1.（2022·湖北荊州）某企業(yè)投入60萬(wàn)元（只計(jì)入第一年成本）生產(chǎn)某種產(chǎn)品，按網(wǎng)上訂單生產(chǎn)并銷售（生產(chǎn)量等于銷售量）．經(jīng)測(cè)算，該產(chǎn)品網(wǎng)上每年的銷售量y（萬(wàn)件）與售價(jià)x（元/件）之間滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝24－x，第一年除60萬(wàn)元外其他成本為8元/件．
(1)求該產(chǎn)品第一年的利潤(rùn)w（萬(wàn)元）與售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)該產(chǎn)品第一年利潤(rùn)為4萬(wàn)元，第二年將它全部作為技改資金再次投入（只計(jì)入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．①求該產(chǎn)品第一年的售價(jià)；②若第二年售價(jià)不高于第一年，銷售量不超過(guò)13萬(wàn)件，則第二年利潤(rùn)最少是多少萬(wàn)元？
2.（2022·山東濱州）某種商品每件的進(jìn)價(jià)為10元，若每件按20元的價(jià)格銷售，則每月能賣出360件；若每件按30元的價(jià)格銷售，則每月能賣出60件．假定每月的銷售件數(shù)y是銷售價(jià)格x（單位：元）的一次函數(shù)．
(1)求y關(guān)于x的一次函數(shù)解析式；
(2)當(dāng)銷售價(jià)格定為多少元時(shí)，每月獲得的利潤(rùn)最大？并求此最大利潤(rùn)．
3.（2021·湖北武漢市·中考真題）在“鄉(xiāng)村振興”行動(dòng)中，某村辦企業(yè)以，兩種農(nóng)作物為原料開(kāi)發(fā)了一種有機(jī)產(chǎn)品，原料的單價(jià)是原料單價(jià)的1.5倍，若用900元收購(gòu)原料會(huì)比用900元收購(gòu)原料少．生產(chǎn)該產(chǎn)品每盒需要原料和原料，每盒還需其他成本9元．市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該產(chǎn)品每盒的售價(jià)是60元時(shí)，每天可以銷售500盒；每漲價(jià)1元，每天少銷售10盒．
（1）求每盒產(chǎn)品的成本（成本＝原料費(fèi)＋其他成本）；
（2）設(shè)每盒產(chǎn)品的售價(jià)是元（是整數(shù)），每天的利潤(rùn)是元，求關(guān)于的函數(shù)解析式（不需要寫(xiě)出自變量的取值范圍）；
（3）若每盒產(chǎn)品的售價(jià)不超過(guò)元（是大于60的常數(shù)，且是整數(shù)），直接寫(xiě)出每天的最大利潤(rùn)．
4.（2021·四川南充市·中考真題）超市購(gòu)進(jìn)某種蘋(píng)果，如果進(jìn)價(jià)增加2元/千克要用300元；如果進(jìn)價(jià)減少2元/千克，同樣數(shù)量的蘋(píng)果只用200元．
（1）求蘋(píng)果的進(jìn)價(jià)．
（2）如果購(gòu)進(jìn)這種蘋(píng)果不超過(guò)100千克，就按原價(jià)購(gòu)進(jìn)；如果購(gòu)進(jìn)蘋(píng)果超過(guò)100千克，超過(guò)部分購(gòu)進(jìn)價(jià)格減少2元/千克．寫(xiě)出購(gòu)進(jìn)蘋(píng)果的支出y（元）與購(gòu)進(jìn)數(shù)量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）超市一天購(gòu)進(jìn)蘋(píng)果數(shù)量不超過(guò)300千克，且購(gòu)進(jìn)蘋(píng)果當(dāng)天全部銷售完．據(jù)統(tǒng)計(jì)，銷售單價(jià)z（元/千克）與一天銷售數(shù)量x（千克）的關(guān)系為．在（2）的條件下，要使超市銷售蘋(píng)果利潤(rùn)w（元）最大，求一天購(gòu)進(jìn)蘋(píng)果數(shù)量．（利潤(rùn)＝銷售收入購(gòu)進(jìn)支出）
5.（2021·四川遂寧市·中考真題）某服裝店以每件30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批T恤，如果以每件40元出售，那么一個(gè)月內(nèi)能售出300件，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)，銷售單價(jià)每提高1元，銷售量就會(huì)減少10件，設(shè)T恤的銷售單價(jià)提高元．
（1）服裝店希望一個(gè)月內(nèi)銷售該種T恤能獲得利潤(rùn)3360元，并且盡可能減少庫(kù)存，問(wèn)T恤的銷售單價(jià)應(yīng)提高多少元？
（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，該服裝店一個(gè)月內(nèi)銷售這種T恤獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？
6.（2021·四川達(dá)州市·中考真題）渠縣是全國(guó)優(yōu)質(zhì)黃花主產(chǎn)地，某加工廠加工黃花的成本為30元/千克，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，批發(fā)價(jià)定為48元/千克時(shí)，每天可銷售500千克．為增大市場(chǎng)占有率，在保證盈利的情況下，工廠采取降價(jià)措施．批發(fā)價(jià)每千克降低1元，每天銷量可增加50千克．
（1）寫(xiě)出工廠每天的利潤(rùn)元與降價(jià)元之間的函數(shù)關(guān)系．當(dāng)降價(jià)2元時(shí)，工廠每天的利潤(rùn)為多少元？
（2）當(dāng)降價(jià)多少元時(shí)，工廠每天的利潤(rùn)最大，最大為多少元？
（3）若工廠每天的利潤(rùn)要達(dá)到9750元，并讓利于民，則定價(jià)應(yīng)為多少元？
7.（2021·湖南懷化市·中考真題）某超市從廠家購(gòu)進(jìn)A、B兩種型號(hào)的水杯，兩次購(gòu)進(jìn)水杯的情況如下表：
（1）求A、B兩種型號(hào)的水杯進(jìn)價(jià)各是多少元？
（2）在銷售過(guò)程中，A型水杯因?yàn)槲锩纼r(jià)廉而更受消費(fèi)者喜歡．為了增大B型水杯的銷售量，超市決定對(duì)B型水杯進(jìn)行降價(jià)銷售，當(dāng)銷售價(jià)為44元時(shí)，每天可以售出20個(gè)，每降價(jià)1元，每天將多售出5個(gè)，請(qǐng)問(wèn)超市應(yīng)將B型水杯降價(jià)多少元時(shí)，每天售出B型水杯的利潤(rùn)達(dá)到最大？最大利潤(rùn)是多少？
（3）第三次進(jìn)貨用10000元錢(qián)購(gòu)進(jìn)這兩種水杯，如果每銷售出一個(gè)A型水杯可獲利10元，售出一個(gè)B型水杯可獲利9元，超市決定每售出一個(gè)A型水杯就為當(dāng)?shù)亍靶鹿谝咔榉揽亍本鑒元用于購(gòu)買防控物資．若A、B兩種型號(hào)的水杯在全部售出的情況下，捐款后所得的利潤(rùn)始終不變，此時(shí)b為多少？利潤(rùn)為多少？
8.（2021·浙江中考真題）今年以來(lái)，我市接待的游客人數(shù)逐月增加，據(jù)統(tǒng)計(jì)，游玩某景區(qū)的游客人數(shù)三月份為4萬(wàn)人，五月份為5.76萬(wàn)人．
（1）求四月和五月這兩個(gè)月中，該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長(zhǎng)百分之幾；
（2）若該景區(qū)僅有兩個(gè)景點(diǎn)，售票處出示的三種購(gòu)票方式如表所示：
據(jù)預(yù)測(cè)，六月份選擇甲、乙、丙三種購(gòu)票方式的人數(shù)分別有2萬(wàn)、3萬(wàn)和2萬(wàn)．并且當(dāng)甲、乙兩種門(mén)票價(jià)格不變時(shí)，丙種門(mén)票價(jià)格每下降1元，將有600人原計(jì)劃購(gòu)買甲種門(mén)票的游客和400人原計(jì)劃購(gòu)買乙種門(mén)票的游客改為購(gòu)買丙種門(mén)票．
①若丙種門(mén)票價(jià)格下降10元，求景區(qū)六月份的門(mén)票總收入；
②問(wèn)：將丙種門(mén)票價(jià)格下降多少元時(shí)，景區(qū)六月份的門(mén)票總收入有最大值？最大值是多少萬(wàn)元？
9.（2021·湖北武漢市·中考真題）在“鄉(xiāng)村振興”行動(dòng)中，某村辦企業(yè)以，兩種農(nóng)作物為原料開(kāi)發(fā)了一種有機(jī)產(chǎn)品，原料的單價(jià)是原料單價(jià)的1.5倍，若用900元收購(gòu)原料會(huì)比用900元收購(gòu)原料少．生產(chǎn)該產(chǎn)品每盒需要原料和原料，每盒還需其他成本9元．市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該產(chǎn)品每盒的售價(jià)是60元時(shí)，每天可以銷售500盒；每漲價(jià)1元，每天少銷售10盒．
（1）求每盒產(chǎn)品的成本（成本＝原料費(fèi)＋其他成本）；
（2）設(shè)每盒產(chǎn)品的售價(jià)是元（是整數(shù)），每天的利潤(rùn)是元，求關(guān)于的函數(shù)解析式（不需要寫(xiě)出自變量的取值范圍）；
（3）若每盒產(chǎn)品的售價(jià)不超過(guò)元（是大于60的常數(shù)，且是整數(shù)），直接寫(xiě)出每天的最大利潤(rùn)．
10.（2020?成都）在“新冠”疫情期間，全國(guó)人民“眾志成城，同心抗疫”，某商家決定將一個(gè)月獲得的利潤(rùn)全部捐贈(zèng)給社區(qū)用于抗疫．已知商家購(gòu)進(jìn)一批產(chǎn)品，成本為10元/件，擬采取線上和線下兩種方式進(jìn)行銷售．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，線下的月銷量y（單位：件）與線下售價(jià)x（單位：元/件，12≤x＜24）滿足一次函數(shù)的關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若線上售價(jià)始終比線下每件便宜2元，且線上的月銷量固定為400件．試問(wèn)：當(dāng)x為多少時(shí)，線上和線下月利潤(rùn)總和達(dá)到最大？并求出此時(shí)的最大利潤(rùn)．
11．（2020?濱州）某水果商店銷售一種進(jìn)價(jià)為40元/千克的優(yōu)質(zhì)水果，若售價(jià)為50元/千克，則一個(gè)月可售出500千克；若售價(jià)在50元/千克的基礎(chǔ)上每漲價(jià)1元，則月銷售量就減少10千克．
（1）當(dāng)售價(jià)為55元/千克時(shí)，每月銷售水果多少千克？
（2）當(dāng)月利潤(rùn)為8750元時(shí)，每千克水果售價(jià)為多少元？
（3）當(dāng)每千克水果售價(jià)為多少元時(shí)，獲得的月利潤(rùn)最大？
12．（2020?甘孜州）某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，每周的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系可以近似看作一次函數(shù)y＝kx+b，且當(dāng)售價(jià)定為50元/件時(shí)，每周銷售30件，當(dāng)售價(jià)定為70元/件時(shí)，每周銷售10件．
（1）求k，b的值；
（2）求銷售該商品每周的利潤(rùn)w（元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)解析式，并求出銷售該商品每周可獲得的最大利潤(rùn)．
13.（2020?南充）某工廠計(jì)劃在每個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)并銷售完某型設(shè)備，設(shè)備的生產(chǎn)成本為10萬(wàn)元/件．
（1）如圖，設(shè)第x（0＜x≤20）個(gè)生產(chǎn)周期設(shè)備售價(jià)z萬(wàn)元/件，z與x之間的關(guān)系用圖中的函數(shù)圖象表示．求z關(guān)于x的函數(shù)解析式（寫(xiě)出x的范圍）．
（2）設(shè)第x個(gè)生產(chǎn)周期生產(chǎn)并銷售的設(shè)備為y件，y與x滿足關(guān)系式y(tǒng)＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的條件下，工廠第幾個(gè)生產(chǎn)周期創(chuàng)造的利潤(rùn)最大？最大為多少萬(wàn)元？（利潤(rùn)＝收入﹣成本）
14.（2020?黔東南州）黔東南州某超市購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，已知購(gòu)進(jìn)3件甲商品和2件乙商品，需60元；購(gòu)進(jìn)2件甲商品和3件乙商品，需65元．
（1）甲、乙兩種商品的進(jìn)貨單價(jià)分別是多少？
（2）設(shè)甲商品的銷售單價(jià)為x（單位：元/件），在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)11≤x≤19時(shí)，甲商品的日銷售量y（單位：件）與銷售單價(jià)x之間存在一次函數(shù)關(guān)系，x、y之間的部分?jǐn)?shù)值對(duì)應(yīng)關(guān)系如表：
請(qǐng)寫(xiě)出當(dāng)11≤x≤19時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）在（2）的條件下，設(shè)甲商品的日銷售利潤(rùn)為w元，當(dāng)甲商品的銷售單價(jià)x（元/件）定為多少時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
類型二拋物線型問(wèn)題
15.（2022·陜西）現(xiàn)要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段表示水平的路面，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為x軸，以過(guò)點(diǎn)O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．根據(jù)設(shè)計(jì)要求：，該拋物線的頂點(diǎn)P到的距離為．
(1)求滿足設(shè)計(jì)要求的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)現(xiàn)需在這一隧道內(nèi)壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線上的點(diǎn)A、B處分別安裝照明燈．已知點(diǎn)A、B到的距離均為，求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．
16.如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+c與x軸正半軸，y軸正半軸分別交于點(diǎn)A，B，且OA＝OB，點(diǎn)G為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)M，N為拋物線上兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），且到對(duì)稱軸的距離分別為3個(gè)單位長(zhǎng)度和5個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q為拋物線上點(diǎn)M，N之間（含點(diǎn)M，N）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)yQ的取值范圍．
17.在平面直角坐標(biāo)系xy中，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（－1，0）和點(diǎn)B（0，3），頂點(diǎn)為C，點(diǎn)D在其對(duì)稱軸上，且位于點(diǎn)C下方，將線段DC繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，點(diǎn)C落在拋物線上的點(diǎn)P處．
(1)求拋物線的解析式；
(2)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)將拋物線平移，使其頂點(diǎn)落在原點(diǎn)O，這時(shí)點(diǎn)P落在點(diǎn)E的位置，在y軸上是否存在點(diǎn)M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
18.已知函數(shù)（，為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn).
（1）求，滿足的關(guān)系式；
（2）設(shè)該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，當(dāng)?shù)闹底兓瘯r(shí)，求關(guān)于的函數(shù)解析式；
（3）若該函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值之差為16，求的值．
19.甲秀樓是貴陽(yáng)市一張靚麗的名片．如圖①，甲秀樓的橋拱截面可視為拋物線的一部分，在某一時(shí)刻，橋拱內(nèi)的水面寬，橋拱頂點(diǎn)到水面的距離是．
（1）按如圖②所示建立平面直角坐標(biāo)系，求橋拱部分拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）一只寬為的打撈船徑直向橋駛來(lái)，當(dāng)船駛到橋拱下方且距點(diǎn)時(shí)，橋下水位剛好在處．有一名身高的工人站立在打撈船正中間清理垃圾，他的頭頂是否會(huì)觸碰到橋拱，請(qǐng)說(shuō)明理由（假設(shè)船底與水面齊平）；
（3）如圖③，橋拱所在的函數(shù)圖象是拋物線，該拋物線在軸下方部分與橋拱在平靜水面中的倒影組成一個(gè)新函數(shù)圖象．將新函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的函數(shù)圖象在時(shí)，的值隨值的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖象，求的取值范圍．
20.2022年北京冬奧會(huì)即將召開(kāi)，激起了人們對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的極大熱情．如圖是某跳臺(tái)滑雪訓(xùn)練場(chǎng)的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為軸，過(guò)跳臺(tái)終點(diǎn)作水平線的垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．圖中的拋物線近似表示滑雪場(chǎng)地上的一座小山坡，某運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)正上方米處的點(diǎn)滑出，滑出后沿一段拋物線運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到離處的水平距離為米時(shí)，離水平線的高度為米，求拋物線的函數(shù)解析式（不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍）；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)水平線的水平距離為多少米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員與小山坡的豎直距離為米？
（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到坡頂正上方，且與坡頂距離超過(guò)米時(shí)，求的取值范圍．
類型三幾何圖形問(wèn)題
21.（2020?無(wú)錫）有一塊矩形地塊ABCD，AB＝20米，BC＝30米．為美觀，擬種植不同的花卉，如圖所示，將矩形ABCD分割成四個(gè)等腰梯形及一個(gè)矩形，其中梯形的高相等，均為x米．現(xiàn)決定在等腰梯形AEHD和BCGF中種植甲種花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中種植乙種花卉；在矩形EFGH中種植丙種花卉．甲、乙、丙三種花卉的種植成本分別為20元/米2、60元/米2、40元/米2，設(shè)三種花卉的種植總成本為y元．
（1）當(dāng)x＝5時(shí)，求種植總成本y；
（2）求種植總成本y與x的函數(shù)表達(dá)式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（3）若甲、乙兩種花卉的種植面積之差不超過(guò)120平方米，求三種花卉的最低種植總成本．
22.（2020?紹興）如圖1，排球場(chǎng)長(zhǎng)為18m，寬為9m，網(wǎng)高為2.24m，隊(duì)員站在底線O點(diǎn)處發(fā)球，球從點(diǎn)O的正上方1.9m的C點(diǎn)發(fā)出，運(yùn)動(dòng)路線是拋物線的一部分，當(dāng)球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)A時(shí)，高度為2.88m，即BA＝2.88m，這時(shí)水平距離OB＝7m，以直線OB為x軸，直線OC為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2．
（1）若球向正前方運(yùn)動(dòng)（即x軸垂直于底線），求球運(yùn)動(dòng)的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫(xiě)出x取值范圍）．并判斷這次發(fā)球能否過(guò)網(wǎng)？是否出界？說(shuō)明理由．
（2）若球過(guò)網(wǎng)后的落點(diǎn)是對(duì)方場(chǎng)地①號(hào)位內(nèi)的點(diǎn)P（如圖1，點(diǎn)P距底線1m，邊線0.5m），問(wèn)發(fā)球點(diǎn)O在底線上的哪個(gè)位置？（參考數(shù)據(jù)：2取1.4）
23.如圖三角形ABC，BC＝12，AD是BC邊上的高AD＝10．P，N分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，Q，M是BC上的點(diǎn)，連接PQ，MN，PN交AD于E．求
（1）若四邊形PQMN是矩形，且PQ：PN＝1：2．求PQ、PN的長(zhǎng)；
（2）若四邊形PQMN是矩形，求當(dāng)矩形PQMN面積最大時(shí)，求最大面積和PQ、PN的長(zhǎng)．
24.已知，如圖，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，AD上，AH＝2，連接CF．
（1）當(dāng)四邊形EFGH為正方形時(shí)，求DG的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)DG＝6時(shí)，求△FCG的面積；
（3）求△FCG的面積的最小值．
25.某公司對(duì)辦公大樓一塊墻面進(jìn)行如圖所示的圖案設(shè)計(jì)．這個(gè)圖案由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼接而成的大正方形，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)m，直角三角形較短邊長(zhǎng)n，且n＝2m﹣4，大正方形的面積為S．
（1）求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．
（2）若小正方形邊長(zhǎng)不大于3，當(dāng)大正方形面積最大時(shí)，求m的值．
26.．[問(wèn)題提出]
（1）如圖①，在中，為上一點(diǎn)，則面積的最大值是
（2）如圖②，已知矩形的周長(zhǎng)為，求矩形面積的最大值
[實(shí)際應(yīng)用]
（3）如圖③，現(xiàn)有一塊四邊形的木板余料，經(jīng)測(cè)量且木匠師傅從這塊余料中裁出了頂點(diǎn)在邊上且面積最大的矩形求該矩形的面積
27.如圖，已知，是線段上的兩點(diǎn)，，，，以為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，以為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，使，兩點(diǎn)重合成一點(diǎn)，構(gòu)成，設(shè)．
（1）求的取值范圍；
（2）求面積的最大值．
28.如圖①，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．點(diǎn)D，E分別是邊AC，BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接DE．設(shè)CD＝x（x＞0），BE＝y(tǒng)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示．
（1）求出圖②中線段PQ所在直線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）將△DCE沿DE翻折，得△DME．
①點(diǎn)M是否可以落在△ABC的某條角平分線上？如果可以，求出相應(yīng)x的值；如果不可以，說(shuō)明理由；
②直接寫(xiě)出△DME與△ABC重疊部分面積的最大值及相應(yīng)x的值．
進(jìn)貨批次
A型水杯（個(gè)）
B型水杯（個(gè)）
總費(fèi)用（元）
一
100
200
8000
二
200
300
13000
購(gòu)票方式
甲
乙
丙
可游玩景點(diǎn)
和
門(mén)票價(jià)格
100元/人
80元/人
160元/人
x（元/件）
12
13
14
15
16
y（件）
1200
1100
1000
900
800
銷售單價(jià)x（元/件）
11
19
日銷售量y（件）
18
2
專題10函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（利潤(rùn)最值、拋物線型、幾何圖形）
類型一利潤(rùn)最值問(wèn)題
1.（2022·湖北荊州）某企業(yè)投入60萬(wàn)元（只計(jì)入第一年成本）生產(chǎn)某種產(chǎn)品，按網(wǎng)上訂單生產(chǎn)并銷售（生產(chǎn)量等于銷售量）．經(jīng)測(cè)算，該產(chǎn)品網(wǎng)上每年的銷售量y（萬(wàn)件）與售價(jià)x（元/件）之間滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝24－x，第一年除60萬(wàn)元外其他成本為8元/件．
(1)求該產(chǎn)品第一年的利潤(rùn)w（萬(wàn)元）與售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)該產(chǎn)品第一年利潤(rùn)為4萬(wàn)元，第二年將它全部作為技改資金再次投入（只計(jì)入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．①求該產(chǎn)品第一年的售價(jià)；②若第二年售價(jià)不高于第一年，銷售量不超過(guò)13萬(wàn)件，則第二年利潤(rùn)最少是多少萬(wàn)元？
【答案】(1)
(2)①第一年的售價(jià)為每件16元，②第二年的最低利潤(rùn)為萬(wàn)元．
【分析】（1）由總利潤(rùn)等于每件產(chǎn)品的利潤(rùn)乘以銷售的數(shù)量，再減去投資成本，從而可得答案；
（2）①把代入（1）的函數(shù)解析式，再解方程即可，②由總利潤(rùn)等于每件產(chǎn)品的利潤(rùn)乘以銷售的數(shù)量，再減去投資成本，列函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解利潤(rùn)范圍即可得到答案．
(1)解：由題意得：


(2)①由（1）得：當(dāng)時(shí)，
則即
解得：
即第一年的售價(jià)為每件16元，
② 第二年售價(jià)不高于第一年，銷售量不超過(guò)13萬(wàn)件，
解得：
其他成本下降2元/件，
∴
對(duì)稱軸為
當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)最高，為77萬(wàn)元，而
當(dāng)時(shí)，（萬(wàn)元）
當(dāng)時(shí)， （萬(wàn)元）

所以第二年的最低利潤(rùn)為萬(wàn)元．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，理解題意，列出函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解題是關(guān)鍵．
2.（2022·山東濱州）某種商品每件的進(jìn)價(jià)為10元，若每件按20元的價(jià)格銷售，則每月能賣出360件；若每件按30元的價(jià)格銷售，則每月能賣出60件．假定每月的銷售件數(shù)y是銷售價(jià)格x（單位：元）的一次函數(shù)．
(1)求y關(guān)于x的一次函數(shù)解析式；
(2)當(dāng)銷售價(jià)格定為多少元時(shí)，每月獲得的利潤(rùn)最大？并求此最大利潤(rùn)．
【答案】(1)
(2)價(jià)格為21元時(shí)，才能使每月獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為3630元
【分析】（1）設(shè)，把，和，代入求出k、b的值，從而得出答案；
（2）根據(jù)總利潤(rùn)=每件利潤(rùn)×每月銷售量列出函數(shù)解析式，配方成頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得答案．
(1)解：設(shè)，把，和，代入可得
，解得，
則；
(2)解：每月獲得利潤(rùn)


．
∵，
∴當(dāng)時(shí)，P有最大值，最大值為3630．
答：當(dāng)價(jià)格為21元時(shí)，才能使每月獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為3630元．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)解析式的求法和二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意找到其中蘊(yùn)含的相等關(guān)系，并據(jù)此得出函數(shù)解析式及二次函數(shù)的性質(zhì)，然后再利用二次函數(shù)求最值．
3.（2021·湖北武漢市·中考真題）在“鄉(xiāng)村振興”行動(dòng)中，某村辦企業(yè)以，兩種農(nóng)作物為原料開(kāi)發(fā)了一種有機(jī)產(chǎn)品，原料的單價(jià)是原料單價(jià)的1.5倍，若用900元收購(gòu)原料會(huì)比用900元收購(gòu)原料少．生產(chǎn)該產(chǎn)品每盒需要原料和原料，每盒還需其他成本9元．市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該產(chǎn)品每盒的售價(jià)是60元時(shí)，每天可以銷售500盒；每漲價(jià)1元，每天少銷售10盒．
（1）求每盒產(chǎn)品的成本（成本＝原料費(fèi)＋其他成本）；
（2）設(shè)每盒產(chǎn)品的售價(jià)是元（是整數(shù)），每天的利潤(rùn)是元，求關(guān)于的函數(shù)解析式（不需要寫(xiě)出自變量的取值范圍）；
（3）若每盒產(chǎn)品的售價(jià)不超過(guò)元（是大于60的常數(shù)，且是整數(shù)），直接寫(xiě)出每天的最大利潤(rùn)．
【答案】（1）每盒產(chǎn)品的成本為30元．（2）；（3）當(dāng)時(shí)，每天的最大利潤(rùn)為16000元；當(dāng)時(shí)，每天的最大利潤(rùn)為元．
【分析】
（1）設(shè)原料單價(jià)為元，則原料單價(jià)為元．然后再根據(jù)“用900元收購(gòu)原料會(huì)比用900元收購(gòu)原料少”列分式方程求解即可；
（2）直接根據(jù)“總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售數(shù)量”列出解析式即可；
（3）先確定的對(duì)稱軸和開(kāi)口方向，然后再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．
【詳解】
解：（1）設(shè)原料單價(jià)為元，則原料單價(jià)為元．
依題意，得．
解得，，．
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根．
∴每盒產(chǎn)品的成本為：（元）．
答：每盒產(chǎn)品的成本為30元．
（2）
；
（3）∵拋物線的對(duì)稱軸為=70，開(kāi)口向下
∴當(dāng)時(shí)，a=70時(shí)有最大利潤(rùn)，此時(shí)w=16000，即每天的最大利潤(rùn)為16000元；
當(dāng)時(shí)，每天的最大利潤(rùn)為元．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了分式方程的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，正確理解題意、列出分式方程和函數(shù)解析式成為解答本題的關(guān)鍵．
4.（2021·四川南充市·中考真題）超市購(gòu)進(jìn)某種蘋(píng)果，如果進(jìn)價(jià)增加2元/千克要用300元；如果進(jìn)價(jià)減少2元/千克，同樣數(shù)量的蘋(píng)果只用200元．
（1）求蘋(píng)果的進(jìn)價(jià)．
（2）如果購(gòu)進(jìn)這種蘋(píng)果不超過(guò)100千克，就按原價(jià)購(gòu)進(jìn)；如果購(gòu)進(jìn)蘋(píng)果超過(guò)100千克，超過(guò)部分購(gòu)進(jìn)價(jià)格減少2元/千克．寫(xiě)出購(gòu)進(jìn)蘋(píng)果的支出y（元）與購(gòu)進(jìn)數(shù)量x（千克）之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）超市一天購(gòu)進(jìn)蘋(píng)果數(shù)量不超過(guò)300千克，且購(gòu)進(jìn)蘋(píng)果當(dāng)天全部銷售完．據(jù)統(tǒng)計(jì)，銷售單價(jià)z（元/千克）與一天銷售數(shù)量x（千克）的關(guān)系為．在（2）的條件下，要使超市銷售蘋(píng)果利潤(rùn)w（元）最大，求一天購(gòu)進(jìn)蘋(píng)果數(shù)量．（利潤(rùn)＝銷售收入購(gòu)進(jìn)支出）
【答案】（1）蘋(píng)果的進(jìn)價(jià)為10元/千克；（2）；（3）要使超市銷售蘋(píng)果利潤(rùn)w最大，一天購(gòu)進(jìn)蘋(píng)果數(shù)量為200千克．
【分析】
（1）設(shè)蘋(píng)果的進(jìn)價(jià)為x元/千克，根據(jù)等量關(guān)系，列出分式方程，即可求解；
（2）分兩種情況：當(dāng)x≤100時(shí)， 當(dāng)x＞100時(shí)，分別列出函數(shù)解析式，即可；
（3）分兩種情況：若x≤100時(shí)，若x＞100時(shí)，分別求出w關(guān)于x的函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】
解：（1）設(shè)蘋(píng)果的進(jìn)價(jià)為x元/千克，
由題意得：，解得：x=10，
經(jīng)檢驗(yàn)：x=10是方程的解，且符合題意，
答：蘋(píng)果的進(jìn)價(jià)為10元/千克；
（2）當(dāng)x≤100時(shí)，y=10x，
當(dāng)x＞100時(shí)，y=10×100+（10-2）×（x-100）=8x+200，
∴；
（3）若x≤100時(shí)，w=zx-y==，
∴當(dāng)x=100時(shí)，w最大=100，
若x＞100時(shí)，w==zx-y==，
∴當(dāng)x=200時(shí)，w最大=600，
綜上所述：當(dāng)x=200時(shí)，超市銷售蘋(píng)果利潤(rùn)w最大，
答：要使超市銷售蘋(píng)果利潤(rùn)w最大，一天購(gòu)進(jìn)蘋(píng)果數(shù)量為200千克．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查分式方程、一次函數(shù)、二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)數(shù)量關(guān)系，列出函數(shù)解析式和分式方程，是解題的關(guān)鍵．
5.（2021·四川遂寧市·中考真題）某服裝店以每件30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批T恤，如果以每件40元出售，那么一個(gè)月內(nèi)能售出300件，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)，銷售單價(jià)每提高1元，銷售量就會(huì)減少10件，設(shè)T恤的銷售單價(jià)提高元．
（1）服裝店希望一個(gè)月內(nèi)銷售該種T恤能獲得利潤(rùn)3360元，并且盡可能減少庫(kù)存，問(wèn)T恤的銷售單價(jià)應(yīng)提高多少元？
（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，該服裝店一個(gè)月內(nèi)銷售這種T恤獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？
【答案】（1）2元；（2）當(dāng)服裝店將銷售單價(jià)50元時(shí)，得到最大利潤(rùn)是4000元
【分析】
（1）根據(jù)題意，通過(guò)列一元二次方程并求解，即可得到答案；
（2）設(shè)利潤(rùn)為M元，結(jié)合題意，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，計(jì)算得利潤(rùn)最大值對(duì)應(yīng)的的值，從而得到答案．
【詳解】
（1）由題意列方程得：（x＋40-30） （300-10x）＝3360
解得：x1＝2，x2＝18
∵要盡可能減少庫(kù)存，
∴x2＝18不合題意，故舍去
∴T恤的銷售單價(jià)應(yīng)提高2元；
（2）設(shè)利潤(rùn)為M元，由題意可得：
M＝（x＋40-30）（300-10x）＝-10x2＋200x＋3000＝
∴當(dāng)x＝10時(shí)，M最大值＝4000元
∴銷售單價(jià)：40＋10＝50元
∴當(dāng)服裝店將銷售單價(jià)50元時(shí)，得到最大利潤(rùn)是4000元．
【點(diǎn)睛】
本題考查了一元二次方程、二次函數(shù)的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程、二次函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．
6.（2021·四川達(dá)州市·中考真題）渠縣是全國(guó)優(yōu)質(zhì)黃花主產(chǎn)地，某加工廠加工黃花的成本為30元/千克，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，批發(fā)價(jià)定為48元/千克時(shí)，每天可銷售500千克．為增大市場(chǎng)占有率，在保證盈利的情況下，工廠采取降價(jià)措施．批發(fā)價(jià)每千克降低1元，每天銷量可增加50千克．
（1）寫(xiě)出工廠每天的利潤(rùn)元與降價(jià)元之間的函數(shù)關(guān)系．當(dāng)降價(jià)2元時(shí)，工廠每天的利潤(rùn)為多少元？
（2）當(dāng)降價(jià)多少元時(shí)，工廠每天的利潤(rùn)最大，最大為多少元？
（3）若工廠每天的利潤(rùn)要達(dá)到9750元，并讓利于民，則定價(jià)應(yīng)為多少元？
【答案】（1），9600；（2）降價(jià)4元，最大利潤(rùn)為9800元；（3）43
【分析】
（1）若降價(jià)元，則每天銷量可增加千克，根據(jù)利潤(rùn)公式求解并整理即可得到解析式，然后代入求出對(duì)應(yīng)函數(shù)值即可；
（2）將（1）中的解析式整理為頂點(diǎn)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（3）令可解出對(duì)應(yīng)的的值，然后根據(jù)“讓利于民”的原則選擇合適的的值即可．
【詳解】
（1）若降價(jià)元，則每天銷量可增加千克，
∴，
整理得：，
當(dāng)時(shí)，，
∴每天的利潤(rùn)為9600元；
（2），
∵，
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為9800，
∴降價(jià)4元，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為9800元；
（3）令，得：，
解得：，，
∵要讓利于民，
∴，（元）
∴定價(jià)為43元．
【點(diǎn)睛】
本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，弄清數(shù)量關(guān)系，準(zhǔn)確求出函數(shù)解析式并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
7.（2021·湖南懷化市·中考真題）某超市從廠家購(gòu)進(jìn)A、B兩種型號(hào)的水杯，兩次購(gòu)進(jìn)水杯的情況如下表：
（1）求A、B兩種型號(hào)的水杯進(jìn)價(jià)各是多少元？
（2）在銷售過(guò)程中，A型水杯因?yàn)槲锩纼r(jià)廉而更受消費(fèi)者喜歡．為了增大B型水杯的銷售量，超市決定對(duì)B型水杯進(jìn)行降價(jià)銷售，當(dāng)銷售價(jià)為44元時(shí)，每天可以售出20個(gè)，每降價(jià)1元，每天將多售出5個(gè)，請(qǐng)問(wèn)超市應(yīng)將B型水杯降價(jià)多少元時(shí)，每天售出B型水杯的利潤(rùn)達(dá)到最大？最大利潤(rùn)是多少？
（3）第三次進(jìn)貨用10000元錢(qián)購(gòu)進(jìn)這兩種水杯，如果每銷售出一個(gè)A型水杯可獲利10元，售出一個(gè)B型水杯可獲利9元，超市決定每售出一個(gè)A型水杯就為當(dāng)?shù)亍靶鹿谝咔榉揽亍本鑒元用于購(gòu)買防控物資．若A、B兩種型號(hào)的水杯在全部售出的情況下，捐款后所得的利潤(rùn)始終不變，此時(shí)b為多少？利潤(rùn)為多少？
【答案】（1）A型號(hào)水杯進(jìn)價(jià)為20元，B型號(hào)水杯進(jìn)價(jià)為30元；（2）超市應(yīng)將B型水杯降價(jià)5元后，每天售出B型水杯的利潤(rùn)達(dá)到最大，最大利潤(rùn)為405元；（3）A，B兩種杯子全部售出，捐款后利潤(rùn)不變，此時(shí)b為4元，利潤(rùn)為3000元．
【分析】
（1）主要運(yùn)用二元一次方程組，設(shè)A型號(hào)水杯為x元，B型號(hào)水杯為y元，根據(jù)表格即可得出方程組，解出二元一次方程組即可得A、B型號(hào)水杯的單價(jià)；
（2）主要運(yùn)用二次函數(shù)，由題意可設(shè)：超市應(yīng)將B型水杯降價(jià)z元后，每天售出B型水杯的利潤(rùn)達(dá)到最大，最大利潤(rùn)為w，每個(gè)水杯的利潤(rùn)為元；每降價(jià)1元，多售出5個(gè)，可得售出的數(shù)量為個(gè)，根據(jù)：利潤(rùn)=（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）×數(shù)量，可確定函數(shù)關(guān)系式，依據(jù)二次函數(shù)的基本性質(zhì)，開(kāi)口向下，在對(duì)稱軸處取得最大值，即可得出答案；
（3）根據(jù)（1）A型號(hào)水杯為20元，B型號(hào)水杯為30元．設(shè)10000元購(gòu)買A型水杯m個(gè)，B型水杯n個(gè)，所得利潤(rùn)為W元，可列出方程組，利用代入消元法化簡(jiǎn)得到利潤(rùn)W的函數(shù)關(guān)系式，由于利潤(rùn)不變，所以令未知項(xiàng)的系數(shù)為0，即可求出b，W．
【詳解】
（1）解：設(shè)A型號(hào)水杯進(jìn)價(jià)為x元，B型號(hào)水杯進(jìn)價(jià)為y元，
根據(jù)題意可得：，
解得：，
∴A型號(hào)水杯進(jìn)價(jià)為20元，B型號(hào)水杯進(jìn)價(jià)為30元．
（2）設(shè)：超市應(yīng)將B型水杯降價(jià)z元后，每天售出B型水杯的利潤(rùn)達(dá)到最大，最大利潤(rùn)為w，
根據(jù)題意可得：，
化簡(jiǎn)得：，
當(dāng)時(shí)，
，
∴超市應(yīng)將B型水杯降價(jià)5元后，每天售出B型水杯的利潤(rùn)達(dá)到最大，最大利潤(rùn)為405元．
（3）設(shè)購(gòu)買A型水杯m個(gè)，B型水杯n個(gè)，所得利潤(rùn)為W元，
根據(jù)題意可得：
將①代入②可得：，
化簡(jiǎn)得：，
使得A，B兩種杯子全部售出后，捐款后所得利潤(rùn)不變，
則，得，
當(dāng)時(shí)，，
∴A，B兩種杯子全部售出，捐款后利潤(rùn)不變，此時(shí)b為4元，利潤(rùn)為3000元．
【點(diǎn)睛】
題目主要考察二元一次方程、一元二次函數(shù)的以及一次函數(shù)的應(yīng)用，難點(diǎn)是對(duì)題意的理解及對(duì)函數(shù)和方程的綜合運(yùn)用．
8.（2021·浙江中考真題）今年以來(lái)，我市接待的游客人數(shù)逐月增加，據(jù)統(tǒng)計(jì)，游玩某景區(qū)的游客人數(shù)三月份為4萬(wàn)人，五月份為5.76萬(wàn)人．
（1）求四月和五月這兩個(gè)月中，該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長(zhǎng)百分之幾；
（2）若該景區(qū)僅有兩個(gè)景點(diǎn)，售票處出示的三種購(gòu)票方式如表所示：
據(jù)預(yù)測(cè)，六月份選擇甲、乙、丙三種購(gòu)票方式的人數(shù)分別有2萬(wàn)、3萬(wàn)和2萬(wàn)．并且當(dāng)甲、乙兩種門(mén)票價(jià)格不變時(shí)，丙種門(mén)票價(jià)格每下降1元，將有600人原計(jì)劃購(gòu)買甲種門(mén)票的游客和400人原計(jì)劃購(gòu)買乙種門(mén)票的游客改為購(gòu)買丙種門(mén)票．
①若丙種門(mén)票價(jià)格下降10元，求景區(qū)六月份的門(mén)票總收入；
②問(wèn)：將丙種門(mén)票價(jià)格下降多少元時(shí)，景區(qū)六月份的門(mén)票總收入有最大值？最大值是多少萬(wàn)元？
【答案】（1）20%；（2）①798萬(wàn)元，②當(dāng)丙種門(mén)票價(jià)格降低24元時(shí)，景區(qū)六月份的門(mén)票總收人有最大值，為817.6萬(wàn)元
【分析】
（1）設(shè)四月和五月這兩個(gè)月中，該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為，則四月份的游客為人，五月份的游客為人，再列方程，解方程可得答案；
（2）①分別計(jì)算購(gòu)買甲，乙，丙種門(mén)票的人數(shù)，再計(jì)算門(mén)票收入即可得到答案；②設(shè)丙種門(mén)票價(jià)格降低元，景區(qū)六月份的門(mén)票總收人為萬(wàn)元，再列出與的二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最大利潤(rùn)即可得到答案．
【詳解】
解：（1）設(shè)四月和五月這兩個(gè)月中，該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為，
由題意，得

解這個(gè)方程，得（舍去）
答：四月和五月這兩個(gè)月中，該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長(zhǎng)20%．
（2）①由題意，丙種門(mén)票價(jià)格下降10元，得：
購(gòu)買丙種門(mén)票的人數(shù)增加：（萬(wàn)人），
購(gòu)買甲種門(mén)票的人數(shù)為：（萬(wàn)人），
購(gòu)買乙種門(mén)票的人數(shù)為：（萬(wàn)人），
所以：門(mén)票收入問(wèn)；
（萬(wàn)元）
答：景區(qū)六月份的門(mén)票總收入為798萬(wàn)元．
②設(shè)丙種門(mén)票價(jià)格降低元，景區(qū)六月份的門(mén)票總收人為萬(wàn)元，
由題意，得
化簡(jiǎn)，得，
，
∴當(dāng)時(shí)，取最大值，為817.6萬(wàn)元．
答：當(dāng)丙種門(mén)票價(jià)格降低24元時(shí)，景區(qū)六月份的門(mén)票總收人有最大值，為817.6萬(wàn)元．
【點(diǎn)睛】
本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解利潤(rùn)的最大值是解題的關(guān)鍵．
9.（2021·湖北武漢市·中考真題）在“鄉(xiāng)村振興”行動(dòng)中，某村辦企業(yè)以，兩種農(nóng)作物為原料開(kāi)發(fā)了一種有機(jī)產(chǎn)品，原料的單價(jià)是原料單價(jià)的1.5倍，若用900元收購(gòu)原料會(huì)比用900元收購(gòu)原料少．生產(chǎn)該產(chǎn)品每盒需要原料和原料，每盒還需其他成本9元．市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該產(chǎn)品每盒的售價(jià)是60元時(shí)，每天可以銷售500盒；每漲價(jià)1元，每天少銷售10盒．
（1）求每盒產(chǎn)品的成本（成本＝原料費(fèi)＋其他成本）；
（2）設(shè)每盒產(chǎn)品的售價(jià)是元（是整數(shù)），每天的利潤(rùn)是元，求關(guān)于的函數(shù)解析式（不需要寫(xiě)出自變量的取值范圍）；
（3）若每盒產(chǎn)品的售價(jià)不超過(guò)元（是大于60的常數(shù)，且是整數(shù)），直接寫(xiě)出每天的最大利潤(rùn)．
【答案】（1）每盒產(chǎn)品的成本為30元．（2）；（3）當(dāng)時(shí)，每天的最大利潤(rùn)為16000元；當(dāng)時(shí)，每天的最大利潤(rùn)為元．
【分析】
（1）設(shè)原料單價(jià)為元，則原料單價(jià)為元．然后再根據(jù)“用900元收購(gòu)原料會(huì)比用900元收購(gòu)原料少”列分式方程求解即可；
（2）直接根據(jù)“總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售數(shù)量”列出解析式即可；
（3）先確定的對(duì)稱軸和開(kāi)口方向，然后再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．
【詳解】
解：（1）設(shè)原料單價(jià)為元，則原料單價(jià)為元．
依題意，得．
解得，，．
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根．
∴每盒產(chǎn)品的成本為：（元）．
答：每盒產(chǎn)品的成本為30元．
（2）
；
（3）∵拋物線的對(duì)稱軸為=70，開(kāi)口向下
∴當(dāng)時(shí)，a=70時(shí)有最大利潤(rùn)，此時(shí)w=16000，即每天的最大利潤(rùn)為16000元；
當(dāng)時(shí)，每天的最大利潤(rùn)為元．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了分式方程的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，正確理解題意、列出分式方程和函數(shù)解析式成為解答本題的關(guān)鍵．
10.（2020?成都）在“新冠”疫情期間，全國(guó)人民“眾志成城，同心抗疫”，某商家決定將一個(gè)月獲得的利潤(rùn)全部捐贈(zèng)給社區(qū)用于抗疫．已知商家購(gòu)進(jìn)一批產(chǎn)品，成本為10元/件，擬采取線上和線下兩種方式進(jìn)行銷售．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，線下的月銷量y（單位：件）與線下售價(jià)x（單位：元/件，12≤x＜24）滿足一次函數(shù)的關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若線上售價(jià)始終比線下每件便宜2元，且線上的月銷量固定為400件．試問(wèn)：當(dāng)x為多少時(shí)，線上和線下月利潤(rùn)總和達(dá)到最大？并求出此時(shí)的最大利潤(rùn)．
【分析】
（1）由待定系數(shù)法求出y與x的函數(shù)關(guān)系式即可；
（2）設(shè)線上和線下月利潤(rùn)總和為m元，則m＝400（x﹣2﹣10）+y（x﹣10）＝400x﹣4800+（﹣100x+2400）（x﹣10）＝﹣100（x﹣19）2+7300，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案．
【解析】
（1）∵y與x滿足一次函數(shù)的關(guān)系，
∴設(shè)y＝kx+b，
將x＝12，y＝1200；x＝13，y＝1100代入得：1200=12k+b1100=13k+b，
解得：k=?100b=2400，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣100x+2400；
（2）設(shè)線上和線下月利潤(rùn)總和為m元，
則m＝400（x﹣2﹣10）+y（x﹣10）＝400x﹣4800+（﹣100x+2400）（x﹣10）＝﹣100（x﹣19）2+7300，
∴當(dāng)x為19元/件時(shí)，線上和線下月利潤(rùn)總和達(dá)到最大，此時(shí)的最大利潤(rùn)為7300元．
11．（2020?濱州）某水果商店銷售一種進(jìn)價(jià)為40元/千克的優(yōu)質(zhì)水果，若售價(jià)為50元/千克，則一個(gè)月可售出500千克；若售價(jià)在50元/千克的基礎(chǔ)上每漲價(jià)1元，則月銷售量就減少10千克．
（1）當(dāng)售價(jià)為55元/千克時(shí)，每月銷售水果多少千克？
（2）當(dāng)月利潤(rùn)為8750元時(shí)，每千克水果售價(jià)為多少元？
（3）當(dāng)每千克水果售價(jià)為多少元時(shí)，獲得的月利潤(rùn)最大？
【分析】
（1）由月銷售量＝500﹣（銷售單價(jià)﹣50）×10，可求解；
（2）設(shè)每千克水果售價(jià)為x元，由利潤(rùn)＝每千克的利潤(rùn)×銷售的數(shù)量，可列方程，即可求解；
（3）設(shè)每千克水果售價(jià)為m元，獲得的月利潤(rùn)為y元，由利潤(rùn)＝每千克的利潤(rùn)×銷售的數(shù)量，可得y與x的關(guān)系式，有二次函數(shù)的性質(zhì)可求解．
【解析】
（1）當(dāng)售價(jià)為55元/千克時(shí)，每月銷售水果＝500﹣10×（55﹣50）＝450千克；
（2）設(shè)每千克水果售價(jià)為x元，
由題意可得：8750＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]，
解得：x1＝65，x2＝75，
答：每千克水果售價(jià)為65元或75元；
（3）設(shè)每千克水果售價(jià)為m元，獲得的月利潤(rùn)為y元，
由題意可得：y＝（m﹣40）[500﹣10（m﹣50）]＝﹣10（m﹣70）2+9000，
∴當(dāng)m＝70時(shí)，y有最大值為9000元，
答：當(dāng)每千克水果售價(jià)為70元時(shí)，獲得的月利潤(rùn)最大值為9000元．
12．（2020?甘孜州）某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，每周的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系可以近似看作一次函數(shù)y＝kx+b，且當(dāng)售價(jià)定為50元/件時(shí)，每周銷售30件，當(dāng)售價(jià)定為70元/件時(shí)，每周銷售10件．
（1）求k，b的值；
（2）求銷售該商品每周的利潤(rùn)w（元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)解析式，并求出銷售該商品每周可獲得的最大利潤(rùn)．
【分析】
（1）利用待定系數(shù)法可求解析式；
（2）由銷售該商品每周的利潤(rùn)w＝銷售單價(jià)×銷售量，可求函數(shù)解析式，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求解．
【解析】
（1）由題意可得：30=50k+b10=70k+b，
∴k=?1b=80，
答：k＝﹣1，b＝80；
（2）∵w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣x+80）＝﹣（x﹣60）2+400，
∴當(dāng)x＝60時(shí)，w有最大值為400元，
答：銷售該商品每周可獲得的最大利潤(rùn)為400元．
13.（2020?南充）某工廠計(jì)劃在每個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)并銷售完某型設(shè)備，設(shè)備的生產(chǎn)成本為10萬(wàn)元/件．
（1）如圖，設(shè)第x（0＜x≤20）個(gè)生產(chǎn)周期設(shè)備售價(jià)z萬(wàn)元/件，z與x之間的關(guān)系用圖中的函數(shù)圖象表示．求z關(guān)于x的函數(shù)解析式（寫(xiě)出x的范圍）．
（2）設(shè)第x個(gè)生產(chǎn)周期生產(chǎn)并銷售的設(shè)備為y件，y與x滿足關(guān)系式y(tǒng)＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的條件下，工廠第幾個(gè)生產(chǎn)周期創(chuàng)造的利潤(rùn)最大？最大為多少萬(wàn)元？（利潤(rùn)＝收入﹣成本）
【分析】
（1）分別得出當(dāng)0＜x≤12時(shí)和當(dāng)12＜x≤20時(shí)，z關(guān)于x的函數(shù)解析式即可得出答案；
（2）設(shè)第x個(gè)生產(chǎn)周期工廠創(chuàng)造的利潤(rùn)為w萬(wàn)元，①當(dāng)0＜x≤12時(shí)，可得出w關(guān)于x的一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得相應(yīng)的最大值；②當(dāng)12＜x≤20時(shí)，可得出w關(guān)于x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得相應(yīng)的最大值．?、佗谥休^大的最大值即可．
【解析】
（1）由圖可知，當(dāng)0＜x≤12時(shí)，z＝16，
當(dāng)12＜x≤20時(shí)，z是關(guān)于x的一次函數(shù)，設(shè)z＝kx+b，
則12k+b=16，20k+b=14，
解得：k=?14，b=19，
∴z=?14x+19，
∴z關(guān)于x的函數(shù)解析式為z=16，(0＜x≤12)z=?14x+19，(12＜x≤20)．
（2）設(shè)第x個(gè)生產(chǎn)周期工廠創(chuàng)造的利潤(rùn)為w萬(wàn)元，
①當(dāng)0＜x≤12時(shí)，w＝（16﹣10）×（5x+40）＝30x+240，
∴由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x＝12時(shí)，w最大值＝30×12+240＝600（萬(wàn)元）；
②當(dāng)12＜x≤20時(shí)，
w＝（?14x+19﹣10）（5x+40）
=?54x2+35x+360
=?54（x﹣14）2+605，
∴當(dāng)x＝14時(shí)，w最大值＝605（萬(wàn)元）．
綜上所述，工廠第14個(gè)生產(chǎn)周期創(chuàng)造的利潤(rùn)最大，最大是605萬(wàn)元．
14.（2020?黔東南州）黔東南州某超市購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，已知購(gòu)進(jìn)3件甲商品和2件乙商品，需60元；購(gòu)進(jìn)2件甲商品和3件乙商品，需65元．
（1）甲、乙兩種商品的進(jìn)貨單價(jià)分別是多少？
（2）設(shè)甲商品的銷售單價(jià)為x（單位：元/件），在銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)11≤x≤19時(shí)，甲商品的日銷售量y（單位：件）與銷售單價(jià)x之間存在一次函數(shù)關(guān)系，x、y之間的部分?jǐn)?shù)值對(duì)應(yīng)關(guān)系如表：
請(qǐng)寫(xiě)出當(dāng)11≤x≤19時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（3）在（2）的條件下，設(shè)甲商品的日銷售利潤(rùn)為w元，當(dāng)甲商品的銷售單價(jià)x（元/件）定為多少時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
【分析】
（1）設(shè)甲、乙兩種商品的進(jìn)貨單價(jià)分別是a、b元/件，由題意得關(guān)于a、b的二元一次方程組，求解即可．
（2）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝k1x+b1，用待定系數(shù)法求解即可．
（3）根據(jù)利潤(rùn)等于每件的利潤(rùn)乘以銷售量列出函數(shù)關(guān)系式，然后寫(xiě)成頂點(diǎn)式，按照二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．
【解析】
（1）設(shè)甲、乙兩種商品的進(jìn)貨單價(jià)分別是a、b元/件，由題意得：
3a+2b=602a+3b=65，
解得：a=10b=15．
∴甲、乙兩種商品的進(jìn)貨單價(jià)分別是10、15元/件．
（2）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝k1x+b1，將（11，18），（19，2）代入得：
11k1+b1=1819k1+b1=2，解得：k1=?2b1=40．
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣2x+40（11≤x≤19）．
（3）由題意得：
w＝（﹣2x+40）（x﹣10）
＝﹣2x2+60x﹣400
＝﹣2（x﹣15）2+50（11≤x≤19）．
∴當(dāng)x＝15時(shí)，w取得最大值50．
∴當(dāng)甲商品的銷售單價(jià)定為15元/件時(shí)，日銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是50元．
類型二拋物線型問(wèn)題
15.（2022·陜西）現(xiàn)要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段表示水平的路面，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為x軸，以過(guò)點(diǎn)O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．根據(jù)設(shè)計(jì)要求：，該拋物線的頂點(diǎn)P到的距離為．
(1)求滿足設(shè)計(jì)要求的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)現(xiàn)需在這一隧道內(nèi)壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線上的點(diǎn)A、B處分別安裝照明燈．已知點(diǎn)A、B到的距離均為，求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，再代入（0，0），求出a的值即可；
（2）根據(jù)題意知，A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6，代入函數(shù)解析式可求出兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而 可解決問(wèn)題．
(1)
依題意，頂點(diǎn)，
設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，
將代入，得．解之，得．
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．
(2)
令，得．
解之，得．
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，由函數(shù)值求自變量的值的運(yùn)用，解答時(shí)求出二次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．
16.如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+c與x軸正半軸，y軸正半軸分別交于點(diǎn)A，B，且OA＝OB，點(diǎn)G為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)M，N為拋物線上兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），且到對(duì)稱軸的距離分別為3個(gè)單位長(zhǎng)度和5個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q為拋物線上點(diǎn)M，N之間（含點(diǎn)M，N）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)yQ的取值范圍．
【分析】（1）先求出點(diǎn)B，點(diǎn)A坐標(biāo)，代入解析式可求c的值，即可求解；
（2）先求出點(diǎn)M，點(diǎn)N坐標(biāo)，即可求解．
【解析】（1）∵拋物線y＝﹣x2+2x+c與y軸正半軸分別交于點(diǎn)B，
∴點(diǎn)B（0，c），
∵OA＝OB＝c，
∴點(diǎn)A（c，0），
∴0＝﹣c2+2c+c，
∴c＝3或0（舍去），
∴拋物線解析式為：y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴頂點(diǎn)G為（1，4）；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴對(duì)稱軸為直線x＝1，
∵點(diǎn)M，N為拋物線上兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），且到對(duì)稱軸的距離分別為3個(gè)單位長(zhǎng)度和5個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為﹣2或4，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為6，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），點(diǎn)N坐標(biāo)（6，﹣21），
∵點(diǎn)Q為拋物線上點(diǎn)M，N之間（含點(diǎn)M，N）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴﹣21≤yQ≤4．
17.在平面直角坐標(biāo)系xy中，已知拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（－1，0）和點(diǎn)B（0，3），頂點(diǎn)為C，點(diǎn)D在其對(duì)稱軸上，且位于點(diǎn)C下方，將線段DC繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，點(diǎn)C落在拋物線上的點(diǎn)P處．
(1)求拋物線的解析式；
(2)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)將拋物線平移，使其頂點(diǎn)落在原點(diǎn)O，這時(shí)點(diǎn)P落在點(diǎn)E的位置，在y軸上是否存在點(diǎn)M，使得MP＋ME的值最小，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得；
（2）先求出拋物線的對(duì)稱軸，再設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，從而可得，將點(diǎn)代入拋物線的解析式求出的值，由此即可得；
（3）先根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)的平移規(guī)律求出點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，從而可得與軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，由此即可得出答案．
(1)解：將點(diǎn)代入得：，
解得，
則拋物線的解析式為．
(2)解：拋物線的對(duì)稱軸為直線，其頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，
，即，
將點(diǎn)代入得：，
解得或（舍去），
當(dāng)時(shí)，，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．
(3)解：拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則將其先向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度恰好落在原點(diǎn)，
這時(shí)點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，且，
，即，恰好在對(duì)稱軸直線上，
如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，
則，
由兩點(diǎn)之間線段最短可知，與軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，此時(shí)的值最小，即的值最小，
由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：，
設(shè)直線的解析式為，
將點(diǎn)代入得：，
解得，
則直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
故在軸上存在點(diǎn)，使得的值最小，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、點(diǎn)坐標(biāo)的平移規(guī)律等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
18.已知函數(shù)（，為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn).
（1）求，滿足的關(guān)系式；
（2）設(shè)該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，當(dāng)?shù)闹底兓瘯r(shí)，求關(guān)于的函數(shù)解析式；
（3）若該函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值之差為16，求的值．
【答案】（1）c=2b（2）（3）2或6
【解析】
【分析】
（1）把點(diǎn)代入函數(shù)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)即可求解；
（3）把函數(shù)化為，根據(jù)圖像不經(jīng)過(guò)第三象限進(jìn)行分類討論進(jìn)行求解.
【詳解】
（1）將點(diǎn)代入，
得，
∴；
（2），，
∴，
∴，
（3），
對(duì)稱軸，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)不經(jīng)過(guò)第三象限，則；
此時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)最小值是0，最大值是25，
∴最大值與最小值之差為25；（舍去）
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)不經(jīng)過(guò)第三象限，則，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值；
函數(shù)的最大值與最小值之差為16，
當(dāng)最大值時(shí)，，
∴或，
∵，
∴；
當(dāng)最大值時(shí)，，
∴或，
∵，
∴；
綜上所述或；
【點(diǎn)睛】
此題主要考查二次函數(shù)綜合，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的圖像與性質(zhì).
19.甲秀樓是貴陽(yáng)市一張靚麗的名片．如圖①，甲秀樓的橋拱截面可視為拋物線的一部分，在某一時(shí)刻，橋拱內(nèi)的水面寬，橋拱頂點(diǎn)到水面的距離是．
（1）按如圖②所示建立平面直角坐標(biāo)系，求橋拱部分拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）一只寬為的打撈船徑直向橋駛來(lái)，當(dāng)船駛到橋拱下方且距點(diǎn)時(shí)，橋下水位剛好在處．有一名身高的工人站立在打撈船正中間清理垃圾，他的頭頂是否會(huì)觸碰到橋拱，請(qǐng)說(shuō)明理由（假設(shè)船底與水面齊平）；
（3）如圖③，橋拱所在的函數(shù)圖象是拋物線，該拋物線在軸下方部分與橋拱在平靜水面中的倒影組成一個(gè)新函數(shù)圖象．將新函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的函數(shù)圖象在時(shí)，的值隨值的增大而減小，結(jié)合函數(shù)圖象，求的取值范圍．
【答案】（1）y=x2+2x（0≤x≤8）；（2）他的頭頂不會(huì)觸碰到橋拱，理由見(jiàn)詳解；（3）5≤m≤8
【分析】
（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a(x-8)x，根據(jù)待定系數(shù)法，即可求解；
（2）把：x =1，代入y=x2+2x，得到對(duì)應(yīng)的y值，進(jìn)而即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)題意得到新函數(shù)解析式，并畫(huà)出函數(shù)圖像，進(jìn)而即可得到m的范圍．
【詳解】
（1）根據(jù)題意得：A(8，0)，B(4，4)，
設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a(x-8)x，
把(4，4)代入上式，得：4=a×(4-8)×4，解得：，
∴二次函數(shù)的解析式為：y= (x-8)x=x2+2x（0≤x≤8）；
（2）由題意得：x=0.4+1.2÷2=1，代入y=x2+2x，得y=×12+2×1=＞1.68，
答：他的頭頂不會(huì)觸碰到橋拱；
（3）由題意得：當(dāng)0≤x≤8時(shí)，新函數(shù)表達(dá)式為：y=x2-2x，
當(dāng)x＜0或x＞8時(shí)，新函數(shù)表達(dá)式為：y=-x2+2x，
∴新函數(shù)表達(dá)式為：，
∵將新函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，
∴（m，0），（m+8，0），（m+4，-4），如圖所示，
根據(jù)圖像可知：當(dāng)m+4≥9且m≤8時(shí)，即：5≤m≤8時(shí)，平移后的函數(shù)圖象在時(shí)，的值隨值的增大而減?。?br>【點(diǎn)睛】
本題主要考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，掌握二次函數(shù)的待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，二次函數(shù)圖像平移和軸對(duì)稱變換規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．
20.2022年北京冬奧會(huì)即將召開(kāi)，激起了人們對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的極大熱情．如圖是某跳臺(tái)滑雪訓(xùn)練場(chǎng)的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為軸，過(guò)跳臺(tái)終點(diǎn)作水平線的垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．圖中的拋物線近似表示滑雪場(chǎng)地上的一座小山坡，某運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)正上方米處的點(diǎn)滑出，滑出后沿一段拋物線運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到離處的水平距離為米時(shí)，離水平線的高度為米，求拋物線的函數(shù)解析式（不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍）；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)水平線的水平距離為多少米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員與小山坡的豎直距離為米？
（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到坡頂正上方，且與坡頂距離超過(guò)米時(shí)，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）12米；（3）．
【分析】
（1）根據(jù)題意可知：點(diǎn)A（0，4）點(diǎn)B（4，8），利用待定系數(shù)法代入拋物線即可求解；
（2）高度差為1米可得可得方程，由此即可求解；
（3）由拋物線可知坡頂坐標(biāo)為 ，此時(shí)即當(dāng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到坡頂正上方，若與坡頂距離超過(guò)米，即，由此即可求出b的取值范圍．
【詳解】
解：（1）根據(jù)題意可知：點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)B（4，8）代入拋物線得，
，
解得：，
∴拋物線的函數(shù)解析式；
（2）∵運(yùn)動(dòng)員與小山坡的豎直距離為米，
∴，
解得：（不合題意，舍去）， ，
故當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)水平線的水平距離為12米時(shí)，運(yùn)動(dòng)員與小山坡的豎直距離為米；
（3）∵點(diǎn)A（0，4），
∴拋物線，
∵拋物線，
∴坡頂坐標(biāo)為 ，
∵當(dāng)運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)到坡頂正上方，且與坡頂距離超過(guò)米時(shí)，
∴，
解得：．
【點(diǎn)睛】
本題屬二次函數(shù)應(yīng)用中的難題.解決函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟為：（1）審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理清數(shù)量關(guān)系；(2)建模：將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；（3）求模：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論；(4) 還原：將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題．
類型三幾何圖形問(wèn)題
21.（2020?無(wú)錫）有一塊矩形地塊ABCD，AB＝20米，BC＝30米．為美觀，擬種植不同的花卉，如圖所示，將矩形ABCD分割成四個(gè)等腰梯形及一個(gè)矩形，其中梯形的高相等，均為x米．現(xiàn)決定在等腰梯形AEHD和BCGF中種植甲種花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中種植乙種花卉；在矩形EFGH中種植丙種花卉．甲、乙、丙三種花卉的種植成本分別為20元/米2、60元/米2、40元/米2，設(shè)三種花卉的種植總成本為y元．
（1）當(dāng)x＝5時(shí)，求種植總成本y；
（2）求種植總成本y與x的函數(shù)表達(dá)式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（3）若甲、乙兩種花卉的種植面積之差不超過(guò)120平方米，求三種花卉的最低種植總成本．
【分析】（1）當(dāng)x＝5時(shí)，EF＝20﹣2x＝10，EH＝30﹣2x＝20，y＝2×12（EH+AD）×20x+2×12（GH+CD）×x×60+EF?EH×40，即可求解；
（2）參考（1），由題意得：y＝（30×30﹣2x）?x?20+（20+20﹣2x）?x?60+（30﹣2x）（20﹣2x）?40（0＜x＜10）；
（3）S甲＝2×12（EH+AD）×2x＝（30﹣2x+30）x＝﹣2x2+60x，S乙＝﹣2x2+40x，則﹣2x2+60x﹣（﹣2x2+40x）≤120，即可求解．
【解析】（1）當(dāng)x＝5時(shí)，EF＝20﹣2x＝10，EH＝30﹣2x＝20，
y＝2×12（EH+AD）×20x+2×12（GH+CD）×x×60+EF?EH×40＝（20+30）×5×20+（10+20）×5×60+20×10×40＝22000；
（2）EF＝20﹣2x，EH＝30﹣2x，
參考（1），由題意得：y＝（30×30﹣2x）?x?20+（20+20﹣2x）?x?60+（30﹣2x）（20﹣2x）?40＝﹣400x+24000（0＜x＜10）；
（3）S甲＝2×12（EH+AD）×2x＝（30﹣2x+30）x＝﹣2x2+60x，
同理S乙＝﹣2x2+40x，
∵甲、乙兩種花卉的種植面積之差不超過(guò)120米2，
∴﹣2x2+60x﹣（﹣2x2+40x）≤120，
解得：x≤6，
故0＜x≤6，
而y＝﹣400x+24000隨x的增大而減小，故當(dāng)x＝6時(shí)，y的最小值為21600，
即三種花卉的最低種植總成本為21600元．
22.（2020?紹興）如圖1，排球場(chǎng)長(zhǎng)為18m，寬為9m，網(wǎng)高為2.24m，隊(duì)員站在底線O點(diǎn)處發(fā)球，球從點(diǎn)O的正上方1.9m的C點(diǎn)發(fā)出，運(yùn)動(dòng)路線是拋物線的一部分，當(dāng)球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)A時(shí)，高度為2.88m，即BA＝2.88m，這時(shí)水平距離OB＝7m，以直線OB為x軸，直線OC為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2．
（1）若球向正前方運(yùn)動(dòng)（即x軸垂直于底線），求球運(yùn)動(dòng)的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫(xiě)出x取值范圍）．并判斷這次發(fā)球能否過(guò)網(wǎng)？是否出界？說(shuō)明理由．
（2）若球過(guò)網(wǎng)后的落點(diǎn)是對(duì)方場(chǎng)地①號(hào)位內(nèi)的點(diǎn)P（如圖1，點(diǎn)P距底線1m，邊線0.5m），問(wèn)發(fā)球點(diǎn)O在底線上的哪個(gè)位置？（參考數(shù)據(jù)：2取1.4）
【分析】
（1）求出拋物線表達(dá)式；再確定x＝9和x＝18時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)的值即可求解；
（2）當(dāng)y＝0時(shí)，y=?150（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），求出PQ＝62=8.4，即可求解．
【解析】
（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x﹣7）2+2.88，
將x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a=?150，
故拋物線的表達(dá)式為：y=?150（x﹣7）2+2.88；
當(dāng)x＝9時(shí)，y=?150（x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24，
當(dāng)x＝18時(shí)，y=?150（x﹣7）2+2.88＝0.46＞0，
故這次發(fā)球過(guò)網(wǎng)，但是出界了；
（2）如圖，分別過(guò)點(diǎn)作底線、邊線的平行線PQ、OQ交于點(diǎn)Q，
在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，
當(dāng)y＝0時(shí)，y=?150（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），
∴OP＝19，而OQ＝17，
故PQ＝62=8.4，
∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，
∴發(fā)球點(diǎn)O在底線上且距右邊線0.1米處．
23.如圖三角形ABC，BC＝12，AD是BC邊上的高AD＝10．P，N分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，Q，M是BC上的點(diǎn)，連接PQ，MN，PN交AD于E．求
（1）若四邊形PQMN是矩形，且PQ：PN＝1：2．求PQ、PN的長(zhǎng)；
（2）若四邊形PQMN是矩形，求當(dāng)矩形PQMN面積最大時(shí)，求最大面積和PQ、PN的長(zhǎng)．
【解析】解：（1）設(shè)PQ＝y(tǒng)，則PN＝2y，
∵四邊形PQMN是矩形，
∴PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴AD⊥PN，
∴＝，即＝，
解得y＝，
∴PQ＝，PN＝．
（2）設(shè)AE＝x．
∵四邊形PQMN是矩形，
∴PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴AD⊥PN，
∴＝，
∴PN＝x，PQ＝DE＝10﹣x，
∴S矩形PQMN＝x（10﹣x）＝﹣（x﹣5）2+30，
∴當(dāng)x＝5時(shí)，S的最大值為30，
∴當(dāng)AE＝5時(shí)，矩形PQMN的面積最大，最大面積是30，
此時(shí)PQ＝5，PN＝6．
24.已知，如圖，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，AD上，AH＝2，連接CF．
（1）當(dāng)四邊形EFGH為正方形時(shí)，求DG的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)DG＝6時(shí)，求△FCG的面積；
（3）求△FCG的面積的最小值．
【解析】解：（1）∵四邊形EFGH為正方形，
∴HG=HE，∠EAH=∠D=90°，
∵∠DHG+∠AHE=90°，
∠DHG+∠DGH=90°，
∴∠DGH=∠AHE，
∴△AHE≌△DGH（AAS），
∴DG=AH=2；
（2）過(guò)F作FM⊥DC，交DC延長(zhǎng)線于M，連接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠MGE，
∵HE∥GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠MGF，
在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，
∴△AHE≌△MFG（AAS），
∴FM=HA=2，
即無(wú)論菱形EFGH如何變化，點(diǎn)F到直線CD的距離始終為定值2，
因此S△FCG=×FM×GC=×2×（7-6）=1；
（3）設(shè)DG=x，則由（2）得，S△FCG=7-x，
在△AHE中，AE≤AB=7，
∴HE2≤53，
∴x2+16≤53，
∴x≤，
∴S△FCG的最小值為7-，此時(shí)DG=，
∴當(dāng)DG=時(shí)，△FCG的面積最小為（7-）．
25.某公司對(duì)辦公大樓一塊墻面進(jìn)行如圖所示的圖案設(shè)計(jì)．這個(gè)圖案由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼接而成的大正方形，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)m，直角三角形較短邊長(zhǎng)n，且n＝2m﹣4，大正方形的面積為S．
（1）求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．
（2）若小正方形邊長(zhǎng)不大于3，當(dāng)大正方形面積最大時(shí)，求m的值．
【解析】解：（1）∵小正方形的邊長(zhǎng)m，直角三角形較短邊長(zhǎng)n，
∴直角三角形較長(zhǎng)邊長(zhǎng)為m+n，
∴由勾股定理得：S＝（m+n）2+n2，
∵n＝2m﹣4，
∴S＝（m+2m﹣4）2+（2m﹣4）2，
＝13m2﹣40m+32，
∵n＝2m﹣4＞0，
∴m＞2，
∴S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式為S＝13m2﹣40m+32（m＞2）；
（2）∵S＝13m2﹣40m+32（2＜m≤3），
∴S＝13(m-)2+
∵m≥時(shí)，S隨x的增大而增大，
∴m＝3時(shí)，S取最大．
∴m＝3．
26.．[問(wèn)題提出]
（1）如圖①，在中，為上一點(diǎn)，則面積的最大值是
（2）如圖②，已知矩形的周長(zhǎng)為，求矩形面積的最大值
[實(shí)際應(yīng)用]
（3）如圖③，現(xiàn)有一塊四邊形的木板余料，經(jīng)測(cè)量且木匠師傅從這塊余料中裁出了頂點(diǎn)在邊上且面積最大的矩形求該矩形的面積
【解析】解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，如圖所示：
∴，
∵D為BC上一點(diǎn)，
∴，
∴要使△ABC的面積最大，則需滿足AD=AE，
∵BC=6，AD=4，
∴△ABC的面積最大為：；
故答案為12；
（2）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=DC，AD=BC，
∵矩形ABCD的周長(zhǎng)是12，
∴設(shè)AB=x，則有AD=6-x，矩形ABCD的面積為S，則有：
，
此函數(shù)為二次函數(shù)，由，二次函數(shù)的開(kāi)口向下，
∴當(dāng)x=3時(shí)，矩形ABCD的面積有最大值為：；
（3）如圖所示：
∵四邊形PQMN是矩形，
∴QM=PN，PQ=MN，∠QMN=∠PNM=90°，
∵∠B=∠C=60°，∠QMB=∠PNC=90°，
∴△BMQ≌△CNP，
∴BM=NC，
設(shè)BM=NC=x，則有MN=PQ=80-2x，
∴，
∴，
此函數(shù)關(guān)系為二次函數(shù)，由可得開(kāi)口向下，
∴當(dāng)x=20時(shí)，矩形PQMN的面積有最大，即．
27.如圖，已知，是線段上的兩點(diǎn)，，，，以為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，以為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)，使，兩點(diǎn)重合成一點(diǎn)，構(gòu)成，設(shè)．
（1）求的取值范圍；
（2）求面積的最大值．
【解析】解：（1）∵，，，
∴．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得，，
由三角形的三邊關(guān)系，得
解不等式①得，
解不等式②得，
∴的取值范圍是．
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
設(shè)，由勾股定理，得，，
∵，
∴，兩邊平方并整理，得，兩邊平方整理，得．
∵的面積為，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，面積最大值的平方為，
∴面積的最大值為．
28.如圖①，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8．點(diǎn)D，E分別是邊AC，BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接DE．設(shè)CD＝x（x＞0），BE＝y(tǒng)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖②所示．
（1）求出圖②中線段PQ所在直線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）將△DCE沿DE翻折，得△DME．
①點(diǎn)M是否可以落在△ABC的某條角平分線上？如果可以，求出相應(yīng)x的值；如果不可以，說(shuō)明理由；
②直接寫(xiě)出△DME與△ABC重疊部分面積的最大值及相應(yīng)x的值．
【解析】解：（1）設(shè)線段PQ所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，
將P（3，4）和Q（6，0）代入得，
，解得，
∴線段PQ所在直線的函數(shù)表達(dá)式為；
（2）①如圖1，
連接CM并延長(zhǎng)CM交AB于點(diǎn)F，
∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，
∴AC＝＝6，
由（1）得BE＝，
∴CE＝，
∴，
∵∠DCE＝∠ACB，
∴△DCE∽△ACB，
∴∠DEC＝∠ABC，
∴DE//AB，
∵點(diǎn)C和點(diǎn)M關(guān)于直線DE對(duì)稱，
∴CM⊥DE，
∴CF⊥AB，
∵，
∴6×8＝10×CF，
∴CF＝,
∵∠C＝90°，CD＝x，CE＝，
∴DE＝，
∴CM＝，MF＝，
過(guò)點(diǎn)M作MG⊥AC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥BC于點(diǎn)H，
則四邊形GCHM為矩形，
∵∠GCM+∠BCF＝∠BCF+∠ABC＝90°，
∴∠GCM＝∠ABC，
∵∠MGC＝∠ACB＝90°，
∴△CGM∽△BCA，
∴，
即，
∴MG＝，CG＝，
∴MH＝，
（Ⅰ）若點(diǎn)M落在∠ACB的平分線上，則有MG＝MH，即，解得x＝0（不合題意舍去），
（Ⅱ）若點(diǎn)M落在∠BAC的平分線上，則有MG＝MF，即，解得x＝，
（Ⅲ）若點(diǎn)M落在∠ABC的平分線上，則有MH＝MF，即，解得x＝．
綜合以上可得，當(dāng)x＝或x＝時(shí)，點(diǎn)M落在△ABC的某條角平分線上．
②當(dāng)0＜x≤3時(shí)，點(diǎn)M不在三角形外，△DME與△ABC重疊部分面積為△DME的面積，
∴，
當(dāng)x＝3時(shí)，S的最大值為．
當(dāng)3＜x≤6時(shí)，點(diǎn)M在三角形外，如圖2，
由①知CM＝2CQ＝，
∴MT＝CM﹣CF＝，
∵PK//DE，
∴△MPK∽△MDE，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
即：，
∴當(dāng)x＝4時(shí)，△DME與△ABC重疊部分面積的最大值為8．
綜合可得，當(dāng)x＝4時(shí)，△DME與△ABC重疊部分面積的最大值為8．
進(jìn)貨批次
A型水杯（個(gè)）
B型水杯（個(gè)）
總費(fèi)用（元）
一
100
200
8000
二
200
300
13000
購(gòu)票方式
甲
乙
丙
可游玩景點(diǎn)
和
門(mén)票價(jià)格
100元/人
80元/人
160元/人
x（元/件）
12
13
14
15
16
y（件）
1200
1100
1000
900
800
銷售單價(jià)x（元/件）
11
19
日銷售量y（件）
18
2

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