例題：（2022·上?！ぐ四昙?jí)期末）解方程：
（1）x(x+5)=x-4 （2）4（x﹣1）2＝9． (3)； (4)100（x－1）2＝121．
【變式訓(xùn)練1】（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）解方程(x－3)2＝4，最合適的方法是（ ）
A．直接開(kāi)平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法
【變式訓(xùn)練2】（2021·廣東·梅州市學(xué)藝中學(xué)八年級(jí)期末）一元二次方程（x-1）2=4的根是______________.
【變式訓(xùn)練3】（2022·廣東·模擬預(yù)測(cè)）方程的解是_______．
【類(lèi)型二 解一元二次方程——配方法】
例題：（2022·河南安陽(yáng)·九年級(jí)期末）解下列方程：
(1)； (2)
【變式訓(xùn)練1】（2022·云南·紅河縣教育科學(xué)研究室九年級(jí)期末）用配方法解一元二次方程，變形后的結(jié)果正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓(xùn)練2】（2022·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）解方程：．
【變式訓(xùn)練3】（2022·上?！ぐ四昙?jí)開(kāi)學(xué)考試）用配方法解方程x2﹣4x﹣2＝0．
【類(lèi)型三 根據(jù)判別式判斷一元二次方程解得情況】
例題：（2022·山東青島·二模）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則值為_(kāi)_________．
【變式訓(xùn)練1】（2022·上?！ぐ四昙?jí)期末）下列一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根的是（ ）
A．x2-2=0B．x2-2x=0C．x2+x+1=0D．(x-1)(x-3)=0
【變式訓(xùn)練2】（2022·四川成都·九年級(jí)期末）已知方程，則該方程的根的情況為（ ）
A．方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根B．方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D．方程的根無(wú)法判定
【變式訓(xùn)練3】（2022·河北·一模）新定義運(yùn)算：，例如，則方程的根的情況為（ ）
A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根B．有一個(gè)實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
【類(lèi)型四 解一元二次方程——公式法】
例題：（2022·云南文山·九年級(jí)期末）按要求解方程．
(1)2x2-5x+1＝0(公式法) (2)．（公式法）
【變式訓(xùn)練1】（2022·重慶·西南大學(xué)附中八年級(jí)期中）計(jì)算
解方程：
【變式訓(xùn)練2】（2022·重慶市育才中學(xué)八年級(jí)期中）解方程：
(1)； (2)
【變式訓(xùn)練3】（2022·山東煙臺(tái)·八年級(jí)期中）已知關(guān)于x的方程是一元二次方程．
(1)求m的值；
(2)解這個(gè)一元二次方程．
【類(lèi)型五 解一元二次方程——因式分解法】
例題：（2022·四川成都·九年級(jí)期末）解下列一元二次方程．
(1)x2﹣4x＝5； (2)2（x+1）2＝x（x+1）．
【變式訓(xùn)練1】（2022·江蘇·蘇州草橋中學(xué)八年級(jí)期中）解方程：
(1) ；
(2)．
【變式訓(xùn)練2】（2022·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學(xué)校八年級(jí)期中）解下列方程：
(1)
(2)
【變式訓(xùn)練3】（2022·黑龍江·哈爾濱市第十七中學(xué)校八年級(jí)期中）解方程：
(1)
(2)
【課后訓(xùn)練】
一、選擇題
1．（2022·四川成都·九年級(jí)期末）方程x（x﹣3）＝0的根是（ ）
A．x＝3B．x＝0C．x1＝0，x2＝3D．x1＝0，x2＝﹣3
2．（2022·海南三亞·一模）一元二次方程的解是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·河南周口·二模）已知關(guān)于x的一元二次方程，則下列關(guān)于該方程根的判斷，正確的是（ ）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)與實(shí)數(shù)m的取值有關(guān)
C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根
4．（2022·重慶·西南大學(xué)附中八年級(jí)期中）若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）
A．B．且C．D．且
5．（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，c，d，定義 ＝ad－bc，按照定義，若 ＝0，則x的值為（ ）
A．B．C．3D．
二、填空題
6．（2022·浙江寧波·一模）代數(shù)式與4x的值相等，則x的值為_(kāi)_______．
7．（2022·廣西梧州·一模）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．
8．（2022·四川成都·九年級(jí)期末）若時(shí)，代數(shù)式的為0，則代數(shù)式________．
9．（2022·陜西西安·三模）對(duì)于任意實(shí)數(shù)、，定義一種運(yùn)算：，若，則的值為_(kāi)_______．
10．（2022·內(nèi)蒙古包頭·二模）關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是__________．
三、解答題
11．（2022·浙江紹興·八年級(jí)期中）解方程：
(1)
(2)
12．（2022·云南·紅河縣教育科學(xué)研究室九年級(jí)期末）（1）．
（2）．
13．（2021·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)期末）解下列方程：
(1)；
(2)．
14．（2022·江西景德鎮(zhèn)·九年級(jí)期末）解方程：
(1)；
(2)．
15．（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br>(1)x2－x－1＝0；
(2)3x(x－2)＝x－2；
(3)x2－2x＋1＝0；
(4)(x＋8)(x＋1)＝－12．
16．（2022·四川成都·九年級(jí)期末）關(guān)于x的一元二次方程（2﹣k）x2﹣4x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍．
17．（2022·河北承德·九年級(jí)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)若方程有一個(gè)根為0，求p的值及另一個(gè)根；
(2)若，求方程的解；
18．（2022·北京海淀·二模）關(guān)于x 的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
(1)求m的取值范圍；
(2)當(dāng)m取最小的整數(shù)時(shí)，求此時(shí)的方程的根．
專題02 一元二次方程的解法壓軸題四種模型全攻略
【類(lèi)型一 解一元二次方程——直接開(kāi)平方法】
例題：（2022·上?！ぐ四昙?jí)期末）解方程：
（1）x(x+5)=x-4 （2）4（x﹣1）2＝9． (3)； (4)100（x－1）2＝121．
【答案】（1）；（2）x＝或x＝﹣；(3)，；(4)x1＝，x2＝－
【解析】
【分析】
把原方程整理后化成一元二次方程的一般形式，然后選取適當(dāng)?shù)姆椒纯汕蠼猓?br>【詳解】
解：（1），
，
，
．
（2）4（x﹣1）2＝9，
則（x﹣1）2＝，
故x﹣1＝±，
解得：x＝或x＝﹣．
(3)
移項(xiàng)得：，
開(kāi)平方得：，
解得：，；
(4)解∶ （x－1）2＝，
x－1＝±，
即x1＝，x2＝－．
【點(diǎn)睛】
本題考查一元二次方程的解法，熟練掌握直接開(kāi)平方法、因式分解法、配方法、公式法是關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練1】（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）解方程(x－3)2＝4，最合適的方法是（ ）
A．直接開(kāi)平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法
【答案】A
【解析】
【分析】
觀察方程特點(diǎn)確定出適當(dāng)?shù)慕夥纯桑?br>【詳解】
解：方程(x－3)2＝4，最合適的方法是直接開(kāi)平方法；
故答案為：A
【點(diǎn)睛】
本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開(kāi)平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法．
【變式訓(xùn)練2】（2021·廣東·梅州市學(xué)藝中學(xué)八年級(jí)期末）一元二次方程（x-1）2=4的根是______________.
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)直接開(kāi)平方法解一元二次方程即可．
【詳解】
解：
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了直接開(kāi)平方法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練3】（2022·廣東·模擬預(yù)測(cè)）方程的解是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
先移項(xiàng)化為，再利用直接開(kāi)平方的方法解方程即可.
【詳解】
解：
即
或

故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題考查的是一元二次方程的解法，掌握“直接開(kāi)平方法解一元二次方程”是解本題的關(guān)鍵.
【類(lèi)型二 解一元二次方程——配方法】
例題：（2022·河南安陽(yáng)·九年級(jí)期末）解下列方程：
(1)； (2)
【答案】(1)，；(2)
【解析】
【分析】
（1）先移項(xiàng)，然后配方，再開(kāi)平方，求出方程的解即可；
（2）先移項(xiàng)，然后分解因式，最后求出方程的解即可．
(1)
解：，
移項(xiàng)得：，
配方得：，即，
開(kāi)平方得：，
∴，．
(2)
，
，
，
，
，
解得．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，熟練進(jìn)行配方和因式分解，是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練1】（2022·云南·紅河縣教育科學(xué)研究室九年級(jí)期末）用配方法解一元二次方程，變形后的結(jié)果正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先將二次項(xiàng)配成完全平方式，再將常數(shù)項(xiàng)移項(xiàng)，即得答案．
【詳解】
解：∵，
∴，
即，
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練2】（2022·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）解方程：．
【答案】,
【解析】
【分析】
利用配方法解一元二次方程．
【詳解】
解：x2+4x=8，
x2+4x+4=8+4，
，
，
，．
【點(diǎn)睛】
本題考查利用配方法解一元二次方程，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是降次．
【變式訓(xùn)練3】（2022·上海·八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）用配方法解方程x2﹣4x﹣2＝0．
【答案】x1＝2+，x2＝2﹣
【解析】
【分析】
根據(jù)配方法即可求解．
【詳解】
解：x2﹣4x﹣2＝0，
x2﹣4x＝2，
x2﹣4x+4＝2+4，
（x﹣2）2＝6，
x﹣2＝±，
解得x1＝2+，x2＝2﹣．
【點(diǎn)睛】
本題考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步驟：
（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；
（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；
（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．
選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)．
【類(lèi)型三 根據(jù)判別式判斷一元二次方程解得情況】
例題：（2022·山東青島·二模）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則值為_(kāi)_________．
【答案】1
【解析】
【分析】
由題意知，，計(jì)算求解即可．
【詳解】
解：由題意知，，
解得，
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】
本題考查了一元二次方程的根的個(gè)數(shù)與判別式的關(guān)系．解題的關(guān)鍵在于明確當(dāng)時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
【變式訓(xùn)練1】（2022·上海·八年級(jí)期末）下列一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根的是（ ）
A．x2-2=0B．x2-2x=0C．x2+x+1=0D．(x-1)(x-3)=0
【答案】C
【解析】
【分析】
分別計(jì)算四個(gè)方程的根的判別式Δ＝b2﹣4ac，然后根據(jù)△的意義分別判斷方程根的情況．
【詳解】
解：A、Δ＝02﹣4×1×（﹣2）＝8＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以A選項(xiàng)不符合題意；
B、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以，B選項(xiàng)不符合題意；
C、Δ＝12﹣4×1×1＝﹣4＜0，方程有沒(méi)有的實(shí)數(shù)根，所以C選項(xiàng)符合題意；
D、由原方程得到：x2﹣4x+3＝0，則Δ＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以D選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】
本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當(dāng)Δ＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
【變式訓(xùn)練2】（2022·四川成都·九年級(jí)期末）已知方程，則該方程的根的情況為（ ）
A．方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根B．方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D．方程的根無(wú)法判定
【答案】A
【解析】
【分析】
求出一元二次方程根的判別式的值，判斷即可．
【詳解】
解：方程x2-2x+4=0，
∵a=1，b=-2，c=4，
∴Δ=b2-4ac=（-2）2-4×1×4=4-16=-12＜0，
則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
故選：A．
【點(diǎn)睛】
此題考查了根的判別式，根的判別式大于0，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；根的判別式等于0，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；根的判別式小于0，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
【變式訓(xùn)練3】（2022·河北·一模）新定義運(yùn)算：，例如，則方程的根的情況為（ ）
A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根B．有一個(gè)實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)新定義，列出方程，再利用一元二次方程根的判別式，即可求解．
【詳解】
解：根據(jù)題意得：，
整理得：，
∴，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故選：D
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．
【類(lèi)型四 解一元二次方程——公式法】
例題：（2022·云南文山·九年級(jí)期末）按要求解方程．
(1)2x2-5x+1＝0(公式法) (2)．（公式法）
【答案】(1)x1＝，x2＝；(2)，
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)公式法，可得方程的解；
（2）先計(jì)算根的判別式，再利用公式法解方程即可．
(1)
解：∵a＝2，b＝-5，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝(-5)2-4×2×1＝17，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
(2)
解：
則


解得：
【點(diǎn)睛】
本題考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用配方法與公式法解一元二次方程”是解本題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練1】（2022·重慶·西南大學(xué)附中八年級(jí)期中）計(jì)算
解方程：
【答案】x1＝，x2＝．
【解析】
【分析】利用公式法解方程即可．
解：，
Δ＝，
∴，
解得：x1＝，x2＝．
【點(diǎn)睛】
本題考查了公式法解一元二次方程，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
【變式訓(xùn)練2】（2022·重慶市育才中學(xué)八年級(jí)期中）解方程：
(1)； (2)
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用公式法解一元二次方程即可得；
（2）利用公式法解一元二次方程即可得．
（1），
，，，，
，
，，
(2)
解：方程中的，
，
則，
故．
【點(diǎn)睛】
本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解方程的方法是解題關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練3】（2022·山東煙臺(tái)·八年級(jí)期中）已知關(guān)于x的方程是一元二次方程．
(1)求m的值；
(2)解這個(gè)一元二次方程．
【答案】(1)-1
(2)，
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)一元二次方程的定義求解即可，一元二次方程定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程；
（2）根據(jù)公式法解一元二次方程即可．
(1)
關(guān)于x的方程是一元二次方程，
解得
(2)
方程為，
即，
，
解得，
【點(diǎn)睛】
本題考查了一元二次方程的定義，解一元二次方程，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
【類(lèi)型五 解一元二次方程——因式分解法】
例題：（2022·四川成都·九年級(jí)期末）解下列一元二次方程．
(1)x2﹣4x＝5； (2)2（x+1）2＝x（x+1）．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）通過(guò)移項(xiàng)，分解因式，化為一元一次方程，即可求解；
（2）通過(guò)移項(xiàng)，分解因式，化為一元一次方程，即可求解．
(1)
解：x2﹣4x＝5，
移項(xiàng)得：x2﹣4x-5=0，
分解因式得：（x-5）（x+1）=0，
∴x-5=0或x+1=0，
解得：；
(2)
解：2（x+1）2＝x（x+1），
移項(xiàng)得：2（x+1）2-x（x+1）=0，
分解因式得：（x+1）（2x+2-x）=0，
∴x+1=0或2x+2-x=0，
解得：．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法解方程，是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練1】（2022·江蘇·蘇州草橋中學(xué)八年級(jí)期中）解方程：
(1) ；
(2)．
【答案】(1)或；
(2)或
【解析】
【分析】
（1）運(yùn)用公式法解一元二次方程即可；
（2）運(yùn)用十字相乘法解一元二次方程．
(1)
∵
∴
解得：或；
(2)
∵
∴，
解得：或．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了解一元二次方程，掌握運(yùn)用公式法、十字相乘法解一元二次方程是解答本題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練2】（2022·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學(xué)校八年級(jí)期中）解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【解析】
【分析】
（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
(1)
解：
∴，
(2)
∴，
【點(diǎn)睛】
本題考查了解一元二次方程?因式分解法，因式分解是解本題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練3】（2022·黑龍江·哈爾濱市第十七中學(xué)校八年級(jí)期中）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，；
(2)，．
【解析】
【分析】
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
(1)
解：，即，
∴方程的根為：，；
(2)
解：，
提取因式可得：，
∴方程的根為：，．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．
【課后訓(xùn)練】
一、選擇題
1．（2022·四川成都·九年級(jí)期末）方程x（x﹣3）＝0的根是（ ）
A．x＝3B．x＝0C．x1＝0，x2＝3D．x1＝0，x2＝﹣3
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解．
【詳解】
解：x（x﹣3）＝0
解得：x1＝0，x2＝3
故選C
【點(diǎn)睛】
本題考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·海南三亞·一模）一元二次方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用完全平方公式變形，進(jìn)而求解即可．
【詳解】
，
，
，
，
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·河南周口·二模）已知關(guān)于x的一元二次方程，則下列關(guān)于該方程根的判斷，正確的是（ ）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)與實(shí)數(shù)m的取值有關(guān)
C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出判別式的值，再根據(jù)根的判別式判斷即可．
【詳解】
解：，
b2-4ac，
不論為何值，，
b2-4ac，
方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了根的判別式，能熟記根的判別式的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵，注意：一元二次方程、、為常數(shù)，，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
4．（2022·重慶·西南大學(xué)附中八年級(jí)期中）若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（ ）
A．B．且C．D．且
【答案】A
【解析】
【分析】
討論：當(dāng)k=0時(shí)，方程為一元一次方程，有一個(gè)實(shí)數(shù)解；當(dāng)k≠0時(shí)，Δ=（-1）2-4k×（-1）≥0時(shí)有實(shí)數(shù)解，此時(shí)k≥-且k≠0，然后綜合兩種情況得到k的取值范圍．
【詳解】
解：當(dāng)k=0時(shí)，方程化為-x-1=0，解得x=-1；
當(dāng)k≠0時(shí)，根據(jù)題意得Δ=（-1）2-4k×（-1）≥0，
解得k≥-且k≠0，
綜上所述，k的取值范圍為k≥-．
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與Δ=b2-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．
5．（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，c，d，定義 ＝ad－bc，按照定義，若 ＝0，則x的值為（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)新定義可得方程（x+1）（2x-3）=x（x-1），然后再整理可得x2=3，再利用直接開(kāi)平方法解方程即可．
【詳解】
解：由題意得：（x+1）（2x-3）=x（x-1），
整理得：x2=3，
兩邊直接開(kāi)平方得：x=±，
故選：D．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了新定義，一元二次方程的解法--直接開(kāi)平方法，關(guān)鍵是正確理解題意，列出方程．
二、填空題
6．（2022·浙江寧波·一模）代數(shù)式與4x的值相等，則x的值為_(kāi)_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可．
【詳解】
解：根據(jù)題意得：x2-2x=4x，
整理得：x2-6x=0，
分解因式得：x（x-6）=0，
所以x=0或x-6=0，
解得：x1=0，x2=6，
故答案為：x1=0，x2=6．
【點(diǎn)睛】
本題考查了解一元二次方程的因式分解法，解題的關(guān)鍵是掌握因式分解法的方法步驟．
7．（2022·廣西梧州·一模）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．
【答案】a≤2
【解析】
【分析】
關(guān)于x的一元二次方程2x2+4x+a=0有實(shí)數(shù)根，則根的判別式△≥0，據(jù)此可以列出關(guān)于a的不等式，通過(guò)解不等式即可求得a的值．
【詳解】
解：由題意，得Δ=42-4×2a≥0，
解得a≤2．
故答案是：a≤2．
【點(diǎn)睛】
本題考查了根的判別式．一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）Δ＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）Δ=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
8．（2022·四川成都·九年級(jí)期末）若時(shí)，代數(shù)式的為0，則代數(shù)式________．
【答案】或##2或-6
【解析】
【分析】
把代入， =0，先求解m的值，再分情況代入代數(shù)式求值即可．
【詳解】
解： 時(shí)，代數(shù)式的為0，


解得：
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是解一元二次方程，代數(shù)式的值，掌握“利用因式分解解一元二次方程”是解本題的關(guān)鍵．
9．（2022·陜西西安·三模）對(duì)于任意實(shí)數(shù)、，定義一種運(yùn)算：，若，則的值為_(kāi)_______．
【答案】-1
【解析】
【分析】
根據(jù)定義即可得到一元二次方程，解方程即可求得．
【詳解】
解：根據(jù)題意得：
得
解得
故答案為：-1
【點(diǎn)睛】
本題考查了新定義運(yùn)算，一元二次方程的解法，理解題意，列出方程是解決本題的關(guān)鍵．
10．（2022·內(nèi)蒙古包頭·二模）關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
當(dāng)時(shí)，解一元一次方程可得出方程有解；當(dāng)時(shí)，利用根的判別式，即可求出k的取值范圍．綜上即可得出結(jié)論．
【詳解】
當(dāng)，即時(shí)，方程為，
解得，符合題意；
②當(dāng)，即時(shí)，，即，
解得：且．
綜上即可得出k的取值范圍為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】
本題考查了根的判別式，分二次項(xiàng)系數(shù)為零和非零兩種情況考慮是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
11．（2022·浙江紹興·八年級(jí)期中）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）提取公因式 利用因式分解的方法解方程即可；
（2）在方程兩邊都加上4，利用配方法解方程即可．
(1)
解：∵，
∴ ，
∴x=0，或3x-2=0，，
∴，
(2)
解：∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是因式分解法，配方法解一元二次方程，掌握“因式分解法與配方法解一元二次方程的步驟”是解本題的關(guān)鍵．
12．（2022·云南·紅河縣教育科學(xué)研究室九年級(jí)期末）（1）．
（2）．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先移項(xiàng)，再直接開(kāi)平方即可求解；
（2）采用十字相乘將等號(hào)左側(cè)進(jìn)行因式分解，求解即可．
【詳解】
（1）解：，
∴，
∴．
（2）解：，
∴或，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程的方法有：直接開(kāi)平方法、配方法、因式分解法、公式法等，選擇合適的方法是解題關(guān)鍵．
13．（2021·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)期末）解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【解析】
【分析】
（1）利用公式法解方程即可；
（2）先移項(xiàng)，利用因式分解法解方程即可；
(1)
解：∵，，．
∴，
∴．
∴，．
(2)
原方程可變形為，
因式分解為．
，或，
∴，．
【點(diǎn)睛】
本題考查一元二次方程的解法，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋瑢儆谥锌汲？碱}型．
14．（2022·江西景德鎮(zhèn)·九年級(jí)期末）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）方程直接用開(kāi)平方法求解即可；
（2）方程移項(xiàng)后，運(yùn)用因式分解法求解即可．
(1)
，
，
，
∴ ；
(2)
，
，
，
，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法、結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適簡(jiǎn)捷的方法是解題的關(guān)鍵．
15．（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br>(1)x2－x－1＝0；
(2)3x(x－2)＝x－2；
(3)x2－2x＋1＝0；
(4)(x＋8)(x＋1)＝－12．
【答案】(1)，
(2)x1＝，x2＝2
(3)x1＝，x2＝
(4)x1＝－4，x2＝－5
【解析】
【分析】
（1）利用公式法解答，即可求解；
（2）利用因式分解法解答，即可求解；
（3）利用配方法解答，即可求解；
（4）利用因式分解法解答，即可求解．
(1)
解： a＝1，b＝－1，c＝－1
∴b2－4ac＝（－1）2－4×1×（－1）＝5
∴x＝＝
即原方程的根為x1＝，x2＝
(2)
解：移項(xiàng)，得3x（x－2）－（x－2）＝0，
即（3x－1）（x－2）＝0，
∴x1＝，x2＝2．
(3)
解：配方，得（x－）2＝1，
∴x－＝±1．
∴x1＝＋1，x2＝－1．
(4)
解：原方程可化為x2＋9x＋20＝0，
即（x＋4）（x＋5）＝0，
∴x1＝－4，x2＝－5．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．
16．（2022·四川成都·九年級(jí)期末）關(guān)于x的一元二次方程（2﹣k）x2﹣4x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍．
【答案】k的取值范圍是且
【解析】
【分析】
根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到2?k≠0且Δ＝（?4）2?4（2?k）×（?1）＞0，然后求出兩個(gè)不等式的公共部分即可．
【詳解】
解：根據(jù)題意得2?k≠0且Δ＝（?4）2?4（2?k）×（?1）＞0，
解得k＜6且k≠2．
即k的取值范圍是k＜6且k≠2．
【點(diǎn)睛】
本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2?4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義．
17．（2022·河北承德·九年級(jí)期末）已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)若方程有一個(gè)根為0，求p的值及另一個(gè)根；
(2)若，求方程的解；
【答案】(1)，另一根為；
(2)，．
【解析】
【分析】
（1）將0代入方程即可求出p，再將p的值代入方程求出另一個(gè)根即可．
（2）將代入方程，解方程即可．
(1)
解：把代入方程，得，故，
原方程化為，解之得：方程的另一根為；
(2)
解：若，原方程化為，
利用公式法可知：，
∴方程的根為，．
【點(diǎn)睛】
本題考查一元二次方程根的定義以及解方程，解題的關(guān)鍵是理解方程根的定義求出p的值，掌握公式法、因式分解法解方程．
18．（2022·北京海淀·二模）關(guān)于x 的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
(1)求m的取值范圍；
(2)當(dāng)m取最小的整數(shù)時(shí)，求此時(shí)的方程的根．
【答案】(1)
(2)方程的根為，
【解析】
【分析】
（1）由題意得，解出m的范圍即可；
（2）根據(jù)第（1）問(wèn)m的范圍求出m的最小整數(shù)值，然后將m的值代入方程，解方程即可．
(1)
解：∵關(guān)于x 的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
∴其根的判別式．
∴ ；
(2)
解：∵且m為最小的整數(shù)，
∴．
∴此時(shí)方程為．
∴方程的根為，．
【點(diǎn)睛】
本題考查了根的判別式和解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“一元二次方程，當(dāng)根的判別式Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”；（2）代入m的值，利用因式分解法求出一元二次方程的解．

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