（1）在直角三角形中，兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4，則該直角三角形斜邊上的高的長(zhǎng)為_(kāi)____，其內(nèi)切圓的半徑長(zhǎng)為_(kāi)_____；
（2）①如圖1，是邊長(zhǎng)為的正內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)為的中心，設(shè)點(diǎn)到各邊距離分別為，，，連接，，，由等面積法，易知，可得_____；（結(jié)果用含的式子表示）
②如圖2，是邊長(zhǎng)為的正五邊形內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到五邊形各邊距離分別為，，，，，參照①的探索過(guò)程，試用含的式子表示的值．（參考數(shù)據(jù)：，）
（3）①如圖3，已知的半徑為2，點(diǎn)為外一點(diǎn)，，切于點(diǎn)，弦，連接，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_____；（結(jié)果保留）
②如圖4，現(xiàn)有六邊形花壇，由于修路等原因需將花壇進(jìn)行改造．若要將花壇形狀改造成五邊形，其中點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且要保證改造前后花壇的面積不變，試確定點(diǎn)的位置，并說(shuō)明理由．
2.（2021·北京中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，對(duì)于點(diǎn)和線段，給出如下定義：若將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以得到的弦（分別是的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則稱線段是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”．
（1）如圖，點(diǎn)的橫?縱坐標(biāo)都是整數(shù)．在線段中，的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”是______________；
（2）是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)，其中．若是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，求的值；
（3）在中，．若是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫(xiě)出的最小值和最大值，以及相應(yīng)的長(zhǎng)．
3.（2021·四川遂寧市·中考真題）如圖，⊙O的半徑為1，點(diǎn)A是⊙O的直徑BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，C為⊙O上的一點(diǎn)，AD＝CD，∠A＝30°．
（1）求證：直線AC是⊙O的切線；
（2）求△ABC的面積；
（3）點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)（不與B、D重合），過(guò)點(diǎn)C作CE的垂線，與EB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．
①當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C關(guān)于直徑BD對(duì)稱時(shí)，求CF的長(zhǎng)；
②當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，CF取到最大值，并求出此時(shí)CF的長(zhǎng)．
4.（2021·浙江中考真題）如圖1，四邊形內(nèi)接于，為直徑，上存在點(diǎn)E，滿足，連結(jié)并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，與交于點(diǎn)G．
（1）若，請(qǐng)用含的代數(shù)式表列．
（2）如圖2，連結(jié)．求證；．
（3）如圖3，在（2）的條件下，連結(jié)，．
①若，求的周長(zhǎng)．
②求的最小值．
5.（2021·山東中考真題）如圖1，O為半圓的圓心，C、D為半圓上的兩點(diǎn)，且．連接并延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．
（1）求證：；
（2）與，分別交于點(diǎn)F，H．
①若，如圖2，求證：；
②若圓的半徑為2，，如圖3，求的值．
6.（2021·浙江臺(tái)州市·中考真題）如圖，BD是半徑為3的⊙O的一條弦，BD＝4，點(diǎn)A是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），以A，B，D為頂點(diǎn)作平行四邊形ABCD．
（1）如圖2，若點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn)．
①求證：平行四邊形ABCD是菱形；
②求平行四邊形ABCD的面積．
（2）若點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到優(yōu)弧上，且平行四邊形ABCD有一邊與⊙O相切．
①求AB的長(zhǎng)；
②直接寫(xiě)出平行四邊形ABCD對(duì)角線所夾銳角的正切值．
7．（2021·天津中考真題）已知內(nèi)接于，點(diǎn)D是上一點(diǎn)．
（Ⅰ）如圖①，若為的直徑，連接，求和的大小；
（Ⅱ）如圖②，若//，連接，過(guò)點(diǎn)D作的切線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，求的大小．
8.（2021·浙江中考真題）如圖，銳角三角形內(nèi)接于，的平分線交于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，連接．
(1)求證：．
(2)已知，，求線段的長(zhǎng)（用含，的代數(shù)式表示）．
(3)已知點(diǎn)在線段上（不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），點(diǎn)在線段上（不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），，求證：．
9.（2021·湖北中考真題）如圖，在菱形中，是對(duì)角線上一點(diǎn)（），，垂足為，以為半徑的分別交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．
（1）求證：是的切線；
（2）若是的中點(diǎn)，，．
①求的長(zhǎng)；
②求的長(zhǎng)．
10.（2021·四川中考真題）如圖，⊙O的半徑為1，點(diǎn)A是⊙O的直徑BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，C為⊙O上的一點(diǎn)，AD＝CD，∠A＝30°．
（1）求證：直線AC是⊙O的切線；
（2）求△ABC的面積；
（3）點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)（不與B、D重合），過(guò)點(diǎn)C作CE的垂線，與EB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．
①當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C關(guān)于直徑BD對(duì)稱時(shí)，求CF的長(zhǎng)；
②當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，CF取到最大值，并求出此時(shí)CF的長(zhǎng)．
11.（2021·四川中考真題）如圖，點(diǎn)D在以AB為直徑的⊙O上，過(guò)D作⊙O的切線交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連接AD，F(xiàn)D．
（1）求證：；
（2）求證：；
（3）若，，求EF的長(zhǎng)．
12.（2021·四川中考真題）如圖，為的直徑，C為上一點(diǎn)，連接，D為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，且．
（1）求證：是的切線；
（2）若的半徑為，的面積為，求的長(zhǎng)；
（3）在（2）的條件下，E為上一點(diǎn)，連接交線段于點(diǎn)F，若，求的長(zhǎng)．
13.（2021·浙江中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，分別交軸、軸于，，連結(jié)．直線分別交于點(diǎn)，（點(diǎn)在左側(cè)），交軸于點(diǎn)，連結(jié)．
（1）求的半徑和直線的函數(shù)表達(dá)式．
（2）求點(diǎn)，的坐標(biāo)．
（3）點(diǎn)在線段上，連結(jié)．當(dāng)與的一個(gè)內(nèi)角相等時(shí)，求所有滿足條件的的長(zhǎng)．
專題28圓的綜合探究
1.（2021·湖北隨州市·中考真題）等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法．它是利用“同一個(gè)圖形的面積相等”、“分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積”、“同底等高或等底同高的兩個(gè)三角形面積相等”等性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題，在解題中，靈活運(yùn)用等面積法解決相關(guān)問(wèn)題，可以使解題思路清晰，解題過(guò)程簡(jiǎn)便快捷．
（1）在直角三角形中，兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4，則該直角三角形斜邊上的高的長(zhǎng)為_(kāi)____，其內(nèi)切圓的半徑長(zhǎng)為_(kāi)_____；
（2）①如圖1，是邊長(zhǎng)為的正內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)為的中心，設(shè)點(diǎn)到各邊距離分別為，，，連接，，，由等面積法，易知，可得_____；（結(jié)果用含的式子表示）
②如圖2，是邊長(zhǎng)為的正五邊形內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到五邊形各邊距離分別為，，，，，參照①的探索過(guò)程，試用含的式子表示的值．（參考數(shù)據(jù)：，）
（3）①如圖3，已知的半徑為2，點(diǎn)為外一點(diǎn)，，切于點(diǎn)，弦，連接，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_____；（結(jié)果保留）
②如圖4，現(xiàn)有六邊形花壇，由于修路等原因需將花壇進(jìn)行改造．若要將花壇形狀改造成五邊形，其中點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且要保證改造前后花壇的面積不變，試確定點(diǎn)的位置，并說(shuō)明理由．
【答案】（1），1；（2）①；②；（3）①；②見(jiàn)解析．
【分析】
（1）根據(jù)等積法解得直角三角形斜邊上的高的長(zhǎng)，及利用內(nèi)切圓的性質(zhì)解題即可；
（2）①先求得邊長(zhǎng)為的正的面積，再根據(jù)解題即可；②設(shè)點(diǎn)為正五邊形的中心，連接，，過(guò)作于，先由正切定義，解得的長(zhǎng)，由①中結(jié)論知，，繼而得到，據(jù)此解題；
（3）①由切線性質(zhì)解得，再由平行線性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)解得，根據(jù)平行線間的距離相等，及同底等高或等底同高的兩個(gè)三角形面積相等的性質(zhì)，可知圖中陰影部分的面積等于扇形OBC的面積，最后根據(jù)扇形面積公式解題；②連接，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)，據(jù)此解題．
【詳解】
解：（1）直角三角形的面積為：，
直角三角形斜邊為：，
設(shè)直角三角形斜邊上的高為，則
設(shè)直角三角形內(nèi)切圓的半徑為，則
，
故答案為：，1；
（2）①邊長(zhǎng)為的正底邊的高為，面積為：
，
故答案為：；
②類比①中方法可知，
設(shè)點(diǎn)為正五邊形的中心，連接，，
由①得，
過(guò)作于，，
故，，
故，從而得到：
．
（3）①是的切線，
過(guò)點(diǎn)作
，
是的高，
故答案為：；
②如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求，
連接，∵，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題考查正多邊形和圓的知識(shí)，涉及含30°角的直角三角形、正切、切線的性質(zhì)、扇形面積公式、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，有難度，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
2.（2021·北京中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，對(duì)于點(diǎn)和線段，給出如下定義：若將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以得到的弦（分別是的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），則稱線段是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”．
（1）如圖，點(diǎn)的橫?縱坐標(biāo)都是整數(shù)．在線段中，的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”是______________；
（2）是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)，其中．若是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，求的值；
（3）在中，．若是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接寫(xiě)出的最小值和最大值，以及相應(yīng)的長(zhǎng)．
【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)．
【分析】
（1）以點(diǎn)A為圓心，分別以為半徑畫(huà)圓，進(jìn)而觀察是否與有交點(diǎn)即可；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得是等邊三角形，且是的弦，進(jìn)而畫(huà)出圖象，則根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解；
（3）由是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，則可知都在上，且，然后由題意可根據(jù)圖象來(lái)進(jìn)行求解即可．
【詳解】
解：（1）由題意得：
通過(guò)觀察圖象可得：線段能繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°得到的“關(guān)聯(lián)線段”，都不能繞點(diǎn)A進(jìn)行旋轉(zhuǎn)得到；
故答案為；
（2）由題意可得：當(dāng)是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”時(shí)，則有是等邊三角形，且邊長(zhǎng)也為1，當(dāng)點(diǎn)A在y軸的正半軸上時(shí)，如圖所示：
設(shè)與y軸的交點(diǎn)為D，連接，易得軸，
∴，
∴，，
∴，
∴；
當(dāng)點(diǎn)A在y軸的正半軸上時(shí)，如圖所示：
同理可得此時(shí)的，
∴；
（3）由是的以點(diǎn)為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，則可知都在上，且，則有當(dāng)以為圓心，1為半徑作圓，然后以點(diǎn)A為圓心，2為半徑作圓，即可得到點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖所示：
由運(yùn)動(dòng)軌跡可得當(dāng)點(diǎn)A也在上時(shí)為最小，最小值為1，此時(shí)為的直徑，
∴，
∴，
∴；
由以上情況可知當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，OA的值為最大，最大值為2，如圖所示：
連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)P，
∴，
設(shè)，則有，
∴由勾股定理可得：，即，
解得：，
∴，
∴，
在中，，
∴；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查旋轉(zhuǎn)的綜合、圓的基本性質(zhì)、三角函數(shù)及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)、三角函數(shù)及等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3.（2021·四川遂寧市·中考真題）如圖，⊙O的半徑為1，點(diǎn)A是⊙O的直徑BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，C為⊙O上的一點(diǎn)，AD＝CD，∠A＝30°．
（1）求證：直線AC是⊙O的切線；
（2）求△ABC的面積；
（3）點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)（不與B、D重合），過(guò)點(diǎn)C作CE的垂線，與EB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．
①當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C關(guān)于直徑BD對(duì)稱時(shí)，求CF的長(zhǎng)；
②當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，CF取到最大值，并求出此時(shí)CF的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）①3；②
【分析】
（1）連接OC，利用切線的判定定理，證明OC⊥AC即可；
（2）要求的面積，結(jié)合（1）題，底邊AB可求，只需再求出底邊上的高CH即可；
（3）根據(jù)垂徑定理可求CE的長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)，可求CF的長(zhǎng)；
由可知，點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終有，所以，求出CE的最大值，即可得到CF的最大值．
【詳解】
（1）證明：連結(jié)OC，如圖所示．
∵AD＝CD ，∠A＝30°，
∴∠ACD＝∠A=30°．
∴∠CDB＝60°．
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC=60°．
∴∠ACO＝∠ACD＋∠OCD＝30°+60°=90°．
∴OC⊥AC．
∴直線AC是⊙O的切線．
（2）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，如圖所示．
∵OD=OC，∠ODC=60°，
∴是等邊三角形．
∴．
∴在中，
．
∵AB＝AD＋BD＝3，
∴．
（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)關(guān)于直徑BD對(duì)稱時(shí)，如圖所示．
此時(shí)，CE⊥AB，設(shè)垂足為K．
由（2）可知，．
∵BD為圓的直徑，CE⊥AB，
∴CE＝2CK＝．
∵CF⊥CE，
∴∠ECF＝90°．
∵，
∴∠E=∠CDB＝60°．
在中，
∵，
∴．
如圖所示：
由可知，在中，
∵，
∴．
∴當(dāng)點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終有．
∴當(dāng)CE最大時(shí)，CF取得最大值．
∴當(dāng)CE為直徑，即CE=2時(shí)，CF最大，最大值為．
【點(diǎn)睛】
本題考查了圓的切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、圓周角定理的推論、銳角三角函數(shù)、求線段的最值等知識(shí)點(diǎn)，熟知切線的判定方法、垂徑定理、圓周角定理、銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
4.（2021·浙江中考真題）如圖1，四邊形內(nèi)接于，為直徑，上存在點(diǎn)E，滿足，連結(jié)并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，與交于點(diǎn)G．
（1）若，請(qǐng)用含的代數(shù)式表列．
（2）如圖2，連結(jié)．求證；．
（3）如圖3，在（2）的條件下，連結(jié)，．
①若，求的周長(zhǎng)．
②求的最小值．
【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）①；②
【分析】
（1）利用圓周角定理求得，再根據(jù)，求得，即可得到答案；
（2）由，得到，從而推出，證得，由此得到結(jié)論；
（3）①連結(jié)．利用已知求出，證得，得到，利用中，根據(jù)正弦求出，求出EF的長(zhǎng)，再利用中，，求出EG及DE，再利用勾股定理求出DF即可得到答案；
②過(guò)點(diǎn)C作于H，證明，得到，證明，得到，設(shè)，得到，利用勾股定理得到 ，求得，利用函數(shù)的最值解答即可．
【詳解】
解：（1）∵為的直徑，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵為的直徑，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
（3）①如圖，連結(jié)．
∵為的直徑，
∴．
在中，，，
∴．
∵，
∴，
即，
∴．
∵，
∴．
∵在中，，
∴，
∴．
∵在中，，
∴．
在中，，
∴，
∴的周長(zhǎng)為．
②如圖，過(guò)點(diǎn)C作于H．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
設(shè)，
∴，
∴．
在中， ，
∴，
當(dāng)時(shí)，的最小值為3，
∴的最小值為．
【點(diǎn)睛】
此題考查圓周角的定理，弧、弦和圓心角定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)，相似三角形的判定，函數(shù)的最值問(wèn)題，是一道綜合的幾何題型，綜合掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
5.（2021·山東中考真題）如圖1，O為半圓的圓心，C、D為半圓上的兩點(diǎn)，且．連接并延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．
（1）求證：；
（2）與，分別交于點(diǎn)F，H．
①若，如圖2，求證：；
②若圓的半徑為2，，如圖3，求的值．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①見(jiàn)解析；②
【分析】
（1）連接，根據(jù)，且，則，即可推導(dǎo)出；
（2）①，則，又，，則，進(jìn)而推導(dǎo)出；
②連接交于G，設(shè)，則，根據(jù)在和中
列式，進(jìn)而求得x的值，再根據(jù)中位線定理求出AC的長(zhǎng)．
【詳解】
證明：（1）連接，
∵為直徑
∴
∵
∴
∴
∴．
（2）①∵
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
∴
②連接交于G．
設(shè)，則
∵
∴
又∵
∴，
在和中
∴即
∵
∴是的中位線
∴
∴．
【點(diǎn)睛】
本題考查了等弧對(duì)等角、相似三角形、等腰三角形、中位線等有關(guān)知識(shí)點(diǎn)，屬于綜合題型，借助輔助線是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵．
6.（2021·浙江臺(tái)州市·中考真題）如圖，BD是半徑為3的⊙O的一條弦，BD＝4，點(diǎn)A是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），以A，B，D為頂點(diǎn)作平行四邊形ABCD．
（1）如圖2，若點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn)．
①求證：平行四邊形ABCD是菱形；
②求平行四邊形ABCD的面積．
（2）若點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到優(yōu)弧上，且平行四邊形ABCD有一邊與⊙O相切．
①求AB的長(zhǎng)；
②直接寫(xiě)出平行四邊形ABCD對(duì)角線所夾銳角的正切值．
【答案】①證明見(jiàn)解析；②；（2）①AB的長(zhǎng)為或；②
【分析】
（1）①利用等弧所對(duì)的弦相等可得，根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形可得證；②連接AO，交BD于點(diǎn)E，連接OD，根據(jù)垂徑定理可得，利用勾股定理求出OE的長(zhǎng)，即可求解；
（2）①分情況討論當(dāng)CD與相切時(shí)、當(dāng)BC與相切時(shí)，利用垂徑定理即可求解；②根據(jù)等面積法求出AH的長(zhǎng)度，利用勾股定理求出DH的長(zhǎng)度，根據(jù)正切的定義即可求解．
【詳解】
解：（1）①∵點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴平行四邊形ABCD是菱形；
②連接AO，交BD于點(diǎn)E，連接OD，
，
∵點(diǎn)A是劣弧的中點(diǎn)，OA為半徑，
∴，OA平分BD，
∴，
∵平行四邊形ABCD是菱形，
∴E為兩對(duì)角線的交點(diǎn)，
在中，,
∴，
∴；
（2）①如圖，當(dāng)CD與相切時(shí)，連接DO并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)F，
∵CD與相切，
∴，
∴，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴，解得，
∴，
∴；
如圖，當(dāng)BC與相切時(shí)，連接BO并延長(zhǎng)，交AD于點(diǎn)G，
同理可得，，
所以,
綜上所述，AB的長(zhǎng)為或；
②過(guò)點(diǎn)A作，
，
由（2）得：
根據(jù)等面積法可得，
解得，
在在中，，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題考查垂徑定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等內(nèi)容，掌握分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．
7．（2021·天津中考真題）已知內(nèi)接于，點(diǎn)D是上一點(diǎn)．
（Ⅰ）如圖①，若為的直徑，連接，求和的大?。?br>（Ⅱ）如圖②，若//，連接，過(guò)點(diǎn)D作的切線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，求的大?。?br>【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）．
【分析】
（Ⅰ）由圓周角定理的推論可知，，即可推出；由等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求出，從而求出．
（Ⅱ）連接，由平行線的性質(zhì)可知．由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可求出．再由三角形內(nèi)角和定理可求出．從而由圓周角定理求出．由切線的性質(zhì)可知．即可求出．
【詳解】
（Ⅰ）為的直徑，
∴．
∵在中，，
∴；
∵，
∴．
∴．
（Ⅱ）如圖，連接．
∵，
∴．
∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，
∴．
∴．
∴．
∵是的切線，
∴，即．
∴．
【點(diǎn)睛】
本題為圓的綜合題．考查圓周角定理及其推論，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合的思想以及連接常用的輔助線是解答本題的關(guān)鍵．
8.（2021·浙江中考真題）如圖，銳角三角形內(nèi)接于，的平分線交于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，連接．
(1)求證：．
(2)已知，，求線段的長(zhǎng)（用含，的代數(shù)式表示）．
(3)已知點(diǎn)在線段上（不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），點(diǎn)在線段上（不與點(diǎn)，點(diǎn)重合），，求證：．
【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)；(3)見(jiàn)解析
【分析】
(1)由題目已知角平分線相等得到兩個(gè)相等，同弧所對(duì)的兩個(gè)圓周角相等，從而證明兩三角形相似；
(2)由(1)中的相似可以得到線段成比例，再由即可求得；
(3)要證即證，已知條件有一對(duì)角相等，利用外角關(guān)系可以證明，從而得證．
【詳解】
(1)因?yàn)槠椒郑?br>所以，
又因?yàn)椋?br>所以．
(2)由(1)，知，
因?yàn)椋?br>所以，
所以．
(3)因?yàn)椋?br>又因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以．
【點(diǎn)睛】
本題考查了圓的圓周角概念，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題關(guān)鍵是要根據(jù)已知條件找到相似的兩個(gè)三角形并通過(guò)角度的轉(zhuǎn)換從而證明相似．
9.（2021·湖北中考真題）如圖，在菱形中，是對(duì)角線上一點(diǎn)（），，垂足為，以為半徑的分別交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．
（1）求證：是的切線；
（2）若是的中點(diǎn)，，．
①求的長(zhǎng)；
②求的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①；②
【分析】
（１過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，證明出△OEB≌△OMB，得到對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)邊為圓的半徑，得出結(jié)論；
（2）①根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，再由是的中點(diǎn)，，，根據(jù)，推出，，，再由弧長(zhǎng)的計(jì)算公式得到結(jié)果；
②先由平行相似，得到，對(duì)應(yīng)邊成比例求出，推出BN=3，OE=4，DN=6，再由勾股定理求出即可．
【詳解】
（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵是菱形的對(duì)角線，
∴，
∵，，
∴∠OEB=∠OMB=90?，
∵OB=OB，
∴△OEB≌△OMB（AAS）
∴，
∴是的切線．
（2）解：①如圖，
∵是的中點(diǎn)，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴由弧長(zhǎng)公式，得到的長(zhǎng)：．
②方法一：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵DG//NE，DN//GE，∠GEN=90?
∴四邊形是矩形，
∴，BN=3，OE=4，DN=6，
在菱形中，AD=AB，在中，設(shè)，
∴，
∴．
方法二：如圖，過(guò)作于點(diǎn)，
∵，，，
∴，，，
，


∴．
【點(diǎn)睛】
本題考查了圓的切線判定定理、菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵在于熟練掌握證明是圓的切線的方法、菱形的性質(zhì)以及三角形相似的證明與性質(zhì)的應(yīng)用，特別是菱形的性質(zhì)．
10.（2021·四川中考真題）如圖，⊙O的半徑為1，點(diǎn)A是⊙O的直徑BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，C為⊙O上的一點(diǎn)，AD＝CD，∠A＝30°．
（1）求證：直線AC是⊙O的切線；
（2）求△ABC的面積；
（3）點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)（不與B、D重合），過(guò)點(diǎn)C作CE的垂線，與EB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．
①當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C關(guān)于直徑BD對(duì)稱時(shí)，求CF的長(zhǎng)；
②當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，CF取到最大值，并求出此時(shí)CF的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）①3；②
【分析】
（1）連接OC，利用切線的判定定理，證明OC⊥AC即可；
（2）要求的面積，結(jié)合（1）題，底邊AB可求，只需再求出底邊上的高CH即可；
（3）根據(jù)垂徑定理可求CE的長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)，可求CF的長(zhǎng)；
由可知，點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終有，所以，求出CE的最大值，即可得到CF的最大值．
【詳解】
（1）證明：連結(jié)OC，如圖所示．
∵AD＝CD ，∠A＝30°，
∴∠ACD＝∠A=30°．
∴∠CDB＝60°．
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC=60°．
∴∠ACO＝∠ACD＋∠OCD＝30°+60°=90°．
∴OC⊥AC．
∴直線AC是⊙O的切線．
（2）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，如圖所示．
∵OD=OC，∠ODC=60°，
∴是等邊三角形．
∴．
∴在中，
．
∵AB＝AD＋BD＝3，
∴．
（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)關(guān)于直徑BD對(duì)稱時(shí)，如圖所示．
此時(shí)，CE⊥AB，設(shè)垂足為K．
由（2）可知，．
∵BD為圓的直徑，CE⊥AB，
∴CE＝2CK＝．
∵CF⊥CE，
∴∠ECF＝90°．
∵，
∴∠E=∠CDB＝60°．
在中，
∵，
∴．
如圖所示：
由可知，在中，
∵，
∴．
∴當(dāng)點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終有．
∴當(dāng)CE最大時(shí)，CF取得最大值．
∴當(dāng)CE為直徑，即CE=2時(shí)，CF最大，最大值為．
【點(diǎn)睛】
本題考查了圓的切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、圓周角定理的推論、銳角三角函數(shù)、求線段的最值等知識(shí)點(diǎn)，熟知切線的判定方法、垂徑定理、圓周角定理、銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
11.（2021·四川中考真題）如圖，點(diǎn)D在以AB為直徑的⊙O上，過(guò)D作⊙O的切線交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連接AD，F(xiàn)D．
（1）求證：；
（2）求證：；
（3）若，，求EF的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）EF．
【分析】
（1）連接OD，BD，由圓的切線的性質(zhì)結(jié)合圓周角定理可求得∠EDA=∠ABD，再利用等角的余角相等，可證明結(jié)論；
（2）如圖，連接BD、BF，利用平行線的性質(zhì)以及圓周角定理證得∠C=∠ADF，根據(jù)（1）的結(jié)論可證明△ADF△ACD，可證明結(jié)論；
（3）設(shè)OA=OD=x，利用三角函數(shù)的定義和勾股定理得到OC=4x，CD，AC =5x，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可．
【詳解】
（1）證明：連接OD，BD，
∵ED是⊙O的切線，D為切點(diǎn)，
∴OD⊥ED，
∴∠ODA+∠EDA=90°，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠ODA+∠ODB=90°，
∴∠ODB=∠EDA，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠EDA=∠ABD，
∵，
∴∠E=90°，
∴(等角的余角相等)；
（2）如圖，連接BD、BF，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AFB=90°，
∴BF∥CF，
∴∠C=∠ABF=∠ADF，
由（2）得，
∴△ADF△ACD，
∴,
∴；
（3）過(guò)D作DH⊥AB于H，連接OD，BD，
設(shè)OA=OD=x，
在Rt△ODC中，，
∴OC=4x，
則CD=，
AC=OA+OC=5x，
由（2）得，即，
∵∠C+∠DOC=90°，∠ODH+∠DOH=90°，
∴∠ODH=∠C，
在Rt△ODH中，，
∴OH=，
∴DH=，
由（1）得，
DH=DE=，
∵∠EFD=∠ABD(圓內(nèi)接四邊形外角等于內(nèi)對(duì)角)，
由（1）得∠EDA=∠ABD，
∴∠EFD=∠EDA，
∴△EAD△EDF，
∴，即，
∴EF，
在Rt△DEF中，，即，
解得：，
∴EF．
【點(diǎn)睛】
本題考查了切線的性質(zhì)定理，也考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，解直角三角形，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．
12.（2021·四川中考真題）如圖，為的直徑，C為上一點(diǎn)，連接，D為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，且．
（1）求證：是的切線；
（2）若的半徑為，的面積為，求的長(zhǎng)；
（3）在（2）的條件下，E為上一點(diǎn)，連接交線段于點(diǎn)F，若，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）
【分析】
（1）連接．可證得，從而得是的切線；
（2）過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)M，可得，再證明△COM∽△DOC，進(jìn)而得到；
（3）過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)N，連接，證明△FCM∽△FEN，利用相似可得，再證明Rt△COM≌Rt△OEN，通過(guò)全等可得ON=CM=2，進(jìn)而根據(jù)已知條件得到．
【詳解】
（1）證明：連接，
∵AB為⊙O直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBO＝90°，
又∵OB＝OC，
∴∠CBO＝∠BCO，
∴∠CAB+∠BCO＝90°
∵∠BCD＝∠A，
∴∠BCD+∠BCO＝90°，
∴OC⊥CD
∴CD為⊙O切線；
（2）過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)M，
∵的半徑為，
∴AB=，
∵的面積為，
∴CM=2，
在Rt△CMO中，CO=，CM=2，
∴OM=1，
由（1）得∠OCD=∠CMO=90°，
∵∠COM=∠COD，
∴△COM∽△DOC，
∴ ，
∴，
∴，
（3）過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)N，連接，
∵，，
∴△FCM∽△FEN，
∴ ，
由（2）得CM=2，OM=1，
∴EN=OM=1，
∵OC=OE，
∴Rt△COM≌Rt△OEN，
∴ON=CM=2，
∴MN=3，
∵，
∴FM=2，
∵OM=1，
∴OF=1，
∵BF=OB+OF，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，解答本題需要我們熟練掌握各部分的內(nèi)容，要注意將所學(xué)知識(shí)貫穿起來(lái)．
13.（2021·浙江中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，分別交軸、軸于，，連結(jié)．直線分別交于點(diǎn)，（點(diǎn)在左側(cè)），交軸于點(diǎn)，連結(jié)．
（1）求的半徑和直線的函數(shù)表達(dá)式．
（2）求點(diǎn)，的坐標(biāo)．
（3）點(diǎn)在線段上，連結(jié)．當(dāng)與的一個(gè)內(nèi)角相等時(shí)，求所有滿足條件的的長(zhǎng)．
【答案】（1）半徑為，直線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）點(diǎn)為，點(diǎn)為；（3）5，10或
【分析】
（1）由，，確定點(diǎn)為，再利用兩點(diǎn)間距離公式求解即可得到半徑的長(zhǎng)，利用待定系數(shù)法可直接得到直線CM的函數(shù)表達(dá)式；
（2）先作輔助線構(gòu)造相似三角形，求出，，即可得到點(diǎn)為，點(diǎn)為；
（3）先作輔助線，得到，再分三種情況討論，通過(guò)作軸于點(diǎn)，證出點(diǎn)為符合條件的點(diǎn)，再分別討論當(dāng)時(shí)和時(shí)的情況，分別得到和的值，最后完成求解．
【詳解】
解：（1），
為的直徑．
，，
點(diǎn)為，
半徑為．
設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為．
把，代入得，解得．
直線的函數(shù)表達(dá)式為；
∴⊙M 的半徑為，直線 CM 的函數(shù)表達(dá)式為．
（2）過(guò)點(diǎn)作軸平行線，點(diǎn)作軸平行線交于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)（如圖1），

，，
，
，且
，，
點(diǎn)為．
點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
點(diǎn)為．
（3）作軸于點(diǎn)，
，．
，
．
分三種情況（如圖2）：
①作軸于點(diǎn)，
，，
，
，
，
即點(diǎn)為符合條件的一個(gè)點(diǎn)．
．
②當(dāng)時(shí)，
，
．
，
（），
，
．
③當(dāng)時(shí)，
，
，
．
，
，
,
，
．
綜上所述，當(dāng)與的一個(gè)內(nèi)角相等時(shí)，的長(zhǎng)為5，10或．
【點(diǎn)睛】
本題綜合考查了平面直角坐標(biāo)系、圓、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，要求學(xué)生根根據(jù)題意找到相等關(guān)系建立方程求解，本題綜合性很強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的分析能力要求較高，解決本題的關(guān)鍵是能通過(guò)作輔助線構(gòu)造相似三角形以及牢記相關(guān)概念、性質(zhì)和公式等，本題蘊(yùn)含了分類討論的思想方法．

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