課時目標
1.讓學(xué)生經(jīng)歷“實際問題——分式方程——整式方程”的過程,發(fā)展學(xué)生分析問題、解決問題的能力,滲透數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想,培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識.
2.通過探究分式方程解法的過程,讓學(xué)生感受增根產(chǎn)生的合理性及驗根的必要性,提升學(xué)生思維的深度認知.
3.通過使學(xué)生經(jīng)歷運用所學(xué)知識解分式方程的過程,讓學(xué)生體會化歸的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系,進一步提高學(xué)生的運算能力.
學(xué)習(xí)重點
分式方程的解法.
學(xué)習(xí)難點
理解解分式方程時可能無解的原因.
課時活動設(shè)計
新知引入
一艘輪船在靜水中的最大航速為30千米/時,它以最大航速沿江順流航行90千米所用的時間,與以最大航速逆流航行60千米所用的時間相等,江水的流速為多少?
分析:設(shè)江水的流速為v千米/時,
(1)輪船順流航行速度為 30+v 千米/時,逆流航行速度為 30-v 千米/時;
(2)順流航行90千米的時間為 9030+v 小時,逆流航行60千米的時間為 6030-v 小時;
(3)根據(jù)題意可列方程為 9030+v=6030-v .
想一想,像這樣的方程屬于什么方程,應(yīng)該怎樣解呢?
設(shè)計意圖:通過經(jīng)歷實際問題→列分式方程,讓學(xué)生體會分式方程是一種有效描述現(xiàn)實世界的模型,發(fā)展學(xué)生分析問題和解決問題的能力,培養(yǎng)應(yīng)用意識,激發(fā)學(xué)生的探究欲與學(xué)習(xí)熱情,為探索分式方程的解法做準備.
探究新知
探究1 分式方程的概念
問題1:什么是方程?我們學(xué)習(xí)過哪些方程?它們都是怎么定義的?
學(xué)生代表發(fā)言,教師總結(jié).教師引導(dǎo)學(xué)生通過類比的方法得到分式方程的概念.
分式方程的概念:分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.
分式方程的特征:①是等式;②分母中含有未知數(shù).
問題2:下列關(guān)于x的方程中哪些是分式方程?
(1)1x=5;(2)x5=1;(3)x2-x+13=0;
(4)2x+2-1x;(5)4x+3y=7;(6)12x2-2a=1.
學(xué)生獨立完成.
探究2 分式方程的解法
1.解方程:2x-13-3x-12=116.
請兩名學(xué)生上臺板演,教師給出正確的解答過程.
解:去分母,得2(2x-1)-3(3x-1)=11.
去括號,得4x-2-9x+3=11.
移項,得4x-9x=11+2-3.
合并同類項,得-5x=10.
系數(shù)化為1,得x=-2.
2.解分式方程:9030+v=6030-v.
分析:先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.
解:9030+v=6030-v
去分母,兩邊同乘(30+v)(30-v)
90(30-v)=60(30+v)
去括號
2 700-90v=1 800+60v
移項
-90v-60v=1 800-2 700
合并同類項
-150v=-900
系數(shù)化為1
v=6
思考:v=6是原分式方程的解嗎?
將v=6代入原方程中,左邊=52=右邊,因此v=6是原分式方程的解.
總結(jié):解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程,具體做法是“去分母”,即方程兩邊同乘最簡公分母.
探究3 增根
解方程:1x-5=10x2-25.
解:方程兩邊同乘最簡公分母(x-5)(x+5),得整式方程x+5=10.
解得x=5.
將x=5代入原分式方程檢驗,分母x-5和x2-25的值都為0,相應(yīng)的分式無意義.
所以這個分式方程無解.
思考:上面兩個分式方程中,為什么9030+v=6030-v①去分母后所得整式方程的解就是①的解,而1x-5=10x2-25②去分母后所得整式方程的解卻不是②的解呢?
學(xué)生分小組進行交流,學(xué)生代表發(fā)言,教師總結(jié).
總結(jié):一般地,解分式方程時,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母為0,因此應(yīng)做如下檢驗:將整式方程的解代入最簡公分母,如果最簡公分母的值不為0,則整式方程的解是原分式方程的解;否則,這個解不是原分式方程的解.
設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生觀察、反思、對比方程①②的解法,得出解分式方程時檢驗的必要性和具體檢驗方法.讓學(xué)生經(jīng)歷這樣的探究過程,促使學(xué)生深刻地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生的合理性,有利于提升學(xué)生的思維能力.
典例精講
例 解方程:
(1)2x-3=3x; (2)xx-1-1=3(x-1)(x+2).
解:(1)方程兩邊同乘x(x-3),得2x=3x-9.解得x=9.
檢驗:當(dāng)x=9時,x(x-3)≠0.
所以,原分式方程的解為x=9.
(2)方程兩邊同乘(x-1)(x+2),得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.解得x=1.
檢驗:當(dāng)x=1時,(x-1)(x+2)=0,因此x=1不是原分式方程的解.
所以,原分式方程無解.
設(shè)計意圖:通過例題,使學(xué)生熟悉解分式方程的步驟以及檢驗方法,規(guī)范解題步驟及書寫格式,加深學(xué)生對分式方程解法的認識.
課堂小結(jié)
1.分式方程的概念是什么?
2.怎樣解分式方程?
設(shè)計意圖:讓學(xué)生自己總結(jié)本節(jié)課的內(nèi)容,幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識,培養(yǎng)學(xué)生的總結(jié)概括能力.
課堂8分鐘.
1.教材第150頁,152頁練習(xí),第154頁習(xí)題15.3第1題.
2.七彩作業(yè).
第1課時 分式方程
一、分式方程的概念.
二、解分式方程的基本思想——化歸.
三、解分式方程的一般步驟:
1.化——化分式方程為整式方程(去分母);
2.解——解整式方程;
3.檢驗——檢驗所得整式方程的解是否為原分式方程的解.
四、例題講解.
教學(xué)反思

第2課時 分式方程的實際應(yīng)用——工程、行程問題
課時目標
1.讓學(xué)生經(jīng)歷用分式方程解決實際問題的過程,體會分式方程是刻畫現(xiàn)實世界問題的有效數(shù)學(xué)模型,培養(yǎng)學(xué)生的建模思想.
2.通過讓學(xué)生列分式方程解決具體實際問題,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識,提高學(xué)生分析問題和解決實際問題的能力.
3.通過列分式方程解應(yīng)用題,使學(xué)生進一步掌握列方程解應(yīng)用題的方法和步驟,體會檢驗的必要性,滲透方程思想.
學(xué)習(xí)重點
會列分式方程解決實際問題.
學(xué)習(xí)難點
實際問題中相等關(guān)系的提煉及轉(zhuǎn)化為方程的過程.
課時活動設(shè)計
回顧舊知
1.解分式方程:1x-2+1=x+12x-4.
2.列方程解決實際問題的一般步驟: 審、設(shè)、列、解、驗、答 .
3.常見等量關(guān)系式:
路程=時間×速度;工作總量=工作效率×工作時間;順水速度=靜水速度+水流速度,逆水速度=靜水速度-水流速度;利潤=售價-進價.
設(shè)計意圖:復(fù)習(xí)解方程的步驟、列方程解決實際問題的步驟和常見等量關(guān)系式,喚醒學(xué)生已有的知識體系,為本節(jié)課的學(xué)習(xí)作鋪墊.
探究新知
問題:一艘輪船順水航行40千米所用的時間與逆水航行30千米所用的時間相同,若水流速度為3千米/時,求輪船在靜水中的速度.
分析:設(shè)輪船在靜水中的速度為x千米/時,則順水航行的速度為 x+3 千米/時,逆水航行的速度為 x-3 千米/時,順水航行的時間為 40x+3 小時,逆水航行的時間為 30x-3 小時,根據(jù)題意,可得方程 40x+3=30x-3 .
解:設(shè)輪船在靜水中的速度為x千米/時,則40x+3=30x-3,解得x=21.
檢驗:當(dāng)x=21時,(x+3)(x-3)≠0,
所以,x=21是原分式方程的解.
答:輪船在靜水中的速度為21千米/時.
對比列整式方程解應(yīng)用題的步驟,學(xué)生交流討論、教師歸納總結(jié)出列分式方程解實際問題的步驟:審、設(shè)、列、解、驗、答.
設(shè)計意圖:用同學(xué)們熟悉的實際問題引入分式方程的模型,激發(fā)學(xué)生對本節(jié)課學(xué)習(xí)的興趣.通過這道實際問題的解決,加深學(xué)生對解分式方程的步驟及解應(yīng)用題的步驟的認識.
典例精講
例1 兩個工程隊共同參與一項筑路工程,甲隊單獨施工1個月完成總工程的13,這時增加了乙隊,兩隊又共同工作了半個月,總工程全部完成.哪個隊的施工速度快?
解:設(shè)乙隊單獨施工1個月能完成總工程的1x.記總工程量為1,根據(jù)工程的實際進度,得13+16+12x=1.
方程兩邊乘6x,得2x+x+3=6x.解得x=1.
檢驗:當(dāng)x=1時,6x≠0.
所以,原分式方程的解為x=1.
由上可知,若乙隊單獨施工1個月可以完成全部任務(wù),對比甲隊1個月完成任務(wù)的13,可知乙隊的施工速度快.
例2 某次列車平均提速v km/h.用相同的時間,列車提速前行駛s km,提速后比提速前多行駛50 km,提速前列車的平均速度是多少?
解:設(shè)提速前這次列車的平均速度為x km/h,則提速前它行駛s km所用時間為sxh;
提速后列車的平均速度為(x+v)km/h,提速后它行駛(s+50)km所用時間為s+50x+v h.
根據(jù)行駛時間的等量關(guān)系,得sx=s+50x+v.
方程兩邊乘x(x+v),得s(x+v)=x(s+50).解得x=sv50.
檢驗:由v,s都是正數(shù),得x=sv50時,x(x+v)≠0.
所以,原分式方程的解為x=sv50.
答:提速前列車的平均速度為sv50 km/h.
設(shè)計意圖:通過例題讓學(xué)生鞏固解題步驟,規(guī)范書寫格式,親身體驗建立分式方程解決實際問題的過程,提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.
課堂小結(jié)
1.列分式方程解決實際問題的一般步驟是什么?
2.工程、行程問題中都存在哪些等量關(guān)系式?
設(shè)計意圖:通過小結(jié),讓學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容,提高學(xué)生的歸納總結(jié)能力.
課堂8分鐘.
1.教材第154頁練習(xí)第1,2題,第154頁習(xí)題15.3第3題.
2.七彩作業(yè).
第2課時 分式方程的實際應(yīng)用——工程、行程問題
一、列分式方程解決實際問題的一般步驟:審、設(shè)、列、解、驗、答.
二、例題講解.
教學(xué)反思

第3課時 分式方程的實際應(yīng)用——銷售及其他問題
課時目標
1.通過使學(xué)生經(jīng)歷用分式方程解決銷售問題的過程,體會分式方程是刻畫現(xiàn)實世界問題的有效數(shù)學(xué)模型,培養(yǎng)學(xué)生的建模思想.
2.通過讓學(xué)生列分式方程解決銷售問題,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識,提高學(xué)生分析問題和解決實際問題的能力.
學(xué)習(xí)重點
會列分式方程解決銷售問題.
學(xué)習(xí)難點
銷售問題中相等關(guān)系的尋找及轉(zhuǎn)化為方程的過程.
課時活動設(shè)計
回顧舊知
1.列分式方程解決實際問題的一般步驟: 審、設(shè)、列、解、驗、答 ;
2.銷售問題中基本量之間有什么關(guān)系?
利潤= 售價-進價 ;利潤率= 利潤進價 ;總價= 單價×數(shù)量 ;打折后的銷售價= 單價×折扣 ;……
設(shè)計意圖:通過復(fù)習(xí)列分式方程解決實際問題的步驟和銷售問題中常見的基本量之間的關(guān)系,喚起學(xué)生已有的知識體系,為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好準備.
探究新知
問題:在某“愛心義賣”活動中,商家購進甲、乙兩種文具,甲每個進貨價比乙高10元,90元購買乙的數(shù)量與150元購買甲的數(shù)量相同.求甲、乙的進貨價.
分析:設(shè)甲的進貨價為x元,則乙的進貨價為 x-10 元,150元可以購買甲的數(shù)量為 150x 個,90元可以購買乙的數(shù)量為 90x-10 個,根據(jù)題意,可得方程 150x=90x-10 .
解:設(shè)甲的進貨價為x元/個,則150x=90x-10,解得x=25.
經(jīng)檢驗,當(dāng)x=25時,x(x-10)≠0,所以x=25是原分式方程的解.
x-10=25-10=15.
答:甲的進貨價為25元/個,乙的進貨價為15元/個.
設(shè)計意圖:用同學(xué)們熟悉的實際問題題引入分式方程的模型,激發(fā)學(xué)生們對本節(jié)課學(xué)習(xí)的興趣,加深學(xué)生對解分式方程的步驟和解應(yīng)用題步驟的認識.
典例精講
例 某超市用5 000元購進一批新品種的蘋果進行試銷,由于銷售狀況良好,超市又用11 000元購進該品種的蘋果,但這次的進貨價比試銷時的進貨價每千克多了0.5元,購進蘋果的數(shù)量是試銷時的2倍.
(1)試銷時該品種的蘋果的進貨價是每千克多少元?
(2)如果超市將該品種的蘋果每次都按每千克7元的定價出售,當(dāng)大部分蘋果售出后,余下的400千克按定價的七折(“七折”即定價的70%)售完,那么超市兩次銷售該品種蘋果共贏利多少元?
解:(1)設(shè)試銷時該品種的蘋果的進貨價是每千克x元.
根據(jù)題意,得2×5000x=11000x+0.5,解得x=5.
經(jīng)檢驗,x=5是原分式方程的解.
答:試銷時該品種的蘋果的進貨價是每千克5元.
(2)試銷時購進蘋果的數(shù)量為50005=1 000(千克),第二次購進蘋果的數(shù)量為2×1 000=2 000(千克).
贏利為(1 000+2 000-400)×7+400×7×0.7-5 000-11 000=4 160(元).
答:超市兩次銷售該品種蘋果共贏利4 160元.
設(shè)計意圖:通過例題引導(dǎo)學(xué)生再次體會建立分式方程解決銷售問題的過程,增強學(xué)生對銷售問題中基本量之間關(guān)系的深刻理解,培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識.教學(xué)中,教師應(yīng)注意鼓勵學(xué)生積極探究,充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性,讓學(xué)生經(jīng)過自己的努力,最終解決實際問題,體驗到獲得成功后的喜悅.
鞏固訓(xùn)練
某商城銷售一種商品,第一個月將此商品的進價提高25%作為銷售價,共獲利6 000元.第二個月商場搞促銷活動,將商品的進價提高10%作為銷售價,第二個月的銷售量比第一個月增加了80件,并且商場第二個月比第一個月多獲利400元.此商品的進價是每件多少元?商場第二個月共銷售此商品多少件?
解:設(shè)此商品的進價為每件x元.
根據(jù)題意,得6000+40025%x=600025%x+80,解得x=500.
經(jīng)檢驗,x=500是原分式方程的解.
6000+40010%×500=128(件).
答:此商品的進價是每件500元,商場第二個月共銷售此商品128件.
設(shè)計意圖:通過練習(xí)鞏固所學(xué),提高學(xué)生分析和解決問題的能力.
課堂小結(jié)
1.列分式方程解決實際問題的步驟是什么?
2.銷售問題中常見量之間有什么關(guān)系?
設(shè)計意圖:通過小結(jié),讓學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容,提高學(xué)生的歸納總結(jié)能力.
課堂8分鐘.
1.教材第155頁習(xí)題15.3第7,8題.
2.七彩作業(yè).
第3課時 分式方程的實際應(yīng)用——銷售及其他問題
一、列分式方程解決實際問題的一般步驟:審、設(shè)、列、解、驗、答.
二、銷售問題中常見量之間的關(guān)系.
三、例題講解
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15.3 分式方程

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