1．下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如圖，在△ABC中，BC邊上的高為（ ）
A．ABB．BDC．AED．BE
3．如圖，AD為△ABC的中線，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，下列結(jié)論正確的有（ ）
①∠EDF＝90°；②∠BAD＝∠CAD；③△BDE≌△DCF；④EF∥BC
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
4．已知如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點(diǎn)A，點(diǎn)Q是射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若∠MON＝60°，OP＝4，則PQ的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．不能確定
5．如圖，把一副常用三角板如圖所示拼在一起，延長(zhǎng)ED交AC于F，那么圖中∠AFE的度數(shù)是（ ）度．
A．60B．90C．100D．105
6．如圖，已知∠A＝∠C，要使△ABD≌△CBD，還需添加一個(gè)條件，則可以添加的條件是（ ）
A．AB＝CBB．AD＝CD
C．∠ABD＝∠CBDD．以上都不行
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
7．如圖是4×4正方形網(wǎng)格，其中已有3個(gè)小方格涂成了黑色．現(xiàn)在要從其余13個(gè)白色小方格中選出一個(gè)也涂成黑色，使整個(gè)涂成黑色的圖形成為軸對(duì)稱圖形，這樣的白色小方格有 個(gè)．
8．已知點(diǎn)M（a﹣1，5）和N（2，b﹣1）關(guān)于x軸對(duì)稱，則a﹣b的值為 ．
9．如圖，∠1＝∠2，加上條件 ，可以得到△ADB≌△ADC（SAS）．
10．給出三條線段：①a+1、a+2、a+3（a＞3）；②三邊之比為2：3：4；③20cm、8cm、10cm；④3k、4k、5k（k＞0）．其中能組成三角形的有 （填序號(hào)）．
11．如圖，在直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，﹣3），⊙A的半徑為1，點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)M是⊙A上一動(dòng)點(diǎn)，則PM+AM的最小值為 ．
12．如圖，已知△ABC≌△DEF，且點(diǎn)B與點(diǎn)E對(duì)應(yīng)，點(diǎn)C與點(diǎn)F對(duì)應(yīng)，BE＝5，BF＝1，則CF＝ ．
三．解答題（共5小題，滿分30分，每小題6分）
13．（6分）（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°．△ABC的高AD、BE相交于點(diǎn)M．求證：AM＝2CD；
（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠CAB的平分線，過點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E．若AD＝3，則BE＝ ．
14．（6分）一個(gè)多邊形除一個(gè)內(nèi)角外其余各內(nèi)角的和為2220°，求此內(nèi)角的度數(shù)．
15．（6分）用三角尺分別畫出下列圖形的對(duì)稱軸．
16．（6分）在正方形ABCD中，E是BC中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，且CF＝CD．
（1）如圖1，求證：∠AEF＝90°；
（2）如圖2，連接DE，延長(zhǎng)FE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BH⊥AF交AD于點(diǎn)H，垂足為M，交AE于點(diǎn)N，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中的所有等腰三角形．
17．（6分）如圖，已知點(diǎn)A，D，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB＝DE，∠B＝∠E，BC∥EF，求證：BC＝EF．
四．解答題（共3小題，滿分24分，每小題8分）
18．（8分）如圖，AD，AE，AF分別是△ABC的高線、角平分線和中線．
（1）有下列結(jié)論：
①BF＝AF；
②∠BAE＝∠CAE；
③S△ABF＝；
④∠C與∠CAD互余．
其中正確的是 （填序號(hào)）．
（2）若∠B＝30°，∠DAE＝16°，求∠C的度數(shù)．
19．（8分）如圖，B、F、C、E是直線l上的四點(diǎn)，AB∥DE，AB＝DE，BF＝CE．
（1）將△ABC沿直線l翻折得到△A′BC，用直尺和圓規(guī)在圖中作出△A′BC（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；
（2）連接A′D，則直線A′D與l的位置關(guān)系是 ，并證明你的結(jié)論．
20．（8分）如圖，在正五邊形ABCDE中，過點(diǎn)C作CD的垂線，與邊AB交于點(diǎn)F，求證：AE+AF＝BE．
五．解答題（共2小題，滿分18分，每小題9分）
21．（9分）小光的爺爺為我們講述了一個(gè)他親身經(jīng)歷的故事：
在抗日戰(zhàn)爭(zhēng)期間，為了炸毀與我軍陣地隔河相望的日軍碉堡，需要測(cè)出我軍陣地到日軍碉堡的距離，由于沒有任何測(cè)量工具，我軍戰(zhàn)士為此盡腦汁．這時(shí)，一位聰明的戰(zhàn)士想出了辦法，成功炸毀了碉堡．
（1）你認(rèn)為他是怎樣做到的？
方法是：戰(zhàn)士面向碉堡的方向站好，調(diào)整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他轉(zhuǎn)過一個(gè)角度，保持剛才的姿勢(shì)，這時(shí)，視線落在了自己所在岸的某一點(diǎn)上；接著，他用步測(cè)的方法量出自己與那個(gè)點(diǎn)的距離，這個(gè)距離就是他與碉堡的距離．
（2）你能根據(jù)戰(zhàn)士所用的方法，畫出相應(yīng)的圖形嗎？
①畫出相應(yīng)的圖形．
②戰(zhàn)士用的方法中，已知條件是什么？戰(zhàn)士要測(cè)的是什么？（結(jié)合圖形寫出）
③請(qǐng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)說明戰(zhàn)士這樣測(cè)的理由．
22．（9分）在△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝BC，點(diǎn)D是CB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AC上，連接DE與AB交于點(diǎn)F．
（1）如圖1，若∠EDC＝30°，EF＝4，求AF的長(zhǎng)．
（2）如圖2，若BD＝AE，求證：AF＝AC+BD．
（3）如圖3，移動(dòng)點(diǎn)D，使得點(diǎn)F是線段AB的中點(diǎn)時(shí)，DB＝，AB＝4，點(diǎn)P，Q分別是線段AC，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AP＝CQ，連接DP，F(xiàn)Q，請(qǐng)直接寫出DP+FQ的最小值．
六．解答題（共1小題，滿分12分，每小題12分）
23．（12分）求下列圖中x的值．
2022-2023學(xué)年江西省贛州市十校聯(lián)考八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
1．下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．
【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
B、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
C、是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
D、不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
2．如圖，在△ABC中，BC邊上的高為（ ）
A．ABB．BDC．AED．BE
【分析】根據(jù)三角形的高線的定義解答．
【解答】解：根據(jù)三角形的高的定義，AE為△ABC中BC邊上的高．
故選：C．
3．如圖，AD為△ABC的中線，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF，下列結(jié)論正確的有（ ）
①∠EDF＝90°；②∠BAD＝∠CAD；③△BDE≌△DCF；④EF∥BC
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
【分析】由DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，證明，，可判斷①符合題意；AD為△ABC的中線，可得BD＝CD，而∠BAD，∠CAD不一定相等，可判斷②不符合題意；證明∠EBD＝∠CDF，可得△BDE≌△DCF，可判斷③符合題意；△DCF可看作是△BDE沿B→D平移得到，可判斷④符合題意．
【解答】解：∵DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，
∴，，
∴，故①符合題意；
∵AD為△ABC的中線，
∴BD＝CD，而∠BAD，∠CAD不一定相等，故②不符合題意；
∵BE⊥DE，CF⊥DF，
∴∠BED＝∠DFC＝90°，
∴∠EBD+∠EDB＝90°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠BDE+∠CDF＝90°，
∴∠EBD＝∠CDF，
∵BD＝CD，
∴△BDE≌△DCF，故③符合題意；
∴∠EDB＝∠FCD，ED＝FC，BE＝DF，
∴△DCF可看作是△BDE沿B→D平移得到，
∴EF∥BC，故④符合題意．
綜上：符合題意的有：①③④．
故選：B．
4．已知如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點(diǎn)A，點(diǎn)Q是射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若∠MON＝60°，OP＝4，則PQ的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．不能確定
【分析】作PQ′⊥OM于Q′，根據(jù)角平分線的定義得到∠POQ′＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出PQ′，根據(jù)垂線段最短解答．
【解答】解：作PQ′⊥OM于Q′，
∵∠MON＝60°，OP平分∠MON，
∴∠POQ′＝30°，
∴PQ′＝OP＝2，
由垂線段最短可知，PQ的最小值是2，
故選：A．
5．如圖，把一副常用三角板如圖所示拼在一起，延長(zhǎng)ED交AC于F，那么圖中∠AFE的度數(shù)是（ ）度．
A．60B．90C．100D．105
【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)（三角形的外角等于與之不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）解決此題．
【解答】解：由題意得，∠E＝45°，∠C＝60°．
∴∠AFE＝∠E+∠C＝45°+60°＝105°．
故選：D．
6．如圖，已知∠A＝∠C，要使△ABD≌△CBD，還需添加一個(gè)條件，則可以添加的條件是（ ）
A．AB＝CBB．AD＝CD
C．∠ABD＝∠CBDD．以上都不行
【分析】由已知∠A＝∠C，及公共邊BD＝BD，可知要使△ABD≌△CBD，已經(jīng)具備了AS了，然后根據(jù)全等三角形的判定定理，應(yīng)該有兩種判定方法AAS，所以可添∠ABD＝∠CBD或∠ADB＝∠CDB．
【解答】解：A、添加AB＝CB，不能判定△ABD≌△CBD，選項(xiàng)不符合題意；
B、添加AD＝CD，不能判定△ABD≌△CBD，選項(xiàng)不符合題意；
C、添加∠ABD＝∠CBD，可以根據(jù)AAS判定△ABD≌△CBD，選項(xiàng)符合題意；
D、C可以，不是以上都不行，選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
7．如圖是4×4正方形網(wǎng)格，其中已有3個(gè)小方格涂成了黑色．現(xiàn)在要從其余13個(gè)白色小方格中選出一個(gè)也涂成黑色，使整個(gè)涂成黑色的圖形成為軸對(duì)稱圖形，這樣的白色小方格有 4 個(gè)．
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念分別找出各個(gè)能成軸對(duì)稱圖形的小方格即可．
【解答】解：如圖所示，有4個(gè)位置使之成為軸對(duì)稱圖形．
故答案為：4．
8．已知點(diǎn)M（a﹣1，5）和N（2，b﹣1）關(guān)于x軸對(duì)稱，則a﹣b的值為 7 ．
【分析】直接利用關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)得出a，b的值，進(jìn)而得出答案．關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．
【解答】解：∵點(diǎn)M（a﹣1，5）和N（2，b﹣1）關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴a﹣1＝2，b﹣1＝﹣5，
解得a＝3，b＝﹣4，
∴a﹣b＝3+4＝7．
故答案為：7．
9．如圖，∠1＝∠2，加上條件 AB＝AC ，可以得到△ADB≌△ADC（SAS）．
【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證得△ADB≌△ADC．
【解答】解：加上條件，AB＝AC，可以得到△ADB≌△ADC（SAS）．
在△ADB與△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC（SAS），
故答案為：AB＝AC．
10．給出三條線段：①a+1、a+2、a+3（a＞3）；②三邊之比為2：3：4；③20cm、8cm、10cm；④3k、4k、5k（k＞0）．其中能組成三角形的有 ①②④ （填序號(hào)）．
【分析】①a+1+a+2＝2a+3＞a+3滿足三角形三邊關(guān)系，據(jù)此可判斷①是否符合題意；
②可設(shè)三邊長(zhǎng)度為2k，3k，4k，其中k≠0，再利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)行判斷，同理判斷③、④．
【解答】解：①因?yàn)閍＞0，a+1+a+2＝2a+3＞a+3，能夠組成三角形；
②設(shè)三邊長(zhǎng)度為2k，3k，4k，其中k≠0，2k+3k＞4k，能組成三角形；
③8+10＜20，不能組成三角形；
④4k+3k＞5k，能組成三角形．
故答案為：①②④．
11．如圖，在直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，﹣3），⊙A的半徑為1，點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)M是⊙A上一動(dòng)點(diǎn)，則PM+AM的最小值為 3 ．
【分析】由題意可知當(dāng)A，M，P三點(diǎn)共線時(shí)，PM+AM有最小值，連接AP交⊙A于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AE⊥x于點(diǎn)E，由勾股定理求出AP的長(zhǎng)，則可得出答案．
【解答】解：點(diǎn)M是⊙A上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)A，M，P三點(diǎn)共線時(shí)，PM+AM有最小值，
連接AP交⊙A于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AE⊥x于點(diǎn)E，
∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，﹣3），點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，0），
∴AE＝3，EP＝OE+OP＝4+2＝6，
∴AP＝＝＝3．
∴PM+AM的最小值為3．
故答案為：3．
12．如圖，已知△ABC≌△DEF，且點(diǎn)B與點(diǎn)E對(duì)應(yīng)，點(diǎn)C與點(diǎn)F對(duì)應(yīng)，BE＝5，BF＝1，則CF＝ 3 ．
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證得BC＝EF，再根據(jù)線段的和差即可求得CF，
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，且點(diǎn)B與點(diǎn)E對(duì)應(yīng)，點(diǎn)C與點(diǎn)F對(duì)應(yīng)，
∴BC＝EF，
∵BE＝5，BF＝1，
∴EF＝BE﹣BF＝4，
∴BC＝4，
∴CF＝BC﹣BF＝4﹣1＝3，
故答案為3．
三．解答題（共5小題，滿分30分，每小題6分）
13．（6分）（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°．△ABC的高AD、BE相交于點(diǎn)M．求證：AM＝2CD；
（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠CAB的平分線，過點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E．若AD＝3，則BE＝ 1.5 ．
【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)BE、AC交于F點(diǎn)，首先利用三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠F＝∠ABF，進(jìn)而得到AF＝AB，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BE＝BF，然后證明△ADC≌△BFC，可得BF＝AD，進(jìn)而得到BE＝AD．
【解答】解：（1）在△ABC中，
∵∠BAC＝45°，BE⊥AC，
∴AE＝BE，∠EAM＝∠EBC，
在△AEM和△BEC中，，
∴△AEM≌△BEC（ASA），
∴AM＝BC，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴BC＝2CD，
∴AM＝2CD；
（2）解：延長(zhǎng)BE、AC交于F點(diǎn)，如圖，
∵BE⊥EA，
∴∠AEF＝∠AEB＝90°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAE＝∠BAE，
∴∠F＝∠ABE，
∴AF＝AB，
∵BE⊥EA，
∴BE＝EF＝BF，
∵△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，
∴∠CAB＝45°，
∴∠AFE＝（180﹣45）°÷2＝67.5°，∠FAE＝22.5°，
∴∠CDA＝67.5°，
∵在△ADC和△BFC中，，
∴△ADC≌△BFC（AAS），
∴BF＝AD，
∴BE＝AD＝1.5，
故答案為：1.5．
14．（6分）一個(gè)多邊形除一個(gè)內(nèi)角外其余各內(nèi)角的和為2220°，求此內(nèi)角的度數(shù)．
【分析】根據(jù)n邊形的內(nèi)角和公式，則內(nèi)角和應(yīng)是180°的倍數(shù)，且每一個(gè)內(nèi)角應(yīng)大于0°而小于180度，根據(jù)這些條件進(jìn)行分析求解即可．
【解答】解：∵2220°÷180°＝12…60°，
∴該內(nèi)角應(yīng)是180°﹣60°＝120度．
15．（6分）用三角尺分別畫出下列圖形的對(duì)稱軸．
【分析】①根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)作圖；
②根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)作圖；
③根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)作圖；
④根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)作圖．
【解答】解：圖①、圖②、圖③、圖④即為所求．
16．（6分）在正方形ABCD中，E是BC中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，且CF＝CD．
（1）如圖1，求證：∠AEF＝90°；
（2）如圖2，連接DE，延長(zhǎng)FE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BH⊥AF交AD于點(diǎn)H，垂足為M，交AE于點(diǎn)N，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中的所有等腰三角形．
【分析】（1）易證△ABE∽△ECF，可得∠BAE＝∠CEF；由于∠BAE+∠BEA＝90°，等量代換可得∠BEA+∠CEF＝90°，結(jié)論可得；
（2）易證△BEG≌△CEF，可得∠GE＝EF，由于AE⊥EF，可得AE為GF的垂直平分線，所以AG＝AF，△AGF為等腰三角形；易證△ABE≌△DCE，可得EA＝ED，△EAD為等腰三角形；由BH⊥AF可得∠MAH+∠AHM＝90°．由AD∥BC，可得∠AHM＝∠HBC，因?yàn)椤螦BC＝90°，可得∠HBC+∠ABH＝90°，所以，∠ABH＝∠MAH．利用三角形的外角的性質(zhì)可得∠ANH＝∠HAN，△ANH為等腰三角形；同理可得△BEN為等腰三角形．
【解答】解：（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD．
∵E是BC中點(diǎn)，
∴，EC＝BC＝CD．
∵CF＝CD，
∴．
∴．
∴△ABE∽△ECF．
∴∠BAE＝∠CEF．
∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠BEA+∠CEF＝90°．
∴∠AEF＝90°．
∠AEF（2）∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠GBE＝∠C＝90°，AB∥CD．
∴∠G＝∠CFE．
在△BEG和△CEF中，
．
∴△BEG≌△CEF（AAS）．
∴GE＝EF．
∵∠AEF＝90°，
∴AE是GF的垂直平分線．
∴AG＝AF．
∴△AGF為等腰三角形．
∴∠GAE＝∠FAE．
∵BH⊥AF，
∴∠MAH+∠AHM＝90°．
∵AD∥BC，
∴∠AHM＝∠HBC．
∵∠ABC＝90°，
∴∠HBC+∠ABH＝90°．
∴∠ABH＝∠MAH．
∵∠ANH＝∠ABH+∠GAE，
∴∠ANH＝∠MAH+∠EAF＝∠NAH．
∴HA＝HN．
∴△HAN為等腰三角形．
∵AD∥BC，
∴∠HAN＝∠BEN．
∵∠ANH＝∠BNE，
∴∠BEN＝∠BNE．
∴△BEN為等腰三角形．
在△ABE和△DCE中，
．
∴△ABE≌△DCE（SAS）．
∴EA＝ED．
∴△AED為等腰三角形．
綜上，等腰三角形有：△AED，△BEN，△AHN，△AGF．
17．（6分）如圖，已知點(diǎn)A，D，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB＝DE，∠B＝∠E，BC∥EF，求證：BC＝EF．
【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)即可證明．
【解答】證明：∵BC∥EF．
∴∠F＝∠ACB，
在△AEC和△DBF中，
，
∴△AEC≌△DBF（AAS），
∴BC＝EF．
四．解答題（共3小題，滿分24分，每小題8分）
18．（8分）如圖，AD，AE，AF分別是△ABC的高線、角平分線和中線．
（1）有下列結(jié)論：
①BF＝AF；
②∠BAE＝∠CAE；
③S△ABF＝；
④∠C與∠CAD互余．
其中正確的是 ②③④ （填序號(hào)）．
（2）若∠B＝30°，∠DAE＝16°，求∠C的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)△的中線，高線，角平分線的定義依次進(jìn)行判斷即可；
（2）根據(jù)AD是△ABC的高線，可得∠ADE＝90°，進(jìn)一步可得∠AED的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠BAE的度數(shù)，再根據(jù)AE是△ABC的角平分線，可得∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠C的度數(shù)．
【解答】解：（1）∵AF是△ABC的中線，
∴BF＝FC，
故①選項(xiàng)不符合題意；
∵AE是△ABC的角平分線，
∴∠BAE＝∠CAE，
故②選項(xiàng)符合題意；
∵AF是△ABC的中線，
∴S△ABF＝S△ABC，
故③選項(xiàng)符合題意；
∵AD是△ABC的高線，
∴∠ADC＝90°，
∴∠C與∠CAD互余，
故④選項(xiàng)符合題意；
故答案為：②③④；
（2）∵AD是△ABC的高線，
∴∠ADE＝90°，
∵∠DAE＝16°，
∴∠AED＝90°﹣16°＝74°，
∵∠B＝30°，
∴∠BAE＝∠AED﹣∠B＝74°﹣30°＝44°，
∵AE是△ABC的角平分線，
∴∠BAC＝2∠BAE＝88°，
∴∠C＝180°﹣（∠B+∠BAC）＝62°．
19．（8分）如圖，B、F、C、E是直線l上的四點(diǎn)，AB∥DE，AB＝DE，BF＝CE．
（1）將△ABC沿直線l翻折得到△A′BC，用直尺和圓規(guī)在圖中作出△A′BC（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；
（2）連接A′D，則直線A′D與l的位置關(guān)系是 平行 ，并證明你的結(jié)論．
【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)畫出圖形，
（2）進(jìn)而解答即可．
【解答】（1）如圖所示，△A′BC即為所求：
（2）直線A′D與l的位置關(guān)系是平行，
證明：∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
即BC＝EF，
∵AB∥DE，
∴∠ABC＝∠DEF，
在△ABC與△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
∵翻折，
∴△A′BC≌△DEF，
∴A′D∥l．
故答案為：平行．
20．（8分）如圖，在正五邊形ABCDE中，過點(diǎn)C作CD的垂線，與邊AB交于點(diǎn)F，求證：AE+AF＝BE．
【分析】連接AC交BE于點(diǎn)G，連接GF，由正五邊的性質(zhì)求出∠EAB＝108°，由等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得∠AEB＝∠BAC＝36°，然后證明△BCF≌△GCF（SAS），得出∠CBF＝∠CGF＝108°，證出AG＝AF，則可得出結(jié)論．
【解答】證明：如圖，連接AC交BE于點(diǎn)G，連接GF，
∵正五邊形ABCDE的內(nèi)角和是540°，
∴∠EAB＝108°，
∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴∠ABE＝×（180°﹣108°）＝36°，
∴∠AEB＝∠BAC＝36°，
∴∠EAC＝108°﹣36°＝72°，
∴∠EGA＝72°，
∴AE＝EG，
又∵∠BAC＝∠ABG＝36°，
∴GA＝GB，
∴EA+GA＝EG+GB＝BE，
又∠BCF＝180°﹣90°﹣72°＝18°，∠GCF＝36°﹣18°＝18°，
∴∠CGB＝∠CBG＝72°，
∴CG＝CB，
在△BCF和△GCF中，
，
∴△BCF≌△GCF（SAS），
∴∠CBF＝∠CGF＝108°，
∴∠AGF＝∠AFG＝72°，
∴AG＝AF，
∴AE+AF＝BE．
五．解答題（共2小題，滿分18分，每小題9分）
21．（9分）小光的爺爺為我們講述了一個(gè)他親身經(jīng)歷的故事：
在抗日戰(zhàn)爭(zhēng)期間，為了炸毀與我軍陣地隔河相望的日軍碉堡，需要測(cè)出我軍陣地到日軍碉堡的距離，由于沒有任何測(cè)量工具，我軍戰(zhàn)士為此盡腦汁．這時(shí)，一位聰明的戰(zhàn)士想出了辦法，成功炸毀了碉堡．
（1）你認(rèn)為他是怎樣做到的？
方法是：戰(zhàn)士面向碉堡的方向站好，調(diào)整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他轉(zhuǎn)過一個(gè)角度，保持剛才的姿勢(shì)，這時(shí)，視線落在了自己所在岸的某一點(diǎn)上；接著，他用步測(cè)的方法量出自己與那個(gè)點(diǎn)的距離，這個(gè)距離就是他與碉堡的距離．
（2）你能根據(jù)戰(zhàn)士所用的方法，畫出相應(yīng)的圖形嗎？
①畫出相應(yīng)的圖形．
②戰(zhàn)士用的方法中，已知條件是什么？戰(zhàn)士要測(cè)的是什么？（結(jié)合圖形寫出）
③請(qǐng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)說明戰(zhàn)士這樣測(cè)的理由．
【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠BAD＝∠BAC＝90°，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：（2）①如圖，
②已知條件是AB⊥CD，∠ABC＝∠ABD．
③戰(zhàn)士要測(cè)的是AD＝AC．
理由：∵AB⊥CD，
∴∠BAD＝∠BAC＝90°，
在△ABD與△ABC中，
，
∴△ABD≌△ABC（ASA），
∴AD＝AC．
22．（9分）在△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝BC，點(diǎn)D是CB延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AC上，連接DE與AB交于點(diǎn)F．
（1）如圖1，若∠EDC＝30°，EF＝4，求AF的長(zhǎng)．
（2）如圖2，若BD＝AE，求證：AF＝AC+BD．
（3）如圖3，移動(dòng)點(diǎn)D，使得點(diǎn)F是線段AB的中點(diǎn)時(shí)，DB＝，AB＝4，點(diǎn)P，Q分別是線段AC，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AP＝CQ，連接DP，F(xiàn)Q，請(qǐng)直接寫出DP+FQ的最小值．
【分析】（1））過點(diǎn)F作FG⊥AC于點(diǎn)G，在Rt△EFG中利用勾股定理求得GF的長(zhǎng)，在等腰直角三角形AFG中即可求得AF的長(zhǎng)；
（2）過點(diǎn)E作EH⊥AC交AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作HM⊥BC于點(diǎn)M，通過證明△HEF≌△DBF，利用全等三角形的性質(zhì)與等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（3）過點(diǎn)F作FM⊥AC于點(diǎn)M，延長(zhǎng)FM至F′使F′M＝FM，則F′與F關(guān)于AC對(duì)稱，過點(diǎn)F′作F′N⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，證明△APF≌△CQF，利用軸對(duì)稱解決路徑最短問題即可求得結(jié)論．
【解答】解：（1）過點(diǎn)F作FG⊥AC于點(diǎn)G，如圖，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∵∠ECD＝90°，∠EDC＝30°，
∴∠DEG＝60°．
∵FG⊥AC，EF＝4，
∴EG＝EF＝2，
∴FG＝＝2．
∵FG⊥AC，∠A＝45°，
∴AG＝FG＝2，
∴AF＝＝2．
（2）過點(diǎn)E作EH⊥AC交AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作HM⊥BC于點(diǎn)M，如圖，
∵EH⊥AC，∠A＝45°，
∴AE＝EH，AH＝AE．
∵BD＝AE，
∴EH＝BD．
∵EH⊥AC，DC⊥AC，
∴HE∥CD，
∴∠HEF＝∠D．
在△HEF和△DBF中，
∴△HEF≌△DBF（AAS）．
∴HF＝BF＝BH．
∵∠HEC＝∠ACB＝∠HMC＝90°，
∴四邊形HECM為矩形，
∴CM＝HE，HM＝EC．
∵HM⊥BC，∠ABC＝45°，
∴EC＝HM＝BH，
∴AF＝AH+HF＝AE+BH．
∴AF＝2AE+BH，
即：AF＝AE+AE+EC＝AE+AC．
∴AF＝AC+BD．
（3）∵AB＝4，
∴AF＝FB＝FC＝2，AC＝BC＝4．
∵F是線段AB的中點(diǎn)，△ABC是等腰直角三角形，
∴AF＝FC，∠FCQ＝∠A＝45°．
在△APF和△CQF中，
，
∴△APF≌△CQF（SAS）．
∴PF＝FQ．
∴DP+FQ＝DP+PF．
過點(diǎn)F作FM⊥AC于點(diǎn)M，延長(zhǎng)FM至F′使F′M＝FM，則F′與F關(guān)于AC對(duì)稱，
連接DF′交AC于點(diǎn)P，如圖，則此時(shí)DP+FP＝DF′，取得最小值，
過點(diǎn)F′作F′N⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，
∵∠AFC＝90°，F(xiàn)M⊥AC，∠A＝45°，
∴AM＝MC＝AC＝2，F(xiàn)M＝AC＝2．
∴F′M＝FM＝2．
∵∠F′MC＝∠MCN＝∠N＝90°，
∴四邊形MF′NC為矩形．
∴CN＝F′M＝2，F(xiàn)′N＝MC＝2．
∴DN＝BD+BC+CN＝+4+2＝．
∴DF′＝＝．
∴DP+FQ的最小值為．
六．解答題（共1小題，滿分12分，每小題12分）
23．（12分）求下列圖中x的值．
【分析】根據(jù)直角三角形的銳角互余即可求出x的值；
根據(jù)四邊形的內(nèi)角和即可求出x的值；
根據(jù)外角的性質(zhì)即可求出x的值．
【解答】解：因?yàn)橹苯侨切蔚膬蓚€(gè)銳角互余，
所以x°+50°＝90°，
解得x＝40；
因?yàn)樗倪呅蔚膬?nèi)角和為360°，
所以x°+（x+10）°+60°+90°＝360°，
解得x＝100；
因?yàn)橥饨堑扔诓幌噜弮蓚€(gè)內(nèi)角的和，
所以x°+（x+10）°＝（x+70）°，
解得x＝60．

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