考點(diǎn)一 用二次函數(shù)解決增長(zhǎng)率問(wèn)題 考點(diǎn)二 用二次函數(shù)解決銷售問(wèn)題
考點(diǎn)三 用二次函數(shù)解決拱橋問(wèn)題 考點(diǎn)四 用二次函數(shù)解決噴水問(wèn)題
考點(diǎn)五 用二次函數(shù)解決投球問(wèn)題 考點(diǎn)六 用二次函數(shù)解決圖形問(wèn)題
考點(diǎn)七 用二次函數(shù)解決圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題
典型例題

考點(diǎn)一 用二次函數(shù)解決增長(zhǎng)率問(wèn)題
例題：（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）某工廠實(shí)行技術(shù)改造，產(chǎn)量年均增長(zhǎng)率為x，已知2020年產(chǎn)量為1萬(wàn)件，那么2022年的產(chǎn)量y（萬(wàn)件）與x間的關(guān)系式為___________．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·江西萍鄉(xiāng)·七年級(jí)期末）某廠有一種產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量是2萬(wàn)件，計(jì)劃今后兩年增加產(chǎn)量，如果每年都比上一年的產(chǎn)量增加x倍，那么兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量y（萬(wàn)件）將隨計(jì)劃所定的x的值而確定，那么y與x之間的關(guān)系式應(yīng)表示為________．
2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）為積極響應(yīng)國(guó)家“舊房改造”工程，該市推出《加快推進(jìn)舊房改造工作的實(shí)施方案》推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化建設(shè)，改善民生，優(yōu)化城市建設(shè)．
（1）根據(jù)方案該市的舊房改造戶數(shù)從2020年底的3萬(wàn)戶增長(zhǎng)到2022年底的4.32萬(wàn)戶，求該市這兩年舊房改造戶數(shù)的平均年增長(zhǎng)率；
（2）該市計(jì)劃對(duì)某小區(qū)進(jìn)行舊房改造，如果計(jì)劃改造300戶，計(jì)劃投入改造費(fèi)用平均20000元/戶，且計(jì)劃改造的戶數(shù)每增加1戶，投入改造費(fèi)平均減少50元/戶，求舊房改造申報(bào)的最高投入費(fèi)用是多少元？
考點(diǎn)二 用二次函數(shù)解決銷售問(wèn)題
例題：（2021·寧夏·吳忠市利通區(qū)扁擔(dān)溝中心學(xué)校九年級(jí)期中）一商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了擴(kuò)大銷售、增加盈利，該店采取了降價(jià)措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若降價(jià)3元，則平均每天銷售數(shù)量為件：
(2)當(dāng)每件商品降價(jià)多少元時(shí)，該商店每天銷售利潤(rùn)最大？
【變式訓(xùn)練】
1．（2021·廣東·陸豐市甲東鎮(zhèn)鐘山中學(xué)九年級(jí)期中）某商場(chǎng)要經(jīng)營(yíng)一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元/件，試營(yíng)銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)是25元/件時(shí)，每天的銷售量為250件，銷售單價(jià)每上漲1元，每天的銷售量就減少10件．求銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該文具每天的銷售利潤(rùn)最大；最大利潤(rùn)為多少元？
2．（2022·山東德州·九年級(jí)期末）某商廈燈具部投資銷售一種進(jìn)價(jià)為每件20元的護(hù)眼臺(tái)燈，銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù)：y＝﹣10x+500，在銷售過(guò)程中銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，而每件的利潤(rùn)不高于成本價(jià)的60%．
(1)設(shè)每月獲得利潤(rùn)為w（元），求每月獲得利潤(rùn)w（元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍．
(2)如果想要每月獲得的利潤(rùn)為2000元，那么每月的單價(jià)定為多少元？
(3)當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)？每月的最大利潤(rùn)是多少？
考點(diǎn)三 用二次函數(shù)解決拱橋問(wèn)題
例題：（2022·四川廣安·中考真題）如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2米時(shí)，水面寬6米，水面下降________米，水面寬8米．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·山東德州·九年級(jí)期末）如圖是拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂高距離水面2m時(shí)，水面寬4m，如果水面上升1.5m，則水面寬度為________．
2．（2022·甘肅定西·模擬預(yù)測(cè)）有一個(gè)拋物線的拱形橋洞，橋洞離水面的最大高度為，跨度為，如圖所示，把它的圖形放在直角坐標(biāo)系中．
(1)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
(2)如圖，在對(duì)稱軸右邊處，橋洞離水面的高是多少？
考點(diǎn)四 用二次函數(shù)解決噴水問(wèn)題
例題：（2022·河南·中考真題）小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對(duì)此展開研究：測(cè)得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達(dá)到最高，最高點(diǎn)距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)拋物線的表達(dá)式為，其中x（m）是水柱距噴水頭的水平距離，y（m）是水柱距地面的高度．
(1)求拋物線的表達(dá)式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，身高1.6m的小紅在水柱下方走動(dòng)，當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時(shí)，求她與爸爸的水平距離．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·四川南充·中考真題）如圖，水池中心點(diǎn)O處豎直安裝一水管，水管噴頭噴出拋物線形水柱，噴頭上下移動(dòng)時(shí)，拋物線形水柱隨之豎直上下平移，水柱落點(diǎn)與點(diǎn)O在同一水平面．安裝師傅調(diào)試發(fā)現(xiàn)，噴頭高時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)；噴頭高時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)．那么噴頭高_(dá)______________m時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)．
2．（2022·浙江臺(tái)州·中考真題）如圖1，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線的方向行駛，為綠化帶澆水．噴水口離地豎直高度為（單位：）．如圖2，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度，豎直高度為的長(zhǎng)．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點(diǎn)離噴水口的水平距離為，高出噴水口，灌溉車到的距離為（單位：）．
(1)若，；
①求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程；
②求下邊緣拋物線與軸的正半軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；
③要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，求的取值范圍；
(2)若．要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，請(qǐng)直接寫出的最小值．
考點(diǎn)五 用二次函數(shù)解決投球問(wèn)題
例題：（2022·上海市張江集團(tuán)中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，以地面為x軸，一名男生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：米）與水平距離x（單位：米）之間的關(guān)系是．則他將鉛球推出的距離是___米．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期末）小明在期末體育測(cè)試中擲出的實(shí)心球的運(yùn)動(dòng)路線呈拋物線形．若實(shí)心球運(yùn)動(dòng)的拋物線的解析式為，其中y是實(shí)心球飛行的高度，x是實(shí)心球飛行的水平距離．已知該同學(xué)出手點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則實(shí)心球飛行的水平距離OB的長(zhǎng)度為（ ）
A．7mB．7.5mC．8mD．8.5m
2．（2022·貴州安順·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖是小明站在點(diǎn)O處長(zhǎng)拋籃球的路線示意圖，球在點(diǎn)A處離手，且．第一次在點(diǎn)D處落地，然后彈起在點(diǎn)E處落地，籃球在距O點(diǎn)的點(diǎn)B處正上方達(dá)到最高點(diǎn)，最高點(diǎn)C距地面的高度，點(diǎn)E到籃球框正下方的距離，籃球框的垂直高度為．據(jù)試驗(yàn)，兩次劃出的拋物線形狀相同，但第二次的最大高度為第一次的，以小明站立處點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式；
(2)求籃球第二次的落地點(diǎn)E到點(diǎn)O的距離．（結(jié)果保留整數(shù)）
(3)若小明想一次投中籃球框，他應(yīng)該向前走多少米？（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：）
考點(diǎn)六 用二次函數(shù)解決圖形問(wèn)題
例題：（2021·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)期中）如圖，利用一面墻（墻長(zhǎng)26米），用總長(zhǎng)度49米的柵欄（圖中實(shí)線部分）圍成一個(gè)矩形圍欄ABCD，且中間共留兩個(gè)1米的小門，設(shè)柵欄BC長(zhǎng)為米．
(1)AB＝ 米（用含的代數(shù)式表示）；
(2)若矩形圍欄ABCD面積為210平方米，求柵欄BC的長(zhǎng)；
(3)能圍成比210平方米更大的矩形圍欄ABCD嗎？如果能，請(qǐng)求出最大面積；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式訓(xùn)練】
1．（2021·寧夏·吳忠市利通區(qū)扁擔(dān)溝中心學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，利用一面墻（墻長(zhǎng)10米）用20米的籬笆國(guó)成一個(gè)矩形場(chǎng)地．設(shè)垂直于墻的一邊為x米．矩形場(chǎng)地的面積為s平方米．
(1)求s與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍；
(2)若矩形場(chǎng)地的面枳最大，應(yīng)該如何設(shè)計(jì)長(zhǎng)與寬．
2．（2022·山東煙臺(tái)·九年級(jí)期中）某城門的截面由一段拋物線和一個(gè)正方形（OMNE為正方形）的三條邊圍成，已知城門寬度為4米，最高處距地面6米．如圖1所示，現(xiàn)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OM所在的直線為x軸，OE所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系．
(1)求上半部分拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并寫出其自變量的取值范圍；
(2)有一輛寬3米，高4.5米的消防車需要通過(guò)該城門，請(qǐng)問(wèn)該消防車能否正常進(jìn)入？
(3)為營(yíng)造節(jié)日氣氛，需要臨時(shí)搭建一個(gè)矩形“裝飾門”ABCD，該“裝飾門”關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，如圖2所示，其中AB，AD，CD為三根承重鋼支架，A、D在拋物線上，B，C在地面上，已知鋼支架每米70元，問(wèn)搭建這樣一個(gè)矩形“裝飾門”，僅鋼支架一項(xiàng)，最多需要花費(fèi)多少元？
考點(diǎn)七 用二次函數(shù)解決圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題
例題：（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1，在中，，已知點(diǎn)P在直角邊AB上，以的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在直角邊BC上，以的速度從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q恰好到達(dá)點(diǎn)C處．圖2是的面積與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系圖像（點(diǎn)M為圖像的最高點(diǎn)），根據(jù)相關(guān)信息，計(jì)算線段AC的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·寧夏·銀川唐徠回民中學(xué)二模）如圖，在矩形ABCD中，BC＞CD，BC、CD分別是一元二次方程x2－7x＋12＝0的兩個(gè)根，連接BD，并過(guò)點(diǎn)C作CN⊥BD，垂足為N，點(diǎn)P從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿BD方向勻速運(yùn)動(dòng)到D為止；點(diǎn)M沿線段DA以每秒1個(gè)單位的速度由點(diǎn)D向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)A為止，點(diǎn)P與點(diǎn)M同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．
(1)求線段CN的長(zhǎng)；
(2)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)△PMN的面積取得最大值，最大值是多少？
2．（2021·北京·九年級(jí)期中）如圖，中，，，．動(dòng)點(diǎn)，分別從，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)沿邊向以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)沿邊向以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)，到達(dá)終點(diǎn)，時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．
(1)①當(dāng)運(yùn)動(dòng)停止時(shí)，的值為 ．
②設(shè)，之間的距離為，則與滿足 （選填“正比例函數(shù)關(guān)系”，“一次函數(shù)關(guān)系”，“二次函數(shù)關(guān)系” ．
(2)設(shè)的面積為，
①求的表達(dá)式（用含有的代數(shù)式表示）；
②求當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值，這個(gè)最大值是多少？
課后訓(xùn)練
一、選擇題
1．（2022·河北·威縣第三中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）小明在體育訓(xùn)練中擲出的實(shí)心球的運(yùn)動(dòng)路線呈如圖所示的拋物線形，若實(shí)心球運(yùn)動(dòng)的拋物線的解析式為，其中是實(shí)心球飛行的高度，是實(shí)心球飛行的水平距離，則小明此次擲球的成績(jī)（即的長(zhǎng)度）是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·浙江紹興·九年級(jí)期中）一座拱橋的示意圖如圖所示，當(dāng)水面寬為12m時(shí)，橋洞頂部離水面4m．已知橋洞的拱形是拋物線，以水平方向?yàn)閤軸（向右為正向），若A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系時(shí)，該拋物線的表達(dá)式為則B為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系時(shí)，該拋物線的表達(dá)式為（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·甘肅·甘州中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠B＝30°，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以cm/s的速度沿BC方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BA—AC方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止．若△BPQ的面積為y（），運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），則下列最能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是( )
A．B．C．D．
二、填空題
4．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）某廠今年一月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為1000元，以后每月新產(chǎn)品的研發(fā)資金與上月相比增長(zhǎng)率都是x，則該廠今年三月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金y（元）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為______．
5．（2022·山東·日照港中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）某服裝店銷售一批服裝，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，盡快減少庫(kù)存，商店決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果一件衣服每降價(jià)1元，商店平均每天可多售出2件，則每件衣服降價(jià)___________元時(shí)，服裝店每天盈利最多．
6．（2022·北京·人大附中九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在一面靠墻的空地上用長(zhǎng)為24米的籬笆，圍成中間隔有二道籬笆的長(zhǎng)方形花圃，設(shè)花圃的寬AB為x米，面積為S平方米．則S與x的函數(shù)關(guān)系式為_____________；花圃面積最大是____________平方米．
三、解答題
7．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）某種產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量是，計(jì)劃今后兩年增加產(chǎn)量．如果每年都比上一年的產(chǎn)量增加x倍，那么兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量y將隨計(jì)劃所定的x的值而確定，y與x之間的關(guān)系應(yīng)怎樣表示？
8．（2022·福建·廈門市湖濱中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）在運(yùn)動(dòng)會(huì)比賽時(shí)，九年級(jí)的一名男同學(xué)推鉛球，已知鉛球經(jīng)過(guò)的路線是某二次函數(shù)圖象的一部分（如圖所示），如果這名男同學(xué)的出手處A點(diǎn)的坐標(biāo)為，鉛球路線的最高處B點(diǎn)的坐標(biāo)為．
(1)求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
(2)請(qǐng)求出這名男同學(xué)比賽時(shí)的成績(jī)？
9．（2022·福建·廈門外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）某企業(yè)安排75名工人生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每名工人每天可生產(chǎn)2件甲產(chǎn)品或1件乙產(chǎn)品，且每名工人每天只能生產(chǎn)一種產(chǎn)品，甲產(chǎn)品每件可獲利20元．根據(jù)市場(chǎng)需求，乙產(chǎn)品每天產(chǎn)量不少于5件，當(dāng)乙產(chǎn)品每天生產(chǎn)5件時(shí)，每件可獲利150元，每增加1件，當(dāng)天平均每件利潤(rùn)減少2元，設(shè)每天安排x（x為不小于5的整數(shù)）名工人生產(chǎn)乙產(chǎn)品．
(1)用含x的代數(shù)式表示：每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品的工人有 名；每件乙產(chǎn)品可獲利潤(rùn) 元；
(2)該企業(yè)在不增加工人數(shù)量的情況下，增加生產(chǎn)丙產(chǎn)品，要求每天甲，丙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量相等，已知每名工人每天可生產(chǎn)1件丙產(chǎn)品，丙產(chǎn)品每件可獲利25元，該企業(yè)每天生產(chǎn)三種產(chǎn)品，且可獲得的總利潤(rùn)的和最大時(shí)，請(qǐng)求出x的值．
10．（2022·浙江·義烏市繡湖中學(xué)教育集團(tuán)九年級(jí)階段練習(xí)）某植物園有一塊足夠大的空地，其中有一堵長(zhǎng)為6米的墻，現(xiàn)準(zhǔn)備用20米的籬笆圍兩間矩形花圃，中間用籬笆隔開．小俊設(shè)計(jì)了如圖所示的兩種方案：方案甲中AD的長(zhǎng)不超過(guò)墻長(zhǎng)；方案乙中AD的長(zhǎng)大于墻長(zhǎng)．
(1)若按方案甲施工，且圍成面積為25平方米的花圃，則AD的長(zhǎng)是多少米？
(2)按哪種方案施工，可以圍成的矩形花圃的面積最大？最大面積是多少？
11．（2022·福建·福州第四中學(xué)桔園洲中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)為每件50元，每個(gè)月可賣出210件，如果每件商品的售價(jià)每上漲1元，則每個(gè)月少賣10件（每件售價(jià)不能高于65元），設(shè)每件商品的售價(jià)上漲x元（x為正整數(shù)），每個(gè)月的銷售利潤(rùn)為y元.
(1)求x的取值范圍；
(2)當(dāng)x=10時(shí)，求該商品的銷售量；
(3)求當(dāng)售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)？并求出最大的月利潤(rùn).
12．（2022·湖北·武漢市二橋中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，某城區(qū)公園有直徑為的圓形水池，水池邊安有排水槽，在正中心O處修噴水裝置，噴出的水流呈拋物線狀，當(dāng)水管高度在處時(shí)，距離水平距離處噴出的水流達(dá)到最大高度為．
(1)求拋物線解析式，并求水流落地點(diǎn)B到點(diǎn)O的距離（即線段的長(zhǎng)）；
(2)距離水平距離多遠(yuǎn)的E點(diǎn)處，放置高為的景觀射燈EF使水流剛好到點(diǎn)F？
(3)若不改變（1）中拋物線的形狀和對(duì)稱軸，若使水流落地點(diǎn)恰好落在圓形水池邊排水槽內(nèi)（不考慮邊寬），則此時(shí)水管的高度為多少？
13．（2022·福建省尤溪第一中學(xué)文公分校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，用長(zhǎng)為22米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長(zhǎng)度為14米），圍成中間隔有一道籬笆的長(zhǎng)方形花圃，為了方便出入，在建造籬笆花圃時(shí)，在BC上用其他材料做了寬為1米的兩扇小門.設(shè)花圃垂直于墻的邊AB長(zhǎng)為x米，花圃面積為S平方米．
(1)用含x的代數(shù)式表示S．
(2)如果花圃的面積剛好為，此時(shí)邊AB的長(zhǎng)是多少米？
(3)按題目的設(shè)計(jì)要求，能圍成比更大的花圃嗎？如果能，請(qǐng)求出最大面積，并說(shuō)明圍法；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
14．（2022·江西·南昌市江鈴學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖1所示，某公園有一個(gè)直徑為16米的圓形噴水池，噴出的水柱為拋物線，且各方向噴出的水柱恰好落在水池內(nèi)，過(guò)噴水管口所在鉛垂線每一個(gè)截面均可得到兩條關(guān)于對(duì)稱的拋物線，如圖2，以噴水池中心為原點(diǎn)，噴水管口所在鉛垂線為縱軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
(1)若噴出的水柱在距水池中心3米處達(dá)到最高，且高度為5米，求水柱所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)王師傅在噴水池內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時(shí)必須在離水池中心多少米以內(nèi)？
15．（2022·浙江·溫州市第十二中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）2022年中秋節(jié)一過(guò)，某超市經(jīng)盤點(diǎn)后發(fā)現(xiàn)其倉(cāng)庫(kù)剩余1150盒進(jìn)價(jià)為80元的某品牌月餅，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：若每盒以160元銷售，接下來(lái)一周可銷售300盒，售價(jià)每降低1元，可多銷售10盒，設(shè)每盒降價(jià)x元（x為整數(shù)），記這種品牌月餅的周銷售利潤(rùn)為W．
(1)請(qǐng)寫出W與x之間的函數(shù)表達(dá)式．
(2)當(dāng)售價(jià)降低多少元時(shí)，周銷售利潤(rùn)最大？最大周銷售利潤(rùn)為多少元？
(3)超市按利潤(rùn)最大銷售一周后，發(fā)現(xiàn)仍有庫(kù)存，計(jì)劃在接下來(lái)一周內(nèi)售完余下月餅，特向廠家爭(zhēng)取了將余下月餅的進(jìn)價(jià)每盒降低a元的優(yōu)惠．若超市重新調(diào)整售價(jià)，希望在售完余下月餅時(shí)恰能獲得最大利潤(rùn)，則a的最小值為______（直接寫出結(jié)果）．
16．（2022·江西·瑞金市第三中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）跳臺(tái)滑雪運(yùn)動(dòng)可分為助滑、起跳、飛行和落地四個(gè)階段，運(yùn)動(dòng)員起跳后飛行的路線是拋物線的一部分（如圖中實(shí)線部分所示），落地點(diǎn)在著陸坡（如圖中虛線部分所示）上，著陸坡上的基準(zhǔn)點(diǎn)K為飛行距離計(jì)分的參照點(diǎn)，落地點(diǎn)超過(guò)K點(diǎn)越遠(yuǎn)，飛行距離分越高．某次比賽某跳臺(tái)滑雪臺(tái)的起跳臺(tái)的高度為58m，基準(zhǔn)點(diǎn)K到起跳臺(tái)的水平距離為60m，高度為（h為定值）．設(shè)運(yùn)動(dòng)員從起跳點(diǎn)A起跳后的高度與水平距離之間的函數(shù)關(guān)系為．
(1)c的值為__________；
(2)①若運(yùn)動(dòng)員落地點(diǎn)恰好到達(dá)K點(diǎn)，且此時(shí)，，求基準(zhǔn)點(diǎn)K的高度h；
②若時(shí)，運(yùn)動(dòng)員落地點(diǎn)要超過(guò)K點(diǎn)，則b的取值范圍為__________；
(3)若運(yùn)動(dòng)員飛行的水平距離為20m時(shí)，恰好達(dá)到最大高度70m，試判斷他的落地點(diǎn)能否超過(guò)K點(diǎn)，并說(shuō)明理由．
專題05 用二次函數(shù)解決問(wèn)題壓軸題七種模型全攻略
考點(diǎn)一 用二次函數(shù)解決增長(zhǎng)率問(wèn)題 考點(diǎn)二 用二次函數(shù)解決銷售問(wèn)題
考點(diǎn)三 用二次函數(shù)解決拱橋問(wèn)題 考點(diǎn)四 用二次函數(shù)解決噴水問(wèn)題
考點(diǎn)五 用二次函數(shù)解決投球問(wèn)題 考點(diǎn)六 用二次函數(shù)解決圖形問(wèn)題
考點(diǎn)七 用二次函數(shù)解決圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題
典型例題

考點(diǎn)一 用二次函數(shù)解決增長(zhǎng)率問(wèn)題
例題：（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）某工廠實(shí)行技術(shù)改造，產(chǎn)量年均增長(zhǎng)率為x，已知2020年產(chǎn)量為1萬(wàn)件，那么2022年的產(chǎn)量y（萬(wàn)件）與x間的關(guān)系式為___________．
【答案】
【解析】
【分析】
因?yàn)楫a(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率相同，所以2021的產(chǎn)量為，2022年的產(chǎn)量為，由此即可知道2022年的產(chǎn)量y（萬(wàn)件）與x間的關(guān)系式．
【詳解】
解：∵2020年產(chǎn)量為1萬(wàn)件，且產(chǎn)量年均增長(zhǎng)率為x．
∴2021年產(chǎn)量為；2022年的產(chǎn)量為．
∴2022年的產(chǎn)量y（萬(wàn)件）與x間的關(guān)系式為．
故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題考查二次函數(shù)的實(shí)際問(wèn)題，能夠根據(jù)題意分步列出相關(guān)的代數(shù)式是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·江西萍鄉(xiāng)·七年級(jí)期末）某廠有一種產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量是2萬(wàn)件，計(jì)劃今后兩年增加產(chǎn)量，如果每年都比上一年的產(chǎn)量增加x倍，那么兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量y（萬(wàn)件）將隨計(jì)劃所定的x的值而確定，那么y與x之間的關(guān)系式應(yīng)表示為________．
【答案】或
【解析】
【分析】
根據(jù)平均增長(zhǎng)問(wèn)題，可得答案．
【詳解】
解：y與x之間的關(guān)系應(yīng)表示為y＝2（x+1）2．
故答案為：y＝2（x+1）2．
【點(diǎn)睛】
本題考查了函數(shù)關(guān)系式，利用增長(zhǎng)問(wèn)題獲得函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵，注意增加x倍是原來(lái)的（x+1）倍．
2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）為積極響應(yīng)國(guó)家“舊房改造”工程，該市推出《加快推進(jìn)舊房改造工作的實(shí)施方案》推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化建設(shè)，改善民生，優(yōu)化城市建設(shè)．
（1）根據(jù)方案該市的舊房改造戶數(shù)從2020年底的3萬(wàn)戶增長(zhǎng)到2022年底的4.32萬(wàn)戶，求該市這兩年舊房改造戶數(shù)的平均年增長(zhǎng)率；
（2）該市計(jì)劃對(duì)某小區(qū)進(jìn)行舊房改造，如果計(jì)劃改造300戶，計(jì)劃投入改造費(fèi)用平均20000元/戶，且計(jì)劃改造的戶數(shù)每增加1戶，投入改造費(fèi)平均減少50元/戶，求舊房改造申報(bào)的最高投入費(fèi)用是多少元？
【答案】（1）20%；（2）6125000（元）
【解析】
【分析】
（1）設(shè)平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意列式求解即可；
（2）設(shè)多改造y戶，最高投入費(fèi)用為w元，根據(jù)題意列式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最大值．
【詳解】
解：（1）設(shè)平均增長(zhǎng)率為x，則x>0，
由題意得：，
解得：x=0.2或x=-2.2（舍），
答：該市這兩年舊房改造戶數(shù)的平均年增長(zhǎng)率為20%；
（2）設(shè)多改造a戶，最高投入費(fèi)用為w元，
由題意得：，
∵a=-50，拋物線開口向下，
∴當(dāng)a-50=0，即a=50時(shí)，w最大，此時(shí)w=612500元，
答：舊房改造申報(bào)的最高投入費(fèi)用為612500元．
【點(diǎn)睛】
本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確讀懂題意列出式子，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解．
考點(diǎn)二 用二次函數(shù)解決銷售問(wèn)題
例題：（2021·寧夏·吳忠市利通區(qū)扁擔(dān)溝中心學(xué)校九年級(jí)期中）一商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了擴(kuò)大銷售、增加盈利，該店采取了降價(jià)措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若降價(jià)3元，則平均每天銷售數(shù)量為件：
(2)當(dāng)每件商品降價(jià)多少元時(shí)，該商店每天銷售利潤(rùn)最大？
【答案】(1)26
(2)當(dāng)每件商品降價(jià)15元時(shí)，該商店每天銷售利潤(rùn)最大．
【解析】
【分析】
（1）由題意可直接進(jìn)行求解；
（2）設(shè)每件商品降價(jià)x元，每天銷售利潤(rùn)為w元，由題意可列出函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而問(wèn)題可求解．
(1)
解：由題意得：平均每天銷售數(shù)量為（件）；
故答案為26；
(2)
解：設(shè)每件商品降價(jià)x元，每天銷售利潤(rùn)為w元，由題意得：
，
∵每件盈利不少于25元，
∴，解得：，
∵-2＜0，對(duì)稱軸為直線，
∴當(dāng)時(shí)，w有最大值，
答：當(dāng)每件商品降價(jià)15元時(shí)，該商店每天銷售利潤(rùn)最大．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2021·廣東·陸豐市甲東鎮(zhèn)鐘山中學(xué)九年級(jí)期中）某商場(chǎng)要經(jīng)營(yíng)一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元/件，試營(yíng)銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)是25元/件時(shí)，每天的銷售量為250件，銷售單價(jià)每上漲1元，每天的銷售量就減少10件．求銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該文具每天的銷售利潤(rùn)最大；最大利潤(rùn)為多少元？
【答案】x＝35時(shí)，w最大值2250元，
【解析】
【分析】
設(shè)每天所得的銷售利潤(rùn)w（元）與銷售單價(jià)x（元），利用每件利潤(rùn)×銷量＝總利潤(rùn)，進(jìn)而得出w與x的函數(shù)關(guān)系式；再利用配方法求出二次函數(shù)最值進(jìn)而得出答案．
【詳解】
解：設(shè)每天所得的銷售利潤(rùn)w（元）與銷售單價(jià)x（元）
由題意可得：w＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]
＝﹣10（x﹣20）（x﹣50）
＝﹣10x2+700x﹣10000；
∵w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250，
∴當(dāng)x＝35時(shí)，w取到最大值2250，
即銷售單價(jià)為35元時(shí)，每天銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為2250元．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)銷量與售價(jià)之間的關(guān)系得出函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．
2．（2022·山東德州·九年級(jí)期末）某商廈燈具部投資銷售一種進(jìn)價(jià)為每件20元的護(hù)眼臺(tái)燈，銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù)：y＝﹣10x+500，在銷售過(guò)程中銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，而每件的利潤(rùn)不高于成本價(jià)的60%．
(1)設(shè)每月獲得利潤(rùn)為w（元），求每月獲得利潤(rùn)w（元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍．
(2)如果想要每月獲得的利潤(rùn)為2000元，那么每月的單價(jià)定為多少元？
(3)當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)？每月的最大利潤(rùn)是多少？
【答案】(1)w=-10x2+700x-10000（20≤x≤32）
(2)如果張明想要每月獲得的利潤(rùn)為2000元，張明每月的單價(jià)定為30元
(3)當(dāng)銷售單價(jià)定為32元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是2160元
【解析】
【分析】
（1）由題意得，每月銷售量與銷售單價(jià)之間的關(guān)系可近似看作一次函數(shù)，利潤(rùn)=（定價(jià)-進(jìn)價(jià)）×銷售量，從而列出關(guān)系式；
（2）把2000元代入上述二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)，確定單價(jià)；
（3）首先確定二次函數(shù)的對(duì)稱軸，然后根據(jù)其增減性確定最大利潤(rùn)即可．
(1)
解：由題意得：w=（x-20）?y
=（x-20）?（-10x+500）
=-10x2+700x-10000，
即w=-10x2+700x-10000（20≤x≤32）；
(2)
由題意可知：
-10x2+700x-10000=2000，
解這個(gè)方程得：x1=30，x2=40．
由（1）得，20≤x≤32，
∴如果張明想要每月獲得的利潤(rùn)為2000元，張明每月的單價(jià)定為30元；
(3)
對(duì)于函數(shù)w=-10x2+700x-10000的圖象的對(duì)稱軸是直線x==35．
又∵a=-10＜0，拋物線開口向下．
∴當(dāng)20≤x≤32時(shí)，w隨著x的增大而增大，
∴當(dāng)x=32時(shí)，w=2160，
答：當(dāng)銷售單價(jià)定為32元時(shí)，每月可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是2160元．
【點(diǎn)睛】
此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，還考查拋物線的性質(zhì)，另外將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題，從而來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題．
考點(diǎn)三 用二次函數(shù)解決拱橋問(wèn)題
例題：（2022·四川廣安·中考真題）如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2米時(shí)，水面寬6米，水面下降________米，水面寬8米．
【答案】##
【解析】
【分析】
根據(jù)已知得出直角坐標(biāo)系，通過(guò)代入A點(diǎn)坐標(biāo)（3，0），求出二次函數(shù)解析式，再根據(jù)把x=4代入拋物線解析式得出下降高度，即可得出答案．
【詳解】
解：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橫軸x通過(guò)AB，縱軸y通過(guò)AB中點(diǎn)O且通過(guò)C點(diǎn)，則通過(guò)畫圖可得知O為原點(diǎn)，由題意可得：AO=OB=3米，C坐標(biāo)為（0，2），
通過(guò)以上條件可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=ax2+2，把點(diǎn)A點(diǎn)坐標(biāo)（3，0）代入得，
∴，
∴，
∴拋物線解析式為：；
當(dāng)水面下降，水面寬為8米時(shí)，有
把代入解析式，得；
∴水面下降米；
故答案為：；
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知建立坐標(biāo)系從而得出二次函數(shù)解析式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·山東德州·九年級(jí)期末）如圖是拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂高距離水面2m時(shí)，水面寬4m，如果水面上升1.5m，則水面寬度為________．
【答案】2m
【解析】
【分析】
根據(jù)題意建立合適的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出拋物線的解析式，從而可以求得水面的寬度增加了多少，本題得以解決．
【詳解】
解：如圖建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)拋物線的解析式為y=ax2，
由已知可得，點(diǎn)（2，-2）在此拋物線上，
則-2=a×22， 解得，
∴，
當(dāng)y=-0.5時(shí)，，
解得x=±1， 此時(shí)水面的寬度為2m，
故答案為：2m．
【點(diǎn)睛】
本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，建立合適的平面直角坐標(biāo)系．
2．（2022·甘肅定西·模擬預(yù)測(cè)）有一個(gè)拋物線的拱形橋洞，橋洞離水面的最大高度為，跨度為，如圖所示，把它的圖形放在直角坐標(biāo)系中．
(1)求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
(2)如圖，在對(duì)稱軸右邊處，橋洞離水面的高是多少？
【答案】(1)
(2)在對(duì)稱軸右邊1m?處，橋洞離水面的高是m
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式為頂點(diǎn)式，然后根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)，代入即可求解；
（2）根據(jù)對(duì)稱軸為：，得出對(duì)稱軸右邊1m處為：，代入即可求解．
(1)
解：由題意可得：拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)拋物線解析式為：，
∵拋物線過(guò)點(diǎn)，
∴，解得：，
∴這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為：．
(2)
解：對(duì)稱軸為：，則對(duì)稱軸右邊1m處為：，
將代入，可得：，解得：，
答：在對(duì)稱軸右邊1m處，橋洞離水面的高是m．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是明確題意，求出拋物線的解析式．
考點(diǎn)四 用二次函數(shù)解決噴水問(wèn)題
例題：（2022·河南·中考真題）小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對(duì)此展開研究：測(cè)得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達(dá)到最高，最高點(diǎn)距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)拋物線的表達(dá)式為，其中x（m）是水柱距噴水頭的水平距離，y（m）是水柱距地面的高度．
(1)求拋物線的表達(dá)式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，身高1.6m的小紅在水柱下方走動(dòng)，當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時(shí)，求她與爸爸的水平距離．
【答案】(1)
(2)2或6m
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)頂點(diǎn)，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將點(diǎn)，代入即可求解；
（2）將代入（1）的解析式，求得的值，進(jìn)而求與點(diǎn)的距離即可求解．
(1)
解：根據(jù)題意可知拋物線的頂點(diǎn)為，
設(shè)拋物線的解析式為，
將點(diǎn)代入，得，
解得，
拋物線的解析式為，
(2)
由，令，
得，
解得，
爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，
當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時(shí)，她與爸爸的水平距離為(m)，或(m)．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，掌握頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·四川南充·中考真題）如圖，水池中心點(diǎn)O處豎直安裝一水管，水管噴頭噴出拋物線形水柱，噴頭上下移動(dòng)時(shí)，拋物線形水柱隨之豎直上下平移，水柱落點(diǎn)與點(diǎn)O在同一水平面．安裝師傅調(diào)試發(fā)現(xiàn)，噴頭高時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)；噴頭高時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)．那么噴頭高_(dá)______________m時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)．
【答案】8
【解析】
【分析】
由題意可知，在調(diào)整噴頭高度的過(guò)程中，水柱的形狀不發(fā)生變化，則當(dāng)噴頭高2.5m時(shí)，可設(shè)y=ax2+bx+2.5，將（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0；噴頭高4m時(shí)，可設(shè)y=ax2+bx+4，將（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0，聯(lián)立可求出a和b的值，設(shè)噴頭高為h時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)4m，則此時(shí)的解析式為y=ax2+bx+h，將（4，0）代入可求出h．
【詳解】
解：由題意可知，在調(diào)整噴頭高度的過(guò)程中，水柱的形狀不發(fā)生變化，
當(dāng)噴頭高2.5m時(shí)，可設(shè)y=ax2+bx+2.5，
將（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0①，
噴頭高4m時(shí)，可設(shè)y=ax2+bx+4，
將（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0②，
聯(lián)立可求出，，
設(shè)噴頭高為h時(shí)，水柱落點(diǎn)距O點(diǎn)4m，
∴此時(shí)的解析式為，
將（4，0）代入可得，
解得h=8．
故答案為：8．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際生活中的運(yùn)用，重點(diǎn)是二次函數(shù)解析式的求法，直接利用二次函數(shù)的平移性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
2．（2022·浙江臺(tái)州·中考真題）如圖1，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線的方向行駛，為綠化帶澆水．噴水口離地豎直高度為（單位：）．如圖2，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度，豎直高度為的長(zhǎng)．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點(diǎn)離噴水口的水平距離為，高出噴水口，灌溉車到的距離為（單位：）．
(1)若，；
①求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程；
②求下邊緣拋物線與軸的正半軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；
③要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，求的取值范圍；
(2)若．要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，請(qǐng)直接寫出的最小值．
【答案】(1)①；②；③
(2)
【解析】
【分析】
（1）①根據(jù)頂點(diǎn)式求上邊緣二次函數(shù)解析式即可；
②設(shè)根據(jù)對(duì)稱性求出平移規(guī)則，再根據(jù)平移規(guī)則由C點(diǎn)求出B點(diǎn)坐標(biāo)；
③要使灌溉車行駛時(shí)噴出的水能澆灌到整個(gè)綠化帶，則上邊緣拋物線至少要經(jīng)過(guò)F點(diǎn)，下邊緣拋物線，計(jì)算即可；
（2）當(dāng)噴水口高度最低，且恰好能澆灌到整個(gè)綠化帶時(shí)，點(diǎn)，恰好分別在兩條拋物線上，設(shè)出D、F坐標(biāo)計(jì)算即可．
(1)
（1）①如圖1，由題意得是上邊緣拋物線的頂點(diǎn)，
設(shè)．
又∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
∴，
∴．
∴上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為．
當(dāng)時(shí)，，
∴，（舍去）．
∴噴出水的最大射程為．
圖1
②∵對(duì)稱軸為直線，
∴點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．
∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，
即點(diǎn)是由點(diǎn)向左平移得到，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．
③如圖2，先看上邊緣拋物線，
∵，
∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0.5．
拋物線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，
．
解得，
∵，
∴．
當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小，
∴當(dāng)時(shí)，要使，
則．
∵當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，且時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，要使，則．
∵，灌溉車噴出的水要澆灌到整個(gè)綠化帶，
∴的最大值為．
再看下邊緣拋物線，噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是，
∴的最小值為2．
綜上所述，的取值范圍是．
(2)
的最小值為．
由題意得是上邊緣拋物線的頂點(diǎn)，
∴設(shè)上邊緣拋物線解析式為．
∵上邊緣拋物線過(guò)出水口（0，h）
∴
解得
∴上邊緣拋物線解析式為
∵對(duì)稱軸為直線，
∴點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為．
∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，
∴下邊緣拋物線解析式為．
當(dāng)噴水口高度最低，且恰好能澆灌到整個(gè)綠化帶時(shí)，點(diǎn)，恰好分別在兩條拋物線上，
∵DE=3
∴設(shè)點(diǎn)，，，
∵D在下邊緣拋物線上，
∴
∵EF=1
∴
∴，
解得，
代入，得．
所以的最小值為．
【點(diǎn)睛】
本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中的噴水問(wèn)題，構(gòu)造二次函數(shù)模型并把實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)上的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)五 用二次函數(shù)解決投球問(wèn)題
例題：（2022·上海市張江集團(tuán)中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，以地面為x軸，一名男生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：米）與水平距離x（單位：米）之間的關(guān)系是．則他將鉛球推出的距離是___米．
【答案】10
【解析】
【分析】
成績(jī)就是當(dāng)高度y=0時(shí)x的值，所以解方程即可求解本題．
【詳解】
解：當(dāng)y=0時(shí)，，
解得：x1=10，x2=-2（不合題意，舍去），
所以推鉛球的距離是10米；
故答案為：10．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，把函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題來(lái)解，滲透了函數(shù)與方程相結(jié)合的解題思想．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期末）小明在期末體育測(cè)試中擲出的實(shí)心球的運(yùn)動(dòng)路線呈拋物線形．若實(shí)心球運(yùn)動(dòng)的拋物線的解析式為，其中y是實(shí)心球飛行的高度，x是實(shí)心球飛行的水平距離．已知該同學(xué)出手點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則實(shí)心球飛行的水平距離OB的長(zhǎng)度為（ ）
A．7mB．7.5mC．8mD．8.5m
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)題意待定系數(shù)法求解析式，再令，即可求解．
【詳解】
解：∵實(shí)心球運(yùn)動(dòng)的拋物線的解析式為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
∴，
解得，
，
令，，
即，
解得（舍去），
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求解析式，求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·貴州安順·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖是小明站在點(diǎn)O處長(zhǎng)拋籃球的路線示意圖，球在點(diǎn)A處離手，且．第一次在點(diǎn)D處落地，然后彈起在點(diǎn)E處落地，籃球在距O點(diǎn)的點(diǎn)B處正上方達(dá)到最高點(diǎn)，最高點(diǎn)C距地面的高度，點(diǎn)E到籃球框正下方的距離，籃球框的垂直高度為．據(jù)試驗(yàn)，兩次劃出的拋物線形狀相同，但第二次的最大高度為第一次的，以小明站立處點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式；
(2)求籃球第二次的落地點(diǎn)E到點(diǎn)O的距離．（結(jié)果保留整數(shù)）
(3)若小明想一次投中籃球框，他應(yīng)該向前走多少米？（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】(1)
(2)籃球第二次的落地點(diǎn)E到點(diǎn)O的距離為23m；
(3)小明想一次投中籃球框，他應(yīng)該向前走15.3m．
【解析】
【分析】
（1）設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為，將代入即可求解；
（2）將向下平移兩個(gè)單位得，，令得，進(jìn)而即可求解；
（3）令得，，解得：，由即可求解．
(1)
解：由題意知，，
設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為；
將代入表達(dá)式得，，解得：；
∴；
令得，，
∴拋物線的函數(shù)解析式為；
(2)
由題意，將向下平移兩個(gè)單位得，，
令得，，解得：
∴，
∴
∴
∴
(3)
令得，，
解得：，
∴小明想一次投中籃球框，他應(yīng)該向前走15.3m．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查二次函數(shù)的圖形及性質(zhì)，正確解讀題意并結(jié)合二次函數(shù)圖像及性質(zhì)進(jìn)行解答是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)六 用二次函數(shù)解決圖形問(wèn)題
例題：（2021·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)期中）如圖，利用一面墻（墻長(zhǎng)26米），用總長(zhǎng)度49米的柵欄（圖中實(shí)線部分）圍成一個(gè)矩形圍欄ABCD，且中間共留兩個(gè)1米的小門，設(shè)柵欄BC長(zhǎng)為米．
(1)AB＝ 米（用含的代數(shù)式表示）；
(2)若矩形圍欄ABCD面積為210平方米，求柵欄BC的長(zhǎng)；
(3)能圍成比210平方米更大的矩形圍欄ABCD嗎？如果能，請(qǐng)求出最大面積；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)（51﹣3x）
(2)10米
(3)能，最大面積為
【解析】
【分析】
（1）設(shè)柵欄BC長(zhǎng)為x米，根據(jù)柵欄的全長(zhǎng)結(jié)合中間共留2個(gè)1米的小門，即可用含x的代數(shù)式表示出AB的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)矩形圍欄ABCD面積為210平方米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較大值即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)矩形圍欄ABCD面積為S=(51-3x)x＝-3(x-)2+,利用二次函數(shù)最值即可求解．
(1)
解：設(shè)柵欄BC長(zhǎng)為x米，
∵柵欄的全長(zhǎng)為49米，且中間共留兩個(gè)1米的小門，
∴AB＝49+2﹣3x＝51﹣3x（米），
故答案為：（51﹣3x）；
(2)
解：依題意，得：（51﹣3x）x＝210，
整理，得：x2﹣17x+70＝0，
解得：x1＝7，x2＝10．
當(dāng)x＝7時(shí)，AB＝51﹣3x＝30＞26，不合題意，舍去，
當(dāng)x＝10時(shí)，AB＝51﹣3x＝21，符合題意，
答：柵欄BC的長(zhǎng)為10米；
(3)
解：能
S=(51-3x)x＝-3(x-)2+,
∵-3210，
∴能圍成比210平方米更大的矩形圍欄ABCD．
【點(diǎn)睛】
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用，列代數(shù)式以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含x的代數(shù)式表示出AB的長(zhǎng)；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（3）正確列出面積與BC的二次函數(shù)關(guān)系．
【變式訓(xùn)練】
1．（2021·寧夏·吳忠市利通區(qū)扁擔(dān)溝中心學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，利用一面墻（墻長(zhǎng)10米）用20米的籬笆國(guó)成一個(gè)矩形場(chǎng)地．設(shè)垂直于墻的一邊為x米．矩形場(chǎng)地的面積為s平方米．
(1)求s與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍；
(2)若矩形場(chǎng)地的面枳最大，應(yīng)該如何設(shè)計(jì)長(zhǎng)與寬．
【答案】(1)．
(2)當(dāng)矩形場(chǎng)地長(zhǎng)為10米，寬為5米時(shí)，矩形的面積最大．
【解析】
【分析】
（1）由，可得出，由墻長(zhǎng)10米，可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍，再利用矩形的面積公式即可得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)（1）可利用二次函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行求解．
(1)
解：，
．
又墻長(zhǎng)10米，
，
．
．
(2)
解：由（1）可知：，
∴當(dāng)時(shí)，矩形的場(chǎng)地面積最大，最大值為50；
答：當(dāng)矩形場(chǎng)地長(zhǎng)為10米，寬為5米時(shí)，矩形的面積最大．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·山東煙臺(tái)·九年級(jí)期中）某城門的截面由一段拋物線和一個(gè)正方形（OMNE為正方形）的三條邊圍成，已知城門寬度為4米，最高處距地面6米．如圖1所示，現(xiàn)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OM所在的直線為x軸，OE所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系．
(1)求上半部分拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并寫出其自變量的取值范圍；
(2)有一輛寬3米，高4.5米的消防車需要通過(guò)該城門，請(qǐng)問(wèn)該消防車能否正常進(jìn)入？
(3)為營(yíng)造節(jié)日氣氛，需要臨時(shí)搭建一個(gè)矩形“裝飾門”ABCD，該“裝飾門”關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，如圖2所示，其中AB，AD，CD為三根承重鋼支架，A、D在拋物線上，B，C在地面上，已知鋼支架每米70元，問(wèn)搭建這樣一個(gè)矩形“裝飾門”，僅鋼支架一項(xiàng)，最多需要花費(fèi)多少元？
【答案】(1)
(2)能正常進(jìn)入，理由見解析
(3)910元
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)所建坐標(biāo)系知頂點(diǎn)和與y軸交點(diǎn)E的坐標(biāo)，可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式，進(jìn)行求解，由城門寬度為4米知x的取值范圍是0≤x≤4；
（2）根據(jù)對(duì)稱性當(dāng)車寬3米時(shí)，x＝，求此時(shí)對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)的值，與車高4.5米進(jìn)行比較得出結(jié)論；
（3）求三段和的最大值須先列式表示三段的和，再運(yùn)用性質(zhì)求最大值，可設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)，表示三段的長(zhǎng)度從而得出表達(dá)式．
(1)
解：由題意知，拋物線的頂點(diǎn)，
設(shè)拋物線的表達(dá)式為，
拋物線過(guò)點(diǎn)，
，
，
拋物線的表達(dá)式為，
即；
(2)
解：由題意知，當(dāng)消防車走最中間時(shí)，進(jìn)入的可能性最大，
即當(dāng)時(shí)，，
消防車能正常進(jìn)入；
(3)
解：設(shè)B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，的長(zhǎng)度為l，
由題意知，
即，，
，
當(dāng)時(shí)，l最大，l最大，
費(fèi)用為（元），
答：僅鋼支架一項(xiàng)，最多需要花費(fèi)910元．
【點(diǎn)睛】
本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用．正確地求得函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)七 用二次函數(shù)解決圖形運(yùn)動(dòng)問(wèn)題
例題：（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1，在中，，已知點(diǎn)P在直角邊AB上，以的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在直角邊BC上，以的速度從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．若點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)Q恰好到達(dá)點(diǎn)C處．圖2是的面積與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系圖像（點(diǎn)M為圖像的最高點(diǎn)），根據(jù)相關(guān)信息，計(jì)算線段AC的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，得出，，在中，根據(jù)面積公式得到的面積與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系，利用頂點(diǎn)式得出當(dāng)時(shí)，有最大值為，從而求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間是，求出，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間，，則，，
在中，，，，則，
當(dāng)時(shí)，有最大值為，
解得，即，
根據(jù)的面積與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系可知，
拋物線與軸交于和兩點(diǎn)，即運(yùn)動(dòng)時(shí)間是，
，
在中，，，
根據(jù)勾股定理可得，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了幾何圖形中動(dòng)點(diǎn)形成的圖形面積的函數(shù)問(wèn)題，涉及到三角形面積公式的運(yùn)用、勾股定理、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，看懂題意，將幾何圖形中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況與函數(shù)圖像對(duì)應(yīng)起來(lái)得到方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·寧夏·銀川唐徠回民中學(xué)二模）如圖，在矩形ABCD中，BC＞CD，BC、CD分別是一元二次方程x2－7x＋12＝0的兩個(gè)根，連接BD，并過(guò)點(diǎn)C作CN⊥BD，垂足為N，點(diǎn)P從B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿BD方向勻速運(yùn)動(dòng)到D為止；點(diǎn)M沿線段DA以每秒1個(gè)單位的速度由點(diǎn)D向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)A為止，點(diǎn)P與點(diǎn)M同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．
(1)求線段CN的長(zhǎng)；
(2)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)△PMN的面積取得最大值，最大值是多少？
【答案】(1)
(2)當(dāng)時(shí)，
【解析】
【分析】
（1）首先解一元二次方程得到BC=4，CD=2，然后利用等積法求出CN；
（2）分0＜t≤ 和＜t≤4兩種情況列出函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．
(1)
解：
解得，
∵
∴，
∵四邊形ABCD是矩形，，
∴
∴
∴；
(2)
由題可知，
①當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥BD，垂足為H
設(shè)△PMN的面積為S
則
∵
∴當(dāng)時(shí)
②當(dāng)時(shí)，
此時(shí)，S隨t的增大而增大
∴當(dāng)時(shí)，
綜合①②知，當(dāng)t=4時(shí)，△PMN的面積取得最大值，最大值是 ．
【點(diǎn)睛】
本題考查利用二次函數(shù)解決面積最大問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)t值分情況列出函數(shù)解析式．
2．（2021·北京·九年級(jí)期中）如圖，中，，，．動(dòng)點(diǎn)，分別從，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)沿邊向以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)沿邊向以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)，到達(dá)終點(diǎn)，時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．
(1)①當(dāng)運(yùn)動(dòng)停止時(shí)，的值為 ．
②設(shè)，之間的距離為，則與滿足 （選填“正比例函數(shù)關(guān)系”，“一次函數(shù)關(guān)系”，“二次函數(shù)關(guān)系” ．
(2)設(shè)的面積為，
①求的表達(dá)式（用含有的代數(shù)式表示）；
②求當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值，這個(gè)最大值是多少？
【答案】(1)①，②一次函數(shù)關(guān)系；
(2)①；②，的值最大為6
【解析】
【分析】
（1）①由已知可得，當(dāng)運(yùn)動(dòng)停止時(shí)，t的值為6÷3=8÷4=2，②由已知可得CP=6-3t，即y=-3t+6，即可得到答案；
（2）①由已知可得：CP=-3t+6，CQ=4t，即可得S=-6t2+12t；②由S=-6t2+12t=-6（t-1）2+6，即可得t=1時(shí)，S的值最大為6．
(1)
①，，點(diǎn)沿邊向以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)沿邊向以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，
當(dāng)運(yùn)動(dòng)停止時(shí)，的值為，
故答案為：2；
②由已知可得；，
而，
，
，是一次函數(shù)，
故答案為：一次函數(shù)關(guān)系；
(2)
①由已知可得：，，
；
②，
且，
時(shí)，的值最大為6．
【點(diǎn)睛】
本題考查了函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、三角形面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用含的代數(shù)式表示、的長(zhǎng)度．
課后訓(xùn)練
一、選擇題
1．（2022·河北·威縣第三中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）小明在體育訓(xùn)練中擲出的實(shí)心球的運(yùn)動(dòng)路線呈如圖所示的拋物線形，若實(shí)心球運(yùn)動(dòng)的拋物線的解析式為，其中是實(shí)心球飛行的高度，是實(shí)心球飛行的水平距離，則小明此次擲球的成績(jī)（即的長(zhǎng)度）是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令y=0，則求解即可得點(diǎn)A坐標(biāo)，從而得出答案．
【詳解】解：令y=0，則，
解得：x=2(舍去）或x=8，
∴A(8，0)，
∴OA=8m，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．
2．（2021·浙江紹興·九年級(jí)期中）一座拱橋的示意圖如圖所示，當(dāng)水面寬為12m時(shí)，橋洞頂部離水面4m．已知橋洞的拱形是拋物線，以水平方向?yàn)閤軸（向右為正向），若A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系時(shí)，該拋物線的表達(dá)式為則B為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系時(shí)，該拋物線的表達(dá)式為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意得出A點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用頂點(diǎn)式求出函數(shù)解析式即可．
【詳解】解：以B為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，如圖所示：
由題意可得出：，
將（﹣12，0）代入得出，，
解得：，
∴選取點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)的拋物線解析式是：
．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，利用頂點(diǎn)式求出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．
3．（2022·甘肅·甘州中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠B＝30°，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以cm/s的速度沿BC方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BA—AC方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止．若△BPQ的面積為y（），運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），則下列最能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作AH⊥BC于H，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理可求出BC＝4．從而得出點(diǎn)P從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C需8s，Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C需8s．分類討論：①當(dāng)0≤x≤4時(shí)和②當(dāng)4

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