高中數(shù)學(xué)人教A版2019必修第一冊(cè)同步單元測(cè)試AB卷(新高考)專題32《函數(shù)的應(yīng)用(二)》單元測(cè)試(B)(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

命題范圍：
第一章，第二章，第三章，第四章.
高考真題：
1．（2020·全國(guó)·高考真題（文））Lgistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Lgistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I()=0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為（）（ln19≈3）
A．60B．63C．66D．69
2．（2020·天津·高考真題）設(shè)，則的大小關(guān)系為（）
A．B．C．D．
3．（2020·全國(guó)·高考真題（理））若，則（）
A．B．C．D．
牛刀小試
第I卷選擇題部分（共60分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．（2022·陜西·咸陽(yáng)市高新一中高一期中）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
2．（2022·廣東·紅嶺中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）
A．(1，2)B．(2，3)C．(3，3.5)D．(3.5，4)
3．（2022·江蘇·南京師大附中高一期中）設(shè)為實(shí)數(shù)，若二次函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
4．（2021·甘肅·高臺(tái)縣第一中學(xué)高一期中）已知函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)附近的函數(shù)值的參考數(shù)據(jù)如下表：
由二分法，方程的近似解（精確度為0.05）可能是（）
A．0.625B．C．0.5625D．0.066
5．（2022·江蘇·城南高級(jí)中學(xué)高一期中）大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，研究鮭魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速v（單位：m/s）可以表示為，其中O表示魚的耗氧量的單位數(shù)若一條魚的游速是，則這條魚的耗氧量是（）個(gè)單位.
A．2400B．2700C．6400D．8100
6．（2022·河南南陽(yáng)·高一期中）放射性核素鍶89的質(zhì)量M會(huì)按某個(gè)衰減率衰減，設(shè)其初始質(zhì)量為，質(zhì)量M與時(shí)間t（單位：天）的函數(shù)關(guān)系為，若鍶89的質(zhì)量從衰減至，，所經(jīng)過的時(shí)間分別為，，，則（）．
A．B．C．D．
7．（2022·浙江師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）在流行病學(xué)中，每名感染者平均可傳染的人數(shù)叫做基本傳染數(shù)．當(dāng)基本傳染數(shù)高于1時(shí)，每個(gè)感染者平均會(huì)感染一個(gè)以上的人，從而導(dǎo)致感染者人數(shù)急劇增長(zhǎng)．當(dāng)基本傳染數(shù)低于1時(shí)，疫情才可能逐漸消散．而廣泛接種疫苗是降低基本傳染數(shù)的有效途徑．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)為，1個(gè)感染者平均會(huì)接觸到個(gè)新人，這人中有個(gè)人接種過疫苗（稱為接種率），那么1個(gè)感染者可傳染的新感染人數(shù)為．已知某病毒在某地的基本傳染數(shù)，為了使1個(gè)感染者可傳染的新感染人數(shù)不超過1，該地疫苗的接種率至少為（）
A．B．C．D．
8．（2022·北京·清華附中朝陽(yáng)學(xué)校高一期中）已知函數(shù)，下列命題中錯(cuò)誤的是（）
A．，使得是偶函數(shù)B．，都不是R上的單調(diào)函數(shù)
C．，使得有三個(gè)零點(diǎn)D．若的最小值是，則
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分.
9．（2022·遼寧·大連二十四中高一期中）已知函數(shù)，則（）
A．在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增B．是奇函數(shù)
C．有兩個(gè)零點(diǎn)D．的圖像與直線無(wú)交點(diǎn)
10．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）如圖所示，某池塘中浮萍蔓延的面積y（單位：）與時(shí)間t（單位：月）滿足函數(shù)關(guān)系，則下列說法正確的是（）
A．
B．第5個(gè)月時(shí)，浮萍面積就會(huì)超過
C．浮萍的面積從蔓延到需要經(jīng)過1.5個(gè)月
D．浮萍每月增加的面積都相等
11．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）某工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場(chǎng)要求該溶液的雜質(zhì)含量不得超過0.1%，而這種溶液最初的雜質(zhì)含量為2%，現(xiàn)進(jìn)行過濾，已知每過濾一次雜質(zhì)含量減少，若使這種溶液的雜質(zhì)含量達(dá)到市場(chǎng)要求，則過濾次數(shù)可以為（參考數(shù)據(jù)：，）（）
A．7B．8C．9D．10
12．（2022·吉林·東北師大附中高一期中）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，滿足，且當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任意，都有，則實(shí)數(shù)m的取值可以是（）
A．3B．4C．D．
第II卷非選擇題部分（共90分）
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（2022·重慶·萬(wàn)州純陽(yáng)中學(xué)校高一期中）函數(shù)的圖象如圖所示，有下列命題：①函數(shù)的定義域是；②函數(shù)的值域是； ③函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)； ④函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．其中正確命題的序號(hào)是______．
14．（2021·上海市行知中學(xué)高一期中）如果光線每通過一塊玻璃其強(qiáng)度要減少，那么至少需要將__________塊這樣的玻璃重疊起來，才能使通過它們的光線強(qiáng)度低于原來的倍.
15．（2022·云南師大附中高一期中）愛護(hù)環(huán)境人人有責(zé)，如今大氣污染成為全球比較嚴(yán)重的問題.企業(yè)在生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢氣要經(jīng)過凈化過濾后才可排放，某企業(yè)在凈化過濾廢氣的過程中污染物含量（單位：mg/L）與過濾時(shí)間（單位：h）間的關(guān)系為（其中，是正的常數(shù)）.若在前5h的過濾過程中污染物被凈化過濾了50%，則廢氣凈化用時(shí)10h，廢氣中污染物含量占未過濾前污染物含量的百分比為___________.
16．（2020·北京·牛欄山一中高一期中）20世紀(jì)30年代，里克特制定了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測(cè)震儀衡量地震能量的等級(jí)，地震能量越大，測(cè)震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說的里氏震級(jí).震級(jí)計(jì)算公式為，其中是被測(cè)地震的最大振幅，是標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅，5級(jí)地震給人的震感已經(jīng)比較明顯，8級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最大振幅的___________倍.
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（2020·陜西·榆林市第十中學(xué)高一期中）已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若函數(shù)在內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
18．（2022·福建·莆田第五中學(xué)高一階段練習(xí)）美國(guó)對(duì)中國(guó)芯片的技術(shù)封鎖激發(fā)了中國(guó)“芯”的研究熱潮．某公司研發(fā)的兩種芯片都已經(jīng)獲得成功．該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費(fèi)資金千萬(wàn)元，現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進(jìn)行生產(chǎn)．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，生產(chǎn)芯片的毛收入與投入的資金成正比，已知每投入千萬(wàn)元，公司獲得毛收入千萬(wàn)元；生產(chǎn)芯片的毛收入（千萬(wàn)元）與投入的資金（千萬(wàn)元）的函數(shù)關(guān)系為，其圖象如圖所示．
(1)試分別求出生產(chǎn)兩種芯片的毛收入（千萬(wàn)元）與投入的資金（千萬(wàn)元）的函數(shù)關(guān)系式；
(2)現(xiàn)在公司準(zhǔn)備投入億元資金同時(shí)生產(chǎn)兩種芯片，求分別對(duì)兩種芯片投入多少資金時(shí)，該公司可以獲得最大凈利潤(rùn)，并求出最大凈利潤(rùn)．（凈利潤(rùn)芯片的毛收入芯片的毛收入研發(fā)耗費(fèi)資金）
19．（2022·上海市市西中學(xué)高一期中）20世紀(jì)30年代，里克特（C．F．Richter）制定了一種表明地震能量大小的尺度，是我們平常所說的里氏震級(jí)，其計(jì)算公式為：．其中是被測(cè)地震的最大振幅，是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅（使用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測(cè)震儀距實(shí)際震中的距離所造成的偏差）
(1)假設(shè)在一次地震中，一個(gè)距離震中100千米的測(cè)震儀記錄的地震最大振幅是20，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是0.001，計(jì)算此次地震的震級(jí)．（精確到0.1級(jí)）
(2)5級(jí)地震給人帶來的震撼已經(jīng)比較明顯，計(jì)算7.6級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最大振幅的多少倍（精確到1倍）
20．（2021·山東·德州市陵城區(qū)翔龍高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）水葫蘆原產(chǎn)于巴西能凈化水質(zhì)蔓延速度極快，在巴西由于受生物天敵的鉗制，僅以一種觀賞性的植物分布于水體.某市2018年底，為了凈化某水庫(kù)的水質(zhì)引入了水葫蘆，這些水葫蘆在水中蔓延速度越來越快2019年一月底，水葫蘆覆蓋面積為，到了四月底測(cè)得水葫蘆覆蓋面積為，水葫蘆覆蓋面積（單位：），與時(shí)間（單位：月）的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型且與可供選擇.
(1)分別求出兩個(gè)函數(shù)模型的解析式
(2)今測(cè)得2019年5月底水葫蘆的覆蓋面積約為，從上述兩個(gè)函數(shù)模型中選擇更合適的一個(gè)模型求水葫蘆覆蓋面積達(dá)到的最小月份. 參考數(shù)據(jù)：，
21．（2022·湖北·丹江口市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)（，且）．
(1)已知，若函數(shù)在上有零點(diǎn)，求的最小值；
(2)若對(duì)恒成立，求a的取值范圍．
22．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）為進(jìn)一步奏響“綠水青山就是金山銀山”的主旋律，某旅游風(fēng)景區(qū)以“綠水青山”為主題，特別制作了旅游紀(jì)念章，決定近期投放市場(chǎng)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研情況，預(yù)計(jì)每枚該紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)y（單位：元）與上市時(shí)間x（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表：
(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述每枚該紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)y與上市時(shí)間x的變化關(guān)系并說明理由：①，②，③，④；
(2)利用你選取的函數(shù)，求該紀(jì)念章市場(chǎng)價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)及最低市場(chǎng)價(jià)；
(3)利用你選取的函數(shù)，若存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
x
0
0.5
0.53125
0.5625
0.625
0.75
1
0.066
0.215
0.512
1.099
上市時(shí)間x（天）
2
6
20
市場(chǎng)價(jià)y（元）
102
78
120
第四章專題32 《函數(shù)的應(yīng)用（二）》(B）
命題范圍：
第一章，第二章，第三章，第四章.
高考真題：
1．（2020·全國(guó)·高考真題（文））Lgistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Lgistic模型：，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I()=0.95K時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為（）（ln19≈3）
A．60B．63C．66D．69
【答案】C
【分析】將代入函數(shù)結(jié)合求得即可得解.
【詳解】，所以，則，
所以，，解得.
故選：C.
2．（2020·天津·高考真題）設(shè)，則的大小關(guān)系為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得出的大小關(guān)系.
【詳解】因?yàn)椋?br>，
，
所以.
故選：D.
3．（2020·全國(guó)·高考真題（理））若，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】將不等式變?yōu)?，根?jù)的單調(diào)性知，以此去判斷各個(gè)選項(xiàng)中真數(shù)與的大小關(guān)系，進(jìn)而得到結(jié)果.
【詳解】由得：，
令，
為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，為上的增函數(shù)，
，
，，，則A正確，B錯(cuò)誤；
與的大小不確定，故CD無(wú)法確定.
故選：A.
牛刀小試
第I卷選擇題部分（共60分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．（2022·陜西·咸陽(yáng)市高新一中高一期中）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
【答案】A
【分析】分別求區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，利用零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間.
【詳解】函數(shù)是定義在R上的連續(xù)遞增函數(shù)，
，，
由零點(diǎn)存在定理，函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間為（0，1）.
故選：A
2．（2022·廣東·紅嶺中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）
A．(1，2)B．(2，3)C．(3，3.5)D．(3.5，4)
【答案】A
【分析】結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)的存在性定理判斷即可；
【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以，在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，?br>所以，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，且位于區(qū)間內(nèi).
故選：A．
3．（2022·江蘇·南京師大附中高一期中）設(shè)為實(shí)數(shù)，若二次函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.
【詳解】二次函數(shù)的開口向上，對(duì)稱軸為，
要使二次函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
則需，
所以的取值范圍是.
故選：C
4．（2021·甘肅·高臺(tái)縣第一中學(xué)高一期中）已知函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)附近的函數(shù)值的參考數(shù)據(jù)如下表：
由二分法，方程的近似解（精確度為0.05）可能是（）
A．0.625B．C．0.5625D．0.066
【答案】C
【分析】按照二分法的方法流程進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)的符號(hào)確定根所在的區(qū)間，當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度小于或等于0.05時(shí)，只需從該區(qū)間上任取一個(gè)數(shù)即可．
【詳解】由題意得在區(qū)間上單調(diào)遞增，
設(shè)方程的解的近似值為，
由表格得，
所以,
因?yàn)椋?br>所以方程的近似解可取為0.5625．
故選：C.
5．（2022·江蘇·城南高級(jí)中學(xué)高一期中）大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，研究鮭魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速v（單位：m/s）可以表示為，其中O表示魚的耗氧量的單位數(shù)若一條魚的游速是，則這條魚的耗氧量是（）個(gè)單位.
A．2400B．2700C．6400D．8100
【答案】B
【分析】將代入函數(shù)解析式，利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化即可求解.
【詳解】由，當(dāng)時(shí)，
則，即，解得，
所以.
故選：B.
6．（2022·河南南陽(yáng)·高一期中）放射性核素鍶89的質(zhì)量M會(huì)按某個(gè)衰減率衰減，設(shè)其初始質(zhì)量為，質(zhì)量M與時(shí)間t（單位：天）的函數(shù)關(guān)系為，若鍶89的質(zhì)量從衰減至，，所經(jīng)過的時(shí)間分別為，，，則（）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意列出方程組，指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，求出，結(jié)合，得到.
【詳解】由題可得，則，即．
因?yàn)?，所以?br>故選：A
7．（2022·浙江師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）在流行病學(xué)中，每名感染者平均可傳染的人數(shù)叫做基本傳染數(shù)．當(dāng)基本傳染數(shù)高于1時(shí)，每個(gè)感染者平均會(huì)感染一個(gè)以上的人，從而導(dǎo)致感染者人數(shù)急劇增長(zhǎng)．當(dāng)基本傳染數(shù)低于1時(shí)，疫情才可能逐漸消散．而廣泛接種疫苗是降低基本傳染數(shù)的有效途徑．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)為，1個(gè)感染者平均會(huì)接觸到個(gè)新人，這人中有個(gè)人接種過疫苗（稱為接種率），那么1個(gè)感染者可傳染的新感染人數(shù)為．已知某病毒在某地的基本傳染數(shù)，為了使1個(gè)感染者可傳染的新感染人數(shù)不超過1，該地疫苗的接種率至少為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題意，列出不等式，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出，代入不等式中求解，即可得到答案．
【詳解】為了使1個(gè)感染者傳染人數(shù)不超過1，只需，
所以，即，
因?yàn)椋?br>所以，解得，
則地疫苗的接種率至少為．
故選：A．
8．（2022·北京·清華附中朝陽(yáng)學(xué)校高一期中）已知函數(shù)，下列命題中錯(cuò)誤的是（）
A．，使得是偶函數(shù)B．，都不是R上的單調(diào)函數(shù)
C．，使得有三個(gè)零點(diǎn)D．若的最小值是，則
【答案】D
【分析】A選項(xiàng)，可舉出時(shí)，是偶函數(shù)；
B選項(xiàng)，得到在分段處函數(shù)值相等，結(jié)合分段函數(shù)的開口方向，對(duì)稱軸，得到結(jié)論；
C選項(xiàng)，可舉出時(shí)，滿足要求；
D選項(xiàng)，分類討論得到若的最小值是，則，D錯(cuò)誤.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)镽，
且，故此時(shí)為偶函數(shù)，A正確；
當(dāng)時(shí)，，開口向上，對(duì)稱軸為，
當(dāng)時(shí)，，開口向上，對(duì)稱軸為，
即，
且，，即在分段處函數(shù)值相等，
由于的對(duì)稱軸在的對(duì)稱軸的左側(cè)，
故，都不是R上的單調(diào)函數(shù)，B正確；
當(dāng)時(shí)，，
若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，令，解得：，
當(dāng)時(shí)，令，解得：，均符合要求，
綜上：此時(shí)函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，故C正確；
由B選項(xiàng)可知的最小值在或處取到，
，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)最小值在處取到，
由，解得：（舍）或1，故滿足題意；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)最小值在處取到，
由，解得：或2（舍），故滿足題意，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)最小值在或處取到，
由于此時(shí)恒成立，恒成立，
故都不合要求，舍去；
綜上：若的最小值是，則，D錯(cuò)誤.
故選：D
【點(diǎn)睛】二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)，對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，若，二次函數(shù)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，若，二次函數(shù)與軸有1個(gè)交點(diǎn)，若，二次函數(shù)與軸有0個(gè)交點(diǎn).
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分.
9．（2022·遼寧·大連二十四中高一期中）已知函數(shù)，則（）
A．在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增B．是奇函數(shù)
C．有兩個(gè)零點(diǎn)D．的圖像與直線無(wú)交點(diǎn)
【答案】BCD
【分析】對(duì)于A，舉反例排除即可；
對(duì)于B，利用奇偶性的判斷方法判斷即可；
對(duì)于C，利用直接法，求得的解的個(gè)數(shù)即可；
對(duì)于D，聯(lián)立方程，有解即為有交點(diǎn)，無(wú)解即為無(wú)交點(diǎn).
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，，即，而，故在其定義域內(nèi)并不單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)榈亩x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且有，所以是奇函數(shù)，故B正確；
對(duì)于C，令，即，解得，故有兩個(gè)零點(diǎn)，故C正確；
對(duì)于D，聯(lián)立，整理得，顯然無(wú)解，故的圖像與直線無(wú)交點(diǎn)，故D正確.
故選：BCD.
10．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）如圖所示，某池塘中浮萍蔓延的面積y（單位：）與時(shí)間t（單位：月）滿足函數(shù)關(guān)系，則下列說法正確的是（）
A．
B．第5個(gè)月時(shí)，浮萍面積就會(huì)超過
C．浮萍的面積從蔓延到需要經(jīng)過1.5個(gè)月
D．浮萍每月增加的面積都相等
【答案】AB
【分析】由已知，選項(xiàng)A可將圖象上的點(diǎn)代入所給的函數(shù)關(guān)系中求解即可；選項(xiàng)B，利用求解出的函數(shù)解析式，令求解出浮萍蔓延的面積即可做出判斷；選項(xiàng)C，分別求出浮萍和浮萍所對(duì)應(yīng)的時(shí)間，然后作差與1.5比較大小即可；選項(xiàng)D，分別算出從第一個(gè)月開始，每個(gè)月增加的面積，通過比較即可做出判斷.
【詳解】由題意，函數(shù)圖像滿足的關(guān)系，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，
所以，解得，當(dāng)時(shí)，，滿足，
當(dāng)時(shí)，，滿足，故，選項(xiàng)A正確；
當(dāng)時(shí)，，故浮萍蔓延的面積就會(huì)超過，選項(xiàng)B正確；
由題意，，所以，，所以，所以增加的時(shí)間為
，而，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
由題意可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以從第一個(gè)開始，每個(gè)月增加的面積分別為、、、，
所以增加的面積不相等，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
故選：AB.
11．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）某工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場(chǎng)要求該溶液的雜質(zhì)含量不得超過0.1%，而這種溶液最初的雜質(zhì)含量為2%，現(xiàn)進(jìn)行過濾，已知每過濾一次雜質(zhì)含量減少，若使這種溶液的雜質(zhì)含量達(dá)到市場(chǎng)要求，則過濾次數(shù)可以為（參考數(shù)據(jù)：，）（）
A．7B．8C．9D．10
【答案】BCD
【分析】由解不等式可得答案.
【詳解】設(shè)經(jīng)過n次過濾，這種溶液的雜質(zhì)含量達(dá)到市場(chǎng)要求，則，
即，兩邊取對(duì)數(shù)，得，即，
得.
故選：BCD.
12．（2022·吉林·東北師大附中高一期中）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，滿足，且當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任意，都有，則實(shí)數(shù)m的取值可以是（）
A．3B．4C．D．
【答案】ABC
【分析】根據(jù)題意利用圖象變換畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可求出的取值范圍，從而可得答案.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，滿足，且當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)部分圖象如圖所示，
由，得，解得或，
因?yàn)閷?duì)任意，都有，
所以由圖可知，
故選：ABC
第II卷非選擇題部分（共90分）
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（2022·重慶·萬(wàn)州純陽(yáng)中學(xué)校高一期中）函數(shù)的圖象如圖所示，有下列命題：①函數(shù)的定義域是；②函數(shù)的值域是； ③函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)； ④函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．其中正確命題的序號(hào)是______．
【答案】②④
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象確定函數(shù)性質(zhì)，再進(jìn)行比較選擇.
【詳解】對(duì)于①：由圖象知函數(shù)的定義域是，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②：由圖象知函數(shù)的值域是，故②正確；
對(duì)于③：由圖象知函數(shù)在其定義域內(nèi)不是增函數(shù)，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④：由圖象知函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故④正確；
故答案為：②④
14．（2021·上海市行知中學(xué)高一期中）如果光線每通過一塊玻璃其強(qiáng)度要減少，那么至少需要將__________塊這樣的玻璃重疊起來，才能使通過它們的光線強(qiáng)度低于原來的倍.
【答案】
【分析】假設(shè)至少要把塊這樣的玻璃重疊起來，才能使通過它們的光線強(qiáng)度低于原來的倍，可得，解不等式可得答案.
【詳解】假設(shè)至少要把塊這樣的玻璃重疊起來，才能使通過它們的光線強(qiáng)度低于原來的倍，
則，即，
所以，，
所以，
所以至少需要將7塊這樣的玻璃重疊起來，才能使通過它們的光線強(qiáng)度低于原來的倍.
故答案為：7
15．（2022·云南師大附中高一期中）愛護(hù)環(huán)境人人有責(zé)，如今大氣污染成為全球比較嚴(yán)重的問題.企業(yè)在生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢氣要經(jīng)過凈化過濾后才可排放，某企業(yè)在凈化過濾廢氣的過程中污染物含量（單位：mg/L）與過濾時(shí)間（單位：h）間的關(guān)系為（其中，是正的常數(shù)）.若在前5h的過濾過程中污染物被凈化過濾了50%，則廢氣凈化用時(shí)10h，廢氣中污染物含量占未過濾前污染物含量的百分比為___________.
【答案】25%
【分析】由題可得，然后根據(jù)關(guān)系式即得.
【詳解】由題，得當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，即，
解得，
所以；
所以當(dāng)時(shí)，，
即廢氣凈化用時(shí)10h，廢氣中污染物含量占未過濾前污染物含量的百分比為25%.
故答案為：25%.
16．（2020·北京·牛欄山一中高一期中）20世紀(jì)30年代，里克特制定了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測(cè)震儀衡量地震能量的等級(jí)，地震能量越大，測(cè)震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說的里氏震級(jí).震級(jí)計(jì)算公式為，其中是被測(cè)地震的最大振幅，是標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅，5級(jí)地震給人的震感已經(jīng)比較明顯，8級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最大振幅的___________倍.
【答案】1000
【分析】先根據(jù)求得地震的最大振幅關(guān)于M的函數(shù)，分別代入即可求解.
【詳解】由題意可得：，所以，解得：.
所以8級(jí)地震的最大振幅，5級(jí)地震的最大振幅.
因?yàn)椋?br>所以8級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最大振幅的1000倍.
故答案為：1000.
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（2020·陜西·榆林市第十中學(xué)高一期中）已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若函數(shù)在內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）求出對(duì)稱軸，根據(jù)其在上是單調(diào)函數(shù)，列出不等式，求解即可.
（2）分兩種情況進(jìn)行討論，第一種在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)在內(nèi)；第二種函數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，其中一個(gè)零點(diǎn)在內(nèi)，分別列出不等式計(jì)算即可.
（1）
易知函數(shù)的圖像開口向上且對(duì)稱軸為，
當(dāng)在上單調(diào)遞增時(shí)，，解得；
當(dāng)在上單調(diào)遞減時(shí)，，解得.
綜上，
（2）
函數(shù)在內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)分兩種情況：
①函數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)有且，解得；
②函數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，必有，即，解得.
綜上，或
18．（2022·福建·莆田第五中學(xué)高一階段練習(xí)）美國(guó)對(duì)中國(guó)芯片的技術(shù)封鎖激發(fā)了中國(guó)“芯”的研究熱潮．某公司研發(fā)的兩種芯片都已經(jīng)獲得成功．該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費(fèi)資金千萬(wàn)元，現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進(jìn)行生產(chǎn)．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，生產(chǎn)芯片的毛收入與投入的資金成正比，已知每投入千萬(wàn)元，公司獲得毛收入千萬(wàn)元；生產(chǎn)芯片的毛收入（千萬(wàn)元）與投入的資金（千萬(wàn)元）的函數(shù)關(guān)系為，其圖象如圖所示．
(1)試分別求出生產(chǎn)兩種芯片的毛收入（千萬(wàn)元）與投入的資金（千萬(wàn)元）的函數(shù)關(guān)系式；
(2)現(xiàn)在公司準(zhǔn)備投入億元資金同時(shí)生產(chǎn)兩種芯片，求分別對(duì)兩種芯片投入多少資金時(shí)，該公司可以獲得最大凈利潤(rùn)，并求出最大凈利潤(rùn)．（凈利潤(rùn)芯片的毛收入芯片的毛收入研發(fā)耗費(fèi)資金）
【答案】(1)，
(2)當(dāng)對(duì)芯片投入億元，對(duì)芯片投入億元時(shí)，該公司可以獲得最大的凈利潤(rùn)，最大凈利潤(rùn)為千萬(wàn)元
【分析】（1）對(duì)于芯片，采用待定系數(shù)法，設(shè)即可代入已知數(shù)據(jù)求得結(jié)果；對(duì)于芯片，根據(jù)圖象中的點(diǎn)坐標(biāo)可構(gòu)造方程組求得參數(shù)，由此可得函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)對(duì)芯片投入的資金為千萬(wàn)元，凈利潤(rùn)為千萬(wàn)元，可得到關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，采用換元法可將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最大值的求解問題，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)果.
（1）
生產(chǎn)芯片的毛收入與投入的資金成正比，可設(shè)，
每投入千萬(wàn)元，公司獲得毛收入千萬(wàn)元，，
生產(chǎn)芯片的毛收入（千萬(wàn)元）與投入的資金（千萬(wàn)元）的函數(shù)關(guān)系式為：；
由圖象可知：，解得：，
生產(chǎn)芯片的毛收入（千萬(wàn)元）與投入的資金（千萬(wàn)元）的函數(shù)關(guān)系式為：.
（2）
設(shè)對(duì)芯片投入的資金為千萬(wàn)元，則對(duì)芯片投入的資金為千萬(wàn)元，
設(shè)凈利潤(rùn)為千萬(wàn)元，則，
令，則，
則當(dāng)，即時(shí)，，
當(dāng)對(duì)芯片投入億元，對(duì)芯片投入億元時(shí)，該公司可以獲得最大的凈利潤(rùn)，最大凈利潤(rùn)為千萬(wàn)元.
19．（2022·上海市市西中學(xué)高一期中）20世紀(jì)30年代，里克特（C．F．Richter）制定了一種表明地震能量大小的尺度，是我們平常所說的里氏震級(jí)，其計(jì)算公式為：．其中是被測(cè)地震的最大振幅，是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅（使用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測(cè)震儀距實(shí)際震中的距離所造成的偏差）
(1)假設(shè)在一次地震中，一個(gè)距離震中100千米的測(cè)震儀記錄的地震最大振幅是20，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是0.001，計(jì)算此次地震的震級(jí)．（精確到0.1級(jí)）
(2)5級(jí)地震給人帶來的震撼已經(jīng)比較明顯，計(jì)算7.6級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最大振幅的多少倍（精確到1倍）
【答案】(1)4.3級(jí)
(2)398倍
【分析】（1）根據(jù)即可求解；
（2）計(jì)算出兩次地震的最大振幅，相比即可.
【詳解】（1）由題可知：
，
因此此次地震的震級(jí)約為里氏4.3級(jí).
（2）由得，即，
當(dāng)時(shí)，地震的最大振幅為，
當(dāng)時(shí)，地震的最大振幅為，
所以兩次地震的最大振幅之比為，
即7.6級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最大振幅的約398倍.
20．（2021·山東·德州市陵城區(qū)翔龍高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）水葫蘆原產(chǎn)于巴西能凈化水質(zhì)蔓延速度極快，在巴西由于受生物天敵的鉗制，僅以一種觀賞性的植物分布于水體.某市2018年底，為了凈化某水庫(kù)的水質(zhì)引入了水葫蘆，這些水葫蘆在水中蔓延速度越來越快2019年一月底，水葫蘆覆蓋面積為，到了四月底測(cè)得水葫蘆覆蓋面積為，水葫蘆覆蓋面積（單位：），與時(shí)間（單位：月）的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型且與可供選擇.
(1)分別求出兩個(gè)函數(shù)模型的解析式
(2)今測(cè)得2019年5月底水葫蘆的覆蓋面積約為，從上述兩個(gè)函數(shù)模型中選擇更合適的一個(gè)模型求水葫蘆覆蓋面積達(dá)到的最小月份. 參考數(shù)據(jù)：，
【答案】(1)，．
(2)
【分析】（1）依題意函數(shù)過點(diǎn)和，根據(jù)所選模型利用待定系數(shù)法計(jì)算可得；
（2）將代入（1）中函數(shù)解析式，求出預(yù)測(cè)值，即可判斷更合適的模型，可得，兩邊取對(duì)數(shù)，最后根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出的范圍，即可得解.
（1）
解：依題意函數(shù)過點(diǎn)和，
若選擇模型，
則，解得，，
故函數(shù)模型為．
若選擇模型，
則，解得，，
故函數(shù)模型為．
（2）
解：若選擇模型，即，當(dāng)時(shí)，
若選擇模型，即，當(dāng)時(shí)，
因?yàn)椋愿线m，
令，則，兩邊取對(duì)數(shù)可得，
則，
所以水葫蘆覆蓋面積達(dá)到的最小月份是月份.
21．（2022·湖北·丹江口市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)（，且）．
(1)已知，若函數(shù)在上有零點(diǎn)，求的最小值；
(2)若對(duì)恒成立，求a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出，由轉(zhuǎn)化為，從而得到的取值范圍及最小值；
（2）分和分類討論，利用單調(diào)性解不等式，轉(zhuǎn)化為恒成立問題，結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性，求出最值，求出a的取值范圍.
【詳解】（1）由，得，
則，由，得，
即，
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，取得最小值．
（2），
則，則，且．
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則單調(diào)遞減，
在上的最大值為，
則，整理得，
因此當(dāng)時(shí)，符合條件．
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
在上的最大值為，
則，整理得，
又因?yàn)?，所以?br>綜上，a的取值范圍為．
22．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）為進(jìn)一步奏響“綠水青山就是金山銀山”的主旋律，某旅游風(fēng)景區(qū)以“綠水青山”為主題，特別制作了旅游紀(jì)念章，決定近期投放市場(chǎng)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研情況，預(yù)計(jì)每枚該紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)y（單位：元）與上市時(shí)間x（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表：
(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述每枚該紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)y與上市時(shí)間x的變化關(guān)系并說明理由：①，②，③，④；
(2)利用你選取的函數(shù)，求該紀(jì)念章市場(chǎng)價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)及最低市場(chǎng)價(jià)；
(3)利用你選取的函數(shù)，若存在，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
【答案】(1)選擇，理由見解析
(2)當(dāng)該紀(jì)念章上市10天時(shí)，市場(chǎng)價(jià)最低，最低市場(chǎng)價(jià)為每枚70元
(3)
【分析】(1)由表格數(shù)據(jù)分析變量與變量的關(guān)系，由此選擇對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系；(2)由已知數(shù)據(jù)求出函數(shù)解析式，再結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求其最值；(3)不等式可化為，由條件可得，利用函數(shù)的單調(diào)性求的最小值，由此可得k的取值范圍．
（1）
由題表知，隨著時(shí)間x的增大，y的值隨的增大，先減小后增大，而所給的函數(shù)，和在上顯然都是單調(diào)函數(shù)，不滿足題意，故選擇．
（2）
把，，分別代入，得
解得，，
∴，．
∴當(dāng)時(shí)，y有最小值，且．
故當(dāng)該紀(jì)念章上市10天時(shí)，市場(chǎng)價(jià)最低，最低市場(chǎng)價(jià)為每枚70元．
（3）
令，
因?yàn)榇嬖?，使得不等式成立?br>則．
又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴ 當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為，
∴．
x
0
0.5
0.53125
0.5625
0.625
0.75
1
0.066
0.215
0.512
1.099
上市時(shí)間x（天）
2
6
20
市場(chǎng)價(jià)y（元）
102
78
120

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