典例精講
考點一 事件獨立性的判斷
【例1】（2022·高一課時練習(xí)）下列A，為獨立事件的是__________________（寫出所有正確選項的序號）．
①投擲骰子一次，A：投出點數(shù)為3，：投出點數(shù)為2；
②投擲骰子兩次，A：第一次投出點數(shù)為3，：第二次投出點數(shù)為5；
③從一副52張牌中，隨機不放回地依次抽取2張，A：第一張抽中7，：第二張抽中7；
④從一副52張牌中，隨機有放回地依次抽取2張，A：第一張抽中紅桃，：第二張抽中黑桃．
【一隅三反】
1．（2022·高一課時練習(xí)）投擲一顆骰子兩次，判斷事件是否獨立__________．
第一次投出1點； 兩次點數(shù)之和為7； 兩次點數(shù)最大為2； 兩次點數(shù)最小為2．
2．（2023·高一單元測試）已知下列各組事件：
①擲一次骰子，事件A：點數(shù)為奇數(shù)，事件B：點數(shù)為偶數(shù)；
②擲兩次硬幣，事件A：第一次正面朝上，事件B：兩次正面都朝上；
③從10男10女中選兩個人分別擔(dān)任正副班長，事件A：正班長是男的，事件B：副班長是男的；
④擲兩次硬幣，事件A：第一次正面朝上，事件B：第二次反面朝上．
其中A、B是獨立事件的序號是______.
3．（2022·高一課時練習(xí)）有兩個設(shè)計團隊，一個比較穩(wěn)重，記作，另一個具有創(chuàng)新性，記作．要求他們分別在一個月內(nèi)做一個設(shè)計，從過去的經(jīng)驗知道：
的成功概率為；的成功概率為；兩個團隊中至少有一個成功的概率為．
問：從過去的經(jīng)驗推斷的成功及的成功是否相互獨立，并說明理由．
考點二 獨立事件與互斥事件辨析
【例2-1】（2023·高一課時練習(xí)）袋中有黑、白兩種顏色的球，從中進行有放回地摸球，用表示第一次摸得黑球，表示第二次摸得黑球，則與是（ ）
A．相互獨立事件B．不相互獨立事件
C．互斥事件D．對立事件
【例2-2】（2022重慶）已知A和B是隨機試驗E中的兩個隨機事件，事件，下列選項中正確的是（ ）
A．A與B互斥B．A與C互斥
C．A與B相互獨立D．A與C相互獨立
【一隅三反】
1．（2023遼寧沈陽）（多選）若，，，則事件與的關(guān)系錯誤的是（ ）
A．事件與互斥
B．事件與對立
C．事件與相互獨立
D．事件與既互斥又相互獨立
2．（2022秋·河南·高一武陟縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）甲?乙各投擲一枚骰子，下列說法正確的是（ ）
A．事件“甲投得5點”與事件“甲投得4點”是互斥事件
B．事件“甲投得6點”與事件“乙投得5點”是相互獨立事件
C．事件“甲?乙都投得6點”與事件“甲?乙不全投得6點”是對立事件
D．事件“至少有1人投得6點”與事件“甲投得6點且乙沒投得6點”是相互獨立事件
3．（2022秋·遼寧大連·高一統(tǒng)考期末）（多選）同時擲紅、藍(lán)兩枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A表示“兩枚骰子的點數(shù)之和為5”，事件B表示“紅色骰子的點數(shù)是偶數(shù)”，事件C表示“兩枚骰子的點數(shù)相同”，事件D表示“至少一枚骰子的點數(shù)是奇數(shù)”，則（ ）
A．A與C互斥B．B與D對立C．A與相互獨立D．B與C相互獨立
考點三 求相互獨立事件的概率
【例3-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）某次考試共有四個環(huán)節(jié)，只有通過前一個環(huán)節(jié)才能進入后一個環(huán)節(jié)．現(xiàn)已知某人能夠通過第一、二、三、四環(huán)節(jié)的概率依次是，，，，且每個環(huán)節(jié)是否通過互不影響．求：
(1)此人進入第四環(huán)節(jié)才被淘汰的概率；
(2)此人至多進入第三環(huán)節(jié)的概率．
【例3-2】（2022春·廣西梧州·高一?？奸_學(xué)考試）年月日，中國疾控中心成功分離中國首株新型冠狀病毒毒種，月日時分，重組新冠疫苗獲批啟動臨床試驗.月日，中國新冠病毒疫苗進入期臨床試驗截至月日，全球當(dāng)前有大約種候選新冠病毒疫苗在研發(fā)中，其中至少有種疫苗正處于臨床試驗階段現(xiàn)有、、三個獨立的醫(yī)療科研機構(gòu)，它們在一定時期內(nèi)能研制出疫苗的概率分別是、、．求：
(1)他們都研制出疫苗的概率；
(2)他們都失敗的概率；
(3)他們能夠研制出疫苗的概率．
【一隅三反】
1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）為了慶祝神舟十四號成功返航，學(xué)校開展“航天知識”競賽活動，甲乙兩個班級的代表隊同時回答一道有關(guān)航天知識的問題，甲隊答對此題的概率是，乙隊答對此題的概率是，假設(shè)每隊答題正確與否是相互獨立的．
(1)求甲乙兩隊都答對此題的概率；
(2)求甲乙兩隊至少有一隊答對此題的概率．
2．（2022秋·北京延慶·高一統(tǒng)考期末）已知甲的投籃命中率為0.6，乙的投籃命中率為0.7，丙的投籃命中率為0.5，求：
(1)甲，乙，丙各投籃一次，三人都命中的概率；
(2)甲，乙，丙各投籃一次，恰有兩人命中的概率；
(3)甲，乙，丙各投籃一次，至少有一人命中的概率．
3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）第56屆世界乒乓球團體錦標(biāo)賽于2022年在中國成都舉辦，國球運動又一次掀起熱潮．現(xiàn)有甲乙兩人進行乒乓球比賽，比賽采用7局4勝制，每局11分制，每贏一球得1分，選手只要得到至少11分，并且領(lǐng)先對方至少2分（包括2分），即贏得該局比賽．在一局比賽中，每人只發(fā)2個球就要交換發(fā)球權(quán)，如果雙方比分為10：10后，每人發(fā)一個球就要交換發(fā)球權(quán)．
(1)已知在本場比賽中，前三局甲贏兩局，乙贏一局，在后續(xù)比賽中，每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且每局比賽的結(jié)果相互獨立，求甲乙兩人只需要再進行兩局比賽就能結(jié)束本場比賽的概率；
(2)已知某局比賽中雙方比分為8：8，且接下來兩球由甲發(fā)球，若甲發(fā)球時甲得分的概率為，乙發(fā)球時乙得分的概率為，各球的結(jié)果相互獨立，求該局比賽甲得11分獲勝的概率．
10.2 事件的相互獨立性（精講）思維導(dǎo)圖
典例精講
考點一 事件獨立性的判斷
【例1】（2022·高一課時練習(xí)）下列A，為獨立事件的是__________________（寫出所有正確選項的序號）．
①投擲骰子一次，A：投出點數(shù)為3，：投出點數(shù)為2；
②投擲骰子兩次，A：第一次投出點數(shù)為3，：第二次投出點數(shù)為5；
③從一副52張牌中，隨機不放回地依次抽取2張，A：第一張抽中7，：第二張抽中7；
④從一副52張牌中，隨機有放回地依次抽取2張，A：第一張抽中紅桃，：第二張抽中黑桃．
【答案】②④
【解析】①投擲骰子一次，A：投出點數(shù)為3，：投出點數(shù)為2
則，則，則A，不為獨立事件；
②投擲骰子兩次，A：第一次投出點數(shù)為3，：第二次投出點數(shù)為5
則，則，則A，為獨立事件；
③從一副52張牌中，隨機不放回地依次抽取2張，
A：第一張抽中7，：第二張抽中7；
則，
則，則A，不為獨立事件；
④從一副52張牌中，隨機有放回地依次抽取2張，
A：第一張抽中紅桃，：第二張抽中黑桃．
則，
則，則A，為獨立事件.故答案為：②④
【一隅三反】
1．（2022·高一課時練習(xí)）投擲一顆骰子兩次，判斷事件是否獨立__________．
第一次投出1點； 兩次點數(shù)之和為7； 兩次點數(shù)最大為2； 兩次點數(shù)最小為2．
【答案】相互獨立；不相互獨立．
【解析】事件 第一次投出1點，所以 ；
兩次點數(shù)之和為7，所以 ；
又因為，
所以相互獨立；
事件 兩次點數(shù)最大為2，其基本事件為：，
所以；
兩次點數(shù)最小為2，其基本事件為：，
所以，
所以，
所以不相互獨立.
故答案為：相互獨立；不相互獨立．
2．（2023·高一單元測試）已知下列各組事件：
①擲一次骰子，事件A：點數(shù)為奇數(shù)，事件B：點數(shù)為偶數(shù)；
②擲兩次硬幣，事件A：第一次正面朝上，事件B：兩次正面都朝上；
③從10男10女中選兩個人分別擔(dān)任正副班長，事件A：正班長是男的，事件B：副班長是男的；
④擲兩次硬幣，事件A：第一次正面朝上，事件B：第二次反面朝上．
其中A、B是獨立事件的序號是______.
【答案】④
【解析】對于①，因為，而，此時，所以事件與不獨立；
對于②，擲兩次硬幣，可能的結(jié)果有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），
則，而，此時，所以事件與不獨立；
對于③，因為，而，
此時，所以事件與不獨立；
對于④，擲兩次硬幣，可能的結(jié)果有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），
則，而，此時，所以事件與相互獨立，
綜上可知，A、B是獨立事件的序號為④．
故答案為：④．
3．（2022·高一課時練習(xí)）有兩個設(shè)計團隊，一個比較穩(wěn)重，記作，另一個具有創(chuàng)新性，記作．要求他們分別在一個月內(nèi)做一個設(shè)計，從過去的經(jīng)驗知道：
的成功概率為；的成功概率為；兩個團隊中至少有一個成功的概率為．
問：從過去的經(jīng)驗推斷的成功及的成功是否相互獨立，并說明理由．
【答案】的成功與的成功不相互獨立，理由見解析
【解析】的成功與的成功不相互獨立．理由：
，，，，
從而可得的成功與的成功不相互獨立.
考點二 獨立事件與互斥事件辨析
【例2-1】（2023·高一課時練習(xí)）袋中有黑、白兩種顏色的球，從中進行有放回地摸球，用表示第一次摸得黑球，表示第二次摸得黑球，則與是（ ）
A．相互獨立事件B．不相互獨立事件
C．互斥事件D．對立事件
【答案】A
【解析】由題意可得表示第二次摸到的不是黑球,
即表示第二次摸到的是白球,由于采用有放回地摸球,
故每次是否摸到白球互不影響,故事件與是相互獨立事件，
由于與可能同時發(fā)生，故不是互斥事件也不是對立事件.
故選：A.
【例2-2】（2022重慶）已知A和B是隨機試驗E中的兩個隨機事件，事件，下列選項中正確的是（ ）
A．A與B互斥B．A與C互斥
C．A與B相互獨立D．A與C相互獨立
【答案】C
【解析】由題知，，因為，故A錯誤；
因為，A發(fā)生時C一定發(fā)生，故B錯誤；
因為，所以，
又，所以，故C正確；
因為，所以，由，，故D錯誤.
故選：C
【一隅三反】
1．（2023遼寧沈陽）（多選）若，，，則事件與的關(guān)系錯誤的是（ ）
A．事件與互斥
B．事件與對立
C．事件與相互獨立
D．事件與既互斥又相互獨立
【答案】ABD
【解析】由題意可得，
因為，， 可得，
所以事件與相互獨立，不互斥不對立.
故選：ABD．
2．（2022秋·河南·高一武陟縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）甲?乙各投擲一枚骰子，下列說法正確的是（ ）
A．事件“甲投得5點”與事件“甲投得4點”是互斥事件
B．事件“甲投得6點”與事件“乙投得5點”是相互獨立事件
C．事件“甲?乙都投得6點”與事件“甲?乙不全投得6點”是對立事件
D．事件“至少有1人投得6點”與事件“甲投得6點且乙沒投得6點”是相互獨立事件
【答案】ABC
【解析】對于A，事件“甲投得5點”與事件“甲投得4點”不可能同時發(fā)生，二者為互斥事件，A正確；
對于B, 事件“甲投得6點”發(fā)生與否對事件“乙投得5點”沒有影響，二者是相互獨立事件，B正確；
對于C，事件“甲?乙都投得6點”的反面為“至少有1人沒有投得6點”，也即“甲?乙不全投得6點”，
故事件“甲?乙都投得6點”與事件“甲?乙不全投得6點”是對立事件，C正確；
對于D，事件“至少有1人投得6點”包含“甲投得6點且乙沒投得6點”的情況，
故事件“至少有1人投得6點”與事件“甲投得6點且乙沒投得6點”不是相互獨立事件，D錯誤，
故選：
3．（2022秋·遼寧大連·高一統(tǒng)考期末）（多選）同時擲紅、藍(lán)兩枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A表示“兩枚骰子的點數(shù)之和為5”，事件B表示“紅色骰子的點數(shù)是偶數(shù)”，事件C表示“兩枚骰子的點數(shù)相同”，事件D表示“至少一枚骰子的點數(shù)是奇數(shù)”，則（ ）
A．A與C互斥B．B與D對立C．A與相互獨立D．B與C相互獨立
【答案】AD
【解析】事件A：兩枚骰子的點數(shù)之和為5，則為（1,4）（4,1）（2,3）（3,2）
事件C：表示“兩枚骰子的點數(shù)相同，則為（1,1）（2,2）（3,3）（4,4）（5,5）（6,6）
故事件A與事件C互斥，所以A正確；
事件中與事件D會出現(xiàn)相同的情況，例如（2,1）（4,3）等
故事件中與事件D不對立，故B不正確；
事件D表示“至少一枚骰子的點數(shù)是奇數(shù)”
事件D的對立事件表示“擲出的點數(shù)都是偶數(shù)點”
所以,,所以故C不正確；
,,所以故D正確；故選：AD.
考點三 求相互獨立事件的概率
【例3-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）某次考試共有四個環(huán)節(jié)，只有通過前一個環(huán)節(jié)才能進入后一個環(huán)節(jié)．現(xiàn)已知某人能夠通過第一、二、三、四環(huán)節(jié)的概率依次是，，，，且每個環(huán)節(jié)是否通過互不影響．求：
(1)此人進入第四環(huán)節(jié)才被淘汰的概率；
(2)此人至多進入第三環(huán)節(jié)的概率．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由獨立事件的概率乘法公式可得，此人進入第四環(huán)節(jié)才被淘汰的概率；
（2）此人進入第一環(huán)節(jié)被淘汰的概率；
此人進入第二環(huán)節(jié)被淘汰的概率；
此人進入第三環(huán)節(jié)被淘汰的概率，
此人至多進入第三環(huán)節(jié)的概率為．
【例3-2】（2022春·廣西梧州·高一?？奸_學(xué)考試）年月日，中國疾控中心成功分離中國首株新型冠狀病毒毒種，月日時分，重組新冠疫苗獲批啟動臨床試驗.月日，中國新冠病毒疫苗進入期臨床試驗截至月日，全球當(dāng)前有大約種候選新冠病毒疫苗在研發(fā)中，其中至少有種疫苗正處于臨床試驗階段現(xiàn)有、、三個獨立的醫(yī)療科研機構(gòu)，它們在一定時期內(nèi)能研制出疫苗的概率分別是、、．求：
(1)他們都研制出疫苗的概率；
(2)他們都失敗的概率；
(3)他們能夠研制出疫苗的概率．
【答案】(1)(2)(3)
【解析】（1）解：令事件在一定時期內(nèi)能研制出疫苗，事件在一定時期內(nèi)能研制出疫苗，
事件在一定時期內(nèi)能研制出疫苗，
由題意可知，事件、、相互獨立，且，，.
若他們都研制出疫苗，即事件、、同時發(fā)生，
所以，，即他們都研制出疫苗的概率為．
（2）解：他們都失敗，即事件、、同時發(fā)生，
所以，.
即他們都失敗的概率為．
（3）解：“他們能夠研制出疫苗”的對立事件為“他們都失敗”，
結(jié)合對立事件間的概率關(guān)系，可得所求事件的概率.
即他們能研制出疫苗的概率為．
【一隅三反】
1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）為了慶祝神舟十四號成功返航，學(xué)校開展“航天知識”競賽活動，甲乙兩個班級的代表隊同時回答一道有關(guān)航天知識的問題，甲隊答對此題的概率是，乙隊答對此題的概率是，假設(shè)每隊答題正確與否是相互獨立的．
(1)求甲乙兩隊都答對此題的概率；
(2)求甲乙兩隊至少有一隊答對此題的概率．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：設(shè)甲、乙隊答對此題分別為事件，則，
記事件“甲乙兩隊都答對此題”，由于每隊答題正確與否是相互獨立的，
所以，故甲乙兩隊都答對此題的概率為；
（2）解：記事件“甲乙兩隊至少有一隊答對此題”，由于每隊答題正確與否是相互獨立的，
故.
故甲乙兩隊至少有一隊答對此題的概率為.
2．（2022秋·北京延慶·高一統(tǒng)考期末）已知甲的投籃命中率為0.6，乙的投籃命中率為0.7，丙的投籃命中率為0.5，求：
(1)甲，乙，丙各投籃一次，三人都命中的概率；
(2)甲，乙，丙各投籃一次，恰有兩人命中的概率；
(3)甲，乙，丙各投籃一次，至少有一人命中的概率．
【答案】(1)0.21；
(2)0.44；
(3)0.94.
【解析】（1）設(shè)事件：甲投籃命中;
事件：乙投籃命中;
事件：丙投籃命中.
甲,乙,丙各投籃一次,三人都命中的概率
.
所以甲,乙,丙各投籃一次,三人都命中的概率為0.21.
（2）設(shè)事件:恰有兩人命中.
所以
所以甲,乙,丙各投籃一次,恰有兩人命中的概率為0.44.
（3）設(shè)事件:至少有一人命中.
所以
所以甲,乙,丙各投籃一次,至少有一人命中的概率為0.94.
3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）第56屆世界乒乓球團體錦標(biāo)賽于2022年在中國成都舉辦，國球運動又一次掀起熱潮．現(xiàn)有甲乙兩人進行乒乓球比賽，比賽采用7局4勝制，每局11分制，每贏一球得1分，選手只要得到至少11分，并且領(lǐng)先對方至少2分（包括2分），即贏得該局比賽．在一局比賽中，每人只發(fā)2個球就要交換發(fā)球權(quán)，如果雙方比分為10：10后，每人發(fā)一個球就要交換發(fā)球權(quán)．
(1)已知在本場比賽中，前三局甲贏兩局，乙贏一局，在后續(xù)比賽中，每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且每局比賽的結(jié)果相互獨立，求甲乙兩人只需要再進行兩局比賽就能結(jié)束本場比賽的概率；
(2)已知某局比賽中雙方比分為8：8，且接下來兩球由甲發(fā)球，若甲發(fā)球時甲得分的概率為，乙發(fā)球時乙得分的概率為，各球的結(jié)果相互獨立，求該局比賽甲得11分獲勝的概率．
【答案】(1)；
(2).
【解析】（1）設(shè)“甲乙兩人只需要再進行兩局比賽就能結(jié)束本場比賽”為事件，
若兩局比賽就能結(jié)束，則只能甲連勝兩局，
所以；
（2）設(shè)“該局比賽甲得11分獲勝”為事件，
甲得11分獲勝有兩類情況：甲連得3分，則甲獲勝；
甲得3分，乙得1分，則甲獲勝，此時有三種情況，每球得分方分別為乙甲甲甲，甲乙甲甲，甲甲乙甲，
所以.

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10.2 事件的相互獨立性

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