TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc12917" 第一部分：知識點必背 PAGEREF _Tc12917 \h 2
\l "_Tc12001" 第二部分：高考真題回歸 PAGEREF _Tc12001 \h 3
\l "_Tc19526" 第三部分：高頻考點一遍過 PAGEREF _Tc19526 \h 4
\l "_Tc29641" 高頻考點一：函數(shù)的概念 PAGEREF _Tc29641 \h 4
\l "_Tc5916" 高頻考點二：函數(shù)定義域 PAGEREF _Tc5916 \h 5
\l "_Tc21696" 角度1：具體函數(shù)的定義域 PAGEREF _Tc21696 \h 5
\l "_Tc1388" 角度2：抽象函數(shù)定義域 PAGEREF _Tc1388 \h 6
\l "_Tc21839" 角度3：已知定義域求參數(shù) PAGEREF _Tc21839 \h 6
\l "_Tc9182" 高頻考點三：函數(shù)解析式 PAGEREF _Tc9182 \h 7
\l "_Tc4539" 角度1：湊配法求解析式（注意定義域） PAGEREF _Tc4539 \h 7
\l "_Tc16119" 角度2：換元法求解析式（換元必換范圍） PAGEREF _Tc16119 \h 8
\l "_Tc2172" 角度3：待定系數(shù)法 PAGEREF _Tc2172 \h 8
\l "_Tc22317" 角度4：方程組消去法 PAGEREF _Tc22317 \h 9
\l "_Tc19598" 高頻考點四：分段函數(shù) PAGEREF _Tc19598 \h 10
\l "_Tc24194" 角度1：分段函數(shù)求值 PAGEREF _Tc24194 \h 10
\l "_Tc20238" 角度2：已知分段函數(shù)的值求參數(shù) PAGEREF _Tc20238 \h 11
\l "_Tc21534" 角度3：分段函數(shù)求值域（最值） PAGEREF _Tc21534 \h 11
\l "_Tc8966" 高頻考點五：函數(shù)的值域 PAGEREF _Tc8966 \h 13
\l "_Tc13688" 角度1：二次函數(shù)求值域 PAGEREF _Tc13688 \h 13
\l "_Tc29781" 角度2：分式型函數(shù)求值域 PAGEREF _Tc29781 \h 13
\l "_Tc14866" 角度3：根式型函數(shù)求值域 PAGEREF _Tc14866 \h 14
\l "_Tc29459" 角度4：根據(jù)值域求參數(shù) PAGEREF _Tc29459 \h 15
\l "_Tc13783" 角度5：根據(jù)函數(shù)值域求定義域 PAGEREF _Tc13783 \h 15
\l "_Tc16103" 第四部分：高考新題型 PAGEREF _Tc16103 \h 17
\l "_Tc8085" ①開放性試題 PAGEREF _Tc8085 \h 17
\l "_Tc31263" ②探究性試題 PAGEREF _Tc31263 \h 17
\l "_Tc25651" 第五部分：數(shù)學思想方法 PAGEREF _Tc25651 \h 18
\l "_Tc10900" ①函數(shù)與方程的思想 PAGEREF _Tc10900 \h 18
\l "_Tc13446" ②數(shù)形結(jié)合思想 PAGEREF _Tc13446 \h 18
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第一部分：知識點必背
1、函數(shù)的概念
設(shè)、是兩個非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應關(guān)系，使對于集合中的任意一個數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應，那么稱為從集合到集合的一個函數(shù)，記作，.
其中：叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域
與的值相對應的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．
2、同一（相等）函數(shù)
函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應關(guān)系．
同一（相等）函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義和對應關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)．
3、函數(shù)的表示
函數(shù)的三種表示法
4、分段函數(shù)
若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．
5、高頻考點結(jié)論
5.1函數(shù)的定義域是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍，常見基本初等函數(shù)定義域的要求為：
(1)分式型函數(shù)：分母不等于零.
(2)偶次根型函數(shù)：被開方數(shù)大于或等于0.
(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為
(4)的定義域是.
(5)(且)，，的定義域均為.
(6)(且)的定義域為.
(7)的定義域為.
5.2函數(shù)求值域
（1）分離常數(shù)法：
將形如()的函數(shù)分離常數(shù)，變形過程為：
，再結(jié)合的取值范圍確定的取值范圍，從而確定函數(shù)的值域.
（2）換元法：
如：函數(shù)，可以令，得到，函數(shù)
可以化為()，接下來求解關(guān)于t的二次函數(shù)的值域問題，求解過程中要注意t的取值范圍的限制．
（3）基本不等式法和對勾函數(shù)
（4）單調(diào)性法
（5）求導法
第二部分：高考真題回歸
1．（2022·北京·高考真題）函數(shù)的定義域是_________．
2．（2021·浙江·高考真題）已知，函數(shù)若，則___________.
3．（2022·浙江·高考真題）已知函數(shù)則________；若當時，，則的最大值是_________．
4．（2022·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個取值為________；a的最大值為___________．
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：函數(shù)的概念
典型例題
例題1．（2023春·江蘇常州·高一常州市北郊高級中學校考開學考試）已知集合，下列對應關(guān)系中從到的函數(shù)為（ ）
A．B．
C．D．
例題2．（2023秋·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）已知集合，集合，下列圖象能建立從集合A到集合B的函數(shù)關(guān)系的是（ ）
A．B．
C．D．
練透核心考點
1．（2023·全國·高三專題練習）下列圖象中，以為定義域，為值域的函數(shù)是（ ）
A．B．
C．D．
2．（多選）（2023·高一課時練習）下列對應中是函數(shù)的是（ ）.
A．，其中，，
B．，其中，，
C．，其中y為不大于x的最大整數(shù)，，
D．，其中，，
高頻考點二：函數(shù)定義域
角度1：具體函數(shù)的定義域
典型例題
例題1．（2023春·北京海淀·高一?？奸_學考試）函數(shù)的定義域（ ）
A．B．
C．D．
例題2．（2023春·北京·高三?？茧A段練習）函數(shù)的定義域為__________.
練透核心考點
1．（2023春·全國·高一校聯(lián)考開學考試）函數(shù)的定義域為（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·廣東肇慶·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域為_____________．
角度2：抽象函數(shù)定義域
典型例題
例題1．（2023秋·河北承德·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域為，則的定義域為（ ）
A．B．
C．D．
例題2．（2023春·重慶江北·高一字水中學?？奸_學考試）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為______．
練透核心考點
1．（2023秋·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023秋·重慶沙坪壩·高一重慶一中?？计谀┮阎瘮?shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（ ）
A．B．C．D．
角度3：已知定義域求參數(shù)
典型例題
例題1．（2023秋·四川眉山·高一眉山市彭山區(qū)第一中學?？计谀┖瘮?shù)的定義域為，則的取值范圍為（ ）
A．B． C．D．
例題2．（2023秋·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的值是______．
例題3．（2023秋·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的定義域是，則實數(shù)的取值范圍是_______.
例題4．（2023·高一課時練習）若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍是______．
練透核心考點
1．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)的定義域為，則（ ）
A．3B．3C．1D．1
2．（2023·河北·高三學業(yè)考試）函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的值為______．
3．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習）已知函數(shù)在上有意義，則實數(shù)m的范圍是____________．
4．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)定義域為R，則實數(shù)k的取值范圍為______.
高頻考點三：函數(shù)解析式
角度1：湊配法求解析式（注意定義域）
典型例題
例題1．（2023秋·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知，則（ ）
A．B．
C．D．
例題2．（2023·高一課時練習）已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
例題3．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)，則函數(shù)的最小值為（ ）
A．B．C．D．
角度2：換元法求解析式（換元必換范圍）
典型例題
例題1．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中?？计谀┮阎瘮?shù)滿足，則解析式是（ ）
A．B．
C．D．
例題2．（2023·高一課時練習）已知，則（ ）．
A．B．C．D．
例題3．（2023秋·遼寧丹東·高一丹東市第四中學?？计谀┤艉瘮?shù)，且，則實數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
例題4．（2023秋·江蘇揚州·高三校聯(lián)考期末）已知，則_________．
例題5．（2023·高一課時練習）如果，則當且時，_____．
角度3：待定系數(shù)法
典型例題
例題1．（2023·高一課時練習）已知二次函數(shù)滿足，則（ ）
A．1B．7C．8D．16
例題2．（2023秋·山東東營·高三東營市第一中學?？计谀┮阎瘮?shù)是一次函數(shù)，且，則一次函數(shù)的解析式為________.
例題3．（2023·高一課時練習）若二次函數(shù)滿足，，求.
例題4．（2023·高一課時練習）（1）已知是一次函數(shù)，且滿足，求的解析式．
若二次函數(shù)滿足，，且圖象過原點，求的解析式．
角度4：方程組消去法
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
例題2．（2023·高一課時練習）已知，則______．
例題3．（2023·全國·高三專題練習）已知，求的解析式___________.
例題4．（2023·高一課時練習）已知函數(shù)的定義域為，且，則________．
練透核心考點
1．（2023春·高一?？奸_學考試）已知一次函數(shù)滿足，則（ ）
A．12B．13C．14D．15
2．（2023·高一課時練習）若函數(shù)，且，則實數(shù)的值為（ ）
A．B．或C．D．3
3．（2023·全國·高三專題練習）已知，則__________.
4．（2023秋·山東淄博·高一山東省淄博第六中學?？计谀┰O(shè)定義在上的函數(shù)滿足，則___________.
5．（2023·高一課時練習）（1）已知函數(shù)，求函數(shù)的解析式
（2）已知為一次函數(shù)，若，求的解析式.
6．（2023·高一課時練習）已知二次函數(shù)滿足，且．
(1)求的解析式；
高頻考點四：分段函數(shù)
角度1：分段函數(shù)求值
典型例題
例題1．（2023秋·山東臨沂·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則的值為（ ）
A．1B．2C．3D．e
例題2．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）已知函數(shù)，若，則的值是（ ）
A．B．C．D．
例題3．（2023·河北·高三學業(yè)考試）已知函數(shù)，則的值為（ ）
A．B．0C．1D．2
例題4．（2023秋·寧夏銀川·高一銀川二中?？计谀┤?，則____________.
角度2：已知分段函數(shù)的值求參數(shù)
典型例題
例題1．（2023·高一課時練習）已知函數(shù)，若，則實數(shù)的值等于（ ）
A．B．C．1D．3
例題2．（2023秋·廣東云浮·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)且，則_____________．
例題3．（2023春·山西忻州·高一河曲縣中學校?？奸_學考試）設(shè)函數(shù)，若，則__________．
例題4．（2023·高三課時練習）已知函數(shù)，若，則實數(shù)______．
角度3：分段函數(shù)求值域（最值）
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習）已知設(shè)，則函數(shù)的最大值是（ ）
A．B．1C．2D．3
例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為（ ）
A．B．C．D．
例題3．（2023·高一課時練習）若函數(shù),則函數(shù)的值域為______．
例題4．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域為______．
練透核心考點
1．（2023秋·湖南婁底·高一統(tǒng)考期末）給定函數(shù)，用表示中的較大者，記為，例如當時，，則的最小值為（ ）
A．B．0C．1D．4
2．（2023秋·湖南長沙·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則（ ）
A．的最大值為，最小值為
B．的最大值為，無最小值
C．的最大值為，無最小值
D．的最大值為，最小值為
3．（2023秋·海南·高一海南華僑中學?？计谀┮阎瘮?shù)，則__________.
4．（2023秋·四川綿陽·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，則______．
5．（2023·高一課時練習）設(shè)函數(shù)，若則實數(shù)=__________
6．（2023·高一課時練習）已知函數(shù)且，則實數(shù)a的值為________．
7．（2023·高一課時練習）已知函數(shù)，若，則_______.
高頻考點五：函數(shù)的值域
角度1：二次函數(shù)求值域
典型例題
例題1．（2023春·北京海淀·高一?？奸_學考試）設(shè)的定義域是，則函數(shù)的值域中含有整數(shù)的個數(shù)為（ ）
A．17B．18C．19D．20
例題2．（2023·高三課時練習）函數(shù)的值域為______.
例題3．（2023·高一課時練習）函數(shù)的值域為_______．
例題4．（2023秋·遼寧·高一遼河油田第二高級中學校考期末）已知二次函數(shù)滿足，
(1)求的解析式；
(2)當，求的值域．
角度2：分式型函數(shù)求值域
典型例題
例題1．（2023·高三課時練習）關(guān)于“函數(shù)，的最大、最小值與函數(shù)，的最大、最小值”，下列說法中正確的是（ ）．
A．有最大、最小值，有最大、最小值
B．有最大、最小值，無最大、最小值
C．無最大、最小值，有最大、最小值
D．無最大、最小值，無最大、最小值
例題2．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的最大值與最小值的和是（ ）
A．B．C．D．
例題3．（2023·高一課時練習）函數(shù) 的值域
例題4．（2023·高一課時練習）求函數(shù)的值域.
例題5．（2023·全國·高三專題練習）求函數(shù)的值域.
角度3：根式型函數(shù)求值域
典型例題
例題1．（2023秋·河北保定·高一保定一中?？计谀┑淖畲笾凳牵? ）
A．B．2C．D．4
例題2．（2023·河北·高三學業(yè)考試）已知，則的最大值是（ ）
A．8B．2C．1D．0
例題3．（2023·高一課時練習）求函數(shù)的值域______．
例題4．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域為___________．
例題5．（2023·高一課時練習）函數(shù)的值域為__________．
角度4：根據(jù)值域求參數(shù)
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)的值域為，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在上的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
例題3．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)的定義域為，值域為，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例題4．（多選）（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值可能是（ ）
A．0B．C．D．1
例題5．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)的定義域和值域均為，則的值為__________.
例題6．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為__________．
角度5：根據(jù)函數(shù)值域求定義域
典型例題
例題1．（2023秋·上海閔行·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)的定義域為，值域為，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當時，的值不唯一B．當時，的值不唯一
C．的最大值為3D．的最小值為3
例題2．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
例題3．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)的定義域為，值域為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
例題4．（2023·高一課時練習）解析式相同，定義域不同的兩個函數(shù)稱為“同族函數(shù)”．對于函數(shù)，值域為{1，2，4}的“同族函數(shù)”的個數(shù)為______個．
練透核心考點
1．（2023秋·河南洛陽·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)的定義域為集合，值域為集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·河北保定·高一保定一中?？计谀┑淖畲笾凳牵? ）
A．B．2C．D．4
3．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)的值域為，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)的定義域和值域均為，則的值為__________.
5．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為__________．
6．（2023·高一課時練習）求函數(shù)的值域______．
7．（2023·高一課時練習）函數(shù)在上的值域為________．
8．（2023·高一課時練習）已知函數(shù).
(1)若函數(shù)定義域為R，求a的取值范圍；
(2)若函數(shù)值域為，求a的取值范圍.
9．（2023·高三課時練習）已知函數(shù)，當時，值域為______；當時，值域為______.
第四部分：高考新題型
①開放性試題
1．（2022秋·山東聊城·高一校考階段練習）寫出一個與的定義域和值域均相同，但是解析式不同的函數(shù)：____________．
2．（2022秋·江西·高一校聯(lián)考階段練習）若函數(shù)和的值域相同，但定義域不同，則稱和是“同象函數(shù)”.已知函數(shù)，寫出一個與是“同象函數(shù)”的函數(shù)的解析式： _________.
3．（2022秋·江蘇南通·高一海安高級中學?？计谥校┏瘮?shù)y＝x，外，再寫出一個定義域和值域均為的函數(shù)______.
②探究性試題
1．（2020秋·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學校考階段練習）若，則函數(shù)（ ）
A．有最大值10B．有最小值10
C．有最大值6D．有最小值6
2．（2022秋·安徽六安·高一?？计谥校┤粲帽硎救齻€數(shù)中的最小值,如.則函數(shù)的最大值是________．
第五部分：數(shù)學思想方法
①函數(shù)與方程的思想
1．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全國·高三專題練習）若對任意實數(shù)，均有，求___________
3．（2023·高一單元測試）已知函數(shù)，存在實數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍是______．
②數(shù)形結(jié)合思想
1．（2023·高一單元測試）若函數(shù)的定義域是，則其值域為（ ）.
A．B．
C．D．
2．（多選）（2023春·安徽馬鞍山·高一馬鞍山二中?？奸_學考試）已知=min{，}，下列說法正確的是（ ）
A．在區(qū)間單調(diào)遞增
B．在區(qū)間單調(diào)遞減
C．有最小值1
D．有最大值1
3．（2023·高一課時練習）畫出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象回答下列問題.
(1)比較，，的大??；
(2)若，比較與的大??；
(3)求函數(shù)的值域.
解析法（最常用）
圖象法（解題助手）
列表法
就是把變量，之間的關(guān)系用一個關(guān)系式來表示，通過關(guān)系式可以由的值求出的值.
就是把，之間的關(guān)系繪制成圖象，圖象上每個點的坐標就是相應的變量，的值.
就是將變量，的取值列成表格，由表格直接反映出兩者的關(guān)系.
第01講 函數(shù)的概念及其表示(精講）
目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc24410" 第一部分：知識點必背 PAGEREF _Tc24410 \h 2
\l "_Tc20133" 第二部分：高考真題回歸 PAGEREF _Tc20133 \h 3
\l "_Tc15476" 第三部分：高頻考點一遍過 PAGEREF _Tc15476 \h 5
\l "_Tc11366" 高頻考點一：函數(shù)的概念 PAGEREF _Tc11366 \h 5
\l "_Tc11044" 高頻考點二：函數(shù)定義域 PAGEREF _Tc11044 \h 7
\l "_Tc4896" 角度1：具體函數(shù)的定義域 PAGEREF _Tc4896 \h 7
\l "_Tc32441" 角度2：抽象函數(shù)定義域 PAGEREF _Tc32441 \h 8
\l "_Tc8373" 角度3：已知定義域求參數(shù) PAGEREF _Tc8373 \h 9
\l "_Tc24086" 高頻考點三：函數(shù)解析式 PAGEREF _Tc24086 \h 12
\l "_Tc1763" 角度1：湊配法求解析式（注意定義域） PAGEREF _Tc1763 \h 12
\l "_Tc18658" 角度2：換元法求解析式（換元必換范圍） PAGEREF _Tc18658 \h 13
\l "_Tc28706" 角度3：待定系數(shù)法 PAGEREF _Tc28706 \h 15
\l "_Tc2903" 角度4：方程組消去法 PAGEREF _Tc2903 \h 16
\l "_Tc15562" 高頻考點四：分段函數(shù) PAGEREF _Tc15562 \h 20
\l "_Tc15725" 角度1：分段函數(shù)求值 PAGEREF _Tc15725 \h 20
\l "_Tc25091" 角度2：已知分段函數(shù)的值求參數(shù) PAGEREF _Tc25091 \h 21
\l "_Tc4209" 角度3：分段函數(shù)求值域（最值） PAGEREF _Tc4209 \h 22
\l "_Tc16777" 高頻考點五：函數(shù)的值域 PAGEREF _Tc16777 \h 26
\l "_Tc1611" 角度1：二次函數(shù)求值域 PAGEREF _Tc1611 \h 26
\l "_Tc18515" 角度2：分式型函數(shù)求值域 PAGEREF _Tc18515 \h 27
\l "_Tc18434" 角度3：根式型函數(shù)求值域 PAGEREF _Tc18434 \h 30
\l "_Tc21395" 角度4：根據(jù)值域求參數(shù) PAGEREF _Tc21395 \h 31
\l "_Tc15670" 角度5：根據(jù)函數(shù)值域求定義域 PAGEREF _Tc15670 \h 33
\l "_Tc5812" 第四部分：高考新題型 PAGEREF _Tc5812 \h 39
\l "_Tc21684" ①開放性試題 PAGEREF _Tc21684 \h 39
\l "_Tc21051" ②探究性試題 PAGEREF _Tc21051 \h 40
\l "_Tc11845" 第五部分：數(shù)學思想方法 PAGEREF _Tc11845 \h 41
\l "_Tc27316" ①函數(shù)與方程的思想 PAGEREF _Tc27316 \h 41
\l "_Tc6254" ②數(shù)形結(jié)合思想 PAGEREF _Tc6254 \h 42
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第一部分：知識點必背
1、函數(shù)的概念
設(shè)、是兩個非空數(shù)集，如果按照某種確定的對應關(guān)系，使對于集合中的任意一個數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應，那么稱為從集合到集合的一個函數(shù)，記作，.
其中：叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域
與的值相對應的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．
2、同一（相等）函數(shù)
函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應關(guān)系．
同一（相等）函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義和對應關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)．
3、函數(shù)的表示
函數(shù)的三種表示法
4、分段函數(shù)
若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．
5、高頻考點結(jié)論
5.1函數(shù)的定義域是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍，常見基本初等函數(shù)定義域的要求為：
(1)分式型函數(shù)：分母不等于零.
(2)偶次根型函數(shù)：被開方數(shù)大于或等于0.
(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為
(4)的定義域是.
(5)(且)，，的定義域均為.
(6)(且)的定義域為.
(7)的定義域為.
5.2函數(shù)求值域
（1）分離常數(shù)法：
將形如()的函數(shù)分離常數(shù)，變形過程為：
，再結(jié)合的取值范圍確定的取值范圍，從而確定函數(shù)的值域.
（2）換元法：
如：函數(shù)，可以令，得到，函數(shù)
可以化為()，接下來求解關(guān)于t的二次函數(shù)的值域問題，求解過程中要注意t的取值范圍的限制．
（3）基本不等式法和對勾函數(shù)
（4）單調(diào)性法
（5）求導法
第二部分：高考真題回歸
1．（2022·北京·高考真題）函數(shù)的定義域是_________．
【答案】
【詳解】解：因為，所以，解得且，
故函數(shù)的定義域為；
故答案為：
2．（2021·浙江·高考真題）已知，函數(shù)若，則___________.
【答案】2
【詳解】，故，
故答案為：2.
3．（2022·浙江·高考真題）已知函數(shù)則________；若當時，，則的最大值是_________．
【答案】 ##
【詳解】由已知，，
所以，
當時，由可得，所以，
當時，由可得，所以，
等價于，所以，
所以的最大值為.
故答案為：，.
4．（2022·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個取值為________；a的最大值為___________．
【答案】 0（答案不唯一） 1
【詳解】解：若時，，∴；
若時，當時，單調(diào)遞增，當時，，故沒有最小值，不符合題目要求；
若時，
當時，單調(diào)遞減，，
當時，
∴或，
解得，
綜上可得；
故答案為：0（答案不唯一），1
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：函數(shù)的概念
典型例題
例題1．（2023春·江蘇常州·高一常州市北郊高級中學校考開學考試）已知集合，下列對應關(guān)系中從到的函數(shù)為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】對于A，在對于關(guān)系中，當時，，則集合中沒有元素和對應，不是從集合到集合的函數(shù)，故A錯誤，
對于B，在對于關(guān)系中，當時，，則集合中沒有元素和對應，不是從集合到集合的函數(shù)，故B錯誤，
對于C，在對于關(guān)系中，當時，，則集合中沒有元素和對應，不是從集合到集合的函數(shù)，故C錯誤，
對于D，在對于關(guān)系中，因為，所以?，且則集合中任意一個元素在集合中都有唯一的元素與之對應，滿足函數(shù)的定義，是從集合到集合的函數(shù)，故D正確，
故選：D．
例題2．（2023秋·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）已知集合，集合，下列圖象能建立從集合A到集合B的函數(shù)關(guān)系的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】對選項A：存在點使一個與兩個對應，不符合，排除；
對選項B：當時，沒有與之對應的，不符合，排除；
對選項C：的范圍超出了集合的范圍，不符合，排除；
對選項D：滿足函數(shù)關(guān)系的條件，正確.
故選：D
練透核心考點
1．（2023·全國·高三專題練習）下列圖象中，以為定義域，為值域的函數(shù)是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】對于，其對應函數(shù)的值域不是，錯誤；
對于，圖象中存在一部分與軸垂直，即此時對應的值不唯一，該圖象不是函數(shù)的圖象，錯誤；
對于，其對應函數(shù)的定義域為，值域是，正確；
對于，圖象不滿足一個對應唯一的，該圖象不是函數(shù)的圖象，錯誤；
故選：．
2．（多選）（2023·高一課時練習）下列對應中是函數(shù)的是（ ）.
A．，其中，，
B．，其中，，
C．，其中y為不大于x的最大整數(shù)，，
D．，其中，，
【答案】BCD
【詳解】對于A，，其中不滿足一個自變量有唯一一個實數(shù)與之對應，例如時，；不滿足定義，故A不正確；
對于B，，其中，，，
時，，時，，
時，，時，，，
滿足定義，故B正確；
對于C，，其中y為不大于x的最大整數(shù)，，；滿足定義，故C正確；
對于D，，其中，，滿足定義，故D正確，
故選：BCD.
高頻考點二：函數(shù)定義域
角度1：具體函數(shù)的定義域
典型例題
例題1．（2023春·北京海淀·高一校考開學考試）函數(shù)的定義域（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】函數(shù)要有意義，
需滿足，解得，且，
故函數(shù)定義域為：，
故選：B
例題2．（2023春·北京·高三校考階段練習）函數(shù)的定義域為__________.
【答案】
【詳解】由已知得，解得且，
即函數(shù)的定義域為.
故答案為：.
練透核心考點
1．（2023春·全國·高一校聯(lián)考開學考試）函數(shù)的定義域為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】由得：，即的定義域為.
故選：A.
2．（2023秋·廣東肇慶·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域為_____________．
【答案】
【詳解】由已知得，解得，
即函數(shù)的定義域為.
故答案為：.
角度2：抽象函數(shù)定義域
典型例題
例題1．（2023秋·河北承德·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域為，則的定義域為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】解：由題意得
解得且.
故選：D
例題2．（2023春·重慶江北·高一字水中學?？奸_學考試）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為______．
【答案】
【詳解】因為函數(shù)的定義域為，則，
所以，則有，解得：，
所以函數(shù)的定義域為，
故答案為：.
練透核心考點
1．（2023秋·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【詳解】因為函數(shù)的定義域為，
所以要使有意義，則
，解得且，
所以原函數(shù)的定義域為，
故選：C．
2．（2023秋·重慶沙坪壩·高一重慶一中?？计谀┮阎瘮?shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】因為的定義域為，則，解得，則，所以的定義域為.
故選：B
角度3：已知定義域求參數(shù)
典型例題
例題1．（2023秋·四川眉山·高一眉山市彭山區(qū)第一中學?？计谀┖瘮?shù)的定義域為，則的取值范圍為（ ）
A．B． C．D．
【答案】A
【詳解】當時，，定義域不為；
當時，若函數(shù)的定義域為，
則，解得
故選：A.
例題2．（2023秋·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的值是______．
【答案】2
【詳解】由題意，要使函數(shù)有意義，
則，即，
所以，此時由，可得，符合題意.
故答案為：2.
例題3．（2023秋·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的定義域是，則實數(shù)的取值范圍是_______.
【答案】
【詳解】時，滿足題意，
時，由恒成立得得，
綜上的取值范圍是．
故答案為：．
例題4．（2023·高一課時練習）若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【詳解】函數(shù)的定義域為，
當時，，滿足；
當時，需滿足，解得.
綜上所述：.
故答案為：
練透核心考點
1．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)的定義域為，則（ ）
A．3B．3C．1D．1
【答案】A
【詳解】由，得，
由題意可知上式的解集為，
所以為方程的一個根，
所以，得，
故選：A
2．（2023·河北·高三學業(yè)考試）函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的值為______．
【答案】
【詳解】的定義域滿足：，解集為，
故且，解得.
故答案為：
3．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習）已知函數(shù)在上有意義，則實數(shù)m的范圍是____________．
【答案】
【詳解】要使函數(shù)有意義，則（），
解得，所以函數(shù)的定義域為，
所以，所以，解得，
所以實數(shù)m的范圍是.
故答案為：
4．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)定義域為R，則實數(shù)k的取值范圍為______.
【答案】
【詳解】解：因為函數(shù)定義域為R，
所以在R上恒成立，
所以，解得.
故答案為：.
高頻考點三：函數(shù)解析式
角度1：湊配法求解析式（注意定義域）
典型例題
例題1．（2023秋·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）已知，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】由題意，
故，
故選：D
例題2．（2023·高一課時練習）已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】因為，
所以，
則，.
綜上：只有B正確.
故選：B
例題3．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)，則函數(shù)的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】因為，
所以.
從而，
當時，取得最小值，且最小值為.
故選：D
角度2：換元法求解析式（換元必換范圍）
典型例題
例題1．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中?？计谀┮阎瘮?shù)滿足，則解析式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】設(shè)，故，則，
所以.
故選：A
例題2．（2023·高一課時練習）已知，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】令，則，；
所以.
故選：D.
例題3．（2023秋·遼寧丹東·高一丹東市第四中學?？计谀┤艉瘮?shù)，且，則實數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】因為，所以令，則，
所以，所以，
因為，所以，
故選：B.
例題4．（2023秋·江蘇揚州·高三校聯(lián)考期末）已知，則_________．
【答案】（且）
【詳解】由，
令，（且，且），
則，（且），
∴（且）,
∴（且）.
故答案為：（且）.
例題5．（2023·高一課時練習）如果，則當且時，_____．
【答案】
【詳解】由題意，令，則且，
因為，所以，其中且，
所以．
故答案為．
角度3：待定系數(shù)法
典型例題
例題1．（2023·高一課時練習）已知二次函數(shù)滿足，則（ ）
A．1B．7C．8D．16
【答案】B
【詳解】設(shè)，
因為，
所以，
化簡可得：，
所以，所以，所以，
所以，所以，
故選：B.
例題2．（2023秋·山東東營·高三東營市第一中學?？计谀┮阎瘮?shù)是一次函數(shù)，且，則一次函數(shù)的解析式為________.
【答案】或
【詳解】函數(shù)是一次函數(shù)，
設(shè).
，
，解得或，
故答案為：或.
例題3．（2023·高一課時練習）若二次函數(shù)滿足，，求.
【答案】.
【詳解】因為二次函數(shù)滿足；所以設(shè)，
則：；
因為，
所以；
∴；∴；∴，；
∴.
故答案為： .
例題4．（2023·高一課時練習）（1）已知是一次函數(shù)，且滿足，求的解析式．
（2）若二次函數(shù)滿足，，且圖象過原點，求的解析式．
【答案】（1）f（x）＝－2x－9；（2）g（x）＝3x2－2x.
【詳解】（1）設(shè)f（x）＝kx＋b（k≠0），
則f（x＋1）－2f（x－1）＝kx＋k＋b－2kx＋2k－2b＝－kx＋3k－b，
即－kx＋3k－b＝2x＋3不論x為何值都成立，
∴解得∴f（x）＝－2x－9.
（2） 設(shè)g（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），∵g（1）＝1，g（－1）＝5，且圖象過原點，
∴解得
∴g（x）＝3x2－2x.
角度4：方程組消去法
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】因為函數(shù)滿足 ---①
所以 ---②
聯(lián)立①②，得，解得，
∴
故選：A
例題2．（2023·高一課時練習）已知，則______．
【答案】.
【詳解】因為 ①，
把換成有：
②，
聯(lián)立①②式有：，
解得.
故答案為：.
例題3．（2023·全國·高三專題練習）已知，求的解析式___________.
【答案】，.
【詳解】因為，
所以，
消去解得，
故答案為：，.
例題4．（2023·高一課時練習）已知函數(shù)的定義域為，且，則________．
【答案】
【詳解】在中，將x換成，則換成x，
∴，
將該方程代入已知方程消去，得．
故答案為：．
練透核心考點
1．（2023春·高一?？奸_學考試）已知一次函數(shù)滿足，則（ ）
A．12B．13C．14D．15
【答案】B
【詳解】設(shè)，則,
因為，
所以，解得，
所以，.
故選：B.
2．（2023·高一課時練習）若函數(shù)，且，則實數(shù)的值為（ ）
A．B．或C．D．3
【答案】B
【詳解】令（或），，，，.
故選；B
3．（2023·全國·高三專題練習）已知，則__________.
【答案】，
【詳解】
又當且僅當，即時等號成立.
設(shè)，則，所以
所以
故答案為：，
4．（2023秋·山東淄博·高一山東省淄博第六中學?？计谀┰O(shè)定義在上的函數(shù)滿足，則___________.
【答案】
【詳解】因為定義在上的函數(shù)滿足，
將換成可得：，將其代入上式可得：
，
所以，
故答案為：.
5．（2023·高一課時練習）（1）已知函數(shù)，求函數(shù)的解析式
（2）已知為一次函數(shù)，若，求的解析式.
【答案】（1）；（2）或.
【詳解】（1）函數(shù)，則，
所以函數(shù)的解析式是.
（2）因為一次函數(shù)，設(shè)，
則，而，
于是得，解得或，
所以或.
6．（2023·高一課時練習）已知二次函數(shù)滿足，且．
(1)求的解析式；
【答案】(1)
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，設(shè)，
所以，
因為，
所以，
所以，解得.
因為，
所以，解得.
所以
高頻考點四：分段函數(shù)
角度1：分段函數(shù)求值
典型例題
例題1．（2023秋·山東臨沂·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則的值為（ ）
A．1B．2C．3D．e
【答案】C
【詳解】，
故選：C
例題2．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）已知函數(shù)，若，則的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】，．
故選：D．
例題3．（2023·河北·高三學業(yè)考試）已知函數(shù)，則的值為（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】D
【詳解】，，.
故選：D
例題4．（2023秋·寧夏銀川·高一銀川二中?？计谀┤?，則____________.
【答案】3
【詳解】由，.
故答案為：3
角度2：已知分段函數(shù)的值求參數(shù)
典型例題
例題1．（2023·高一課時練習）已知函數(shù)，若，則實數(shù)的值等于（ ）
A．B．C．1D．3
【答案】A
【詳解】，據(jù)此結(jié)合題意分類討論：
當時，，
由得，解得，舍去；
當時，，
由得，解得，滿足題意.
故選：A．
例題2．（2023秋·廣東云浮·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)且，則_____________．
【答案】1
【詳解】解：因為函數(shù)且，
當時，，解得（舍）；
當時，，解得，
綜上： 1
故答案為：1
例題3．（2023春·山西忻州·高一河曲縣中學校?？奸_學考試）設(shè)函數(shù)，若，則__________．
【答案】
【詳解】由題意可得，當時，，此時方程無解；
當時，，解得或（舍）
故答案為：
例題4．（2023·高三課時練習）已知函數(shù)，若，則實數(shù)______．
【答案】或
【詳解】當時，由，可得，合乎題意；
當時，由，解得，合乎題意；
當時，由，解得，不合乎題意.
綜上所述，或.
故答案為：或.
角度3：分段函數(shù)求值域（最值）
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習）已知設(shè)，則函數(shù)的最大值是（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】B
【詳解】當，即時，在上單調(diào)遞增，所以，當，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，，所以；
綜上：函數(shù)的最大值為1
故選：B
例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】時，，則；
時，，則；
故函數(shù)的值域為.
故選：A.
例題3．（2023·高一課時練習）若函數(shù),則函數(shù)的值域為______．
【答案】
【詳解】當時， ，
當時，，
故函數(shù)的值域為，
故答案為：
例題4．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域為______．
【答案】
【詳解】當時，
當時，
綜上可得，的值域為
故答案為：
練透核心考點
1．（2023秋·湖南婁底·高一統(tǒng)考期末）給定函數(shù)，用表示中的較大者，記為，例如當時，，則的最小值為（ ）
A．B．0C．1D．4
【答案】B
【詳解】令，可得，即，解得；
令，可得，即，解得或.
所以.
作出的圖象如圖所示：
由圖象可得的最小值為0.
故選:B.
2．（2023秋·湖南長沙·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則（ ）
A．的最大值為，最小值為
B．的最大值為，無最小值
C．的最大值為，無最小值
D．的最大值為，最小值為
【答案】C
【詳解】在同一坐標系中先畫出與的圖象，
然后根據(jù)定義畫出的圖象（圖中實線部分）
由圖象可知，當時，取得最大值，
由得或（舍去），
此時函數(shù)有最大值，無最小值．
故選：C．
3．（2023秋·海南·高一海南華僑中學?？计谀┮阎瘮?shù)，則__________.
【答案】7
【詳解】由已知可得，，所以.
故答案為：7.
4．（2023秋·四川綿陽·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，則______．
【答案】
【詳解】函數(shù)，則，
所以.
故答案為：
5．（2023·高一課時練習）設(shè)函數(shù)，若則實數(shù)=__________
【答案】或1．
【詳解】時，，，
時，，（負數(shù)舍去），
綜上或1．
故答案為：或1．
6．（2023·高一課時練習）已知函數(shù)且，則實數(shù)a的值為________．
【答案】##或##或
【詳解】當時，，解得：，成立，
當時，，解得：，
所以.
故答案為：
7．（2023·高一課時練習）已知函數(shù)，若，則_______.
【答案】
【詳解】解：因為，且，
所以或，
解得或無解；
故答案為：
高頻考點五：函數(shù)的值域
角度1：二次函數(shù)求值域
典型例題
例題1．（2023春·北京海淀·高一?？奸_學考試）設(shè)的定義域是，則函數(shù)的值域中含有整數(shù)的個數(shù)為（ ）
A．17B．18C．19D．20
【答案】B
【詳解】
所以的對稱軸為：，
所以在單調(diào)遞增，
，
，
的值域為，
則函數(shù)的值域中含有整數(shù)的個數(shù)為18.
故選：B.
例題2．（2023·高三課時練習）函數(shù)的值域為______.
【答案】
【詳解】令，則，
所以.
故答案為：.
例題3．（2023·高一課時練習）函數(shù)的值域為_______．
【答案】
【詳解】因為
所以，所以值域為
故答案為：
例題4．（2023秋·遼寧·高一遼河油田第二高級中學?？计谀┮阎魏瘮?shù)滿足，
(1)求的解析式；
(2)當，求的值域．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)二次函數(shù)
由，可得
則，解之得
則二次函數(shù)的解析式為
（2）由（1）得，，
則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增
又，，
則當時的值域為
角度2：分式型函數(shù)求值域
典型例題
例題1．（2023·高三課時練習）關(guān)于“函數(shù)，的最大、最小值與函數(shù)，的最大、最小值”，下列說法中正確的是（ ）．
A．有最大、最小值，有最大、最小值
B．有最大、最小值，無最大、最小值
C．無最大、最小值，有最大、最小值
D．無最大、最小值，無最大、最小值
【答案】C
【詳解】，，
畫出函數(shù)圖象如下：
函數(shù)，無最大值，也無最小值；
當時，此時函數(shù)的圖象為上一些點，
當且時，，當且時，，
且函數(shù)在且上單調(diào)遞減，在當且上時單調(diào)遞減，
故時，取得最小值，當時，取得最大值.
故選：C
例題2．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的最大值與最小值的和是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】設(shè)，則有，
當時，代入原式，解得．
當時，，
由，解得，于是的最大值為，最小值為，
所以函數(shù)的最大值與最小值的和為．
故選：B.
例題3．（2023·高一課時練習）函數(shù) 的值域
【答案】
【詳解】原函數(shù)可化為
①時，方程不成立；
②時，由得，解得.
綜上：
故函數(shù)值域為：.
例題4．（2023·高一課時練習）求函數(shù)的值域.
【答案】
【詳解】因為，
所以當時，；
當時，原函數(shù)化為，
所以，整理得，
解得即或，
∴綜上，函數(shù)的值域為.
例題5．（2023·全國·高三專題練習）求函數(shù)的值域.
【答案】.
【詳解】，
因，即，則，
當且僅當，即 時等號成立，于是得，
所以原函數(shù)的值域為.
角度3：根式型函數(shù)求值域
典型例題
例題1．（2023秋·河北保定·高一保定一中?？计谀┑淖畲笾凳牵? ）
A．B．2C．D．4
【答案】A
【詳解】設(shè)，
則，
因為，所以時，的最大值是，
故選：A.
例題2．（2023·河北·高三學業(yè)考試）已知，則的最大值是（ ）
A．8B．2C．1D．0
【答案】C
【詳解】，當時有最大值為
故選：
例題3．（2023·高一課時練習）求函數(shù)的值域______．
【答案】##
【詳解】令，則，所以．又，所以，即函數(shù)的值域是．
故答案為：.
例題4．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域為___________．
【答案】
【詳解】解：因為，令，則，則，所以，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即的值域為；
故答案為：
例題5．（2023·高一課時練習）函數(shù)的值域為__________．
【答案】
【詳解】，由，得，因為在上單調(diào)遞增，所以，即的值域為.
故答案為：
角度4：根據(jù)值域求參數(shù)
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)的值域為，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】當時，，即值域為，滿足題意；
若，設(shè)，則需的值域包含，
，解得：；
綜上所述：的取值范圍為.
故選：C.
例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在上的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】函數(shù)在[0,2]上單調(diào)遞減，在[2,+∞)上單調(diào)遞增，
時時，
函數(shù)的部分圖象及在上的的圖象如圖所示.
所以為使函數(shù)在上的值域為，實數(shù)m的取值范圍是，
故選：B.
例題3．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)的定義域為，值域為，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】，
當時，；當或時，.
因此當時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，
最大值為，所以，實數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
例題4．（多選）（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值可能是（ ）
A．0B．C．D．1
【答案】CD
【詳解】當時，，故不符合題意；
當時，函數(shù)的值域為，
，解得.
故選：CD
例題5．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)的定義域和值域均為，則的值為__________.
【答案】
【詳解】解：因為，對稱軸為，開口向上，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又因為定義域和值域均為，
所以，即，解得（舍去）或，
所以.
故答案為：
例題6．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為__________．
【答案】
【詳解】解：因為函數(shù)的值域為，
所以能夠取到大于等于的所有數(shù)，
當時，不合題意；
當時，則，解得；
綜上可得.
故答案為：．
角度5：根據(jù)函數(shù)值域求定義域
典型例題
例題1．（2023秋·上海閔行·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)的定義域為，值域為，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當時，的值不唯一B．當時，的值不唯一
C．的最大值為3D．的最小值為3
【答案】D
【詳解】對于A項，當時，顯然，則.函數(shù)在上的值域為，在上的值域為，又函數(shù)在上的值域為，所以，，故A項錯誤；
對于B項，當時，函數(shù)，則此時函數(shù)的值域為，由已知可得，所以，故B錯誤；
對于C、D項，
①當時，函數(shù)，此時函數(shù)的值域為，由已知可得，解得，所以；
②當時，函數(shù)，則此時函數(shù)的值域為，由已知可得，解得，所以；
③當時，.此時函數(shù)在上的值域為，在上的值域為.由已知可得，或.
當時，即，此時有；
當時，即，則，此時有.
綜上所述，.
故C項錯誤，D項正確.
故選：D.
例題2．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】解：，
當時，在上單調(diào)遞增，
所以，此時，
當時，由，
當且僅當，即 時取等號，
因為在上單調(diào)遞增，
若的值域為，則有，即，則，
綜上，，
所以實數(shù)的取值范圍為
故選：A
例題3．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)的定義域為，值域為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】為開口方向向上，對稱軸為的二次函數(shù)
令，解得：，
即實數(shù)的取值范圍為
故選：
例題4．（2023·高一課時練習）解析式相同，定義域不同的兩個函數(shù)稱為“同族函數(shù)”．對于函數(shù)，值域為{1，2，4}的“同族函數(shù)”的個數(shù)為______個．
【答案】9
【詳解】由題意知，問題的關(guān)鍵在于確定函數(shù)定義域的個數(shù)，函數(shù)解析式為，值域為{1，2，4}，
當時，，當時，，當時，，
則定義域可以為：，因此“同族函數(shù)"共有9個.
故答案為：9.
練透核心考點
1．（2023秋·河南洛陽·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)的定義域為集合，值域為集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】由解得，所以，
任取，則，，則，
所以，即，
所以在上是增函數(shù)，且，，
所以，
所以，
故選：A
2．（2023秋·河北保定·高一保定一中?？计谀┑淖畲笾凳牵? ）
A．B．2C．D．4
【答案】A
【詳解】設(shè)，
則，
因為，所以時，的最大值是，
故選：A.
3．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)的值域為，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】當時，，即值域為，滿足題意；
若，設(shè)，則需的值域包含，
，解得：；
綜上所述：的取值范圍為.
故選：C.
4．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)的定義域和值域均為，則的值為__________.
【答案】
【詳解】解：因為，對稱軸為，開口向上，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又因為定義域和值域均為，
所以，即，解得（舍去）或，
所以.
故答案為：
5．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為__________．
【答案】
【詳解】解：因為函數(shù)的值域為，
所以能夠取到大于等于的所有數(shù)，
當時，不合題意；
當時，則，解得；
綜上可得.
故答案為：．
6．（2023·高一課時練習）求函數(shù)的值域______．
【答案】##
【詳解】令，則，所以．又，所以，即函數(shù)的值域是．
故答案為：.
7．（2023·高一課時練習）函數(shù)在上的值域為________．
【答案】
【詳解】，
因為，
所以，當且僅當時取等號，
則函數(shù)在上的值域為，
故答案為：.
8．（2023·高一課時練習）已知函數(shù).
(1)若函數(shù)定義域為R，求a的取值范圍；
(2)若函數(shù)值域為，求a的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）因為函數(shù)定義域為R，
所以在R上恒成立，
當時，，不符合題意；
當時，要想在R上恒成立，即在R上恒成立，
只需，
所以a的取值范圍為；
（2）當時，，符合題意；
當時，要想函數(shù)值域為，
只需，
綜上所述：a的取值范圍為.
9．（2023·高三課時練習）已知函數(shù)，當時，值域為______；當時，值域為______.
【答案】
【詳解】由題知，函數(shù)，，
當時，，
此時，
當且僅當，即時取等號，
當時，，此時，
，
當且僅當，即時取等號，
所以當時，值域為；
當時，
因為，
所以，
當時，，
當時，，
所以當時，.
故答案為：；.
第四部分：高考新題型
①開放性試題
1．（2022秋·山東聊城·高一?？茧A段練習）寫出一個與的定義域和值域均相同，但是解析式不同的函數(shù)：____________．
【答案】（答案不唯一）
【詳解】的定義域為R，值域為，
故可令，定義域為R，值域為，滿足要求.
故答案為：.
2．（2022秋·江西·高一校聯(lián)考階段練習）若函數(shù)和的值域相同，但定義域不同，則稱和是“同象函數(shù)”.已知函數(shù)，寫出一個與是“同象函數(shù)”的函數(shù)的解析式： _________.
【答案】，（或或等，答案不唯一）
【詳解】的定義域為R，因為，所以，所以的值域為，
，則的定義域為，因為，所以，所以的值域為，
所以與的值域相同，定義域不同，所以與是“同象函數(shù)”.
故答案為：（答案不唯一）.
3．（2022秋·江蘇南通·高一海安高級中學校考期中）除函數(shù)y＝x，外，再寫出一個定義域和值域均為的函數(shù)______.
【答案】（答案不唯一）
【詳解】令，滿足定義域和值域均為，
故答案為：（答案不唯一）
②探究性試題
1．（2020秋·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學?？茧A段練習）若，則函數(shù)（ ）
A．有最大值10B．有最小值10
C．有最大值6D．有最小值6
【答案】B
【詳解】因為，
所以
，
當且僅當，即時，等號成立.
即函數(shù)有最小值，
再由結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在上無最大值.
故選：B.
2．（2022秋·安徽六安·高一校考期中）若用表示三個數(shù)中的最小值,如.則函數(shù)的最大值是________．
【答案】6
【詳解】解:由題知為三個數(shù)中的最小值,
則即是這三個函數(shù)中取同一值時,函數(shù)值最小的,
反映到圖像上,即是三個函數(shù)圖像中下方的圖像,
在同一坐標系下畫出三個函數(shù)圖像如圖所示:
由上圖像可畫出如下所示,
聯(lián)立可得,
由圖可知的最大值為6.
故答案為:6
第五部分：數(shù)學思想方法
①函數(shù)與方程的思想
1．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由已知可得，解得，其中，因此，.
故選：C.
2．（2023·全國·高三專題練習）若對任意實數(shù)，均有，求___________
【答案】##
【詳解】∵（1）
∴（2）
由得，
∴.
故答案為：.
3．（2023·高一單元測試）已知函數(shù)，存在實數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【詳解】由得，即，
設(shè)，則原命題等價于存在t，使得，.
∵均單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞增，
即當時，取得最小值，即，解得.
故答案為：
②數(shù)形結(jié)合思想
1．（2023·高一單元測試）若函數(shù)的定義域是，則其值域為（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】函數(shù)圖像可由 圖像向右平移一個單位得到，
如圖所示:
，
結(jié)合圖像可知，函數(shù)的值域為 .
故選：D
2．（多選）（2023春·安徽馬鞍山·高一馬鞍山二中?？奸_學考試）已知=min{，}，下列說法正確的是（ ）
A．在區(qū)間單調(diào)遞增
B．在區(qū)間單調(diào)遞減
C．有最小值1
D．有最大值1
【答案】BD
【詳解】畫出的大致圖象，如圖所示：
由圖象可知，在區(qū)間上不單調(diào)，在區(qū)間單調(diào)遞減，故錯誤，正確，
當或時，取得最大值1，無最小值，故錯誤，正確，
故選：.
3．（2023·高一課時練習）畫出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象回答下列問題.
(1)比較，，的大??；
(2)若，比較與的大小；
(3)求函數(shù)的值域.
【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）函數(shù)的定義域為R，
列表：
描點，連線，得函數(shù)圖象如圖所示：
根據(jù)圖象，容易發(fā)現(xiàn)，，
所以.
（2）根據(jù)圖象，得到當時，有.
（3）根據(jù)圖象，可以看出函數(shù)的圖象是以為頂點，開口向下的拋物線，
因此，函數(shù)的值域為.
解析法（最常用）
圖象法（解題助手）
列表法
就是把變量，之間的關(guān)系用一個關(guān)系式來表示，通過關(guān)系式可以由的值求出的值.
就是把，之間的關(guān)系繪制成圖象，圖象上每個點的坐標就是相應的變量，的值.
就是將變量，的取值列成表格，由表格直接反映出兩者的關(guān)系.
x
-2
-1
0
1
2
3
4
y
-5
0
3
4
3
0
-5

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