課時(shí)目標(biāo)
1.了解兩個(gè)條件可確定一次函數(shù);一個(gè)條件可確定正比例函數(shù).
2.能根據(jù)所給信息(圖象、表格、實(shí)際問題等),利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達(dá)式.
3.從一次函數(shù)“數(shù)”的角度入手,轉(zhuǎn)移到“形”,讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想,發(fā)展數(shù)形結(jié)合解決問題的能力.
4.初步體會(huì)函數(shù)與方程的聯(lián)系.
學(xué)習(xí)重點(diǎn)
了解兩個(gè)條件可確定一次函數(shù);一個(gè)條件可確定正比例函數(shù).
學(xué)習(xí)難點(diǎn)
能根據(jù)所給信息(圖象、表格、實(shí)際問題等),利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達(dá)式.
課時(shí)活動(dòng)設(shè)計(jì)
回顧引入
前面,我們學(xué)習(xí)了一次函數(shù)及其圖象和性質(zhì),你能寫出兩個(gè)具體的一次函數(shù)表達(dá)式嗎?如何畫出它們的圖象?
思考:反過來,已知一個(gè)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩個(gè)具體的點(diǎn),你能求出它的表達(dá)式嗎?
設(shè)計(jì)意圖:通過回顧已學(xué)的知識(shí),引起學(xué)生對新知識(shí)的思考.
探究新知
探究1 確定正比例函數(shù)的表達(dá)式
情境一:某物體沿一個(gè)斜坡下滑,它的速度v(m/s)與其下滑時(shí)間t(s)的關(guān)系如圖所示.
(1)寫出v與t之間的關(guān)系式;
(2)下滑3 s時(shí)物體的速度是多少?
分析:要求v與t之間的關(guān)系式,首先應(yīng)觀察圖象,確定函數(shù)的類型,然后根據(jù)函數(shù)的類型設(shè)它對應(yīng)的表達(dá)式,再把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入表達(dá)式求出待定系數(shù)即可.
解:(1)設(shè)v與t之間的關(guān)系式為v=kt(t≥0).
由圖象可知,當(dāng)t=2時(shí),v=5,
得5=2k,解得k=52.
所以v與t之間的關(guān)系式為v=52t(t≥0).
(2)當(dāng)t=3時(shí),v=52×3=132.
所以當(dāng)下滑3 s時(shí),物體速度為152 m/s.
總結(jié):先將表達(dá)式中未知系數(shù)用字母表示出來,再根據(jù)條件求出這個(gè)未知系數(shù),這種方法稱為待定系數(shù)法.
情境二:求正比例函數(shù)y=(m-4)xm2-15的表達(dá)式.
解:由正比例函數(shù)的定義知
m2-15=1且m-4≠0,
∴m=-4.
∴y=-8x.
(情境一、二可根據(jù)學(xué)生情況進(jìn)行選取)
方法總結(jié):利用正比例函數(shù)的定義確定表達(dá)式:自變量的指數(shù)為1,系數(shù)不為0.
想一想:確定正比例函數(shù)的表達(dá)式需要幾個(gè)條件?確定一次函數(shù)的表達(dá)式呢?
解:確定正比例函數(shù)的表達(dá)式需要一個(gè)條件.確定一次函數(shù)的表達(dá)式需要兩個(gè)條件.
探究2 確定一次函數(shù)的表達(dá)式
已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(0,5),(2,-5)兩點(diǎn),求一次函數(shù)的表達(dá)式.
解:設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式為y=kx+b,根據(jù)題意,得
-5=2k+b,①
將②代入①,得k=-5.
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-5x+5.
總結(jié):根據(jù)圖象確定一次函數(shù)的表達(dá)式的方法:從圖象上選取兩個(gè)已知點(diǎn)的坐標(biāo),然后運(yùn)用待定系數(shù)法將兩點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)代入所設(shè)表達(dá)式中求出待定系數(shù),從而求出函數(shù)的表達(dá)式.
設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想,發(fā)展數(shù)形結(jié)合解決問題的能力.
典例精講
例1 在彈性限度內(nèi),彈簧的長度y(cm)是所掛物體質(zhì)量x(kg)的一次函數(shù).某彈簧不掛物體時(shí)長14.5 cm;當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為3 kg時(shí),彈簧長16 cm.請寫出y與x之間的關(guān)系式,并求當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為4 kg時(shí)彈簧的長度.
解:設(shè)y=kx+b,根據(jù)題意,得
14.5=b,①
16=3k+b.②
將①代入②,得k=0.5.
所以在彈性限度內(nèi),y=0.5x+14.5.
當(dāng)x=4時(shí),y=0.5×4+14.5=16.5(cm).
即物體的質(zhì)量為4 kg時(shí),彈簧長度為16.5 cm.
例2 正比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象如圖所示,它們的交點(diǎn)為A(4,3),B為一次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn),且OA=2OB.求正比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式.
解:設(shè)正比例函數(shù)表達(dá)式為y1=k1x,一次函數(shù)表達(dá)式為y2=k2x+b.
因?yàn)辄c(diǎn)A(4,3)是它們的交點(diǎn),所以把A(4,3)代入y1=k1x中,得
4k1=3,k1=34,所以y1=34x.
又因?yàn)镺A=32+42=5,OA=2OB,所以O(shè)B=52,B點(diǎn)坐標(biāo)為0,-52 .
所以b=-52.①
把A(4,3)代入y2=k2x+b中,得4k2+b=3.②
將①代入②,得k2=118.
所以y2=118x-52.
總結(jié):解此類題要根據(jù)所給的條件建立數(shù)學(xué)模型,得出變化關(guān)系,并求出函數(shù)的表達(dá)式,根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式作答.
求函數(shù)表達(dá)式的步驟:1.設(shè)函數(shù)表達(dá)式;2.根據(jù)已知條件列出有關(guān)方程;3.解方程;4.把求出的k,b值代回到表達(dá)式中即可.
設(shè)計(jì)意圖:通過例題,規(guī)范學(xué)生對解題步驟的書寫,總結(jié)求函數(shù)表達(dá)式的步驟.
鞏固訓(xùn)練
1.如圖,直線l是某正比例函數(shù)的圖象,點(diǎn)A(-4,12),B(3,-9)是否在該函數(shù)的圖象上?
解:設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=kx.
將(-1,3)代入y=kx中,得3=-k,k=-3.
所以該函數(shù)表達(dá)式為y=-3x.
把x=-4代入y=-3x中,得y=-3×(-4)=12,符合A(-4,12)的坐標(biāo).
所以點(diǎn)A在該圖象上.同理可證,點(diǎn)B也在該函數(shù)圖象上.
2.如圖,直線l是一次函數(shù)y=kx+b的圖象,填空:
(1)當(dāng)x=30時(shí),y= -18 ;
(2)當(dāng)y=30時(shí),x= -42 .
設(shè)計(jì)意圖:通過實(shí)例鞏固所學(xué)內(nèi)容,使學(xué)生靈活運(yùn)用待定系數(shù)法求表達(dá)式.培養(yǎng)學(xué)生教形結(jié)合思想和教學(xué)應(yīng)用能力.
課堂小結(jié)
今天我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容?
設(shè)計(jì)意圖:通過提問方式進(jìn)行小結(jié),交流收獲與不足,讓學(xué)生養(yǎng)成學(xué)習(xí)——總結(jié)——再學(xué)習(xí)的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣,有利于幫助學(xué)生理清知識(shí)脈絡(luò),同時(shí)明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo),鞏固學(xué)習(xí)效果.
課堂8分鐘.
1.教材第90頁習(xí)題4.5第1,2,4題.
2.七彩作業(yè).
第1課時(shí) 確定一次函數(shù)的表達(dá)式
1.待定系數(shù)法.
2.正比例函數(shù)的表達(dá)式.
3.一次函數(shù)的表達(dá)式.
教學(xué)反思



第2課時(shí) 借助單個(gè)一次函數(shù)圖象解決有關(guān)問題
課時(shí)目標(biāo)
1.能通過函數(shù)圖象獲取信息,解決簡單的實(shí)際問題.
2.通過對函數(shù)圖象的觀察與分析,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí),發(fā)展形象思維;通過具體問題的解決,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.
3.在解決問題過程中,初步體會(huì)方程與函數(shù)的關(guān)系,建立知識(shí)之間的聯(lián)系.
4.引導(dǎo)學(xué)生從事觀察、操作、交流、歸納等探索活動(dòng),使學(xué)生初步形成多樣的學(xué)習(xí)方式.
學(xué)習(xí)重點(diǎn)
能通過函數(shù)圖象獲取信息,解決簡單的實(shí)際問題.
學(xué)習(xí)難點(diǎn)
在解決問題過程中,初步體會(huì)方程與函數(shù)的關(guān)系,建立各種知識(shí)之間的聯(lián)系.
課時(shí)活動(dòng)設(shè)計(jì)
回顧引入
問題1:從一次函數(shù)圖象上可獲得哪些信息?
解:(1)由一次函數(shù)的圖象可確定k和b的符號(hào);
(2)由一次函數(shù)的圖象可估計(jì)函數(shù)的變化趨勢;
(3)可直接觀察出x與y的對應(yīng)值;
(4)由一次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可確定b值,從而確定一次函數(shù)圖象的表達(dá)式.
問題2:一次函數(shù)具有什么性質(zhì)?
解:在一次函數(shù)y=kx+b中,當(dāng)k>0時(shí),y隨x的增大而增大,當(dāng)b>0時(shí),直線交y軸于正半軸,必過第一、二、三象限,當(dāng)b

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4 一次函數(shù)的應(yīng)用

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