1.定義：在任何確定次數(shù)的隨機試驗中，一個隨機事件A發(fā)生的頻率具有隨機性.一般地，隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)，我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此，我們可以用頻率fn(A)估計概率P(A).
2.頻率與概率辨析
(1)頻率是概率的近似值，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率會越來越接近概率.
(2)頻率本身是隨機的，在試驗前不能確定.
(3)概率是一個確定的常數(shù)，是客觀存在的，在試驗前已經(jīng)確定，與試驗次數(shù)無關(guān).
二．隨機模擬
用頻率估計概率，需做大量的重復(fù)試驗，我們可以根據(jù)不同的隨機試驗構(gòu)建相應(yīng)的隨機數(shù)模擬試驗，這樣就可以快速地進行大量重復(fù)試驗了.我們稱利用隨機模擬解決問題的方法為蒙特卡洛方法.
知識簡用
題型一 概率的定義
【例1-1】（2022·全國·高一專題練習(xí)）“某彩票的中獎概率為”意味著（ ）
A．買100張彩票就一定能中獎
B．買100張彩票能中一次獎
C．買100張彩票一次獎也不中
D．購買彩票中獎的可能性為
【例1-2】（2022·全國·高一專題練習(xí)）氣象臺預(yù)測“本市明天降雨的概率是90%”，對預(yù)測的正確理解是（ ）
A．本市明天將有的地區(qū)降雨
B．本市明天將有的時間降雨
C．明天出行不帶雨具肯定會淋雨
D．明天出行不帶雨具可能會淋雨
【例1-3】（2023安徽）老師講一道數(shù)學(xué)題，李峰能聽懂的概率是0.8，是指（ ）
A．老師每講一題，該題有80%的部分能聽懂，20%的部分聽不懂
B．老師在講的10道題中，李峰能聽懂8道
C．李峰聽懂老師所講這道題的可能性為80%
D．以上解釋都不對
題型二 概率與頻率的辨析
【例2-1】（2023·高一課時練習(xí)）以下說法正確的是（ ）
A．概率與試驗次數(shù)有關(guān)B．在試驗前無法確定概率
C．頻率與試驗次數(shù)無關(guān)D．頻率是在試驗后得到的
【例2-2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）在一次拋硬幣的試驗中，某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了1000次試驗，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了480次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為（ ）
A．0.48，0.48B．0.5，0.5
C．0.48，0.5D．0.5，0.48
【例2-3】（2022·全國·高一專題練習(xí)）（多選）關(guān)于頻率和概率，下列說法正確的是（ ）
A．某同學(xué)投籃3次，命中2次，則該同學(xué)每次投籃命中的概率為
B．費勒拋擲10000次硬幣，得到硬幣正面向上的頻率為0.4979；皮爾遜拋擲24000次硬幣，得到硬幣正面向上的頻率為0.5005．如果某同學(xué)拋擲36000次硬幣那么得到硬幣正面向上的頻率可能大于0.5005
C．某類種子發(fā)芽的概率為0.903，若抽取2000粒種子試種，則一定會有1806粒種子發(fā)芽
D．將一顆質(zhì)地均勻的骰子拋擲6000次，則擲出的點數(shù)大于2的次數(shù)大約為4000次
題型三 隨機模擬
【例3-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）氣象臺預(yù)報“本市未來三天降雨的概率都為30%”，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計未來三天降雨的情況：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3表示降雨，4，5，6，7，8，9，0表示不降雨；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三天降雨的結(jié)果.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：
907 966 191 925 271 932 815 458 569 683
431 257 393 027 556 481 730 113 537 989
據(jù)此估計，未來三天恰有一天降雨的概率為（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
【例3-2】（2022·全國·高一專題練習(xí)）池州九華山是著名的旅游勝地．天氣預(yù)報8月1日后連續(xù)四天，每天下雨的概率為0.6，現(xiàn)用隨機模擬的方法估計四天中恰有三天下雨的概率：在0~9十個整數(shù)值中，假定0，1，2，3，4，5表示當(dāng)天下雨，6，7，8，9表示當(dāng)天不下雨．在隨機數(shù)表中從某位置按從左到右的順序讀取如下20組四位隨機數(shù)：
據(jù)此估計四天中恰有三天下雨的概率為（ ）
A．B．C．D．
【例3-3】（2023廣西）已知某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的合格率為90%現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計4件產(chǎn)品中至少有3件為合格品的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0表示不是合格品，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示是合格品；再以每4個隨機數(shù)為一組，代表4件產(chǎn)品，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：
7527 0293 7040 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0301 6233 2616 8045 6001 3661 9597 7424 7610 4001
掘此估計，4件產(chǎn)品中至少有3件合格品的概率為（ ）
A．B．C．D．
9533
9522
0018
7472
0018
3879
5869
3281
7890
2692
8280
8425
3990
8460
7980
2436
5987
3882
0753
8935
10.3 頻率與概率（學(xué)案）知識自測
一．頻率的穩(wěn)定性
1.定義：在任何確定次數(shù)的隨機試驗中，一個隨機事件A發(fā)生的頻率具有隨機性.一般地，隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)，我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此，我們可以用頻率fn(A)估計概率P(A).
2.頻率與概率辨析
(1)頻率是概率的近似值，隨著試驗次數(shù)的增加，頻率會越來越接近概率.
(2)頻率本身是隨機的，在試驗前不能確定.
(3)概率是一個確定的常數(shù)，是客觀存在的，在試驗前已經(jīng)確定，與試驗次數(shù)無關(guān).
二．隨機模擬
用頻率估計概率，需做大量的重復(fù)試驗，我們可以根據(jù)不同的隨機試驗構(gòu)建相應(yīng)的隨機數(shù)模擬試驗，這樣就可以快速地進行大量重復(fù)試驗了.我們稱利用隨機模擬解決問題的方法為蒙特卡洛方法.
知識簡用
題型一 概率的定義
【例1-1】（2022·全國·高一專題練習(xí)）“某彩票的中獎概率為”意味著（ ）
A．買100張彩票就一定能中獎
B．買100張彩票能中一次獎
C．買100張彩票一次獎也不中
D．購買彩票中獎的可能性為
【答案】D
【解析】概率表示事件發(fā)生的可能性的大小,并不代表事件發(fā)生的頻率，
“某彩票的中獎概率為”意味著購買彩票中獎的可能性為.故答案為：D
【例1-2】（2022·全國·高一專題練習(xí)）氣象臺預(yù)測“本市明天降雨的概率是90%”，對預(yù)測的正確理解是（ ）
A．本市明天將有的地區(qū)降雨
B．本市明天將有的時間降雨
C．明天出行不帶雨具肯定會淋雨
D．明天出行不帶雨具可能會淋雨
【答案】D
【解析】本市降雨的概率是，是說明天下雨發(fā)生的可能性很大，但不一定就一定會發(fā)生．
所以只有合題意．故選：D．
【例1-3】（2023安徽）老師講一道數(shù)學(xué)題，李峰能聽懂的概率是0.8，是指（ ）
A．老師每講一題，該題有80%的部分能聽懂，20%的部分聽不懂
B．老師在講的10道題中，李峰能聽懂8道
C．李峰聽懂老師所講這道題的可能性為80%
D．以上解釋都不對
【答案】C
【解析】概率的意義就是事件發(fā)生的可能性大小，即李峰聽懂老師所講這道題的可能性為80%.故選：C
題型二 概率與頻率的辨析
【例2-1】（2023·高一課時練習(xí)）以下說法正確的是（ ）
A．概率與試驗次數(shù)有關(guān)B．在試驗前無法確定概率
C．頻率與試驗次數(shù)無關(guān)D．頻率是在試驗后得到的
【答案】D
【解析】概率本身是一個在內(nèi)的確定值，不隨試驗結(jié)果的改變而改變，故AB錯誤；
頻率本身是隨機的，在試驗之前是無法確定的，在相同條件下做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗，
得到的事件的頻率值也可能會不同，故C錯誤，D正確.故選：D
【例2-2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）在一次拋硬幣的試驗中，某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了1000次試驗，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了480次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為（ ）
A．0.48，0.48B．0.5，0.5
C．0.48，0.5D．0.5，0.48
【答案】C
【解析】由頻率的定義，正面朝上的頻率；
正面朝上的概率是拋硬幣試驗的固有屬性，為0.5，與試驗次數(shù)無關(guān).故選：C
【例2-3】（2022·全國·高一專題練習(xí)）（多選）關(guān)于頻率和概率，下列說法正確的是（ ）
A．某同學(xué)投籃3次，命中2次，則該同學(xué)每次投籃命中的概率為
B．費勒拋擲10000次硬幣，得到硬幣正面向上的頻率為0.4979；皮爾遜拋擲24000次硬幣，得到硬幣正面向上的頻率為0.5005．如果某同學(xué)拋擲36000次硬幣那么得到硬幣正面向上的頻率可能大于0.5005
C．某類種子發(fā)芽的概率為0.903，若抽取2000粒種子試種，則一定會有1806粒種子發(fā)芽
D．將一顆質(zhì)地均勻的骰子拋擲6000次，則擲出的點數(shù)大于2的次數(shù)大約為4000次
【答案】BD
【解析】A中，某同學(xué)投籃3次，命中2次，只能說明頻率為，而不能說明概率為，故A選項錯誤；
B中，當(dāng)試驗次數(shù)很多時，硬幣正面向上的頻率在0.5附近擺動，可能大于0.5，也可能小于0.5，故B選項正確；
C中，只能說明大約有1806粒種子發(fā)芽，并不是定有1806粒種子發(fā)芽，故C選項錯誤；
D中，點數(shù)大于2的概率為，故拋擲6000次點數(shù)大于2的次數(shù)大約為4000次，故D選項正確．
故選：BD．
題型三 隨機模擬
【例3-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）氣象臺預(yù)報“本市未來三天降雨的概率都為30%”，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計未來三天降雨的情況：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3表示降雨，4，5，6，7，8，9，0表示不降雨；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三天降雨的結(jié)果.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：
907 966 191 925 271 932 815 458 569 683
431 257 393 027 556 481 730 113 537 989
據(jù)此估計，未來三天恰有一天降雨的概率為（ ）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5
【答案】C
【解析】表示未來三天恰有一天降雨的有：925，815，683，257，027，481，730，537共8個，
概率為，故選：C．
【例3-2】（2022·全國·高一專題練習(xí)）池州九華山是著名的旅游勝地．天氣預(yù)報8月1日后連續(xù)四天，每天下雨的概率為0.6，現(xiàn)用隨機模擬的方法估計四天中恰有三天下雨的概率：在0~9十個整數(shù)值中，假定0，1，2，3，4，5表示當(dāng)天下雨，6，7，8，9表示當(dāng)天不下雨．在隨機數(shù)表中從某位置按從左到右的順序讀取如下20組四位隨機數(shù)：
據(jù)此估計四天中恰有三天下雨的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由表中數(shù)據(jù)可得四天中恰有三天下雨的有9533，9522，0018，0018，3281，8425，2436，0753，共8組，所以估計四天中恰有三天下雨的概率為.故選：B.
【例3-3】（2023廣西）已知某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的合格率為90%現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計4件產(chǎn)品中至少有3件為合格品的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0表示不是合格品，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示是合格品；再以每4個隨機數(shù)為一組，代表4件產(chǎn)品，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：
7527 0293 7040 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0301 6233 2616 8045 6001 3661 9597 7424 7610 4001
掘此估計，4件產(chǎn)品中至少有3件合格品的概率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】4件產(chǎn)品中至多出現(xiàn)一次0，共個，
所以4件產(chǎn)品中至少有3件合格品的概率為.
故選：D
9533
9522
0018
7472
0018
3879
5869
3281
7890
2692
8280
8425
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10.3 頻率與概率

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