第一章，第二章，第三章，第四章，第五章.
高考真題：
1．（2021·全國(guó)·高考真題（文））若，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全國(guó)·高考真題）若，則（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·浙江·高考真題）若，則__________，_________．
牛刀小試
第I卷 選擇題部分（共60分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．（2022·貴州六盤(pán)水·高一期末）若，，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·江西九江·高一期末）已知，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·天津南開(kāi)·高一期末）已知中，，則（ ）
A．或B．C．D．或
4．（2022·浙江·高一期中）若，則=（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高一階段練習(xí)（理））已知，則的值是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·西藏拉薩·高一期末）已知，則（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·上海市七寶中學(xué)附屬鑫都實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末）設(shè)，則下列關(guān)系正確的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2021·陜西·安康市教學(xué)研究室高一期末）已知?角滿(mǎn)足，則的最小值為（ ）
A．2B．4C．8D．18
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分.
9．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若，且，則下列各式中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）若，且，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·江西宜春·高一期末）已知，，其中，為銳角，以下判斷正確的是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）下列選項(xiàng)中正確的有（ ）
A．若是第二象限角，則
B．
C．
D．
第II卷 非選擇題部分（共90分）
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（2022·四川省德陽(yáng)中學(xué)校高一期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖）．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為13，直角三角形中較小的銳角為θ，那么______
14．（2021·天津·高一期末）已知，則____________．
15．（2020·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)：＝________.
16．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)，設(shè)，，則___________，___________.
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17．（2021·山西·太原四十八中高一階段練習(xí)）已知，是方程的兩根，求下列各式的值.
(1)
(2)
18．（2022·福建省福州高級(jí)中學(xué)高一期末）已知，．求
(1)的值；
(2)的值．
19．（2022·天津南開(kāi)·高一期末）已知.
(1)求的值
(2)求的值.
20．（2022·北京·牛欄山一中高一階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)求的定義域；
(2)設(shè)是第四象限的角，且，求的值.
21．（2022·上海·格致中學(xué)高一期中）已知，，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
22．（2022·遼寧·東北育才學(xué)校高一期中）已知函數(shù)，
(1)化簡(jiǎn)；
(2)若，，求的值．
第五章 專(zhuān)題42 《三角恒等變換》單元測(cè)試卷(B）
命題范圍：
第一章，第二章，第三章，第四章，第五章.
高考真題：
1．（2021·全國(guó)·高考真題（文））若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式可得，再結(jié)合已知可求得，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.
【詳解】
，
，，，解得，
，.
故選：A.
2．（2022·全國(guó)·高考真題）若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡(jiǎn)，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系即可得解.
【詳解】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故選：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:設(shè)β=0則sinα +csα =0，取，排除A, B；
再取α=0則sinβ +csβ= 2sinβ，取β，排除D；選C.
[方法三]：三角恒等變換

所以
即
故選：C.
3．（2022·浙江·高考真題）若，則__________，_________．
【答案】
【分析】先通過(guò)誘導(dǎo)公式變形，得到的同角等式關(guān)系，再利用輔助角公式化簡(jiǎn)成正弦型函數(shù)方程，可求出，接下來(lái)再求．
【詳解】[方法一]：利用輔助角公式處理
∵，∴，即，
即，令，，
則，∴，即，
∴ ，
則.
故答案為：；.
[方法二]：直接用同角三角函數(shù)關(guān)系式解方程
∵，∴，即，
又，將代入得，解得，
則.
故答案為：；.
牛刀小試
第I卷 選擇題部分（共60分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．（2022·貴州六盤(pán)水·高一期末）若，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式求得正確答案.
【詳解】，
由于，所以，
所以.
故選：D
2．（2022·江西九江·高一期末）已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】對(duì)題干條件平方后相加，結(jié)合余弦的差角公式得到答案.
【詳解】因?yàn)?，所以?），
因?yàn)椋裕?），
（1）+（2）得，
∴.
故選：A．
3．（2022·天津南開(kāi)·高一期末）已知中，，則（ ）
A．或B．C．D．或
【答案】B
【分析】先利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得，再利用正弦定理推得為銳角，從而可求得，再利用余弦的和差公式即可求得.
【詳解】因?yàn)樵谥?，，所以?br>所以，由正弦定理可得，故，故為銳角，
所以，
所以.
故選：B.
4．（2022·浙江·高一期中）若，則=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系，結(jié)合正弦的二倍角公式，帶值計(jì)算即可.
【詳解】
.
故選：D.
5．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高一階段練習(xí)（理））已知，則的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用二倍角公式和兩角和與差的余弦公式對(duì)已知式子化簡(jiǎn)，然后代值求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以
，
故選：A
6．（2022·西藏拉薩·高一期末）已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知求出，再利用余弦函數(shù)的二倍角公式求解即可.
【詳解】
，
則，
故選：D.
7．（2022·上海市七寶中學(xué)附屬鑫都實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末）設(shè)，則下列關(guān)系正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公示化簡(jiǎn)，再由確定的范圍來(lái)確定符號(hào)即可.
【詳解】因?yàn)?，?br>由，得，所以，
由，得，所以.
故選：B
8．（2021·陜西·安康市教學(xué)研究室高一期末）已知?角滿(mǎn)足，則的最小值為（ ）
A．2B．4C．8D．18
【答案】C
【分析】計(jì)算出，再將代數(shù)式與代數(shù)式相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可求得所求代數(shù)式的最小值.
【詳解】，
，
、均為銳角，則，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．
的最小值為8．
故選：C
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分.
9．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若，且，則下列各式中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】先利用倍角公式以及平方關(guān)系求出，再結(jié)合選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證即可.
【詳解】因?yàn)椋?，解得?br>又，所以，從而，于是．
故選：AD.
10．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）若，且，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】利用和差化積公式化簡(jiǎn)，從而可求得，即可得出答案.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)?，，所以?br>從而，
于是，
所以，從而．
故選：BC.
11．（2022·江西宜春·高一期末）已知，，其中，為銳角，以下判斷正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根據(jù)同角關(guān)系可求，根據(jù)配湊角的方式即可求解B,根據(jù)積化和差即可求解C，根據(jù)弦切互化即可求解D.
【詳解】因?yàn)?，，其中，為銳角，故
所以：，故A正確；
因?yàn)椋?br>所以
，故B錯(cuò)誤；
可得，故C正確；
可得，所以，故D錯(cuò)誤．
故選:AC
12．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）下列選項(xiàng)中正確的有（ ）
A．若是第二象限角，則
B．
C．
D．
【答案】ABCD
【分析】對(duì)于A，可利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡(jiǎn)；
對(duì)于B，可利用及同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡(jiǎn)；
對(duì)于C，可先利用兩角差的余弦公式及誘導(dǎo)公式統(tǒng)一角之后再進(jìn)行化簡(jiǎn)；
對(duì)于D，可利用二倍角的正切公式化簡(jiǎn).
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以，從而，所以A正確；
對(duì)于B，，所以B正確；
對(duì)于C，，所以C正確；
對(duì)于D，，所以D正確.
故選：ABCD.
第II卷 非選擇題部分（共90分）
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（2022·四川省德陽(yáng)中學(xué)校高一期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖）．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為13，直角三角形中較小的銳角為θ，那么______
【答案】5
【分析】設(shè)圖中直角三角形較短的直角邊長(zhǎng)為，可得出直角三角形較長(zhǎng)的直角邊長(zhǎng)為，然后利用勾股定理求出的值，然后可得的值，然后可得答案.
【詳解】由題意可知，大正方形的邊長(zhǎng)為，小正方形的邊長(zhǎng)為1，
設(shè)圖中直角三角形較短的直角邊長(zhǎng)為，可得出直角三角形較長(zhǎng)的直角邊長(zhǎng)為，
由勾股定理可得，解得，，所以，
因此.
故答案為：
14．（2021·天津·高一期末）已知，則____________．
【答案】
【分析】先求得，然后結(jié)合二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得正確答案.
【詳解】，
解得.
所以
.
故答案為：
15．（2020·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)：＝________.
【答案】##
【分析】由誘導(dǎo)公式可得，整體代入原式結(jié)合三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得出答案.
【詳解】原式=
故答案為：
16．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）已知函數(shù)，設(shè)，，則___________，___________.
【答案】
【分析】先利用三角函數(shù)恒等變換公式對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)變形得，則由已知條件可得，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，則，展開(kāi)化簡(jiǎn)計(jì)算即可.
【詳解】
，
所以，
所以.
因?yàn)?，所以?br>所以，
所以
，
.
故答案為：，
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17．（2021·山西·太原四十八中高一階段練習(xí)）已知，是方程的兩根，求下列各式的值.
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用韋達(dá)定理得到，，再根據(jù)兩角和的正切公式計(jì)算可得；
（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及和差角公式得到，，從而代入計(jì)算可得.
【詳解】（1）解：因?yàn)?，是方程的兩根?br>所以，，
所以.
（2）解：因?yàn)椋?br>所以，
即，
又，所以，
所以，
所以.
18．（2022·福建省福州高級(jí)中學(xué)高一期末）已知，．求
(1)的值；
(2)的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由同角三角函數(shù)關(guān)系和二倍角的正弦公式即可求解；
（2）由兩角和的正切公式即可求解.
（1）
因?yàn)?，且?br>所以，
所以.
（2）
由（1）知：，
所以.
19．（2022·天津南開(kāi)·高一期末）已知.
(1)求的值
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（2）由平方關(guān)系求得，再根據(jù)二倍角得余弦公式即可得解；
（2）由（1）求得，再根據(jù)兩角差得正切公式即可得解.
（1）
解：因?yàn)椋裕?br>所以，
又因?yàn)椋?br>所以；
（2）
解：由（1）得，
所以，
所以.
20．（2022·北京·牛欄山一中高一階段練習(xí)）已知函數(shù)
(1)求的定義域；
(2)設(shè)是第四象限的角，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）函數(shù)要有意義需滿(mǎn)足，解得；
（2）由由得，代入函數(shù)即可.
（1）
由，得，
所以的定義域?yàn)?br>（2）
因?yàn)槭堑谒南笙薜慕牵遥?br>由，得，又∵，
∵α是第四象限的角，∴，
又
，
所以.
21．（2022·上?！じ裰轮袑W(xué)高一期中）已知，，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用將所求式子轉(zhuǎn)化為齊次分式，從而利用即可得解；
（2）先由及求得，從而得到，再利用正切的和差公式求得，進(jìn)而得解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以．
（2）因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)?，所以，?br>所以，
又，所以由，解得，
所以，
又，，故，
所以．
22．（2022·遼寧·東北育才學(xué)校高一期中）已知函數(shù)，
(1)化簡(jiǎn)；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）結(jié)合三角恒等變換的知識(shí)化簡(jiǎn)的解析式.
（2）利用平方的方法求得正確答案.
【詳解】（1），，
，
，所以，

.
（2），，
兩邊平方得，
.

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