注意事項(xiàng)：
1．答題前，請(qǐng)先將自己的姓名、班級(jí)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫清楚；
2．必須在答卷上答題，在草稿紙、試題卷上答題無效；
3．答題時(shí)，請(qǐng)考生注意各大題號(hào)后面的答題提示；
4．請(qǐng)注意卷面，保持字體工整、筆跡清晰、卷面清潔；
5．答卷上不準(zhǔn)使用涂改液、涂改膠和貼紙；
6．本試卷時(shí)量120分鐘，滿分120分．
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）
1．下列選項(xiàng)中，比低的溫度是（ ）
A．B．C．D．
2．如圖，原木旋轉(zhuǎn)陀螺是一種傳統(tǒng)益智玩具，是圓錐與圓柱的組合體，則它的俯視圖是（ ）
A．B．C．D．
3．下列運(yùn)算中，正確的是（ ）
A．B．C．D．
4．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
5．在2024甲辰龍年春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)上，長沙分會(huì)場(chǎng)壓軸亮相，展現(xiàn)了長沙潮流底色、文化底蘊(yùn)，制造底氣，讓全國觀眾欣賞到了一場(chǎng)朝氣蓬勃的演出，更是令游客對(duì)長沙心馳神往．這也讓長沙在2024春節(jié)熱門目的地排名進(jìn)入前十，據(jù)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，除夕至大年初八，長沙市納入監(jiān)測(cè)范圍的景區(qū)八天累計(jì)接待萬人次，比去年春節(jié)同期增長，“萬”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．B．C．D．
6．不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（ ）
A．B．C．D．
7．光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此當(dāng)光線從水中射向空氣時(shí)，要發(fā)生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的．如圖，，∠2的度數(shù)為（ ）
A．32°B．58°C．68°D．78°
8．某中學(xué)舉行了數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)大賽，賽后小強(qiáng)想提前知道自己的成績，老師告訴了他兩條信息：①其他五名學(xué)生的成績（單位：分）分別是85，87，90，93，95；②你的成績?cè)谶@六個(gè)分?jǐn)?shù)中既是眾數(shù)，又是中位數(shù)，請(qǐng)你思考，小強(qiáng)的成績是（ ）
A．85B．87C．90D．93

（第7題圖） （第10題圖） （第12題圖）
9．2024年4月12日下午，湖南師大附中舉行了慶祝建校119周年春季馬路賽跑活動(dòng)，賽程全長千米，小軍和小娟參加了這次活動(dòng)，已知小軍每小時(shí)能比小娟多跑1千米，他們同時(shí)起跑，小軍先到2分鐘，求小軍的速度．在這個(gè)問題中，若設(shè)小娟每小時(shí)能跑x千米，則可列方程為（ ）
A．B．C．D．
10．我國魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．“割圓術(shù)”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率π的近似值為．圓的半徑為1，運(yùn)用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正十二邊形面積近似估計(jì)圓的面積，可得π的估計(jì)值為3．如圖，若用半徑為1的圓的內(nèi)接正六邊形面積作近似估計(jì)，可得π的估計(jì)值為（ ）
A．3B．C．D．
二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）
11．若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是__________．
12．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，連接OM．若，則OM的長__________．

（第14題圖） （第15題圖） （第16題圖）
13．若扇形的圓心角為120°，半徑為2，則該扇形的面積是__________（結(jié)果保留π）．
14．如圖，廠房屋頂人字形鋼架（等腰三角形）的中柱AD（D為底邊中點(diǎn)）的長為5m，，則它的跨度BC為__________m．
15．自《學(xué)校食品安全與營養(yǎng)健康管理規(guī)定》發(fā)布后，多地提出“校長陪餐制”，即校長陪學(xué)生吃午餐．如圖是某校一張餐桌的示意圖，學(xué)生甲先坐在D座位，校長和學(xué)生乙在A，B，C三個(gè)座位中隨機(jī)選擇兩個(gè)座位，則校長和學(xué)生乙坐在正對(duì)面的概率為__________．
16．如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)（）的圖象經(jīng)過，兩點(diǎn)．若△ABO的面積為6，則的值為__________．
三、解答題（本大題共9個(gè)小題，第17、18、19題每題6分，第20、21題每題8分，第22、23題每題9分，第24、25題每題10分，共72分）
17．（6分）計(jì)算：．
18．（6分）先化簡，再求值：，其中．
19．（6分）下面是小華同學(xué)設(shè)計(jì)的“過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程．
已知：如圖1，直線l和直線l外一點(diǎn)P．求作：直線PM，使直線PM∥直線l．
作法：如圖2，
①在直線l上任取一點(diǎn)A，作射線AP；
②以P為圓心，PA為半徑作弧，交直線l于點(diǎn)B，連接PB；
③以P為圓心，PB長為半徑作弧，交射線AP于點(diǎn)C；分別以B，C為圓心，大于長為半徑作弧，在AC的右側(cè)兩弧交于點(diǎn)M；
④作直線PM；
所以直線PM就是所求作的直線．
圖1 圖2
根據(jù)上述作圖過程，回答問題：
（1）根據(jù)上述作圖過程可知：射線PM平分∠CPB，這種作角的角平分線的方法的依據(jù)是_____（填序號(hào)）．
①SSS②SAS③ASA④AAS
（2）完成下面的證明：
證明：由作圖可知PM平分∠CPB，
∴∠_________．
又∵，
∴∠________．
∵，
∴，
∴，
∴直線PM∥直線l．（_______________）（填寫推理依據(jù)）
20．（8分）運(yùn)動(dòng)是一切生命的源泉，運(yùn)動(dòng)使人健康、使人聰明、使人快樂，運(yùn)動(dòng)不僅能改變?nèi)说捏w質(zhì)，更能改變?nèi)说钠犯?，某中學(xué)為了解學(xué)生一周在家運(yùn)動(dòng)時(shí)長t（單位：小時(shí)）的情況，從本校學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，并將收集的數(shù)據(jù)整理分析，共分為四組（A．，B．，C．，D．，其中每周運(yùn)動(dòng)時(shí)間不少于3小時(shí)為達(dá)標(biāo)），繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）在這次抽樣調(diào)查中，共調(diào)查了______名學(xué)生；
（2）請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖，并計(jì)算在扇形統(tǒng)計(jì)圖中C組所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)；
（3）若該校有學(xué)生2000人，試估計(jì)該校學(xué)生一周在家運(yùn)動(dòng)時(shí)長不足2小時(shí)的人數(shù)．
21．（8分）如圖，，，點(diǎn)D在AC邊上，，AE和BD相交于點(diǎn)O．
（1）求證：；
（2）若，求∠BDE的度數(shù)．
22．（9分）“閱讀陪伴成長，書香潤澤人生”，某中學(xué)為營造書香校園，計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種規(guī)格的書柜放置新購置的圖書，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若購買甲種書柜5個(gè)，乙種書柜2個(gè)，共需要資金1380元；若購買甲種書柜4個(gè)，乙種書柜3個(gè)，共需資金1440元．
（1）甲、乙兩種書柜每個(gè)的價(jià)格分別是多少元？
（2）若該校計(jì)劃購進(jìn)這兩種規(guī)格的書柜共24個(gè)，其中購買乙種書柜的費(fèi)用不少于購買甲種書柜的費(fèi)用，問：學(xué)校應(yīng)如何購買，花費(fèi)資金最少，最少資金是多少？
23．（9分）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在DA，BC的延長線上，且，．
（1）求證：四邊形EBFD是矩形；
（2）若，，求菱形ABCD的邊長．
24．（10分）若拋物線（a、b、c為常數(shù)，）與直線l有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，且其中一個(gè)交點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，則稱直線l與拋物線L具有“友好”關(guān)系．
（1）下列拋物線中，與直線具有“友好”關(guān)系的有_______．
①；②；③．
（2）若直線與拋物線具有“友好”關(guān)系，且當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最小值為，求a和c的值．
（3）若直線（）與拋物線（）具有“友好”關(guān)系，記拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，與y軸的交點(diǎn)為D，若△ABC與△ADC相似，求直線的解析式．
25．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，CD平分∠ACB交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)E在CA的延長線上，滿足．
（1）求證：DE與⊙O相切；
（2）在下列兩個(gè)等式中，正確的請(qǐng)?jiān)谙鄳?yīng)的括號(hào)中打“√”，錯(cuò)誤的打“×”，并選擇其中一個(gè)正確的等式進(jìn)行證明；
①（ ）；
②（ ）；
（3）設(shè)△CED的面積為，△CDB的面積為，若，，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)x為何值時(shí)，y的值最大．

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