1．下列計算正確的是（ ）
A．（﹣a3）2＝﹣a6B．a(chǎn)3?a2＝a6
C．（2a）2＝2a2D．a(chǎn)3÷a2＝a
2．在下列條件下，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠A＝∠D，AB＝DE，AC＝DFB．∠A＝∠D，∠B＝∠E，AB＝DE
C．∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC＝DFD．∠B＝∠E，BC＝EF，AC＝DF
3．若分式 的值為0，則x的值為（ ）
A．0B．2C．﹣2D．0或2
4．如圖，△ABC中，AB＝BC，點D在AC上，BD⊥BC．設(shè)∠BDC＝α，∠ABD＝β，則（ ）
A．3α+β＝180°B．2α+β＝180°C．3α﹣β＝90°D．2α﹣β＝90°
5．等腰三角形的面積為24平方厘米，腰長8厘米．在底邊上有一個動點P，則P到兩腰的距離之和為（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
6．如圖，在等邊△ABC中，AD⊥BC于D，延長BC到E，使，F(xiàn)是AC的中點，連接EF并延長EF交AB于G，BG的垂直平分線分別交BG，AD于點M，點N，連接GN，CN，下列結(jié)論：①∠ACN＝∠BGN；②；③∠GNC＝120°；④GM＝CN；⑤EG⊥AB，其中正確的個數(shù)是（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
7．已知5x＝m，5y＝n，則52x+y的值為 ．
8．如圖，∠ABC的平分線BF與△ABC中∠ACB的相鄰外角∠ACG的平分線CF相交于點F，過F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8cm，DE＝3cm，AE＝2cm，求AC的長為 cm．
9．如果關(guān)于x的多項式x2﹣8x+m是一個完全平方式，那么m＝ ．
10．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝6，P為BC邊的垂直平分線DE上一個動點，則△ACP周長的最小值為 ．
11．如圖，D為△ABC內(nèi)一點，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足為D，交AC與點E，∠A＝∠ABE．若AC＝7，BC＝4，則BD的長為 ．
12．如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD是BC邊上的高，∠ABC的平分線BE交AD于點F，則圖中共有等腰三角形 個．
三．解答題（共11小題，滿分84分）
13．（6分）分解因式：x2y﹣9y．
14．（6分）計算：
①（b﹣c+4）（c﹣b+4）﹣（b﹣c）2
②2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
15．（6分）已知△ABC和△CDE都為正三角形，點B，C，D在同一直線上，請僅用無刻度的直尺完成下列作圖，不寫作法，保留作圖痕跡．
（1）如圖1，當BC＝CD時，作△ABC的中線BF；
（2）如圖2，當BC≠CD時，作△ABC的中線BG．
16．（6分）已知a，b均為正數(shù)，且a≠b，試比較a5+b5與a4b+ab4的大?。?br>17．（6分）如圖，畫∠AOB＝90°，并畫∠AOB的平分線OC．
（1）將三角尺的直角頂點落在OC的任意一點P處，使三角尺的兩條直角邊與∠AOB的兩邊分別垂直，垂足分別為E、F（如圖①），則PE PF；（填“＞”“＜”或“＝”）
（2）把三角尺繞著點P旋轉(zhuǎn)（如圖②），兩直角邊分別與OA、OB交于點E、F，那么PE與PF相等嗎？試猜想PE與PF的大小關(guān)系，并說明理由．
18．（8分）計算題
（1）解方程組；
（2）整式的乘法a（2﹣a）+（a﹣1）2；
（3）因式分解a3﹣2a2b+ab2；
（4）因式分解18x2﹣32y2．
19．（8分）已知在△ABC中，AC＝BC，分別過A，B兩點作互相平行的直線AM，BN，過點C的直線分別交直線AM，BN于點D，E．
（1）如圖1，若AM⊥AB，求證：CD＝CE；
（2）如圖2，∠ABC＝∠DEB＝60°，判斷線段AD，DC與BE之間的關(guān)系，并說明理由．
20．（8分）已知：如圖，△ABC是等邊三角形，AE＝BD，AD與CE交于點F，求∠CFD的度數(shù)．
21．（9分）利用因式分解進行簡便計算：
（1）；
（2）6212﹣1482﹣769×373．
22．（9分）把幾個圖形拼成一個新的圖形，再通過兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個等式，也可以求出一些不規(guī)則圖形的面積．例如，由1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2
（1）如圖2，將幾個面積不等的小正方形與小長方形拼成一個邊長為a+b+c的正方形，試用不同的形式表示這個大正方形的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？請用等式表示出來．（直接寫出等式）
（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，填空：
已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，則a2+b2+c2＝
（3）如圖3，將兩個邊長分別為a和b的正方形拼在一起，B，C，G三點在同一直線上，連接BD和BF
①用含a，b的式子表示陰影部分的面積S＝
②若a+b＝10，ab＝20，則陰影部分的面積S＝
23．（12分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．
（1）如圖1，BD平分∠ABC交AC于點D，F(xiàn)為BC上一點，連接AF交BD于點E．
（ⅰ）若AB＝BF，求證：BD垂直平分AF；
（ⅱ）若AF⊥BD，求證：AD＝CF．
（2）如圖2，BD平分∠ABC交AC于點D，CE⊥BD，垂足E在BD的延長線上．試判斷線段CE和BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）如圖3，F(xiàn)為BC上一點，∠EFC＝∠B，CE⊥EF，垂足為E，EF與AC交于點D．寫出線段CE和FD的數(shù)量關(guān)系（不要求寫出過程）．
2022-2023學年江西省上饒市十校聯(lián)考八年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
1．下列計算正確的是（ ）
A．（﹣a3）2＝﹣a6B．a(chǎn)3?a2＝a6
C．（2a）2＝2a2D．a(chǎn)3÷a2＝a
【分析】根據(jù)冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法分別進行計算，再逐個判斷即可．
【解答】解：A．結(jié)果是a6，故本選項不符合題意；
B．結(jié)果是a5，故本選項不符合題意；
C．結(jié)果是4a2，故本選項不符合題意；
D．結(jié)果是a，故本選項符合題意；
故選：D．
2．在下列條件下，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠A＝∠D，AB＝DE，AC＝DFB．∠A＝∠D，∠B＝∠E，AB＝DE
C．∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC＝DFD．∠B＝∠E，BC＝EF，AC＝DF
【分析】三條邊分別對應相等的兩個三角形全等；兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等；兩角及其夾邊分別對應相等的兩個三角形全等；兩角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等，據(jù)此判斷即可．
【解答】解：A、由∠A＝∠D，AB＝DE，AC＝DF，根據(jù)SAS，可以判定△ABC≌△DEF，本選項不符合題意．
B、由∠A＝∠D，∠B＝∠E，AB＝DE，根據(jù)ASA，可以判定△ABC≌△DEF，本選項不符合題意．
C、由∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC＝DF，根據(jù)AAS，可以判定△ABC≌△DEF，本選項不符合題意．
D、由∠B＝∠E，BC＝EF，AC＝DF，SSA無法判斷三角形全等，本選項符合題意，
故選：D．
3．若分式 的值為0，則x的值為（ ）
A．0B．2C．﹣2D．0或2
【分析】分式值是0的條件是分子等于0而分母不等于0，據(jù)此即可求解．
【解答】解：根據(jù)題意得：3x2﹣6x＝0且x﹣2≠0，
解得：x＝0．
故選：A．
4．如圖，△ABC中，AB＝BC，點D在AC上，BD⊥BC．設(shè)∠BDC＝α，∠ABD＝β，則（ ）
A．3α+β＝180°B．2α+β＝180°C．3α﹣β＝90°D．2α﹣β＝90°
【分析】由AB＝BC得出∠A＝∠C，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和直角三角形銳角互余，即可得到α﹣∠A＝β，α+∠C＝90°，兩式相加即可得出2α＝90°+β，從而求得2α﹣β＝90°．
【解答】解：∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵α﹣∠A＝β，α+∠C＝90°，
∴2α＝90°+β，
∴2α﹣β＝90°，
故選：D．
5．等腰三角形的面積為24平方厘米，腰長8厘米．在底邊上有一個動點P，則P到兩腰的距離之和為（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
【分析】連接AP，由三角形的面積公式證得S△ABP+S△ACP＝S△ABC，根據(jù)AB＝AC即可求出PE+PF．
【解答】解：已知：△ABC中，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，AB＝AC＝8厘米，△ABC的面積為24平方厘米，P是底邊BC上一個動點．
求：PE+PF的值．
解：連接AP，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴S△ABP＝AB?PE，S△ACP＝AC?PF，
∵S△ABP+S△ACP＝S△ABC,S△ABC＝24，
∴AB?PE+AC?PF＝24，
∴AB(PE+PF)＝24，
∴PE+PF＝＝6cm，
故選：B．
6．如圖，在等邊△ABC中，AD⊥BC于D，延長BC到E，使，F(xiàn)是AC的中點，連接EF并延長EF交AB于G，BG的垂直平分線分別交BG，AD于點M，點N，連接GN，CN，下列結(jié)論：①∠ACN＝∠BGN；②；③∠GNC＝120°；④GM＝CN；⑤EG⊥AB，其中正確的個數(shù)是（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
【分析】①根據(jù)角的和與差及等腰三角形的性質(zhì)可判斷①正確．
②設(shè)AG＝x，則AF＝FC＝CE＝2x，表示EF和FG的長，可判斷②正確；
③作輔助線，構(gòu)建三角形全等，先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得NH＝NM，由線段垂直平分線的性質(zhì)得BN＝CN＝NG，證明Rt△NGM≌Rt△NCH（HL），可判斷③正確；
④分別表示NG和FG的長，可判斷④不正確；
⑤根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)得∠E＝30°，由∠B＝60°，可得EG⊥AB，可判斷⑤正確．
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AC＝BC，
∵CE＝BC，F(xiàn)是AC的中點，
∴CF＝CE，
∴∠E＝∠CFE，
∵∠ACB＝∠E+∠CFE＝60°，
∴∠E＝30°，
∴∠BGE＝90°，
∴EG⊥AB，故⑤正確；
設(shè)AG＝x，則AF＝FC＝CE＝2x，
∴FG＝x，BE＝6x，
Rt△BGE中，BG＝3x，EG＝3x，
∴EF＝EG﹣FG﹣3x﹣x＝2x，
∴GF＝EF，故②正確；
③如圖，過N作NH⊥AC于H，連接BN，
在等邊三角形ABC中，
∵AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，BN＝CN，
∵MN⊥AB，
∴NH＝NM，
∵MN是BG的垂直平分線，
∴BN＝NG，
∴BN＝CN＝NG，
在Rt△NGM和Rt△NCH中，
，
∴Rt△NGM≌Rt△NCH（HL），
∴∠GNM＝∠CNH，
∴∠MNH＝∠CNG，
∵∠ANM＝∠ANH＝60°，
∴∠CNG＝120°，故③正確；
∵MN是BG的垂直平分線，
∴BN＝GN，
等邊△ABC中，AD⊥BC，
∴BN＝CN，
∴GN＝CN，故④錯誤；
∵BN＝CN＝NG，
∴∠DCN＝∠DBN，∠NBM＝∠NGM，
∵∠ACN＝∠ACB﹣∠DCN＝60°﹣∠DBN＝∠ABN＝∠NGM，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACN＝∠BGN，故①正確；
其中正確的有：①②③⑤，一共4個，
故選：C．
二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）
7．已知5x＝m，5y＝n，則52x+y的值為 m2n ．
【分析】先把要求的式子變成（5x）2?5y，再把5x＝m，5y＝n代入計算即可得出答案．
【解答】解：∵5x＝m，5y＝n，
∴52x+y＝52x?5y＝（5x）2?5y＝m2?n＝m2n．
故答案為：m2n．
8．如圖，∠ABC的平分線BF與△ABC中∠ACB的相鄰外角∠ACG的平分線CF相交于點F，過F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8cm，DE＝3cm，AE＝2cm，求AC的長為 7 cm．
【分析】根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證△DBF和△EFC是等腰三角形，從而可得DB＝DF＝8cm，EC＝EF，然后根據(jù)已知可求出EC＝EF＝DF﹣DE＝5cm，最后進行計算即可解答．
【解答】解：∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACG，
∴∠ABF＝∠CBF，∠ACF＝∠FCG，
∵DF∥BG，
∴∠CBF＝∠DFB，∠EFC＝∠FCG，
∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，
∴DB＝DF＝8cm，EC＝EF，
∵DE＝3cm，
∴EC＝EF＝DF﹣DE＝8﹣3＝5（cm），
∵AE＝2cm，
∴AC＝AE+EC＝2+5＝7（cm），
故答案為：7．
9．如果關(guān)于x的多項式x2﹣8x+m是一個完全平方式，那么m＝ 16 ．
【分析】根據(jù)兩數(shù)和的完全平方等于兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，可得答案．
【解答】解：由x2﹣8x+m是一個完全平方式，得
m＝42＝16，
故答案為：16．
10．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝6，P為BC邊的垂直平分線DE上一個動點，則△ACP周長的最小值為 18 ．
【分析】因為BC的垂直平分線為DE，所以點C和點B關(guān)于直線DE對稱，所以當動點P和E重合時△ACP的周長最小值，再結(jié)合題目的已知條件求出AB的長即可．
【解答】解：∵P為BC邊的垂直平分線DE上一個動點，
∴點C和點B關(guān)于直線DE對稱，
∴當動點P和E重合時△ACP的周長最小值，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝6，
∴AB＝2AC＝12，
∵AP+CP＝AP+BP＝AB＝12，
∴△ACP的周長最小值＝AC+AB＝6+12＝18，
故答案為：18；
11．如圖，D為△ABC內(nèi)一點，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足為D，交AC與點E，∠A＝∠ABE．若AC＝7，BC＝4，則BD的長為 ．
【分析】根據(jù)CD平分∠ACB，BE⊥CD，證出△BDC≌△EDC，得到BC＝BE，BD＝DE即可．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ECD，
∵BE⊥CD，
∴∠BDC＝∠EDC＝90°，
∵CD＝CD，
∴△BDC≌△EDC（ASA），
∴BC＝CE＝4，BD＝DE，
又∵∠A＝∠ABE，
∴AE＝BE，
∵AC＝7，BC＝4，
∴AE＝AC﹣CE＝3，
∴BE＝AE＝3，
∴BD＝BE＝，
故答案為：．
12．如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD是BC邊上的高，∠ABC的平分線BE交AD于點F，則圖中共有等腰三角形 3 個．
【分析】根據(jù)在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，利用三角形內(nèi)角和定理求得∠BAC＝75°，然后可得等腰三角形．
【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，AD是高，
∴∠DAC＝45°，
∴CD＝AD，
∴△ADC為等腰直角三角形，
∵∠ABC＝60°，BE是∠ABC平分線，
∴∠ABE＝∠CBE＝30°，
在△ABD中，∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴∠ABF＝∠BAD＝30°，
∴AF＝BF，
即△ABF是等腰三角形，
在△ABC中，∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∵∠AEB＝∠CBE+∠ACB＝30°+45°＝75°，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝EB，
即△ABE是等腰三角形，
∴等腰三角形有△ACD，△ABF，△ABE；
故答案為：3．
三．解答題（共11小題，滿分84分）
13．（6分）分解因式：x2y﹣9y．
【分析】此多項式有公因式，應先提取公因式，再對余下的多項式進行觀察，有2項，可采用平方差公式繼續(xù)分解．
【解答】解：x2y﹣9y
＝y(tǒng)（x2﹣9）
＝y(tǒng)（x+3）（x﹣3）．
14．（6分）計算：
①（b﹣c+4）（c﹣b+4）﹣（b﹣c）2
②2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
【分析】①根據(jù)平方關(guān)差公式得（b﹣c+4）（c﹣b+4）＝[4+（b﹣c）][4﹣（b﹣c）]，再用平方差公式進行計算．
②注意到2＝（3﹣1），則原式可變形為（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1，再利用平方差公式進行計算即可
【解答】解：①原式＝[4+（b﹣c）][4﹣（b﹣c）]﹣（b﹣c）2
＝42﹣（b﹣c）2﹣（b﹣c）2
＝16﹣2（b﹣c）2
＝16﹣2b2+4bc﹣2c2．
②原式＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）+1
＝（38﹣1）（38+1）（316+1）+1
＝（316﹣1）（316+1）+1
＝332﹣1+1
＝332
15．（6分）已知△ABC和△CDE都為正三角形，點B，C，D在同一直線上，請僅用無刻度的直尺完成下列作圖，不寫作法，保留作圖痕跡．
（1）如圖1，當BC＝CD時，作△ABC的中線BF；
（2）如圖2，當BC≠CD時，作△ABC的中線BG．
【分析】（1）連接BE交AC于點F，線段BF即為所求．
（2）延長BA交DE的延長線于W，連接AD，CW交于點O，連接OB交AC于G，線段BG即為所求．
【解答】解：（1）如圖1中，線段BF即為所求．
（2）如圖2中，線段BG即為所求．
16．（6分）已知a，b均為正數(shù)，且a≠b，試比較a5+b5與a4b+ab4的大小．
【分析】將兩個代數(shù)式相減，通過比較差的正負，比較兩個式子的大?。?br>【解答】解：∵（a5+b5）﹣（a4b+ab4）
＝（a5﹣a4b）+（b5﹣ab4）
＝a4（a﹣b）+b4（b﹣a）
＝（a﹣b）（a4﹣b4）
＝（a﹣b）（a2+b2）（a2﹣b2）
＝（a2+b2）（a+b）（a﹣b）2，
∵a，b均為正數(shù)，且a≠b，
∴a2+b2＞0，a+b＞0，（a﹣b）2＞0．
∴（a5+b5）﹣（a4b+ab4）＞0．
∴a5+b5＞a4b+ab4．
17．（6分）如圖，畫∠AOB＝90°，并畫∠AOB的平分線OC．
（1）將三角尺的直角頂點落在OC的任意一點P處，使三角尺的兩條直角邊與∠AOB的兩邊分別垂直，垂足分別為E、F（如圖①），則PE ＝ PF；（填“＞”“＜”或“＝”）
（2）把三角尺繞著點P旋轉(zhuǎn)（如圖②），兩直角邊分別與OA、OB交于點E、F，那么PE與PF相等嗎？試猜想PE與PF的大小關(guān)系，并說明理由．
【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理證明即可；
（2）證明△MPE≌△NPF（ASA），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論．
【解答】解：（1）∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE＝PF，
故答案為：＝；
（2）PE＝PF，理由如下：
過P作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，如圖②所示：
則∠PME＝∠PNF＝90°，
∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝45°，
∴∠OPM＝∠OPN＝45°，
∴∠MPN＝90°，
∵∠EPF＝90°，
∴∠MPE＝∠NPF，
由（1）得，PM＝PN，
在△MPE和△NPF中，
，
∴△MPE≌△NPF（ASA），
∴PE＝PF．
18．（8分）計算題
（1）解方程組；
（2）整式的乘法a（2﹣a）+（a﹣1）2；
（3）因式分解a3﹣2a2b+ab2；
（4）因式分解18x2﹣32y2．
【分析】（1）把①代入②求出y，再把y值代入①求出x即可；
（2）利用單項式乘多項式法則把括號去掉，再進行合并即可；
（3）（4）題都是先提取公因式，然后利用乘法公式進行因式分解．
【解答】解：（1），
把①代入②得：3（y﹣2）+2y＝﹣1，
3y﹣6+2y＝﹣1，
5y＝5，
y＝1，
把y＝1代入①得：x＝﹣1，
∴方程組的解為：；
（2）原式＝2a﹣a2+a2﹣2a+1
＝1；
（3）原式＝a（a2﹣2ab+b2）
＝a（a﹣b）2；
（3）原式＝2（9x2﹣16y2）
＝2（3x+4y）（3x﹣4y）．
19．（8分）已知在△ABC中，AC＝BC，分別過A，B兩點作互相平行的直線AM，BN，過點C的直線分別交直線AM，BN于點D，E．
（1）如圖1，若AM⊥AB，求證：CD＝CE；
（2）如圖2，∠ABC＝∠DEB＝60°，判斷線段AD，DC與BE之間的關(guān)系，并說明理由．
【分析】（1）延長AC交BN于點F，證明△ADC≌△FEC（ASA），即可得出結(jié)論；
（2）在EB上截取EH＝EC，連接CH，證明△DAC≌△HCB（AAS），得出AD＝CH，DC＝BH，即可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：如圖1，延長AC交BN于點F，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA，
又∵AB⊥AM，
∴∠BAM＝90°，
又∵AM∥BN，
∴∠BAM+∠ABN＝180°，
∴∠ABN＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，∠ABC+∠CBF＝90°，
∴∠CBF＝∠AFB，
∴BC＝CF，
∴AC＝FC，
又∵AM∥BN，∴∠DAF＝∠AFB，
在△ADC和△FEC中，，
∴△ADC≌△FEC（ASA），
∴DC＝EC；
（2）解：AD+DC＝BE；理由如下：
如圖2，在EB上截取EH＝EC，連接CH，
∵AC＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∵∠DEB＝60°，
∴△CHE是等邊三角形，
∴∠CHE＝60°，∠HCE＝60°，
∴∠BHC＝120°，
∵AM∥BN，
∴∠ADC+∠BEC＝180°，
∴∠ADC＝120°，
∴∠DAC+∠DCA＝60°，
又∵∠DCA+∠ACB+∠BCH+∠HCE＝180°，
∴∠DCA+∠BCH＝60°，
∴∠DAC＝∠BCH，
在△DAC與△HCB中，，
∴△DAC≌△HCB（AAS），
∴AD＝CH，DC＝BH，
又∵CH＝CE＝HE，
∴BE＝BH+HE＝DC+AD，
即AD+DC＝BE．
20．（8分）已知：如圖，△ABC是等邊三角形，AE＝BD，AD與CE交于點F，求∠CFD的度數(shù)．
【分析】首先證明△ABD≌△CAE，則可得∠BAD＝∠ACE，然后，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，∠DFC＝∠ACE+∠DAC，等量代換即可求得．
【解答】證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝CA，∠B＝∠CAB＝60°，
在△ABD和△CAE中，，
∴△ABD≌△CAE，
∴∠BAD＝∠ACE，
∵∠BAD+∠DAC＝∠BAC＝60°，
∴∠ACE+∠DAC＝60°，
∵∠DFC＝∠ACE+∠DAC，
∴∠DFC＝60°．
21．（9分）利用因式分解進行簡便計算：
（1）；
（2）6212﹣1482﹣769×373．
【分析】（1）利用差的完全平方公式進行因式分解計算即可；
（2）先用平方差公式，再提取公因式進行因式分解計算即可．
【解答】解：（1）原式＝；
（2）原式＝（621+148）×（621﹣148）﹣769×373＝769×473﹣769×373＝769×（473﹣373）＝769×100＝76900．
22．（9分）把幾個圖形拼成一個新的圖形，再通過兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個等式，也可以求出一些不規(guī)則圖形的面積．例如，由1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2
（1）如圖2，將幾個面積不等的小正方形與小長方形拼成一個邊長為a+b+c的正方形，試用不同的形式表示這個大正方形的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？請用等式表示出來．（直接寫出等式）
（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，填空：
已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，則a2+b2+c2＝ 45
（3）如圖3，將兩個邊長分別為a和b的正方形拼在一起，B，C，G三點在同一直線上，連接BD和BF
①用含a，b的式子表示陰影部分的面積S＝ a2+b2﹣ab
②若a+b＝10，ab＝20，則陰影部分的面積S＝ 20
【分析】（1）圖2大正方形邊長為a+b+c，其面積為（a+b+c）2，分部分看，是由8個長方形，一個小正方形構(gòu)成，其面積和為a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，二者面積相等，從而可得要求得等式；
（2）將a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38代入（1）中等式，變形可得答案；
（3）①利用S陰影等于直角三角形BCD的面積加上正方形ECGF的面積，再減去三角形BGF的面積，化簡即可得答案；
②將①中結(jié)論配方，然后將a+b＝10，ab＝20代入計算即可．
【解答】解：（1）圖2大正方形邊長為a+b+c，其面積為（a+b+c）2，
分部分看，是由8個長方形，一個小正方形構(gòu)成，其面積和為a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
二者面積相等
由此得等式：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．
（2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38
∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）＝121﹣76＝45
故答案為：45．
（3）①∵S陰影＝a2+b2﹣（a+b）b
＝a2+b2﹣ab
＝（a+b）2﹣ab
故答案為：a2+b2﹣ab．
②由①知陰影部分面積為 a2+b2﹣ab
∵a+b＝10，ab＝20
∴a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣ab＝×102﹣×20＝50﹣30＝20
故答案為：20．
23．（12分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．
（1）如圖1，BD平分∠ABC交AC于點D，F(xiàn)為BC上一點，連接AF交BD于點E．
（?。┤鬉B＝BF，求證：BD垂直平分AF；
（ⅱ）若AF⊥BD，求證：AD＝CF．
（2）如圖2，BD平分∠ABC交AC于點D，CE⊥BD，垂足E在BD的延長線上．試判斷線段CE和BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）如圖3，F(xiàn)為BC上一點，∠EFC＝∠B，CE⊥EF，垂足為E，EF與AC交于點D．寫出線段CE和FD的數(shù)量關(guān)系（不要求寫出過程）．
【分析】（1）（ⅰ）由等腰三角形的性質(zhì)可得出答案；
（ⅱ）過點C作CM⊥AF交AF的延長線于點M，證明△ABE≌△CAM（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AE＝CM，證明△AED≌△CMF（ASA），則可得出AD＝CF；
（2）延長BA、CE相交于點F，利用“角邊角”證明△BCE和△BFE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CE＝EF，根據(jù)等角的余角相等求出∠ABD＝∠ACF，然后利用“角邊角”證明△ABD和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BD＝CF，然后求解即可．
（3）過點F作FG∥BA，交AC于H，交CE的延長線于點G．證明△CEF≌△GEF（ASA），由全等三角形的性質(zhì)得出CE＝GE，證明△CGH≌△FDH（ASA），得出CG＝DF．則可得出結(jié)論．
【解答】（1）（?。┳C明：∵AB＝BF，BD平分∠ABC，
∴BE⊥AF，AE＝EF，
即BD垂直平分AF；
（ⅱ）證明：過點C作CM⊥AF交AF的延長線于點M，
∵∠BAC＝90°，AF⊥BD，
∴∠CAM＝∠ABE，
在△ABE和△CAM中，
，
∴△ABE≌△CAM（AAS），
∴AE＝CM，
∵AF⊥BD，AF⊥CM，
∴BD∥CM，
∴∠FCM＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠FCM＝∠ABD，
∴∠FCM＝∠EAD，
在△AED和△CMF中，
，
∴△AED≌△CMF（ASA），
∴AD＝CF；
（2）解：BD＝2CE．
理由如下：如圖2，延長BA、CE相交于點F，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△BCE和△BFE中，
，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴CE＝EF，
∵∠BAC＝90°，CE⊥BD，
∴∠ACF+∠F＝90°，∠ABD+∠F＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF，
∵CF＝CE+EF＝2CE，
∴BD＝2CE．
（3）解：CE＝FD．過點F作FG∥BA，交AC于H，交CE的延長線于點G．
∵FG∥AB，∠EFC＝∠B，
∴∠EFC＝∠GFE，
又∵CE⊥FE，
∴∠CEF＝∠GEF＝90°，
在△CEF和△GEF中，
，
∴△CEF≌△GEF（ASA），
∴CE＝GE，即CE＝CG，
∵FG∥AB，∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠CHG＝∠DHF＝90°，CH＝FH．
又∵∠GCH＝∠DFH，
∴△CGH≌△FDH（ASA），
∴CG＝DF．
∴CE＝FD．

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