TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc10965" 【題型1 線段中的動點問題】 PAGEREF _Tc10965 \h 1
\l "_Tc10173" 【題型2 利用線段的條數(shù)解決實際問題】 PAGEREF _Tc10173 \h 2
\l "_Tc15899" 【題型3 直線、射線、線段的規(guī)律探究】 PAGEREF _Tc15899 \h 3
\l "_Tc495" 【題型4 線段的和差的實際應(yīng)用】 PAGEREF _Tc495 \h 4
\l "_Tc22296" 【題型5 三角板中角度探究】 PAGEREF _Tc22296 \h 5
\l "_Tc5472" 【題型6 探究角度之間的關(guān)系】 PAGEREF _Tc5472 \h 7
\l "_Tc558" 【題型7 角度中的規(guī)律探究】 PAGEREF _Tc558 \h 9
\l "_Tc25090" 【題型8 動角旋轉(zhuǎn)問題】 PAGEREF _Tc25090 \h 10
【題型1 線段中的動點問題】
【例1】（2023下·福建福州·七年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，已知OA+OB=20cm，點C、D分別為線段OA、OB上的動點，若點C從點O出發(fā)以1cm/s的速度沿OA方向運(yùn)動，同時點D從點B出發(fā)以3cm/s的速度沿BO方向運(yùn)動．

(1)如圖1，當(dāng)運(yùn)動時間為2s時，求AC+OD的值；
(2)如圖1，若在運(yùn)動過程中，始終保持OD=3AC，求OA的長；
(3)如圖2，在（2）的條件下，延長BO到點M，使OM=OA，點P是直線OB上一點，且MP?BP=OP，求OPMB的值．
【變式1-1】（2023上·山西太原·七年級?？计谀┤鐖D，直線上有A，B，C，D四個點，BC=2CD，AD=8CD，CD=4cm．

(1)線段AB=______cm
(2)動點P，Q分別從A點，D點同時出發(fā)，點P沿線段AC以3cm/秒的速度，向右運(yùn)動，到達(dá)點C后立即按原速向A點返回；點Q沿線段DA以1cm/秒的速度，向左運(yùn)動；P點再次到達(dá)A點時，兩點同時停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t（單位：秒）
①求P，Q兩點第一次相遇時，運(yùn)動時間t的值；
②求P，Q兩點第二次相遇時，與點A的距離．
【變式1-2】（2023上·浙江衢州·七年級?？计谀┤鐖D，點O為數(shù)軸的原點，A，B在數(shù)軸上按順序從左到右依次排列，點B表示的數(shù)為7，AB=12.
(1)直接寫出數(shù)軸上點A表示的數(shù).
(2)動點P、Q分別從A、B同時出發(fā)，點P以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運(yùn)動，點Q以每秒32個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運(yùn)動.
①經(jīng)過多少秒，點P是線段OQ的中點？
②在P、Q兩點相遇之前，點M為PO的中點，點N在線段OQ上，且QN=23OQ.
問：經(jīng)過多少秒，在P、M、N三個點中其中一個點為以另外兩個點為端點的線段的三等分點(把一條線段分成1:2的兩條線段的點叫做這條線段的三等分點.)？
【變式1-3】（2023上·廣東梅州·七年級?？茧A段練習(xí)）【新知理解】如圖①，點C在線段AB上，圖中的三條線段AB，AC和BC．若其中一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點C是線段AB的“巧點”．
(1)填空：線段的中點________這條線段的巧點；（填“是”或“不是”或“不確定是”）
(2)【問題解決】如圖②，點A和B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是?20和40，點C是線段AB的巧點，求點C在數(shù)軸上表示的數(shù)．
(3)【應(yīng)用拓展】在（2）的條件下，動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿AB向點B勻速運(yùn)動：動點Q從點B出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿BA向點A勻速運(yùn)動．點P，Q同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)終點時，兩個點運(yùn)動同時停止，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒，當(dāng)t為何值時，A，P，Q三點中，其中一點恰好是另外兩點為端點的線段的巧點？并求出此時巧點在數(shù)軸上表示的數(shù)．（直接寫出答案）．
【題型2 利用線段的條數(shù)解決實際問題】
【例2】（2023上·河南許昌·七年級許昌市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）2022年9月8日，隨著列車從鄭州港區(qū)段鳴笛出發(fā)，鄭許市域鐵路開始空載試運(yùn)行，未來“雙城生活模式”指日可待．圖中展示了鄭許市域鐵路的其中五個站點，若要滿足乘客在這五個站點之間的往返需求，鐵路公司需要準(zhǔn)備 種不同的車票．
【變式2-1】（2023上·山東聊城·七年級統(tǒng)考期中）如圖，點B，C，D在線段AE上．
（1）圖中共有幾條線段？說說你分析這個問題的具體思路．
（2）你能用上面的思路來解決“8位同學(xué)參加班上組織的象棋比賽，比賽采用單循環(huán)制（即每兩位同學(xué)之間都要進(jìn)行一場比賽），那么一共要進(jìn)行多少場比賽”這個問題嗎？
【變式2-2】（2023上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·七年級?？计谀?個籃球隊進(jìn)行單循環(huán)比賽,總的比賽場次是多少?4個球隊呢?5個球隊呢?
【變式2-3】（2023上·江西吉安·七年級?？茧A段練習(xí)）觀察圖形，并回答下列問題：

(1)圖中共有幾條線段？說明你分析這個問題的具體思路；
(2)請你用上面的思路來解決“十五個同學(xué)聚會每個人都與其他人握一次手，共握了多少次”這個問題；
(3)十五個同學(xué)聚會，每個人都送給其他人一張名片呢，共送了幾張？
【題型3 直線、射線、線段的規(guī)律探究】
【例3】（2023上·湖北武漢·七年級校考階段練習(xí)）如圖，點M在線段AN的延長線上，且線段MN=20，第一次操作：分別取線段AM和AN的中點M1，N1；第二次操作：分別取線段AM1和AN1的中點M2,N2；第三次操作：分別取線段AM2和AN2的中點M3,N3；……連續(xù)這樣操作10次，則每次的兩個中點所形成的所有線段之和M1N1+M2N2+?+M10N10=( )
A．20?1029B．20+1029C．20?10210D．20+10210
【變式3-1】（2023上·重慶江津·七年級統(tǒng)考期末）如圖，圖①中有1條線段，圖②中有3條不同線段，圖③中有6條不同線段，按此規(guī)律下去，圖⑦中有（ ）條不同的線段．
A．21B．22C．24D．28
【變式3-2】（2023·河北唐山·校聯(lián)考一模）如圖，平面內(nèi)有公共端點的六條射線OA，OB，OC，OD，OE，OF，從射線OA開始按逆時針方向依次在射線上寫出數(shù)字1，2，3，4，5，6，7.…
(1)“17”在射線_____上.
(2)請寫出OA，OB，OD三條射線上數(shù)字的排列規(guī)律.
(3)“2019”在哪條射線上？
【變式3-3】觀察圖形找出規(guī)律，并解答問題．
(1)5條直線相交，最多有_____個交點，平面最多被分成_____塊；
(2)n條直線相交，最多有__________個交點，平面最多被分成____________塊．
【題型4 線段的和差的實際應(yīng)用】
【例4】（2023上·河南周口·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖1是一種壁掛式折疊凳完全開啟時，與完全閉合時的狀態(tài)，圖2是完全開啟狀態(tài)的側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，外框?qū)扐B與CD相等，具體數(shù)據(jù)如圖2所示，則外框?qū)挒椋? ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
【變式4-1】（2023上·山東菏澤·七年級統(tǒng)考期末）某攝制組從A市到B市有一天的路程，由于堵車中午才趕到一個小鎮(zhèn)（D），只行駛了原計劃的三分之一（原計劃行駛到C地），過了小鎮(zhèn)，汽車趕了400千米，傍晚才停下來休息（休息處E），司機(jī)說：再走從C地到這里路程的二分之一就到達(dá)目的地了，問：A，B兩市相距多少千米．
【變式4-2】（2023上·浙江溫州·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，一款暗插銷由外殼AB，開關(guān)CD，鎖芯DE三部分組成，其工作原理如圖2，開關(guān)CD繞固定點O轉(zhuǎn)動，由連接點D帶動鎖芯DE移動.圖3為插銷開啟狀態(tài)，此時連接點D在線段AB上，如D1位置.開關(guān)CD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)180°后得到C2D2，鎖芯彈回至D2E2位置（點B與點E2重合），此時插銷閉合如圖4.已知CD=74mm，AD2?AC1=50mm，則BE1= mm.
【變式4-3】（2023上·江蘇揚(yáng)州·七年級?？计谀┤鐖D1，線段OP表示一條拉直的細(xì)線，A、B兩點在線段OP上，且OA：AP＝1：2，OB：BP＝2：7．若先固定A點，將OA折向AP，使得OA重疊在AP上；如圖2，再從圖2的B點及與B點重疊處一起剪開，使得細(xì)線分成三段，則此三段細(xì)線由小到大的長度比是（ ）
A．1:1:2B．2:2:5C．2:3:4D．2:3:5
【題型5 三角板中角度探究】
【例5】（2023上·福建福州·七年級統(tǒng)考期末）已知∠AOB．在∠AOB內(nèi)部畫射線OC，得到三個角，分別為∠AOC,∠BOC,∠AOB．若這三個角中有一個角是另外一個角的兩倍，則稱射線OC為∠AOB二倍角線．

(1)一個角的平分線 這個角的“二倍角線”（填“是”或“不是”）；
(2)如圖①，若∠AOB=90°,∠BOC

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