1.理解并掌握二元一次方程,二元一次方程組及其解等概念,并會判斷一組數(shù)是不是某個二元一次方程組的解.
2.通過對實際問題的分析,進一步體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的有效數(shù)學模型.
3.通過大量的情境問題,加深對二元一次方程(組)的理解,增強學生的數(shù)學應用意識.
4.認識到數(shù)學與實際生活息息相關,激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.
學習重點
理解并掌握二元一次方程(組)及其解的有關概念.
學習難點
判斷一組數(shù)是不是某個二元一次方程組的解,培養(yǎng)學生良好的數(shù)學應用意識.
課時活動設計
情境引入
通過情境設置,讓學生對學習內(nèi)容更加感興趣.
情境一:出示情境圖.
提出問題:它們各自馱了多少個包裹?
情境二:出示情境圖.
提出問題:他們到底去了幾個成人、幾個兒童呢?
設計意圖:通過兩個情境問題,激發(fā)學生興趣,引發(fā)學生思考,從而引出本節(jié)課將要學習的內(nèi)容.
探究新知
前面的兩個問題能不能根據(jù)題意直接設兩個未知數(shù),使列方程變得容易呢?
問題1 分析:老牛馱的包裹-小馬馱的包裹=2,老牛馱的包裹+1=(小馬馱的包裹-1)×2.
解:設老牛馱了x個包裹,小馬馱了y個包裹.
依據(jù)題意,得x-y=2,x+1=2(y-1).
問題2 分析:成人人數(shù)+兒童人數(shù)=8,成人的門票錢+兒童的門票錢=34.
解:設他們中有x個成人,y個兒童.
依據(jù)題意,得x+y=8,5x+3y=34.
想一想:上面我們列出的方程有什么特點呢?
教師活動:通過對具體方程的特點進行分析,歸納二元一次方程的概念.
總結(jié):含有兩個未知數(shù),并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程.
設計意圖:1.通過教學活動1的兩個情境問題,列出對應的二元一次方程,為接下來總結(jié)歸納得出二元一次方程的概念打下基礎.2.對比所列出的方程的共同特征,總結(jié)歸納得出二元一次方程的概念,培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力.
典例精講
例 判斷下列方程是不是二元一次方程?
(1)x+y=11;(2)m+1=2;(3)x2+y=5;(4)3x-π=11;
(5)-5x=4y+2;(6)7+a=2b+11c;(7)x-1y=2;(8)4xy+5=0.
解:(1)(5)是二元一次方程,(2)(3)(4)(6)(7)(8)不是二元一次方程.
設計意圖:通過例題的講解,讓學生知道判斷二元一次方程的條件,鞏固對二元一次方程的概念的理解.
探究新知
教師提出問題,學生思考交流并總結(jié).
探究1 方程x+y=8和5x+3y=34中,x所代表的對象相同嗎?y呢?
分析:兩個方程中的x所代表的都是成人人數(shù),y所代表的都是兒童人數(shù),因而x,y必須同時滿足方程x+y=8和5x+3y=34,把它們聯(lián)立起來,得x+y=8,5x+3y=34.
總結(jié) 二元一次方程組的概念:像這樣,共含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程所組成的一組方程,叫做二元一次方程組.
探究2 (1)x=6,y=2適合方程x+y=8嗎?x=5,y=3呢?x=4,y=4呢?你還能找到其他x,y的值適合方程x+y=8嗎?
解:這三組x,y的值均適合x+y=8,且還能找到無數(shù)多組x,y的值適合x+y=8.
(2)x=5,y=3適合方程5x+3y=34嗎?x=2,y=8呢?
解:這兩組x,y的值均適合5x+3y=34,且還能找到無數(shù)多組x,y的值的適合5x+3y=34.
總結(jié) 二元一次方程的解:適合一個二元一次方程的一組未知數(shù)的值,叫做這個二元一次方程的一個解.
注意:一般情況下二元一次方程的解的個數(shù)有無數(shù)多個.
(3)你能找到一組x,y的值同時適合方程x+y=8和5x+3y=34嗎?
解:x=5,y=3既適合方程x+y=8,又適合方程5x+3y=34,也就是說x=5,y=3既是方程x+y=8的一個解,也是方程5x+3y=34的一個解.
總結(jié) 二元一次方程組的解:二元一次方程組中各個方程的公共解,叫做這個二元一次方程組的解.
設計意圖:讓學生經(jīng)歷合作探究的過程,通過觀察、思考、歸納得出二元一次方程組、二元一次方程(組)的解的概念,培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題,解決問題和歸納概括的能力.
典例精講
教師提出問題,學生先獨立思考、解答,然后再小組交流探討,如遇到有困難的學生教師可進行適當點撥,最終在黑板上展示答題過程.
例1 二元一次方程x-3y=1的整數(shù)解可能是 .
解:x=4,y=1(答案不唯一,合理即可)
例2 判斷下列方程組是不是二元一次方程組,并說明理由.
(1)xy=1,2x+y=2; (2)2x-y=3,1y+x=1; (3)2x+z=0,3x-y=15; (4)x=5,x2+y3=7;
(5)x+π=3,x-y=π.
解:(1)不是.理由:第一個方程含未知數(shù)的項xy的次數(shù)不是1;(2)不是.理由:第二個方程不是整式方程;(3)不是.理由:方程組中共有3個未知數(shù);(4)是.理由:方程組中共有2個未知數(shù),且兩個方程都是一次方程;(5)是.理由:方程組中共有2個未知數(shù),且兩個方程都是一次方程.
設計意圖:1.通過判斷二元一次方程組的解,梳理確定二元一次方程組的解的方法,旨在提高學生的計算能力.2.通過判斷五個方程組的情況,加深學生對二元一次方程組的概念的理解.
歸納總結(jié)
1.含有兩個未知數(shù),并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程.
2.判斷一個方程是否是二元一次方程必須滿足以下條件:
(1)有且只有兩個未知數(shù);
(2)含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1;
(3)方程的左右兩邊都必須是等式.
3.適合一個二元一次方程的一組未知數(shù)的值,叫做這個二元一次方程的一個解.
4.共含有兩個未知數(shù)的兩個一次方程所組成的一組方程,叫做二元一次方程組.
5.判斷一個方程組是否為二元一次方程組必須滿足以下條件:
(1)方程組中有且只有兩個未知數(shù);
(2)方程組中含有未知數(shù)的項的次數(shù)為1;
(3)方程組中每個方程均為整式方程.
6.二元一次方程組中各個方程的公共解,叫做這個二元一次方程組的解.
設計意圖:通過歸納總結(jié),有效幫助學生梳理思路,促進對新知識的理解和吸收.
鞏固訓練
1.下列方程是二元一次方程的是( C )
A.3x+5=8 B.π+3x=10 C.3x+7y=20 D.5xy=2
2.判斷下列方程組是不是二元一次方程組?
(1)3x-2y=9,y+5x=0; (2)x-3y+9z=8,y+3z=5; (3)x=2,y=1; (4)3x+5y=4,x-y=0.
解:(1)(3)是二元一次方程組,(2)(4)不是二元一次方程組.
設計意圖:鞏固本節(jié)課所學知識,發(fā)揮學生作為教學主體的主動性,讓學生感受學習的樂趣和成功的喜悅.
課堂小結(jié)
1.二元一次方程、二元一次方程組的概念.
2.二元一次方程、二元一次方程組的解的概念.
設計意圖:通過小結(jié),使學生梳理本節(jié)課所學內(nèi)容,培養(yǎng)學生的語言概括能力和發(fā)散思維能力.
課堂8分鐘.
1.教材第106頁習題5.1第1,2,3,4題.
2.七彩作業(yè).
教學反思


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1 認識二元一次方程組

版本： 北師大版（2024）

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