè)灌溉工具，是珍貴的歷史文化遺產(chǎn)．如圖2，圓心O在水面上方，且被水面截得的弦AB長為8米，半徑為5米，則圓心O到水面AB的距離為_______米．
【答案】3
【解析】
【分析】
過O作OD⊥AB于D，連接OA，由垂徑定理得AD=BD=AB=4（米），然后在Rt△AOD中，由勾股定理求出OD的長即可．
【詳解】
解：過O作OD⊥AB于D，連接OA，如圖所示：
則AD=BD=AB=4（米），
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD=（米），
即圓心O到水面AB的距離為3米，
故答案為：3．
【點睛】
本題考查了垂徑定理的應用和勾股定理的應用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關鍵．
考點五 垂徑定理的推論
例題：（2022·上海嘉定·二模）下列命題中假命題是（ ）
A．平分弦的半徑垂直于弦B．垂直平分弦的直線必經(jīng)過圓心
C．垂直于弦的直徑平分這條弦所對的弧D．平分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)垂徑定理及其推論分別進行判斷．
【詳解】
A、平分弦（非直徑）的半徑垂直于弦，所以A為假命題；
B、垂直平分弦的直線必經(jīng)過圓心，所以B選項為真命題；
C、垂直于弦的直徑平分這條弦所對的弧，所以C選項為真命題；
D、平分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦，所以D選項為真命題．
故選：A．
【點睛】
本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理，也考查了垂徑定理的性質．
【變式訓練】
1．（2021·云南省個舊市第二中學九年級期中）下列語句中不正確的有（ ）
①長度相等的弧是等?。虎诖怪庇谙业闹睆狡椒窒?；③圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸；④平分弦的直線也必平分弦所對的兩條??；⑤半圓是圓中最長的?。虎薏辉谕粭l直線上的三個點可以確定一個圓.
A．5個B．4個C．3個D．2個
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)垂徑定理及圓的有關概念和對稱性對每個語句分別進行判斷即可.
【詳解】
因為能夠完全重合的弧是等弧,故①不正確；
垂直于弦的直徑平分弦說法正確；
圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，故③說法不正確；
平分弦(不是直徑)的直線也必平分弦所對的兩條弧，故④說法不正確；
半圓的弧長是圓的弧長的一半，不是圓中最長的弧，故⑤說法不正確；
不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓，故⑥說法正確，
∴不正確的語句有4個，
故選：B
【點睛】
本題主要考查了圓的有關概念及垂徑定理，正確理解題意是解題的關鍵.
2．（2022·黑龍江·大慶市第三十六中學九年級期末）下列說法正確的是（ ）
A．相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等
B．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧
C．等弧所對的圓心角相等，所對的弦相等
D．圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條直徑
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)圓心角、弧、弦的關系對AC進行判斷；根據(jù)垂徑定理的推論對B進行判斷；根據(jù)對稱軸的定義對D進行判斷．
【詳解】
解：A、在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所以本選項錯誤；
B、平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧，所以本選項錯誤；
C、等弧所對的圓心角相等，所對的弦相等，所以本選項正確；
D、圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條直徑所在的直線，所以本選項錯誤；
故選：C．
【點睛】
本題考查了圓心角、弧、弦的關系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．也考查了垂徑定理．
課后訓練
一、選擇題
1．（2021·四川·成都嘉祥外國語學校九年級階段練習）下列說法正確的個數(shù)是（ ）
①平分弦的直徑，必垂直于這條弦；
②圓的切線垂直于圓的半徑；
③三點確定一個圓；
④同圓或等圓中；等弦所對的圓周角相等．
A．0個B．1個C．2個D．3個
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)垂徑定理的推論可判斷①，根據(jù)切線的性質可判斷②，根據(jù)確定圓的條件可判斷③，根據(jù)圓周角與弦的關系可判斷④．
【詳解】
解：①平分弦（不是直徑）的直徑，必垂直于這條弦；
②圓的切線垂直于過切點的半徑；
③平面內不共線三點確定一個圓；
④同圓或等圓中；等弦所對的圓周角相等或互補．
故沒有正確的．
故選A
【點睛】
本題考查了垂徑定理的推論，切線的性質，確定圓的條件，圓周角與弦的關系，掌握以上知識是解題的關鍵．
2．（2021·遼寧撫順·九年級階段練習）矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，點P在邊AB上，且AP＝3，如果⊙P是以點P為圓心，PD為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（ ）
A．點B、C均在⊙P內B．點B在⊙P上、點C在⊙P內
C．點B、C均在⊙P外D．點B在⊙P上、點C在⊙P外
【答案】D
【解析】
【分析】
如圖所示，連接DP，CP，先求出BP的長，然后利用勾股定理求出PD的長，再比較PC與PD的大小，PB與PD的大小即可得到答案．
【詳解】
解：如圖所示，連接DP，CP，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∵AP=3，AB=8，
∴BP=AB-AP=5，
∵，
∴PB=PD，
∴，
∴點C在圓P外，點B在圓P上，
故選D．
【點睛】
本題主要考查了點與圓的位置關系，勾股定理，矩形的性質，熟知用點到圓心的距離與半徑的關系去判斷點與圓的位置關系是解題的關鍵．
3．（2022·湖北襄陽·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O的弦CD＝8，且CD⊥AB于點E．若OE∶OB＝3∶5，則直徑AB的長為（ ）
A．16B．13C．10D．
【答案】C
【解析】
【分析】
連接OC，可知OC=OB，設：OE=3x，則OB=OC=5x，在中，利用勾股定理即可求出OB，由此可求出直徑AB．
【詳解】
解：如圖，連接OC，則OB=OC，
∵⊙O的弦CD＝8，且CD⊥AB于點E，
∴CE=DE=4，
∵OE∶OB＝3∶5，
設：OE=3x，則OB=OC=5x，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：x=1，
∴OB=5，即AB=10．
故選：C．
【點睛】
本題主要考查的是圓的垂徑定理，以及勾股定理的應用，合理利用線段比例關系構建直角三角形是解題的關鍵．
4．（2022·浙江·溫州繡山中學九年級期末）如圖，在矩形中，，．若以點B為圓心，以4cm長為半徑作OB，則下列選項中的各點在外的是（ ）
A．點AB．點BC．點CD．點D
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)勾股定理求出BD的長，進而得出點A，C，D與⊙B的位置關系．
【詳解】
解：連接BD，
在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，
∵∠B＝90°，
∴BD5，
∵AB＝3＜4，BD＝5＞4，BC＝4，
∴點D在⊙B外，點C在⊙B上，點A在⊙B內．
故選：D．
【點睛】
此題主要考查了點與圓的位置關系，矩形的性質，勾股定理，解決本題的關鍵是掌握點與圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：①如果點P在圓外，那么d＞r；②如果點P在圓上，那么d＝r；③如果點P在圓內，那么d＜r．反之也成立．
5．（2022·湖北·鄂州市教學研究室一模）如圖，小麗蕩秋千，秋千鏈子的長為，秋千向兩邊擺動的角度相同，擺動的水平距離為3米，秋千擺至最高位置時與最低位置時的高度之差（即）為0.5米．則秋千鏈子的長為（ ）
A．2米B．2.5米C．1.5米D．米
【答案】B
【解析】
【分析】
由題意知，秋千擺至最低點時，點D為的中點，由垂徑定理知OD⊥AB， AD=AB=1.5米．再根據(jù)勾股定理求得OA即可．
【詳解】
解：∵點D為的中點，
∴由垂徑定理知OD⊥AB，AD=BD=AB=×3=1.5(米)，
∴OA2=AD2+OD2，
則OA2=AD2+(OA-CD)2=1.52+(OA-0.5)2，
解得：OA=2.5(米)．
故選：B．
【點睛】
本題考查了垂徑定理的應用，勾股定理的應用，將實際問題抽象為幾何問題是解題的關鍵．
二、填空題
6．（2022·黑龍江七臺河·九年級期末）若兩個圓的半徑分別為3和4，圓心之間的距離是5，則這兩個圓的位置關系是______．
【答案】相交
【解析】
【分析】
首先根據(jù)題意比較兩個圓的半徑的和差與圓心距的關系，即可得出答案．
【詳解】
由題意可知r1=3，r2=4，d=5，可知4-3＜5＜4+3，
即r2-r1＜d＜r2+r1．
所以兩個圓相交．
故答案為：相交.
【點睛】
本題主要考查了圓與圓的位置關系，掌握兩個圓的半徑的和差與圓心距的關系是判斷的關鍵，即相切，相交，相離．
7．（2021·江蘇泰州·九年級期中）已知⊙O與點P在同一平面內，若⊙O的半徑為6，線段OP的長為4，則點P與⊙O的位置關系是 _________．
【答案】點P在⊙O內
【解析】
【分析】
比較⊙O的半徑為r與點P到圓心的距離的大小，進而判斷點與圓的位置關系．
【詳解】
解：∵⊙O的半徑為6，線段OP的長為4，
∴⊙O的半徑＞線段OP的長，
∴點P在⊙O內，
故答案為：點P在⊙O內．
【點睛】
本題考查的是點與圓的位置關系有3種．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：①點P在圓外?d＞r；②點P在圓上?d＝r；③點P在圓內?d＜r．
8．（2020·全國·九年級期中）下列說法：①半徑為3cm且經(jīng)過點P的圓有無數(shù)個；②直徑是圓的對稱軸；③菱形的四個頂點在同一個圓上；④平分弦的直徑垂直于這條弦．其中真命題有___．（填序號）
【答案】①
【解析】
【分析】
根據(jù)圓的定義判斷①為真命題；根據(jù)對稱軸是直線，判斷②為假命題；根據(jù)菱形的性質及四點共圓判斷③是假命題；根據(jù)垂徑定理判斷④為假命題．
【詳解】
解：①半徑為3cm且經(jīng)過點P的圓有無數(shù)個，本說法是真命題，符合題意；
②直徑所在的直線是圓的對稱軸，本說法是假命題，不符合題意；
③菱形的四個頂點不一定在同一個圓上，本說法是假命題，不符合題意；
④平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦，本說法是假命題，不符合題意；
故答案為：①．
【點睛】
本題主要考查了圓的定義及性質，正確理解相關概念是解題的關鍵．
9．（2022·四川·瀘縣毗盧鎮(zhèn)學校九年級期末）《九章算術》是我國古代數(shù)學成就的杰出代表作，其中《方田》章計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式是：弧田面積＝．弧田是由圓弧和其所對的弦圍成（如圖），公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．現(xiàn)已知弦AB＝16米，半徑等于10米的弧田，按照上述公式計算出弧田的面積為_________平方米．
【答案】40
【解析】
【分析】
由題意可知OC⊥AB于D，交圓弧于C，由垂徑定理得到米，再由勾股定理得到米，求得米，然后由弧田面積公式即可得出結果．
【詳解】
解：由題意得：OC⊥AB于D，
∴AD＝BD＝AB＝8米，
在中，由勾股定理得：OD＝＝＝6（米），
∴CD=OC﹣OD＝10﹣6＝4（米），
∴弧田面積＝（弦×矢+矢×矢）＝×（16×4+4×4）＝40（平方米），
故答案為：40．
【點睛】
本題考查了勾股定理以及垂徑定理的應用，熟練掌握垂徑定理是解答本題的關鍵．
10．（2022·浙江·九年級專題練習）如圖，在⊙O中，半徑r＝10，弦AB＝16，P是弦AB上的動點，則線段OP長的最小值是 ______．
【答案】6
【解析】
【分析】
過O點作OH⊥AB于H，連接OB，如圖，根據(jù)垂徑定理得到AH＝BH＝8，再利用勾股定理計算出OH，然后根據(jù)垂線段最短求解．
【詳解】
解：如圖，過O點作OH⊥AB于H，連接OB，
∴AH＝BH＝AB＝×16＝8，，
在Rt△BOH中，由勾股定理可得：
，
∴線段OP長的最小值為6．
故答案為：6．
【點睛】
本題考查了垂徑定理、勾股定理以及最短線段問題，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關鍵．
三、解答題
11．（2021·江蘇泰州·九年級期中）如圖，AB為圓O直徑，F(xiàn)點在圓上，E點為AF中點，連接EO，作CO⊥EO交圓O于點C，作CD⊥AB于點D，已知直徑為10，OE＝4，求OD的長度．
【答案】3
【解析】
【分析】
根據(jù)垂徑定理的逆定理得到OE⊥AF，由CO⊥EO，得到OC∥AF，即可得到∠OAE＝∠COD，然后通過證得△AEO≌△ODC，證得CD＝OE＝4，然后根據(jù)勾股定理即可求得OD．
【詳解】
解：∵E點為AF中點，
∴OE⊥AF，
∵CO⊥EO，
∴OC∥AF，
∴∠OAE＝∠COD，
∵CD⊥AB，
∴∠AEO＝∠ODC，
在△AEO和△ODC中，
，
∴△AEO≌△ODC（AAS），
∴CD＝OE＝4，
∵OC＝5，
∴OD＝＝＝3．
【點睛】
本題考查垂徑定理的逆定理、平行線的判定與性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理，熟練掌握垂徑定理和全等三角形的判定與性質是解答的關鍵．
12．（2021·全國·九年級課時練習）已知A為上的一點，的半徑為1，所在的平面上另有一點P．
（1）如果，那么點P與有怎樣的位置關系？
（2）如果，那么點P與有怎樣的位置關系？
【答案】（1）點P在外；（2）點P可能在外，也可能在內，還可能在上，實際上，點P位于以A為圓心，以為半徑的圓上．
【解析】
【分析】
（1）點和圓的位置關系有：①在圓外，②在圓上，③在圓內，再逐個判斷即可；
（2）點和圓的位置關系有①在圓外，②在圓上，③在圓內，再逐個判斷即可．
【詳解】
解：（1），的直徑為2
點的位置只有一種情況在圓外，
即點與的位置關系是點在圓外．
（2），的直徑為2
點的位置有三種情況：①在圓外，②在圓上，③在圓內．
即點P可能在外，也可能在內，還可能在上，實際上，點P位于以A為圓心，以為半徑的圓上．
【點睛】
本題考查了圓的認識的應用，解題的關鍵是做注意多種情況的考慮，注意：點和圓有三種位置關系：點在圓外，點在圓上，點在圓內．
13．（2022·重慶·九年級期末）某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，下圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
(1)請你補全這個輸水管道的圓形截面（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
(2)若這個輸水管道有水部分的水面寬，水面最深地方的高度（即的中點到弦AB的距離）為4cm，求這個圓形截面所在圓的半徑．
【答案】(1)見解析
(2)10cm
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)尺規(guī)作圖的步驟和方法做出圖即可，
（2）先過圓心O作半徑CO⊥AB，交AB于點D，設半徑為r，得出AD、OD的長，在Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理求出這個圓形截面的半徑．
(1)
如圖所示，⊙O為所求作的圓形截面．
(2)
如圖，作半徑OC⊥AB于D，連接OA，
則AD＝AB＝8 cm，點C為的中點，
進而，CD＝4 cm．
設這個圓形截面所在圓的半徑為r cm，則OD＝（r－4） cm．
在Rt△ADO中，有82＋（r－4）2＝r2，
解得r＝10．
即這個圓形截面所在圓的半徑為10 cm．
【點睛】
此題考查了垂經(jīng)定理和勾股定理，關鍵是根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)勾股定理進行求解．
14．（2022·湖南長沙·一模）如圖，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的兩條弦，ODAB，OEAC，垂足分別為D、E．
(1)求證：四邊形ADOE是正方形；
(2)若AC=2cm，求⊙O的半徑．
【答案】(1)見解析
(2)cm
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)ACAB，ODAB，OEAC，可得四邊形ADOE是矩形，由垂徑定理可得AD=AE，根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形可證；
（2）連接OA，由勾股定理可得．
(1)
證明：∵ACAB，ODAB，OEAC，
∴四邊形ADOE是矩形，，，
又∵AB=AC，
∴AD=AE，
∴四邊形ADOE是正方形．
(2)
解：如圖，連接OA，
∵四邊形ADOE是正方形，
∴cm，
在Rt△OAE中，由勾股定理可得：cm，
即⊙O的半徑為cm．
【點睛】
本題考查圓與正方形，熟練掌握正方形的判定方法、圓有關的性質，是解題的關鍵．
15．（2022·山東省棗莊市第四十一中學一模）在《折疊圓形紙片》綜合實踐課上，小東同學展示了如下的操作及問題：
(1)如圖1，的半徑為4cm，通過折疊圓形紙片，使得劣弧AB沿弦AB折疊后恰好過圓心，求AB長；
(2)如圖2，弦AB，垂足為點C，劣弧AB沿弦AB折疊后經(jīng)過的中點D，，求的半徑．
【答案】(1)cm
(2)cm
【解析】
【分析】
（1）如圖1，作交于，交于，連接，由題意知，，，在中，由勾股定理得求出的值，進而可求的值；
（2）如圖2，延長交于，連接，設半徑為，由題意知，由折疊和中點的性質可知，在中，由勾股定理得，即，求出滿足要求的解即可．
(1)
解：如圖1，作交于，交于，連接
由題意知，，
在中，由勾股定理得
∴
∴的長為．
(2)
解：如圖2，延長交于，連接，設半徑為
由題意知，由折疊和中點的性質可知，
在中，由勾股定理得，即
解得：，（不合題意，舍去）
∴半徑的長為．
【點睛】
本題考查了垂徑定理，折疊的性質，勾股定理等知識．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．

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