1.(2022·廣東省深圳市)(1)發(fā)現(xiàn)：如圖①所示，在正方形ABCD中，E為AD邊上一點，將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長EF交CD邊于G點．求證：△BFG≌△BCG；
(2)探究：如圖②，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點，且AD=8，AB=6.將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長EF交BC邊于G點，延長BF交CD邊于點H，且FH=CH，求AE的長．
(3)拓展：如圖③，在菱形ABCD中，AB=6，E為CD邊上的三等分點，∠D=60°.將△ADE沿AE翻折得到△AFE，直線EF交BC于點P，求PC的長．
2.(2022·重慶市B卷)在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，D為BC的中點，E，F(xiàn)分別為AC，AD上任意一點，連接EF，將線段EF繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EG，連接FG，AG．
(1)如圖1，點E與點C重合，且GF的延長線過點B，若點P為FG的中點，連接PD，求PD的長；
(2)如圖2，EF的延長線交AB于點M，點N在AC上，∠AGN=∠AEG且GN=MF，求證：AM+AF=2AE；
(3)如圖3，F(xiàn)為線段AD上一動點，E為AC的中點，連接BE，H為直線BC上一動點，連接EH，將△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面內(nèi)，得到△B'EH，連接B'G，直接寫出線段B'G的長度的最小值．
3.(2021·四川省達(dá)州市)某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動中，對多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下探究：
【觀察與猜想】
(1)如圖1，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，AD上的兩點，連接DE，CF，DE⊥CF，則DECF的值為______ ；
(2)如圖2，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，點E是AD上的一點，連接CE，BD，且CE⊥BD，則CEBD的值為______ ；
【類比探究】
(3)如圖3，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，點E為AB上一點，連接DE，過點C作DE的垂線交ED的延長線于點G，交AD的延長線于點F，求證：DE?AB=CF?AD；
【拓展延伸】
(4)如圖4，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AD=9，tan∠ADB=13，將△ABD沿BD翻折，點A落在點C處得△CBD，點E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，連接DE，CF，DE⊥CF．
①求DECF的值；
②連接BF，若AE=1，直接寫出BF的長度．
4.(2021·湖北省荊州市)在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，F(xiàn)是對角線AC上不與點A，C重合的一點，過F作FE⊥AD于E，將△AEF沿EF翻折得到△GEF，點G在射線AD上，連接CG．
(1)如圖1，若點A的對稱點G落在AD上，∠FGC=90°，延長GF交AB于H，連接CH．
①求證：△CDG∽△GAH；
②求tan∠GHC．
(2)如圖2，若點A的對稱點G落在AD延長線上，∠GCF=90°，判斷△GCF與△AEF是否全等，并說明理由．
5.(2021·黑龍江省齊齊哈爾市)綜合與實踐
數(shù)學(xué)實踐活動，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式，通過活動可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動手動腦能力，拓展思維空間，豐富數(shù)學(xué)體驗，讓我們一起動手來折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會活動帶給我們的樂趣．
折一折：將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB、AD都落在對角線AC上，展開得折痕AE、AF，連接EF，如圖1．
(1)∠EAF= ______ °，寫出圖中兩個等腰三角形：______ (不需要添加字母)；
轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的∠EAF繞點A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊BC、CD于點P、Q，連接PQ，如圖2．
(2)線段BP、PQ、DQ之間的數(shù)量關(guān)系為______ ；
(3)連接正方形對角線BD，若圖2中的∠PAQ的邊AP、AQ分別交對角線BD于點M、點N，如圖3，則CQBM= ______ ；
剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對角線BD剪開，如圖4．
(4)求證：BM2+DN2=MN2．
6.(2020·湖北省宜昌市)菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，0°2時，點M在矩形EOGF的外部，求m的值．
7.(2022·四川省成都市)在矩形ABCD的CD邊上取一點E，將△BCE沿BE翻折，使點C恰好落在AD邊上點F處．
(1)如圖1，若BC=2BA，求∠CBE的度數(shù)；
(2)如圖2，當(dāng)AB=5，且AF?FD=10時，求BC的長；
(3)如圖3，延長EF，與∠ABF的角平分線交于點M，BM交AD于點N，當(dāng)NF=AN+FD時，求ABBC的值．
8.(2020·四川省資陽市)在矩形ABCD中，點E是對角線AC上一動點，連接DE，過點E作EF⊥DE交AB于點F．
(1)如圖1，當(dāng)DE=DA時，求證：AF=EF；
(2)如圖2，點E在運動過程中DEEF的值是否發(fā)生變化？請說明理由；
(3)如圖3，若點F為AB的中點，連接DF交AC于點G，將△GEF沿EF翻折得到△HEF，連接DH交EF于點K，當(dāng)AD=2，CD=23時，求KH的長．
9.（2021·浙江紹興市·中考真題）問題：如圖，在中，，，，的平分線AE，BF分別與直線CD交于點E，F(xiàn)，求EF的長．
答案：．
探究：（1）把“問題”中的條件“”去掉，其余條件不變．
①當(dāng)點E與點F重合時，求AB的長；
②當(dāng)點E與點C重合時，求EF的長．
（2）把“問題”中的條件“，”去掉，其余條件不變，當(dāng)點C，D，E，F(xiàn)相鄰兩點間的距離相等時，求的值．
10.（2021·浙江麗水市·中考真題）如圖，在菱形中，是銳角，E是邊上的動點，將射線繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，交直線于點F．
（1）當(dāng)時，
①求證：；
②連結(jié)，若，求的值；
（2）當(dāng)時，延長交射線于點M，延長交射線于點N，連結(jié)，若，則當(dāng)為何值時，是等腰三角形．
11.（2021·四川眉山市·中考真題）如圖，在等腰直角三角形中，，，邊長為2的正方形的對角線交點與點重合，連接，．
（1）求證：；
（2）當(dāng)點在內(nèi)部，且時，設(shè)與相交于點，求的長；
（3）將正方形繞點旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)點、、三點在同一直線上時，請直接寫出的長．
12.（2021·浙江嘉興市·中考真題）小王在學(xué)習(xí)浙教版九上課本第72頁例2后，進(jìn)一步開展探究活動：將一個矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形
[探究1]如圖1，當(dāng)時，點恰好在延長線上．若，求BC的長．
[探究2]如圖2，連結(jié)，過點作交于點．線段與相等嗎？請說明理由．
[探究3]在探究2的條件下，射線分別交，于點，（如圖3），，存在一定的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
13.（2021·遼寧本溪市·中考真題）在?中，，平分，交對角線于點G，交射線于點E，將線段繞點E順時針旋轉(zhuǎn)得線段．
（1）如圖1，當(dāng)時，連接，請直接寫出線段和線段的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，當(dāng)時，過點B作于點，連接，請寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）當(dāng)時，連接，若，請直接寫出與面積的比值．
14.（2021·湖北宜昌市·中考真題）如圖，在矩形中，是邊上一點，，，垂足為．將四邊形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到四邊形．所在的直線分別交直線于點，交直線于點，交于點．所在的直線分別交直線于點，交直線于點，連接交于點．
（1）如圖1，求證：四邊形是正方形；
（2）如圖2，當(dāng)點和點重合時．
①求證：；
②若，，求線段的長；
（3）如圖3，若交于點，，求的值．
15.（2021·湖南婁底市·中考真題）如圖①，是等腰的斜邊上的兩動點，且．
（1）求證：；
（2）求證：；
（3）如圖②，作，垂足為H，設(shè)，不妨設(shè)，請利用（2）的結(jié)論證明：當(dāng)時，成立．
16.（2021·江蘇宿遷市·中考真題）已知正方形ABCD與正方形AEFG，正方形AEFG繞點A旋轉(zhuǎn)一周．
(1)如圖①，連接BG、CF，求的值；
(2)當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至圖②位置時，連接CF、BE，分別去CF、BE的中點M、N，連接MN、試探究：MN與BE的關(guān)系，并說明理由；
(3)連接BE、BF，分別取BE、BF的中點N、Q，連接QN，AE=6，請直接寫出線段QN掃過的面積．
17.（2021·四川眉山市·中考真題）如圖，在等腰直角三角形中，，，邊長為2的正方形的對角線交點與點重合，連接，．
（1）求證：；
（2）當(dāng)點在內(nèi)部，且時，設(shè)與相交于點，求的長；
（3）將正方形繞點旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)點、、三點在同一直線上時，請直接寫出的長．
18.（2021·湖北隨州市·中考真題）等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法．它是利用“同18.一個圖形的面積相等”、“分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積”、“同底等高或等底同高的兩個三角形面積相等”等性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題，在解題中，靈活運用等面積法解決相關(guān)問題，可以使解題思路清晰，解題過程簡便快捷．
（1）在直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4，則該直角三角形斜邊上的高的長為_____，其內(nèi)切圓的半徑長為______；
（2）①如圖1，是邊長為的正內(nèi)任意一點，點為的中心，設(shè)點到各邊距離分別為，，，連接，，，由等面積法，易知，可得_____；（結(jié)果用含的式子表示）
②如圖2，是邊長為的正五邊形內(nèi)任意一點，設(shè)點到五邊形各邊距離分別為，，，，，參照①的探索過程，試用含的式子表示的值．（參考數(shù)據(jù)：，）
（3）①如圖3，已知的半徑為2，點為外一點，，切于點，弦，連接，則圖中陰影部分的面積為______；（結(jié)果保留）
②如圖4，現(xiàn)有六邊形花壇，由于修路等原因需將花壇進(jìn)行改造．若要將花壇形狀改造成五邊形，其中點在的延長線上，且要保證改造前后花壇的面積不變，試確定點的位置，并說明理由．
專題25幾何探究以四邊形的性質(zhì)為背景
（動點、平移、旋轉(zhuǎn)、折疊）
1.(2022·廣東省深圳市)(1)發(fā)現(xiàn)：如圖①所示，在正方形ABCD中，E為AD邊上一點，將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長EF交CD邊于G點．求證：△BFG≌△BCG；
(2)探究：如圖②，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點，且AD=8，AB=6.將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長EF交BC邊于G點，延長BF交CD邊于點H，且FH=CH，求AE的長．
(3)拓展：如圖③，在菱形ABCD中，AB=6，E為CD邊上的三等分點，∠D=60°.將△ADE沿AE翻折得到△AFE，直線EF交BC于點P，求PC的長．
【解析】(1)證明：∵將△AEB沿BE翻折到△BEF處，四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BF，∠BFE=∠A=90°，
∴∠BFG=90°=∠C，
∵AB=BC=BF，BG=BG，
∴Rt△BFG≌Rt△BCG(HL)；
(2)解：延長BH，AD交于Q，如圖：

設(shè)FH=HC=x，
在Rt△BCH中，BC2+CH2=BH2，
∴82+x2=(6+x)2，
解得x=73，
∴DH=DC?HC=113，
∵∠BFG=∠BCH=90°，∠HBC=∠FBG，
∴△BFG∽△BCH，
∴BFBC=BGBH=FGHC，即68=BG6+73=FG73，
∴BG=254，F(xiàn)G=74，
∵EQ//GB，DQ//CB，
∴△EFQ∽△GFB，△DHQ∽△CHB，
∴BCDQ=CHDH，即8DQ=736?73，
∴DQ=887，
設(shè)AE=EF=m，則DE=8?m，
∴EQ=DE+DQ=8?m+887=1447?m，
∵△EFQ∽△GFB，
∴EQBG=EFFG，即1447?m254=m74，
解得m=92，
∴AE的長為92；
(3)解：(Ⅰ)當(dāng)DE=13DC=2時，延長FE交AD于Q，過Q作QH⊥CD于H，如圖：

設(shè)DQ=x，QE=y，則AQ=6?x，
∵CP//DQ，
∴△CPE∽△QDE，
∴CPDQ=CEDE=2，
∴CP=2x，
∵△ADE沿AE翻折得到△AFE，
∴EF=DE=2，AF=AD=6，∠QAE=∠FAE，
∴AE是△AQF的角平分線，
∴AQAF=QEEF，即6?x6=y2①，
∵∠D=60°，
∴DH=12DQ=12x，HE=DE?DH=2?12x，HQ=3DH=32x，
在Rt△HQE中，HE2+HQ2=EQ2，
∴(1?12x)2+(32x)2=y2②，
聯(lián)立①②可解得x=34，
∴CP=2x=32；
(Ⅱ)當(dāng)CE=13DC=2時，延長FE交AD延長線于Q'，過D作DN⊥AB交BA延長線于N，如圖：

同理∠Q'AE=∠EAF，
∴AQ'AF=Q'EEF，即6+x6=y4，
由HQ'2+HD2=Q'D2得：(32x)2+(12x+4)2=y2，
可解得x=125，
∴CP=12x=65，
綜上所述，CP的長為32或65．
2.(2022·重慶市B卷)在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，D為BC的中點，E，F(xiàn)分別為AC，AD上任意一點，連接EF，將線段EF繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EG，連接FG，AG．
(1)如圖1，點E與點C重合，且GF的延長線過點B，若點P為FG的中點，連接PD，求PD的長；
(2)如圖2，EF的延長線交AB于點M，點N在AC上，∠AGN=∠AEG且GN=MF，求證：AM+AF=2AE；
(3)如圖3，F(xiàn)為線段AD上一動點，E為AC的中點，連接BE，H為直線BC上一動點，連接EH，將△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面內(nèi)，得到△B'EH，連接B'G，直接寫出線段B'G的長度的最小值．
【解析】(1)解：如圖1，連接CP，
由旋轉(zhuǎn)知，CF=CG，∠FCG=90°，
∴△FCG為等腰直角三角形，
∵點P是FG的中點，
∴CP⊥FG，
∵點D是BC的中點，
∴DP=12BC，
在Rt△ABC中，AB=AC=22，
∴BC=2AB=4，
∴DP=2；
(2)證明：如圖2，
過點E作EH⊥AE交AD的延長線于H，
∴∠AEH=90°，
由旋轉(zhuǎn)知，EG=EF，∠FEG=90°，
∴∠FEG=∠AEH，
∴∠AEG=∠HEF，
∵AB=AC，點D是BC的中點，
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=45°，
∴∠H=90°?∠CAD=45°=∠CAD，
∴AE=HE，
∴△EGA≌△EFH(SAS)，
∴AG=FH，∠EAG=∠H=45°，
∴∠EAG=∠BAD=45°，
∵∠AMF=180°?∠BAD?∠AFM=135°?∠AFM，
∵∠AFM=∠EFH，
∴∠AMF=135°?∠EFH，
∵∠HEF=180°?∠EFH?∠H=135°?∠EFH，
∴∠AMF=∠HEF，
∵△EGA≌△EFH，
∴∠AEG=∠HEF，
∵∠AGN=∠AEG，
∴∠AGN=∠HEF，
∴∠AGN=∠AMF，
∵GN=MF，
∴△AGN≌△AMF(AAS)，
∴AG=AM，
∵AG=FH，
∴AM=FH，
∴AF+AM=AF+FH=AH=2AE；
(3)解：∵點E是AC的中點，
∴AE=12AC=2，
根據(jù)勾股定理得，BE=AE2+AB2=10，
由折疊直，BE=B'E=10，
∴點B'是以點E為圓心，10為半徑的圓上，
由旋轉(zhuǎn)知，EF=EG，
∴點G是以點E為圓心，EG為半徑的圓上，
∴B'G的最小值為B'E?EG，
要B'G最小，則EG最大，即EF最大，
∵點F在AD上，
∴點在點A或點D時，EF最大，最大值為2，
∴線段B'G的長度的最小值10?2．
3.(2021·四川省達(dá)州市)某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動中，對多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下探究：
【觀察與猜想】
(1)如圖1，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，AD上的兩點，連接DE，CF，DE⊥CF，則DECF的值為______ ；
(2)如圖2，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，點E是AD上的一點，連接CE，BD，且CE⊥BD，則CEBD的值為______ ；
【類比探究】
(3)如圖3，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，點E為AB上一點，連接DE，過點C作DE的垂線交ED的延長線于點G，交AD的延長線于點F，求證：DE?AB=CF?AD；
【拓展延伸】
(4)如圖4，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AD=9，tan∠ADB=13，將△ABD沿BD翻折，點A落在點C處得△CBD，點E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，連接DE，CF，DE⊥CF．
①求DECF的值；
②連接BF，若AE=1，直接寫出BF的長度．
【解析】解：(1)如圖1，設(shè)DE與CF交于點G，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠FDC=90°，AD=CD，
∵DE⊥CF，
∴∠DGF=90°，
∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，
∴∠CFD=∠AED，
在△AED和△DFC中，
∠A=∠FDC∠CFD=∠AEDAD=CD，
∴△AED≌△DFC(AAS)，
∴DE=CF，
∴DECF=1；
(2)如圖2，設(shè)DB與CE交于點G，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠EDC=90°，
∵CE⊥BD，
∴∠DGC=90°，
∴∠CDG+∠ECD=90°，∠ADB+∠CDG=90°，
∴∠ECD=∠ADB，
∵∠CDE=∠A，
∴△DEC∽△ABD，
∴CEBD=DCAD=47，
故答案為：47．
(3)證明：如圖3，過點C作CH⊥AF交AF的延長線于點H，
∵CG⊥EG，
∴∠G=∠H=∠A=∠B=90°，
∴四邊形ABCH為矩形，
∴AB=CH，∠FCH+∠CFH=∠DFG+∠FDG=90°，
∴∠FCH=∠FDG=∠ADE，∠A=∠H=90°，
∴△DEA∽△CFH，
∴DECF=ADCH，
∴DECF=ADAB，
∴DE?AB=CF?AD；
(4)①如圖4，過點C作CG⊥AD于點G，連接AC交BD于點H，CG與DE相交于點O，
∵CF⊥DE，GC⊥AD，
∴∠FCG+∠CFG=∠CFG+∠ADE=90°，
∴∠FCG=∠ADE，∠BAD=∠CGF=90°，
∴△DEA∽△CFG，
∴DECF=ADCG，
在Rt△ABD中，tan∠ADB=13，AD=9，
∴AB=3，
在Rt△ADH中，tan∠ADH=13，
∴AHDH=13，
設(shè)AH=a，則DH=3a，
∵AH2+DH2=AD2，
∴a2+(3a)2=92，
∴a=91010(負(fù)值舍去)，
∴AH=91010，DH=271010，
∴AC=2AH=9510，
∵S△ADC=12AC?DH=12AD?CG，
∴12×9510×271010=12×9CG，
∴CG=275，
∴DECF=ADCG=9275=53；
②∵AC=9510，CG=275，∠AGC=90°，
∴AG=AC2?CG2=(9510)2?(275)2=95，
由①得：△DEA∽△CFG，
∴CFDE=FGAE，
又∵DECF=53，AE=1，
∴FG=35，
∴AF=AG?FG=95?35=65，
∴BF=AB2+AF2=32+(65)2=3529．
4.(2021·湖北省荊州市)在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，F(xiàn)是對角線AC上不與點A，C重合的一點，過F作FE⊥AD于E，將△AEF沿EF翻折得到△GEF，點G在射線AD上，連接CG．
(1)如圖1，若點A的對稱點G落在AD上，∠FGC=90°，延長GF交AB于H，連接CH．
①求證：△CDG∽△GAH；
②求tan∠GHC．
(2)如圖2，若點A的對稱點G落在AD延長線上，∠GCF=90°，判斷△GCF與△AEF是否全等，并說明理由．
【答案】(1)如圖1，
①證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠GAH=90°，
∴∠DCG+∠DGC=90°，
∵∠FGC=90°，
∴∠AGH+∠DGC=90°，
∴∠DCG=∠AGH，
∴△CDG∽△GAH．
②由翻折得∠EGF=∠EAF，
∴∠AGH=∠DAC=∠DCG，
∵CD=AB=2，AD=4，
∴DGCD=AHAG=CDAD=tan∠DAC=24=12，
∴DG=12CD=12×2=1，
∴GA=4?1=3，
∵△CDG∽△GAH，
∴CGGH=CDGA，
∴tan∠GHC=CGGH=CDGA=23．
(2)不全等，理由如下：
∵AD=4，CD=2，
∴AC=42+22=25，
∵∠GCF=90°，
∴CGAC=tan∠DAC=12，
∴CG=12AC=12×25=5，
∴AG=(25)2+(5)2=5，
∴EA=12AG=52，
∴EF=EA?tan∠DAC=52×12=54，
∴AF=(52)2+(54)2=554，
∴CF=25?554=354，
∵∠GCF=∠AEF=90°，而CG≠EA，CF≠EF，
∴△GCF與△AEF不全等．
5.(2021·黑龍江省齊齊哈爾市)綜合與實踐
數(shù)學(xué)實踐活動，是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式，通過活動可以激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣，提高動手動腦能力，拓展思維空間，豐富數(shù)學(xué)體驗，讓我們一起動手來折一折、轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、剪一剪，體會活動帶給我們的樂趣．
折一折：將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB、AD都落在對角線AC上，展開得折痕AE、AF，連接EF，如圖1．
(1)∠EAF= ______ °，寫出圖中兩個等腰三角形：______ (不需要添加字母)；
轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的∠EAF繞點A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊BC、CD于點P、Q，連接PQ，如圖2．
(2)線段BP、PQ、DQ之間的數(shù)量關(guān)系為______ ；
(3)連接正方形對角線BD，若圖2中的∠PAQ的邊AP、AQ分別交對角線BD于點M、點N，如圖3，則CQBM= ______ ；
剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對角線BD剪開，如圖4．
(4)求證：BM2+DN2=MN2．
【答案】(1)解：如圖1中，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠BAD=90°，
∴ABC，△ADC都是等腰三角形，
∵∠BAE=∠CAE，∠DAF=∠CAF，
∴∠EAF=12(∠BAC+∠DAC)=45°，
∵∠BAE=∠DAF=22.5°，∠B=∠D=90°，AB=AD，
∴△BAE≌△DAF(ASA)，
∴BE=DF，AE=AF，
∵CB=CD，
∴CE=CF，
∴△AEF，△CEF都是等腰三角形，
故答案為：45；△AEF，△EFC，△ABC，△ADC(任寫2個即可)．
(2)解：結(jié)論：PQ=BP+DQ．
理由：如圖2中，延長CB到T，使得BT=DQ．
∵AD=AB，∠ADQ=∠ABT=90°，DQ=BT，
∴△ADQ≌△ABT(SAS)，
∴AT=AQ，∠DAQ=∠BAT，
∵∠PAQ=45°，
∴∠PAT=∠BAP+∠BAT=∠BAP+∠DAQ=45°，
∴∠PAT=∠PAQ=45°，
∵AP=AP，
∴△PAT≌△PAQ(SAS)，
∴PQ=PT，
∵PT=PB+BT=PB+DQ，
∴PQ=BP+DQ．
故答案為：PQ=BP+DQ．
(3)解：如圖3中，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABM=∠ACQ=∠BAC=45°，AC=2AB，
∵∠BAC=∠PAQ=45°，
∴∠BAM=∠CAQ，
∴△CAQ∽△BAM，
∴CQBM=ACAB=2，
故答案為：2．
(4)證明：如圖4中，將△ADN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABR，連接RM．
∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，
∴∠DAN+∠BAM=45°，
∵∠DAN=∠BAR，
∴∠BAM+∠BAR=45°，
∴∠MAR=∠MAN=45°，
∵AR=AN，AM=AM，
∴△AMR≌△AMN(SAS)，
∴RM=MN，
∵∠D=∠ABR=∠ABD=45°，
∴∠RBM=90°，
∴RM2=BR2+BM2，
∵DN=BR，MN=RM，
∴BM2+DN2=MN2
6.(2020·湖北省宜昌市)菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，0°2時，點M在矩形EOGF的外部，求m的值．
【答案】證明(1)∵四邊形EOGF是矩形，
∴EO//GF，GO//EF，
∵GE//DC，
∴四邊形GEFD是平行四邊形，四邊形GECF是平行四邊形，
∴GE=DF，GE=CF，
∴DF=FC；
(2)①如圖1，由折疊的性質(zhì)知，∠GDH=∠MDH，DH⊥GM，
∵GE//CD，
∴∠DGM=∠BDC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠ADB=∠BDC，∠COD=90°，
∵∠ADB=∠GDH，
∴∠DGM=∠GDH，
∵DH⊥GM，
∴∠DGM=45°，
∴∠OEG=45°，
∴OE=OG，
∵四邊形EOGF是矩形，
∴四邊形EOGF是正方形；
②如圖2，∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠CBD=∠ADB，
∵GE//CD，
∴∠DGE=∠CDB，
∴∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠DGE=∠CDB，
∴∠GDM=2∠ABD，
∵tan∠ABO=m(m為定值)，
∴點M始終在固定射線DM上并隨k的增大向上運動，
∵當(dāng)且僅當(dāng)k>2時，M點在矩形EOGF的外部，
∴k=2時，M點在矩形EOGF上，即點M在EF上，
設(shè)OB=b，則，OA=OC=mb，DG=DM=kb=2b，OG=(k+1)b=3b，OE=m(k+1)b=3mb，GH=HM=mkb=2mb，
∴FH=OE?GH=m(k+1)b?mkb=mb，
過點D作DN⊥EF于點N，
∵∠FHM+∠FMH=∠FMH+∠DMN，
∴∠FHM=∠DMN，
∵∠F=∠DNM=90°，
∴△MFH∽△DNM，
∴FHMN=MHDM，
∴mbMN=2mb2b，
∴MN=b，
∵DM2=DN2+MN2，
∴(2b)2=(3mb)2+b2，
解得，m=33，或m=?33(舍)，
故m=33．
7.(2022·四川省成都市)在矩形ABCD的CD邊上取一點E，將△BCE沿BE翻折，使點C恰好落在AD邊上點F處．
(1)如圖1，若BC=2BA，求∠CBE的度數(shù)；
(2)如圖2，當(dāng)AB=5，且AF?FD=10時，求BC的長；
(3)如圖3，延長EF，與∠ABF的角平分線交于點M，BM交AD于點N，當(dāng)NF=AN+FD時，求ABBC的值．
【答案】解：(1)∵將△BCE沿BE翻折，使點C恰好落在AD邊上點F處，
∴BC=BF，∠FBE=∠EBC，
∵BC=2AB，
∴BF=2AB，
∴∠AFB=30°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴∠AFB=∠CBF=30°，
∴∠CBE=12∠FBC=15°；
(2)∵將△BCE沿BE翻折，使點C恰好落在AD邊上點F處，
∴∠BFE=∠C=90°，CE=EF，
又∵矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠AFB+∠DFE=90°，∠DEF+∠DFE=90°，
∴∠AFB=∠DEF，
∴△FAB∽△EDF，
∴AFDE=ABDF，
∴AF?DF=AB?DE，
∵AF?DF=10，AB=5，
∴DE=2，
∴CE=DC?DE=5?2=3，
∴EF=3，
∴DF=EF2?DE2=32?22=5，
∴AF=105=25，
∴BC=AD=AF+DF=25+5=35．
(3)過點N作NG⊥BF于點G，
∵NF=AN+FD，
∴NF=12AD=12BC，
∵BC=BF，
∴NF=12BF，
∵∠NFG=∠AFB，∠NGF=∠BAF=90°，
∴△NFG∽△BFA，
∴NGAB=FGFA=NFBF=12，
設(shè)AN=x，
∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，
∴AN=NG=x，AB=BG=2x，
設(shè)FG=y，則AF=2y，
∵AB2+AF2=BF2，
∴(2x)2+(2y)2=(2x+y)2，
解得y=43x.∴BF=BG+GF=2x+43x=103x.
∴ABBC=ABBF=2x103x=35．
8.(2020·四川省資陽市)在矩形ABCD中，點E是對角線AC上一動點，連接DE，過點E作EF⊥DE交AB于點F．
(1)如圖1，當(dāng)DE=DA時，求證：AF=EF；
(2)如圖2，點E在運動過程中DEEF的值是否發(fā)生變化？請說明理由；
(3)如圖3，若點F為AB的中點，連接DF交AC于點G，將△GEF沿EF翻折得到△HEF，連接DH交EF于點K，當(dāng)AD=2，CD=23時，求KH的長．
【答案】(1)證明：如圖，連接DF，在矩形ABCD中，∠DAF=90°，
又∵DE⊥EF，
∴∠DEF=90°，
∵AD=DE，DF=DF，
∴Rt△DAF≌Rt△DEF(HL)，
∴AF=EF；
(2)解：DEEF的值不變；
如圖，過點E作EM⊥AD于點M，過點E作EN⊥AB于點N，
∴四邊形ANEM是矩形，
∴EN=AM，
∵∠EAM=∠CAD，∠EMA=∠CDA．
∴△EAM∽△CAD，
∴AMAD=EMCD，即EMEN=CDAD①，
∵∠DEF=∠MEN=90°，
∴∠DEM=∠FEN，
又∵∠DME=∠ENF=90°，
∴△DME∽△FNE，
∴DEEF=EMEN②，
由①②可得DEEF=DCAD，
∵AD與DC的長度不變，
∴DEEF的長度不變；
(3)連接GH交EF于點I，
∵點F是AB的中點，
∴AF=3，
在Rt△ADF中，DF=DA2+AF2=22+(3)2=7，
由(2)知DEEF=DCAD=232=3，
∴DE=3EF，
在Rt△DEF中，EF=72，DE=212，
又∵AB//DC，
∴△AGF∽△CGD，
∴DGGF=DCAF=2，
∴GFDF=13，
由折疊的性質(zhì)可知GI=IH，GH⊥EF，
又∵DE⊥EF，
∴GH//DE，
∴△GFI∽△DFE，
∴GIDE=FIEF=GFDF=13，
∴EI=23EF=73，GI=IH=216，
又∵GH//DE，
∴△DEK∽△HIK，
∴KIEK=IHDE=13，
∴KI=14EI=712，
∴HK=IH2+KI2=9112．
9.（2021·浙江紹興市·中考真題）問題：如圖，在中，，，，的平分線AE，BF分別與直線CD交于點E，F(xiàn)，求EF的長．
答案：．
探究：（1）把“問題”中的條件“”去掉，其余條件不變．
①當(dāng)點E與點F重合時，求AB的長；
②當(dāng)點E與點C重合時，求EF的長．
（2）把“問題”中的條件“，”去掉，其余條件不變，當(dāng)點C，D，E，F(xiàn)相鄰兩點間的距離相等時，求的值．
【答案】（1）①10；②5；（2），，
【分析】
（1）①利用平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義先分別求出，，即可完成求解；
②證明出即可完成求解；
（2）本小題由于E、F點的位置不確定，故應(yīng)先分情況討論，再根據(jù)每種情況，利用 ，以及點 C，D，E，F(xiàn)相鄰兩點間的距離相等建立相等關(guān)系求解即可．
【詳解】
（1）①如圖1，四邊形ABCD是平行四邊形，
，
．
平分，
．
．
．
同理可得：．
點E與點F重合，
．
②如圖2，點E與點C重合，
同理可證，
∴?ABCD 是菱形，
，
點F與點D重合，
．
（2）情況1，如圖3，
可得，
．
情況2，如圖4，
同理可得，，
又，
．
情況3，如圖5，
由上，同理可以得到，
又，
．
綜上：的值可以是，，．
【點睛】
本題屬于探究型應(yīng)用題，綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義、菱形的判定與性質(zhì)等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，正確畫出圖形，建立相等關(guān)系求解等，本題綜合性較強(qiáng)，要求學(xué)生有較強(qiáng)的分析能力，本題涉及到的思想方法有分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想等．
10.（2021·浙江麗水市·中考真題）如圖，在菱形中，是銳角，E是邊上的動點，將射線繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，交直線于點F．
（1）當(dāng)時，
①求證：；
②連結(jié)，若，求的值；
（2）當(dāng)時，延長交射線于點M，延長交射線于點N，連結(jié)，若，則當(dāng)為何值時，是等腰三角形．
【答案】（1）①見解析；②；（2）當(dāng)或2或時，是等腰三角形．
【分析】
（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到邊相等，對角相等，根據(jù)已知條件證明出，得到，由，，得到AC是EF的垂直平分線，得到，，再根據(jù)已知條件證明出，算出面積之比；
（2）等腰三角形的存在性問題，分為三種情況：當(dāng)時，，得到CE= ；當(dāng)時，，得到CE=2；當(dāng)時，，得到CE= ．
【詳解】
（1）①證明：在菱形中，
，
，
，
，
∴（ASA），
∴．
②解：如圖1，連結(jié)．
由①知，，
．
在菱形中，，
∴，
設(shè)，則．
，
∴，
∴，
∴．
（2）解：在菱形中，，
，
，
同理，，
∴．
是等腰三角形有三種情況：
①如圖2，當(dāng)時，，
，
，
，
．
②如圖3，當(dāng)時，
，
，
，
∴．
③如圖4，當(dāng)時，
，
，
，
．
綜上所述，當(dāng)或2或時，是等腰三角形．
【點睛】
本題主要考查了菱形的基本性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形中等腰三角形的存在性問題，解決本題的關(guān)鍵在于畫出三種情況的等腰三角形（利用兩圓一中垂），通過證明三角形相似，利用相似比求出所需線段的長．
11.（2021·四川眉山市·中考真題）如圖，在等腰直角三角形中，，，邊長為2的正方形的對角線交點與點重合，連接，．
（1）求證：；
（2）當(dāng)點在內(nèi)部，且時，設(shè)與相交于點，求的長；
（3）將正方形繞點旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)點、、三點在同一直線上時，請直接寫出的長．
【答案】（1）見詳解；（2）；（3）-1或+1
【分析】
（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)得∠ACD=∠BCE，，CD=CE，進(jìn)而即可得到結(jié)論；
（2）先求出DC=，AD=，再證明，進(jìn)而即可求解；
（3）分兩種情況：①當(dāng)點D在線段AE上時，過點C作CM⊥AE，②當(dāng)點E在線段AD上時，過點C作CM⊥AD，分別求解，即可．
【詳解】
解：（1）∵在等腰直角三角形中， ，，在正方形中，CD=CE，∠DCE=90°，
∴∠DCE-∠BCD=∠ACB-∠BCD，即：∠ACD=∠BCE，
∴；
（2）∵正方形的邊長為2，
∴DC=GC=2÷=，
∵，
∴AD=，
∵∠GDE=，
∴∠ADM=∠CDE=45°，
∴∠ADM=∠CGM=45°，即：AD∥CG，
∴，
∴，即：，
∴AM=；
（3）①當(dāng)點D在線段AE上時，過點C作CM⊥AE，如圖，
∵正方形的邊長為2，
∴CM=DM=2÷2=1，AM=，
∴AD=AM-DM=-1；
②當(dāng)點E在線段AD上時，過點C作CM⊥AD，如圖，
同理可得：CM=DM=2÷2=1，AM=，
∴AD=AM+DM=+1．
綜上所述：AM=-1或+1
【點睛】
本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，畫出圖形，添加合適的輔助線，是解題的關(guān)鍵．
12.（2021·浙江嘉興市·中考真題）小王在學(xué)習(xí)浙教版九上課本第72頁例2后，進(jìn)一步開展探究活動：將一個矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形
[探究1]如圖1，當(dāng)時，點恰好在延長線上．若，求BC的長．
[探究2]如圖2，連結(jié)，過點作交于點．線段與相等嗎？請說明理由．
[探究3]在探究2的條件下，射線分別交，于點，（如圖3），，存在一定的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
【答案】[探究1]；[探究2]，證明見解析；[探究3]，證明見解析
【分析】
[探究1] 設(shè)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)和矩形的性質(zhì)得出，從而得出，得出比例式，列出方程解方程即可；
[探究2] 先利用SAS得出，得出，，再結(jié)合已知條件得出，即可得出；
[探究3] 連結(jié)，先利用SSS得出，從而證得，再利用兩角對應(yīng)相等得出，得出即可得出結(jié)論．
【詳解】
[探究1]如圖1，
設(shè)．
∵矩形繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到矩形，
∴點，，在同一直線上．
∴，，
∴．
∵，
∴．
又∵點在延長線上，
∴，
∴，∴．
解得，（不合題意，舍去）
∴．
[探究2] ．
證明：如圖2，連結(jié)．
∵，
∴．
∵，，，
∴．
∴，，
∵，，
∴，
∴．
[探究3]關(guān)系式為．
證明：如圖3，連結(jié)．
∵，，，
∴．
∴，
∵，
，
∴，
∴．
在與中，
，，
∴，
∴，
∴．
∴．
【點睛】
本題考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程等，解題的關(guān)鍵是靈活運用這些知識解決問題．
13.（2021·遼寧本溪市·中考真題）在?中，，平分，交對角線于點G，交射線于點E，將線段繞點E順時針旋轉(zhuǎn)得線段．
（1）如圖1，當(dāng)時，連接，請直接寫出線段和線段的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，當(dāng)時，過點B作于點，連接，請寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）當(dāng)時，連接，若，請直接寫出與面積的比值．
【答案】（1）；（2）,理由見解析；（3）
【分析】
（1）延長，交于點，根據(jù)已知條件證明即可；
（2）連接，過F作交的延長線于點，由，得，在由 三邊關(guān)系利用勾股定理可得；
（3）證明，得值，與的面積分別與的面積成比例，可得與面積的比值．
【詳解】
（1）如圖,延長，交于點，
由題意，將線段繞點E順時針旋轉(zhuǎn)，
四邊形是平行四邊形
四邊形是平行四邊形
平分
四邊形是菱形
是等邊三角形
,
，，
四邊形是平行四邊形
=
在和中
．
（2）連接，過F作交的延長線于點
四邊形是矩形，
，，
，
平分
四邊形是矩形
在和中
設(shè)
則
在中
即
整理得：
．
（3）如圖
由（1）可知
平分
四邊形是平行四邊形
．
【點睛】
本題考查了軸對稱的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形相似，勾股定理，銳角三角函數(shù)，相似比的概念，平行四邊形的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，知識點比較多，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．
14.（2021·湖北宜昌市·中考真題）如圖，在矩形中，是邊上一點，，，垂足為．將四邊形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到四邊形．所在的直線分別交直線于點，交直線于點，交于點．所在的直線分別交直線于點，交直線于點，連接交于點．
（1）如圖1，求證：四邊形是正方形；
（2）如圖2，當(dāng)點和點重合時．
①求證：；
②若，，求線段的長；
（3）如圖3，若交于點，，求的值．
【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②；（3）
【分析】
（1）先利用三個角是直角的四邊形是矩形證明，再根據(jù)證得結(jié)論；
（2）①證明即可得到結(jié)論；
②方法一：設(shè)正方形邊長為，根據(jù)，求出，利用勾股定理得到，求出a，得到，，根據(jù)∽△CKG，求出KG，再根據(jù)，求出答案；
方法二：過點作于點，根據(jù)，求出，由，，再利用勾股定理求得結(jié)果；
（3）方法一：延長與的延長線交于點，證明，求出，設(shè)，，則，證明，求得，由，求出，利用，求出，即可得到答案；
方法二，過點作，垂足為點．設(shè)，則，，求得，證明，求出，再證明，求出答案；
方法三：設(shè)與交于點，設(shè)，則，，證明，得到，根據(jù)，求出答案．
【詳解】
（1）在矩形中，，
∵，則，
∴四邊形是矩形．
∵，
∴矩形是正方形．
（2）①如圖1，
∵，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
②方法一：設(shè)正方形邊長為，
∵PG∥，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴．
∴，，
∵，
∴∽△CKG，
∴,
∴,
∵，
∴△B’CK≌△E’KD，
∴DK=KC，
又∵∠DKP=∠GKC，∠P=∠G，
∴，
∴PG=KG，
∴；
方法二：如圖2，過點作于點，
由，
可得：，
由方法一，可知，
∴，
由方法一，可知為中點，從而，，
從而由勾股定理得．
（3）方法一：如圖3，延長與的延長線交于點，
由題意可知，，，
∴，，
∴，
設(shè)，，則，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
方法二，如圖4，過點作，垂足為點．
由題意可知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，，
∴，，則，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
方法三：如圖5，設(shè)與交于點，
設(shè)，則，，
由題意可知，，，，
∴，
∴，
由方法（2）可知，，
所以，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點睛】
此題考查正方形的判定定理及性質(zhì)定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，綜合掌握各知識點并熟練應(yīng)用解決問題是解題的關(guān)鍵．
15.（2021·湖南婁底市·中考真題）如圖①，是等腰的斜邊上的兩動點，且．
（1）求證：；
（2）求證：；
（3）如圖②，作，垂足為H，設(shè)，不妨設(shè)，請利用（2）的結(jié)論證明：當(dāng)時，成立．
【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解；（3）證明見詳解．
【分析】
（1）△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，由CD⊥BC，可求∠DCA=∠ABE即可；
（2）由△ABE≌△ACD，可得∠FAD=∠EAF，可證△AEF≌△ADF（SAS），可得EF=DF，在Rt△CDF中，根據(jù)勾股定理，即可；
（3）將△ABE逆時針繞點A旋轉(zhuǎn)90°到△ACD，由△ABC為等腰直角三角形，可求∠DCF=90°，由，在Rt△ABC中由勾股定理，由AH⊥BC，可求BH=CH=AH=，可表示EF= tanα+ tanβ,BE =1-tanα,CF= 1-tanβ，可證△AEF≌△ADF（SAS），得到EF=DF，由可得，整理即得結(jié)論．
【詳解】
（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵CD⊥BC，
∴∠DCB=90°，
∴∠DCA=90°-∠ACB=90°-45°=45°=∠ABE，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
（2）證明∵△ABE≌△ACD，
∴∠BAE=∠CAD，AE=AD，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠FAC=90°-∠EAF=90°-45°=45°，
∴∠FAD=∠FAC+∠CAD=∠FAC+∠BAE=45°=∠EAF，
在△AEF和△ADF中，
，
∴△AEF≌△ADF（SAS），
∴EF=DF，
在Rt△CDF中，根據(jù)勾股定理，
，
即；
（3）證明：將△ABE逆時針繞點A旋轉(zhuǎn)90°到△ACD，連結(jié)FD，
∴∠BAE=∠CAD，BE=CD，AE=AD，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∠ACB=∠B=∠ACD=45°，∠DCF=∠DCA+∠ACF=45°+45°=90°，
∵，
∴AC= ，
在Rt△ABC中由勾股定理
∵AH⊥BC，
∴BH=CH=AH=，
∴EF=EH+FH=AHtanα+AH tanβ= tanα+ tanβ,BE=BH-EH=1-tanα,CF=CH-HF=1-tanβ，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠CAF=90°-∠EAF=45°，
∴∠DAF=∠DAC+∠CAF=∠BAE+∠CAF=45°=∠EAF，
在△AEF和△ADF中，
，
∴△AEF≌△ADF（SAS），
∴EF=DF，
在Rt△CDF中，即，
∴，
整理得，
即，
∴，
∴，
∴．
【點睛】
本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形旋轉(zhuǎn)變換，勾股定理，銳角三角函數(shù)及其公式推導(dǎo)，掌握上述知識、靈活應(yīng)用全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
16.（2021·江蘇宿遷市·中考真題）已知正方形ABCD與正方形AEFG，正方形AEFG繞點A旋轉(zhuǎn)一周．
(1)如圖①，連接BG、CF，求的值；
(2)當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至圖②位置時，連接CF、BE，分別去CF、BE的中點M、N，連接MN、試探究：MN與BE的關(guān)系，并說明理由；
(3)連接BE、BF，分別取BE、BF的中點N、Q，連接QN，AE=6，請直接寫出線段QN掃過的面積．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)聯(lián)想到連接，證明即可求解；
（2）由M、N分別是CF、BE的中點，聯(lián)想到中位線，故想到連接BM并延長使BM=MH，連接FH、EH，則可證即可得到，再由四邊形內(nèi)角和為可得，則可證明，即是等腰直角三角形，最后利用中位線的性質(zhì)即可求解；
（3）Q、N兩點因旋轉(zhuǎn)位置發(fā)生改變，所以Q、N兩點的軌跡是圓，又Q、N兩點分別是BF、BE中點，所以想到取AB的中點O，結(jié)合三角形中位線和圓環(huán)面積的求解即可解答．
【詳解】
解：（1）連接
四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形
分別平分
即
且都是等腰直角三角形
（2）連接BM并延長使BM=MH，連接FH、EH
是CF的中點
又
在四邊形BEFC中
又
即
即
又四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形
三角形BEH是等腰直角三角形
M、N分別是BH、BE的中點
（3）取AB的中點O，連接OQ、ON，連接AF
在中，O、Q分別是AB、BF的中點
同理可得
所以QN掃過的面積是以O(shè)為圓心，和為半徑的圓環(huán)的面積
．
【點睛】
本題考察旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形相似、三角形全等、正方形的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)與應(yīng)用和動點問題，屬于幾何綜合題，難度較大．解題的關(guān)鍵是通過相關(guān)圖形的性質(zhì)做出輔助線．
17.（2021·四川眉山市·中考真題）如圖，在等腰直角三角形中，，，邊長為2的正方形的對角線交點與點重合，連接，．
（1）求證：；
（2）當(dāng)點在內(nèi)部，且時，設(shè)與相交于點，求的長；
（3）將正方形繞點旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)點、、三點在同一直線上時，請直接寫出的長．
【答案】（1）見詳解；（2）；（3）-1或+1
【分析】
（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)得∠ACD=∠BCE，，CD=CE，進(jìn)而即可得到結(jié)論；
（2）先求出DC=，AD=，再證明，進(jìn)而即可求解；
（3）分兩種情況：①當(dāng)點D在線段AE上時，過點C作CM⊥AE，②當(dāng)點E在線段AD上時，過點C作CM⊥AD，分別求解，即可．
【詳解】
解：（1）∵在等腰直角三角形中， ，，在正方形中，CD=CE，∠DCE=90°，
∴∠DCE-∠BCD=∠ACB-∠BCD，即：∠ACD=∠BCE，
∴；
（2）∵正方形的邊長為2，
∴DC=GC=2÷=，
∵，
∴AD=，
∵∠GDE=，
∴∠ADM=∠CDE=45°，
∴∠ADM=∠CGM=45°，即：AD∥CG，
∴，
∴，即：，
∴AM=；
（3）①當(dāng)點D在線段AE上時，過點C作CM⊥AE，如圖，
∵正方形的邊長為2，
∴CM=DM=2÷2=1，AM=，
∴AD=AM-DM=-1；
②當(dāng)點E在線段AD上時，過點C作CM⊥AD，如圖，
同理可得：CM=DM=2÷2=1，AM=，
∴AD=AM+DM=+1．
綜上所述：AM=-1或+1
【點睛】
本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，畫出圖形，添加合適的輔助線，是解題的關(guān)鍵．
（2021·湖北隨州市·中考真題）等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法．它是利用“同18.一個圖形的面積相等”、“分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積”、“同底等高或等底同高的兩個三角形面積相等”等性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題，在解題中，靈活運用等面積法解決相關(guān)問題，可以使解題思路清晰，解題過程簡便快捷．
（1）在直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4，則該直角三角形斜邊上的高的長為_____，其內(nèi)切圓的半徑長為______；
（2）①如圖1，是邊長為的正內(nèi)任意一點，點為的中心，設(shè)點到各邊距離分別為，，，連接，，，由等面積法，易知，可得_____；（結(jié)果用含的式子表示）
②如圖2，是邊長為的正五邊形內(nèi)任意一點，設(shè)點到五邊形各邊距離分別為，，，，，參照①的探索過程，試用含的式子表示的值．（參考數(shù)據(jù)：，）
（3）①如圖3，已知的半徑為2，點為外一點，，切于點，弦，連接，則圖中陰影部分的面積為______；（結(jié)果保留）
②如圖4，現(xiàn)有六邊形花壇，由于修路等原因需將花壇進(jìn)行改造．若要將花壇形狀改造成五邊形，其中點在的延長線上，且要保證改造前后花壇的面積不變，試確定點的位置，并說明理由．
【答案】（1），1；（2）①；②；（3）①；②見解析．
【分析】
（1）根據(jù)等積法解得直角三角形斜邊上的高的長，及利用內(nèi)切圓的性質(zhì)解題即可；
（2）①先求得邊長為的正的面積，再根據(jù)解題即可；②設(shè)點為正五邊形的中心，連接，，過作于，先由正切定義，解得的長，由①中結(jié)論知，，繼而得到，據(jù)此解題；
（3）①由切線性質(zhì)解得，再由平行線性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)解得，根據(jù)平行線間的距離相等，及同底等高或等底同高的兩個三角形面積相等的性質(zhì)，可知圖中陰影部分的面積等于扇形OBC的面積，最后根據(jù)扇形面積公式解題；②連接，過點作交的延長線于點，根據(jù)，據(jù)此解題．
【詳解】
解：（1）直角三角形的面積為：，
直角三角形斜邊為：，
設(shè)直角三角形斜邊上的高為，則
設(shè)直角三角形內(nèi)切圓的半徑為，則
，
故答案為：，1；
（2）①邊長為的正底邊的高為，面積為：
，
故答案為：；
②類比①中方法可知，
設(shè)點為正五邊形的中心，連接，，
由①得，
過作于，，
故，，
故，從而得到：
．
（3）①是的切線，
過點作
，
是的高，
故答案為：；
②如圖，連接，過點作交的延長線于點，則點即為所求，
連接，∵，
∵，
∴，
∴．
【點睛】
本題考查正多邊形和圓的知識，涉及含30°角的直角三角形、正切、切線的性質(zhì)、扇形面積公式、平行線的性質(zhì)等知識，是重要考點，有難度，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．

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