一、導數(shù)的概念和幾何性質
1.概念
函數(shù)在處瞬時變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導數(shù)，記作或．
注：①增量可以是正數(shù)，也可以是負，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數(shù)；
②當時，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個確定的常數(shù)，即存在一個常數(shù)與無限接近；
③導數(shù)的本質就是函數(shù)的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率．如瞬時速度即是位移在這一時刻的瞬間變化率，即．
2.幾何意義
函數(shù)在處的導數(shù)的幾何意義即為函數(shù)在點處的切線的斜率．
3.物理意義
函數(shù)在點處的導數(shù)是物體在時刻的瞬時速度，即；在點的導數(shù)是物體在時刻的瞬時加速度，即．
二、導數(shù)的運算
1.求導的基本公式
2.導數(shù)的四則運算法則
（1）函數(shù)和差求導法則：；
（2）函數(shù)積的求導法則：；
（3）函數(shù)商的求導法則：，則．
3.復合函數(shù)求導數(shù)
復合函數(shù)的導數(shù)和函數(shù)，的導數(shù)間關系為：
4.導數(shù)的幾何意義
（1）在點的切線方程
切線方程的計算：函數(shù)在點處的切線方程為，抓住關鍵．
（2）過點的切線方程
設切點為，則斜率，過切點的切線方程為：，
又因為切線方程過點，所以然后解出的值．（有幾個值，就有幾條切線）
注意：在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外．
一、單選題
1．（2024·云南保山·二模）若函數(shù)與函數(shù)的圖象存在公切線，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求得公切線方程為，聯(lián)立方程組，結合，得到，令，求得，令，求得和，得到函數(shù)的單調性和最小值，進而得到，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，可得，
因為，設切點為，則，
則公切線方程為，即，
與聯(lián)立可得，
所以，整理可得，
又由，可得，解得，
令，其中，可得，
令，可得，函數(shù)在上單調遞增，且，
當時，，即，此時函數(shù)單調遞減，
當時，，即，此時函數(shù)單調遞增，
所以，且當時，，所以函數(shù)的值域為，所以且，解得，即實數(shù)的取值范圍為.
故選：A.
【點睛】方法技巧：對于利用導數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
1、通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
2、利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題．
3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
2．（2024·海南·模擬預測）已知偶函數(shù)在點處的切線方程為，則（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】由導數(shù)的幾何意義及偶函數(shù)的性質計算即可.
【詳解】因為是偶函數(shù)，所以，即；
由題意可得：，
所以.
故選：A
3．（2024高二下·四川成都·階段練習）已知是曲線上的任一點，若曲線在點處的切線的傾斜角均是不小于的銳角，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析可知對任意的恒成立，結合參變量分離法以及基本不等式可求得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】函數(shù)的定義域為，且，
因為曲線在其上任意一點點處的切線的傾斜角均是不小于的銳角，
所以，對任意的恒成立，則，
當時，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，
所以，，解得.
故選：B.
4．（2024高三·全國·專題練習）若過點可以作曲線的兩條切線，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設切點坐標為，由切點坐標求出切線方程，代入坐標，關于的方程有兩個不同的實數(shù)解，變形后轉化為直線與函數(shù)圖象有兩個交點，構造新函數(shù)由導數(shù)確定函數(shù)的圖象后可得.
【詳解】
設切點坐標為，由于，因此切線方程為，又切線過點，則，，
設，函數(shù)定義域是，則直線與曲線有兩個不同的交點，，
當時，恒成立，在定義域內單調遞增，不合題意；當時，時，，單調遞減，
時，，單調遞增，所以，結合圖像知，即.
故選：D.
5．（2024·湖南·二模）若經(jīng)過點可以且僅可以作曲線的一條切線，則下列選項正確的是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】
設出切點，利用導數(shù)的幾何意義寫出切線，由切線經(jīng)過可得出一個方程，根據(jù)題意切線只有一條，也就是轉化成關于的方程只有一個解的問題.
【詳解】設切點．因為，所以，
所以點處的切線方程為，
又因為切線經(jīng)過點，所以，即.
令，則與有且僅有1個交點，，
當時，恒成立，所以單調遞增，顯然時，，于是符合題意；
當時，當時，，遞減，當時，，遞增，所以，
則，即．
綜上，或．
故選：D
6．（2024高三上·上海閔行·期末）若函數(shù)的圖像上存在兩個不同的點，使得在這兩點處的切線重合，則稱為“切線重合函數(shù)”，下列函數(shù)中不是“切線重合函數(shù)”的為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】“切線重合函數(shù)”的充分條件是，存在 有 ，據(jù)此逐項分析驗證即可.
【詳解】對于A， 顯然是偶函數(shù)， ，
當 時， ，單調遞減，當 時， 單調遞增，
當 時， ，單調遞減，當 時，單調遞增；
在 時， ，都取得極小值，由于是偶函數(shù)，在這兩點的切線是重合的，故A是“切線重合函數(shù)”；
對于B， 是正弦函數(shù)，顯然在頂點處切線是重合的，故B是“切線重合函數(shù)”；
對于C，考察 兩點處的切線方程， ，
兩點處的切線斜率都等于1，在A點處的切線方程為 ，化簡得： ，
在B點處的切線方程為 ，化簡得 ，顯然重合，
C是“切線重合函數(shù)”；
對于D， ，令 ，則 ，
是增函數(shù)，不存在 時， ，所以D不是“切線重合函數(shù)”；
故選：D.
7．（2024高二·江蘇·專題練習）已知A，B是函數(shù)，圖象上不同的兩點，若函數(shù)在點A、B處的切線重合，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)導數(shù)的幾何意義寫出函數(shù)在點A、B處的切線方程，再利用兩直線斜率相等且縱截距相等，列出關系式，從而得出，令函數(shù)，利用導數(shù)求其范圍，可得實數(shù)a的取值范圍.
【詳解】當時，的導數(shù)為；
當時，的導數(shù)為，
設，為函數(shù)圖象上的兩點，且，
當或時，，故，
當時，函數(shù)在處的切線方程為：；
當時，函數(shù)在處的切線方程為
兩直線重合的充要條件是①，②，
由①②得：，，
令，則，
令，則，
由，得，即時有最大值，
在上單調遞減，則.
a的取值范圍是.
故選：B.
8．（2024高三·全國·專題練習）設點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先判斷出與關于直線對稱，然后說明與無交點，再求出曲線上的點到直線的最小距離，則的最小值為，即可得出答案．
【詳解】解：與互為反函數(shù)，
所以與的圖像關于直線對稱，
設，則，
令得，
則當時，，當時，，
所以在單調遞減，在單調遞增，
所以，
所以與無交點，則與也無交點，
下面求出曲線上的點到直線的最小距離，
設與直線平行且與曲線相切的切點，，
，
，解得，
，
得到切點，到直線的距離，
的最小值為，
故選：D．
9．（2024高三·全國·專題練習）已知實數(shù)，，，滿足，則的最小值為（ ）
A．B．8C．4D．16
【答案】B
【分析】利用絕對值的性質及兩點間的距離公式，結合導數(shù)的幾何意義及點到直線的距離公式即可求解.
【詳解】由得，，，即，，
的幾何意義為曲線上的點到直線上的點連線的距離的平方，
不妨設曲線，直線，設與直線平行且與曲線相切的直線方程為，
顯然直線與直線的距離的平方即為所求，
由，得，設切點為，，
則，解得，
直線與直線的距離為，
的最小值為8．
故選：B.
【點睛】關鍵點睛：解決此題的關鍵是將問題轉化為求曲線上的點到直線上的點連線的距離的平方，進而再轉化為求曲線上的點到直線上點的距離的平方，利用導數(shù)的幾何意義及點到直線的距離公式即可.
10．（2024高三·全國·專題練習）設函數(shù)，其中，．若存在正數(shù)，使得成立，則實數(shù)的值是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】動點在函數(shù)的圖像上，在直線的圖像上，問題轉化為求直線上的動點到曲線的最小距離，利用導數(shù)的幾何意義，求曲線上斜率為2的切線方程，由點到直線的距離公式即可得到最小值．
【詳解】解：函數(shù)可以看作是動點與動點之間距離的平方，
動點在函數(shù)的圖像上，在直線的圖像上，
問題轉化為求直線上的動點到曲線的最小距離，
由得，當時，解得，即曲線上斜率為2的切線，切點為，
曲線上點到直線的距離，則，
根據(jù)題意，要使，則，此時恰好為垂足，
由，解得．
故選：A．
11．（2024·寧夏銀川·一模）已知實數(shù)滿足，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
將問題轉化為求解直線上的點與曲線上的點之間的距離的最小值的問題，利用導數(shù)可求得與平行的切線對應的切點，求解該切點到直線的距離即可.
【詳解】，又，
表示點與曲線上的點之間的距離；
點的軌跡為，表示直線上的點與曲線上的點之間的距離；
令，則，
令，即，解得：或（舍），
又，
的最小值即為點到直線的距離，的最小值為.
故選：B.
【點睛】關鍵點點睛：本題求解最小值的關鍵是將所求式子進行變形后，根據(jù)其幾何意義，將問題轉化為直線上的點與曲線上的點之間的距離的最小值的求解問題，從而利用求解切線的方式來求得最小值.
12．（2024·全國）若過點可以作曲線的兩條切線，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】解法一：根據(jù)導數(shù)幾何意義求得切線方程，再構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)圖象，結合圖形確定結果；
解法二：畫出曲線的圖象，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.
【詳解】在曲線上任取一點，對函數(shù)求導得，
所以，曲線在點處的切線方程為，即，
由題意可知，點在直線上，可得，
令，則.
當時，，此時函數(shù)單調遞增，
當時，，此時函數(shù)單調遞減，
所以，，
由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個交點，則，
當時，，當時，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖可知，當時，直線與曲線的圖象有兩個交點.
故選：D.
解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.

故選：D.
【點睛】解法一是嚴格的證明求解方法，其中的極限處理在中學知識范圍內需要用到指數(shù)函數(shù)的增長特性進行估計，解法二是根據(jù)基于對指數(shù)函數(shù)的圖象的清晰的理解與認識的基礎上，直觀解決問題的有效方法.
13．（2024·全國）若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（ ）
A．y=2x+1B．y=2x+C．y=x+1D．y=x+
【答案】D
【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義設出直線的方程，再由直線與圓相切的性質，即可得出答案.
【詳解】設直線在曲線上的切點為，則，
函數(shù)的導數(shù)為，則直線的斜率，
設直線的方程為，即，
由于直線與圓相切，則，
兩邊平方并整理得，解得，（舍），
則直線的方程為，即.
故選：D.
【點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義的應用以及直線與圓的位置的應用，屬于中檔題.
14．（2024高二下·四川宜賓·期末）已知為函數(shù)圖象上一點，則曲線在點處切線斜率的最小值為（ ）
A．1B．C．D．4
【答案】C
【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，利用基本不等式求出的最小值，即可得解.
【詳解】函數(shù)定義域為，
，當且僅當，即時取等號，
所以曲線在點處切線斜率的最小值為.
故選：C
15．（2024高三·全國·專題練習）函數(shù)的圖像上有一動點，則在此動點處切線的傾斜角的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
由導數(shù)求切線斜率不范圍，利用斜率和傾斜角的關系，求傾斜角的取值范圍.
【詳解】
設切線的傾斜角為，則，∵，
∴切線的斜率，則.
故選：B
16．（2024·全國）曲線在點處的切線的傾斜角為（ ）
A．30°B．45°C．60°D．135°
【答案】B
【分析】首先求出導函數(shù)，再求出導數(shù)值，即可得到切線的斜率，從而得到切線的傾斜角；
【詳解】解：因為，所以，所以，
所以曲線在點處的切線的斜率，所以切線的傾斜角為
故選：B
17．（2024高二下·陜西西安·期中）設函數(shù)是上以5為周期的可導偶函數(shù)，則曲線在處的切線的斜率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】偶函數(shù)的圖象關于軸對稱，為極值點，是上以5為周期，也是極值點，極值點處導數(shù)為零
【詳解】解：是上可導偶函數(shù)，
的圖象關于軸對稱，
在處取得極值，即，
又的周期為5，
，即曲線在處的切線的斜率0，
故選：．
【點睛】本題考查函數(shù)的周期性、奇偶性、導數(shù)的幾何意義、極值點滿足的條件，屬于基礎題.
18．（2024·山東）若函數(shù)的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱具有性質．下列函數(shù)中具有性質的是
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】若函數(shù)y＝f（x）的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則函數(shù)y＝f（x）的導函數(shù)上存在兩點，使這點的導函數(shù)值乘積為﹣1，進而可得答案．
【詳解】解：函數(shù)y＝f（x）的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，
則函數(shù)y＝f（x）的導函數(shù)上存在兩點，使這點的導函數(shù)值乘積為﹣1，
當y＝sinx時，y′＝csx，滿足條件；
當y＝lnx時，y′0恒成立，不滿足條件；
當y＝ex時，y′＝ex＞0恒成立，不滿足條件；
當y＝x3時，y′＝3x2＞0恒成立，不滿足條件；
故選A．
考點：導數(shù)及其性質.
19．（2024高二下·河南鄭州·期中）若曲線在處的切線與直線垂直，則實數(shù)（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，即可表示出切線的斜率，再得到直線的斜率，根據(jù)兩直線垂直斜率之積為得到方程，即可求出參數(shù)的值.
【詳解】因為，所以，則，
所以曲線在點處的切線的斜率為，
又直線的斜率，
由切線與直線垂直可知，即，解得．
故選：B．
20．（2024·湖南郴州·模擬預測）定義：若直線l與函數(shù)，的圖象都相切，則稱直線l為函數(shù)和的公切線．若函數(shù)和有且僅有一條公切線，則實數(shù)a的值為（ ）
A．eB．C．D．
【答案】C
【分析】設直線與的切點為，然后根據(jù)導數(shù)的幾何意義可推得切線方程為，.兩條切線重合，即可得出有唯一實根.構造，根據(jù)導函數(shù)得出函數(shù)的性質，作出函數(shù)的圖象，結合圖象，即可得出答案.
【詳解】設直線與的切點為，
因為，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知該直線的斜率為，
即該直線的方程為，即.
設直線與的切點為，
因為，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知該直線的斜率為，
即該直線的方程為，即.
因為函數(shù)和有且只有一條公切線，
所以有，
即有唯一實根.
令，則.
解，可得.
當時，，所以在上單調遞增；
當時，，所以在上單調遞減.
所以在處取得最大值.
當時，，，函數(shù)圖象如圖所示，

因為，有唯一實根，所以只有.
故選：C
21．（2024·全國）已知函數(shù)，若，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出函數(shù)的圖像，和函數(shù)的圖像，結合圖像可知直線介于與軸之間，利用導數(shù)求出直線的斜率，數(shù)形結合即可求解.
【詳解】由題意可作出函數(shù)的圖像，和函數(shù)的圖像.
由圖像可知：函數(shù)的圖像是過原點的直線，
當直線介于與軸之間符合題意，
直線為曲線的切線，且此時函數(shù)在第二象限的部分的解析式為
，
求其導數(shù)可得，因為，故，
故直線的斜率為，
故只需直線的斜率.
故選：D
【點睛】本題考查了不等式恒成立求出參數(shù)取值范圍，考查了數(shù)形結合的思想，屬于中檔題.
二、多選題
22．（2024·安徽蕪湖·模擬預測）牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程根的一種解法.具體步驟如下：設是函數(shù)的一個零點，任意選取作為的初始近似值，過點作曲線的切線，設與軸交點的橫坐標為，并稱為的1次近似值；過點作曲線的切線，設與軸交點的橫坐標為，稱為的2次近似值.一般地，過點（）作曲線的切線，記與軸交點的橫坐標為，并稱為的次近似值.對于方程，記方程的根為，取初始近似值為，下列說法正確的是（ ）
A．B．切線：
C．D．
【答案】ABD
【分析】由函數(shù)零點的存在性定理和，得到，可判定A正確；求得，設切點，求得切線方程，令，求得，可判定D正確；當時，求得，得出切線方程，可判定B正確；計算求得的值，可得判定C錯誤.
【詳解】由，可得，即，
根據(jù)函數(shù)零點的存在性定理，可得，所以A正確；
又由，設切點，則切線的斜率為，
所以切線方程為，
令，可得，所以D正確；
當時，可得，則，
所以的方程為，即，所以B正確；
由，可得，，此時，
所以C錯誤；
故選：ABD
23．（2024高二下·江蘇宿遷·期末）牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法一牛頓法.首先，設定一個起始點，如圖，在處作圖象的切線，切線與軸的交點橫坐標記作：用替代重復上面的過程可得；一直繼續(xù)下去，可得到一系列的數(shù)，，，…，，…在一定精確度下，用四舍五入法取值，當，近似值相等時，該值即作為函數(shù)的一個零點.若要求的近似值(精確到0.1)，我們可以先構造函數(shù)，再用“牛頓法”求得零點的近似值，即為的近似值，則下列說法正確的是（ ）
A．對任意，
B．若，且，則對任意，
C．當時，需要作2條切線即可確定的值
D．無論在上取任何有理數(shù)都有
【答案】BCD
【分析】利用特殊情況判斷選項A；求出曲線在處的切線方程與軸的交點橫坐標，即可判斷選項B；求出，，即可判斷選項C、D
【詳解】A，因為，則，
設，則切線方程為，
切線與軸的交點橫坐標為，所以，故A錯誤；
B，處的切線方程為，
所以與軸的交點橫坐標為，故B正確；
C，因為，，
所以兩條切線可以確定的值，故C正確；
D，由選項C可知，，所以無論在上取
任何有理數(shù)都有，故D正確.
故選：BCD
24．（2024·海南?？凇ひ荒＃┲本€是曲線的切線，則實數(shù)的值可以是（ ）
A．3πB．πC．D．
【答案】AB
【分析】設切點為，由題意可得，解得，由導數(shù)的幾何意義可得，即，即可得出答案.
【詳解】設切點為，∵直線恒過定點，
，∴，
∴，∴，
∵，∴可取，
由導數(shù)的幾何意義知，，
則，則，
所以，
∴當時，；當，，故A，B正確，C，D不正確.
故選：AB.
三、填空題
25．（2024·海南·模擬預測）在等比數(shù)列中，，函數(shù)，則 ．
【答案】
【分析】先求函數(shù)的導數(shù)，代入0，再利用等比數(shù)列的性質可求答案.
【詳解】因為
，
所以．
因為數(shù)列為等比數(shù)列，所以，
于是．
故答案為：
26．（2024·遼寧大連·一模）已知可導函數(shù)，定義域均為，對任意滿足，且，求 .
【答案】
【分析】利用函數(shù)值的定義及函數(shù)的求導法則，結合導數(shù)值的定義即可求解.
【詳解】由題意可知，令，則，解得，
由，得，即，
令，得，即，
解得.
故答案為：.
27．（2024高三·全國·專題練習）曲線在點處的切線方程為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)求導公式和導數(shù)幾何意義和直線方程的點斜式求法即可求解.
【詳解】因為，
所以 ，
則，
又，
所以曲線在點處的切線方程為，
即．
故答案為：.
28．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)，為的導函數(shù).若的圖象關于直線x＝1對稱，則曲線在點處的切線方程為
【答案】
【分析】，令，，易得直線x＝1為的一條對稱軸，從而可得的圖象也關于直線x＝1對稱，再根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可求得，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可得解.
【詳解】，
令，，則，
令，，解得x＝2k＋1，，
當k＝0時，x＝1，所以直線x＝1為的一條對稱軸，
故的圖象也關于直線x＝1對稱，則有，解得b＝－1，
則，，
，，
故切線方程為.
故答案為；.
29．（2024·湖南·模擬預測）若函數(shù)是奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為 ．
【答案】
【分析】首先根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，求的值，再利用導數(shù)的幾何意義求切線方程.
【詳解】因為是奇函數(shù)，
所以對恒成立，
即對恒成立，
所以，則，故，所以，
所以曲線在點處的切線方程為，
化簡得.
故答案為：
30．（2024·江西·模擬預測）已知過原點的直線與曲線相切，則該直線的方程是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，設出切點，然后求導，即可得到結果.
【詳解】由題意可得，
設該切線方程，且與相切于點，
，整理得，
∴，可得，∴.
故答案為：.
31．（2024·浙江金華·模擬預測）已知函數(shù)，過點存在3條直線與曲線相切，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】設切點為，利用導數(shù)幾何意義寫出過的切線方程，進而有有三個不同值，即與有三個不同交點，導數(shù)研究的極值，即可求參數(shù)范圍.
【詳解】由，設切點為，則切線斜率為，
所以，過的切線方程為，
綜上，，即，
所以有三個不同值使方程成立，
即與有三個不同交點，而，
故、上，遞減，上，遞增；
所以極小值為，極大值為，故時兩函數(shù)有三個交點，
綜上，的取值范圍是.
故答案為：
32．（2024·浙江紹興·模擬預測）過點作曲線的切線，寫出一條切線方程： .
【答案】或（寫出一條即可）
【分析】設切點坐標，利用導數(shù)的幾何意義表示出切線方程，將代入求得切點坐標，即可得切線方程.
【詳解】由可得，
設過點作曲線的切線的切點為，則，
則該切線方程為，
將代入得，解得或，
故切點坐標為或，
故切線方程為或，
故答案為：或
33．（2024·海南?？凇つM預測）過軸上一點作曲線的切線，若這樣的切線不存在，則整數(shù)的一個可能值為 ．
【答案】，，，只需寫出一個答案即可
【分析】設切點為，利用導數(shù)求切線方程，代入一點，關于的方程沒有實數(shù)解，由判別式解不等式求整數(shù)的值.
【詳解】設切點為，因為，所以切線方程為．
因為切線經(jīng)過點，所以，
由題意關于的方程沒有實數(shù)解，
則，解得．
因為為整數(shù)，所以的取值可能是，，.
故答案為：，，，只需寫出一個答案即可
34．（2024·全國·模擬預測）過坐標原點作曲線的切線，則切點的橫坐標為 .
【答案】或
【分析】設切點為，利用導數(shù)的幾何意義表示出切線方程，將代入，即可求得本題答案.
【詳解】由可得，設切點坐標為，
所以切線斜率，又因為，
則切線方程為，
把代入并整理可得，解得或.
故答案為：或
35．（2024·河南商丘·模擬預測）若過點有條直線與函數(shù)的圖象相切，則當取最大值時，的取值范圍為 .
【答案】
【分析】設過點的直線與的圖象的切點為，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線方程，再根據(jù)切線過點，可得，則方程解的個數(shù)即為切線的條數(shù)，構造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調區(qū)間及極值，作出函數(shù)的大致圖象，結合圖象即可得解.
【詳解】設過點的直線與的圖象的切點為，
因為，
所以切線的斜率為，
所以切線的方程為，
將代入得，
即，
設，則，
由，得或，
當或時，，所以在上單調遞減；
當時，，所以在上單調遞增，
所以，
又0，所以恒成立，
所以的圖象大致如圖所示，
由圖可知，方程最多個解，
即過點的切線最多有條，
即的最大值為3，此時.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：
（1）直接法：先對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的方法求出函數(shù)的單調區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質作出圖象，然后將問題轉化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉化與化歸思想、數(shù)形結合思想和分類討論思想的應用；
（2）構造新函數(shù)法：將問題轉化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；
（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.
36．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，其導函數(shù)為，則曲線過點的切線方程為 ．
【答案】或
【分析】設切點為，對函數(shù)進行求導，且代入可得，故可由點斜式得到切線方程，將代入即可求得或，即可求得切線方程
【詳解】設切點為，由，得，
∴，得，∴，，
∴切點為，，
∴曲線在點M處的切線方程為①，
又∵該切線過點，∴，解得或．
將代入①得切線方程為；
將代入①得切線方程為，即．
∴曲線過點的切線方程為或．
故答案為：或
37．（2024·河北邯鄲·三模）若曲線與圓有三條公切線，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】易得曲線在點處的切線方程為，再根據(jù)切線與圓相切，得到，化簡為，根據(jù)曲線與圓有三條公切線，則方程有三個不相等的實數(shù)根，令，由曲線與直線有三個不同的交點求解.
【詳解】解：曲線在點處的切線方程為，
由于直線與圓相切，得（*）
因為曲線與圓有三條公切線，故（*）式有三個不相等的實數(shù)根，
即方程有三個不相等的實數(shù)根.
令，則曲線與直線有三個不同的交點.
顯然，.
當時，，當時，，當時，，
所以，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增；
且當時，，當時，，
因此，只需，即，
解得.
故答案為：
38．（2024·湖南長沙·模擬預測）若曲線和曲線恰好存在兩條公切線，則實數(shù)a的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】設與曲線相切的切點為，與曲線相切的切點為，根據(jù)導數(shù)的幾何意義寫出切線方程，可得到，由此構造函數(shù)，將問題轉化為方程有兩解問題即可.
【詳解】由題意得，
設與曲線相切的切點為，與曲線相切的切點為，
則切線方程為，即，
，即，
由于兩切線為同一直線，所以，得．
令，則，
當時，，在單調遞減，
當時，，在單調遞增．
即有處取得極小值，也為最小值，且為．
又兩曲線恰好存在兩條公切線，即有兩解，
結合當時，趨近于0，趨于負無窮小，故趨近于正無窮大，
當時，趨近于正無窮大，且增加幅度遠大于的增加幅度，故趨近于正無窮大，
由此結合圖像可得a的范圍是，
故答案為：
39．（2024·江蘇南京·模擬預測）已知曲線與曲線有且只有一條公切線，則 ．
【答案】
【分析】設公切線的切點坐標，根據(jù)導數(shù)的幾何意義、斜率公式列出方程化簡，分離出后，構造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調區(qū)間、最值，即可求.
【詳解】設曲線在處的切線與曲線相切于處，
，故曲線在處的切線方程為，
整理得.
，故曲線在處的切線方程為，
整理得.
故
由(1)再結合知，將(1)代入(2) ，得，
解得且，
將代入(1) ，解得且，
即且，令，則，.
令，，
則在區(qū)間單調遞增，在區(qū)間單調遞減，且，
又兩曲線有且只有一條公切線，所以只有一個根，由圖和知.
故答案為：.
40．（2024·福建南平·模擬預測）已知曲線和曲線有唯一公共點，且這兩條曲線在該公共點處有相同的切線l，則l的方程為 ．
【答案】
【分析】設切點坐標為，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得，即可求得，繼而求出切點坐標以及切線斜率，即得答案.
【詳解】設曲線和曲線在公共點處的切線相同，
則，
由題意知，
即，解得，
故切點為，切線斜率為，
所以切線方程為，即，
故答案為：
41．（2024·江蘇·模擬預測）若曲線有兩條過的切線，則a的范圍是 .
【答案】
【分析】由題可將曲線有兩條過的切線轉化為函數(shù)圖象與直線有兩個交點.后利用導數(shù)研究單調性，畫出大致圖象，即可得答案.
【詳解】設切線切點為，因，則切線方程為：.
因過，則，由題函數(shù)圖象
與直線有兩個交點.，
得在上單調遞增，在上單調遞減.
又，，.
據(jù)此可得大致圖象如下.則由圖可得，當時，曲線有兩條過的切線.
故答案為：
42．（2024高三上·陜西西安·階段練習）若曲線的某一切線與直線平行，則切點坐標為 ，切線方程為 .
【答案】
【分析】用導數(shù)和切線的斜率，求得切點的橫坐標，進而求得的坐標，代入點斜式即可求出切線方程.
【詳解】因為，所以，又切線與直線平行，
所以切線的斜率為，設切線與曲線相切于點，則，解得，
則切點的坐標為.
由于切線的斜率為，過點，所以該切線方程為：，即.
故答案為：，
43．（2024·陜西）設曲線在點（0,1）處的切線與曲線上點處的切線垂直，則的坐標為 ．
【答案】
【詳解】設.
對y＝ex求導得y′＝ex，令x＝0，得曲線y＝ex在點(0，1)處的切線斜率為1，故曲線上點P處的切線斜率為－1，由，得，則，所以P的坐標為(1，1)．
考點：導數(shù)的幾何意義．
44．（2024·江蘇）在平面直角坐標系中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點A處的切線經(jīng)過點（-e，-1)(e為自然對數(shù)的底數(shù)），則點A的坐標是 .
【答案】.
【分析】設出切點坐標，得到切線方程，然后求解方程得到橫坐標的值可得切點坐標.
【詳解】設點，則.又，
當時，，
點A在曲線上的切線為，
即，
代入點，得，
即，
考查函數(shù)，當時，，當時，，
且，當時，單調遞增，
注意到，故存在唯一的實數(shù)根，此時，
故點的坐標為.
【點睛】導數(shù)運算及切線的理解應注意的問題：
一是利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆．
二是直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質，直線與曲線只有一個公共點，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點．
45．（2024·江蘇）在平面直角坐標系中，點P在曲線上，且在第二象限內，已知曲線C在點P處的切線的斜率為2，則點P的坐標為 .
【答案】（-2，15）
【詳解】試題分析：設點p（a,b）(a，則當x∈(，2)時，f ′(x)0．
所以f (x)

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