數(shù)列求和的幾種常用方法
1．公式法
直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式求和．
(1)等差數(shù)列的前n項和公式：
Sn＝eq \f(n?a1＋an?,2)＝na1＋eq \f(n?n－1?,2)d.
(2)等比數(shù)列的前n項和公式：
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1?1－qn?,1－q)，q≠1)).
2．分組求和法與并項求和法
(1)分組求和法
若一個數(shù)列是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．
(2)并項求和法
一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．
3．錯位相減法
如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導的．
4．裂項相消法
把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和．
常見的裂項技巧
(1)eq \f(1,n?n＋1?)＝eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1).
(2)eq \f(1,n?n＋2?)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).
(3)eq \f(1,?2n－1??2n＋1?)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).
(4)eq \f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq \r(n＋1)－eq \r(n).
(5)eq \f(1,n?n＋1??n＋2?)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,n?n＋1?)－\f(1,?n＋1??n＋2?))).
常用結(jié)論
常用求和公式
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq \f(n?n＋1?,2).
(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.
(3)12＋22＋32＋…＋n2＝eq \f(n?n＋1??2n＋1?,6).
(4)13＋23＋33＋…＋n3＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(n?n＋1?,2)))2.
一、單選題
1．（2024高二上·陜西西安·階段練習）數(shù)列9,99,999，…的前n項和為
A．（10n－1）＋nB．10n－1
C．（10n－1）D．（10n－1）－n
【答案】D
【詳解】試題分析：數(shù)列各項加1后得到的數(shù)列為10,100,1000，…，構(gòu)成首項為10，公比為10的等比數(shù)列，所以通項公式為，故選：D
2．（2024高二下·湖北·階段練習）高斯（Gauss）被認為是歷史上最重要的數(shù)學家之一，并享有“數(shù)學王子”之稱．小學進行的求和運算時，他這樣算的：，，…，，共有50組，所以，這就是著名的高斯算法，課本上推導等差數(shù)列前n項和的方法正是借助了高斯算法．已知正數(shù)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，試根據(jù)以上提示探求：若，則（ ）
A．2023B．4046C．2022D．4044
【答案】B
【分析】
根據(jù)倒序相加法，結(jié)合等比數(shù)列的下標性質(zhì)進行求解即可.
【詳解】根據(jù)等比數(shù)列的下標性質(zhì)由，
∵函數(shù)，∴，
令，則，
∴，∴．
故選：B
3．（2024高三下·江西·開學考試）已知數(shù)列的前n項和為，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先利用裂項相消法求得，再由對任意的，不等式恒成立求解.
【詳解】解：由，
則，
，
，
因為對任意的，不等式恒成立，
所以，
解得或，
故選：A
4．（2024·浙江）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項和為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】顯然可知，，利用倒數(shù)法得到，再放縮可得，由累加法可得，進而由局部放縮可得，然后利用累乘法求得，最后根據(jù)裂項相消法即可得到，從而得解．
【詳解】因為，所以，．
由
，即
根據(jù)累加法可得，，當時，
則，當且僅當時等號成立，
，
由累乘法可得，且，
則，當且僅當時取等號，
由裂項求和法得：
所以，即．
故選：A．
【點睛】本題解題關鍵是通過倒數(shù)法先找到的不等關系，再由累加法可求得，由題目條件可知要證小于某數(shù)，從而通過局部放縮得到的不等關系，改變不等式的方向得到，最后由裂項相消法求得．
二、填空題
5．（2024高二下·江蘇南京·期中）已知數(shù)列的項數(shù)為，且，則的前n項和為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)倒序相加法求得，再根據(jù)二項式系數(shù)和公式即可求解.
【詳解】因為，又，
所以
又因為，
所以，即.
故答案為：.
6．（2024高二上·湖北黃岡·期末）年意大利數(shù)學家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引人“兔子數(shù)列”，又稱斐波那契數(shù)列，即該數(shù)列中的數(shù)字被人們稱為神奇數(shù)，在現(xiàn)代物理，化學等領域都有著廣泛的應用若此數(shù)列各項被除后的余數(shù)構(gòu)成一新數(shù)列，則數(shù)列的前項的和為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意分析可得數(shù)列是周期為的數(shù)列，結(jié)合周期性分析運算.
【詳解】由數(shù)列，，，，，，，，，，各項除以的余數(shù)，
可得數(shù)列為，，，，，，，，，，，，，，1，，
所以數(shù)列是周期為的數(shù)列，
一個周期中八項和為，
又因為，
所以數(shù)列的前項的和.
故答案為：.
7．（2024高二上·上海黃浦·期中）數(shù)列的前n項和為 .
【答案】
【分析】先利用等比數(shù)列前n項和公式得到，然后可直接求出前n項和.
【詳解】觀察數(shù)列得到，
所以前n項和
.
故答案為：.
8．（2024高三下·全國·開學考試）現(xiàn)取長度為2的線段的中點，以為直徑作半圓，該半圓的面積為（圖1），再取線段的中點，以為直徑作半圓．所得半圓的面積之和為（圖2），再取線段的中點，以為直徑作半圓，所得半圓的面積之和為，以此類推，則 ．
【答案】
【分析】先求得，然后利用錯位相減求和法求得正確答案.
【詳解】依題意，，
，
，
以此類推可知，數(shù)列是首項為，公比是的等比數(shù)列，
所以.
令，
則，
，
兩式相減得

所以.
所以.
故答案為：
9．（2024高三·全國·對口高考）已知函數(shù)，則 ；數(shù)列滿足，則這個數(shù)列的前2015項的和等于 .
【答案】 /1007.5
【分析】根據(jù)，化簡即可，再利用倒序相加法即可求得答案.
【詳解】由，
得，所以，
設數(shù)列前項之和為，
則，
，
兩式相加得，所以，
即這個數(shù)列的前2015項的和等于.
故答案為：；.
10．（2024·江蘇·模擬預測）若數(shù)列滿足，，則的前n項和為 .
【答案】
【分析】利用倒序相加法結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)可求的前n項和.
【詳解】設的前n項和為，則，
又，
故
，
故，
故答案為：.
11．（2024高三·全國·專題練習）已知為無窮等比數(shù)列，，的各項和為9，，則數(shù)列的各項和為 ．
【答案】
【分析】先求出公比q，得到，直接用公式法求和.
【詳解】解：設的公比為，
由，的各項和為9，可得，
解得，
所以，
，
可得數(shù)列是首項為2，公比為的等比數(shù)列，
則數(shù)列的各項和為．
故答案為：．
12．（2024·全國）某校學生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為 ；如果對折次，那么 .
【答案】 5
【分析】（1）按對折列舉即可；（2）根據(jù)規(guī)律可得，再根據(jù)錯位相減法得結(jié)果.
【詳解】（1）由對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，所以對著三次的結(jié)果有：，共4種不同規(guī)格（單位；
故對折4次可得到如下規(guī)格：，，，，，共5種不同規(guī)格；
（2）由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數(shù)列，首項為120,第n次對折后的圖形面積為，對于第n此對折后的圖形的規(guī)格形狀種數(shù)，根據(jù)（1）的過程和結(jié)論，猜想為種（證明從略），故得猜想，
設，
則，
兩式作差得：
，
因此，.
故答案為：；.
【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：
（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；
（2）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；
（3）對于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；
（4）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項相消法求和.
13．（2024·湖北·模擬預測）“數(shù)學王子”高斯是近代數(shù)學奠基者之一，他的數(shù)學研究幾乎遍及所有領域，并且高斯研究出很多數(shù)學理論，比如高斯函數(shù)?倒序相加法?最小二乘法?每一個階代數(shù)方程必有個復數(shù)解等.若函數(shù)，設，則 .
【答案】46
【分析】先證，由倒序相加法可得通項，然后可解.
【詳解】因為函數(shù)的定義域為，
設是函數(shù)圖象上的兩點，其中，且，則有，
從而當時，有：，當時，，
，
相加得
所以，又，
所以對一切正整數(shù)，有；
故有.
故答案為：46.
14．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）已知數(shù)列的前n項和為，且，設函數(shù)，則 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)可求，從而可求.易驗證，故可采用倒序相加法求題設式子的值．
【詳解】∵①，
∴當時，②，
①－②得，∴；
當時，，∴，此時仍然成立，
∴．
∴當n=1時，；
當時，，
當n=1時，上式也成立，故．
由于，
設
則，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題關鍵是熟練掌握利用前n項和與通項公式的關系求得，觀察猜測并發(fā)現(xiàn)為定值，從而利用倒序相加法即可求和．
15．（2024高三上·河北·階段練習）德國大數(shù)學家高斯年少成名，被譽為數(shù)學屆的王子，19歲的高斯得到了一個數(shù)學史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》．在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設數(shù)列滿足，若，則的前n項和 ．
【答案】
【分析】根據(jù)可推出，由此可采用倒序相加的方法求得，繼而得的表達式，采用錯位相減法可求得數(shù)列的前n項和.
【詳解】由得，
，
由，
得，
故，
故，
所以，
則，
兩式相減得：

故，
故答案為：
16．（2024高三上·福建泉州·期中）已知，則 .
【答案】4042
【分析】先判斷函數(shù)的對稱性，然后用倒序相加法求和..
【詳解】由，令可得，，
且，
則，
所以，函數(shù)關于點對稱，即
由已知，，
又
兩式相加可得，
所以，.
故答案為：4042.
17．（2024高三·全國·對口高考）數(shù)列的前n項和 .
【答案】
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式利用分組求和得解.
【詳解】由題意，，
所以
故答案為：
18．（2024高二上·湖北黃岡·期末）已知的前項和為，，，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意令和，代入整理可得，利用并項求和結(jié)合等差數(shù)列求和運算求解.
【詳解】當時，則為偶數(shù)，為偶數(shù)，
可得，，
兩式相加可得：，
故
，
解得.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：本題中出現(xiàn)，故應討論的奇偶性，根據(jù)題意把相鄰的四項合并為一項，組成一個新的數(shù)列，再進行求和運算，同時注意對的處理.
三、解答題
19．（2024高一下·山西·階段練習）已知數(shù)列，求數(shù)列的前項和.
【答案】.
【詳解】分析：先求出的通項，再根據(jù)通項的形式選擇合理的求法方法.
詳解：因為，
∴

.
點睛：數(shù)列求和關鍵看通項的結(jié)構(gòu)形式，如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯位相減法；如果通項可以拆成一個數(shù)列連續(xù)兩項的差，那么用裂項相消法；如果通項的符號有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項求和法.
20．（2024高三上·河北·期末）已知數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由數(shù)列遞推式可得當時遞推式，和已知等式相減即可求得答案；
（2）由（1）可得的表達式，利用裂項相消法求和，即得答案.
【詳解】（1）由題意得，①
當時，，②
由①-②得，即，
又時，，滿足上式，
綜上，.
（2）由（1）可得，
故，
設數(shù)列的前項和為，
所以
.
21．（2024高三上·河北邯鄲·階段練習）已知數(shù)列的前項和為，且滿足．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用與的關系式，即可得出結(jié)論；
（2）錯位相減法求解數(shù)列的前項和.
【詳解】（1）因為，所以，
當時，，
所以，即，
又因為，
所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）知，，所以，
因為①，
所以②，
由①-②得：
，
所以．
22．（2024·陜西商洛·模擬預測）已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列的前項和為，且成等比數(shù)列.
(1)求和.
(2)設，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件設出等差數(shù)列的公差，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)列式求出公差，然后根據(jù)等差數(shù)列通項公式和求和公式即可得到答案；
（2）根據(jù)（1）中所求寫出數(shù)列通項公式，然后結(jié)合裂項相消法進行求和.
【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，
因為，成等比數(shù)列，
所以，即，
得，
解得或（舍），
所以，
所以，
.
（2）由（1）得，，
所以.
23．（2024高三上·海南·期末）已知數(shù)列滿足，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等比數(shù)列的定義先證明再求解，
（2）由分組求和以及等比數(shù)列的求和公式即可求解.
【詳解】（1）由，得，
故，
所以數(shù)列是以6為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以，
故．
（2），
所以
24．（2024高一下·廣東梅州·期末）已知等差數(shù)列的前四項和為10，且成等比數(shù)列
(1)求通項公式
(2)設，求數(shù)列的前項和
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列求和公式、等差數(shù)列通項公式以及等比中項列式求出和可得結(jié)果；
（2）根據(jù)等比數(shù)列求和公式可求出結(jié)果.
【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，則，即，
又成等比數(shù)列，所以，即，
整理得，得或，
若，則，，
若，則，得，，.
綜上所述：或.
（2）若，則，；
若，則，.
25．（2024高三上·遼寧大連·期末）已知數(shù)列滿足：.設.
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)證明見解析，
(2)
【分析】（1）結(jié)合題意構(gòu)造出，可得數(shù)列為等比數(shù)列，即可得的通項公式；
（2）由的通項公式得到，結(jié)合已知得到，即可得數(shù)列的前項和.
【詳解】（1）由題意可知：，
，
故，
得，
故是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
且，故；
（2）由（1）知，，即，
由題意知：，故，
故數(shù)列的前項和
.
26．（2024高三上·重慶·階段練習）已知數(shù)列中，，且.
(1)求的通項公式；
(2)求的前10項和.
【答案】(1)；
(2)707
【分析】（1）分奇偶項討論結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式計算即可；
（2）直接利用等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式計算即可.
【詳解】（1）由題意可知當時，
有，此時數(shù)列的奇數(shù)項成等差數(shù)列，
由題意可知，公差為2，則，
所以，（為奇數(shù)），
當時，有，
即此時數(shù)列的偶數(shù)項成等比數(shù)列，
由題意可知，公比為4，則，
所以，（為偶數(shù)），
綜上.
（2）由上可知
27．（2024·云南紅河·一模）已知等比數(shù)列的前n項和為，其中公比，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列基本量的計算即可求解，
（2）根據(jù)分組求和，結(jié)合等比求和公式即可求解.
【詳解】（1）因為是等比數(shù)列，公比，所以，解得，
由，解得．所以數(shù)列的通項公式為．
（2）由（1）得，
則
．
28．（2024·全國·模擬預測）已知數(shù)列的前項積為．
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
(2)令，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)證明見解析；；
(2)（或）
【分析】（1）由前項積定義可得，再由等差數(shù)列定義即可得出證明，并求得數(shù)列的通項公式為；
（2）利用裂項相消法求和，對的奇偶進行分類討論即可得.
【詳解】（1）由題意得當時，．
因為，所以，解得以．
當時，，即，因此．
所以數(shù)列是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，
可得．
所以．
（2）由題意知
．
當為偶數(shù)時，
；
當為奇數(shù)時，
．
所以（或）
29．（2024高三上·云南·階段練習）已知數(shù)列滿足：（），數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)遞推關系式，得到，兩式相減即可得解；
（2）利用倒序相加法求和即可.
【詳解】（1）當時，；
當時，①，
②，
①－②得：，
∴，當時，，
∴.
（2）∵，
∴
∴①，
②，
又∵∴①＋②得：
∴.
30．（2024高二下·江西萍鄉(xiāng)·期末）已知函數(shù)關于點對稱，其中為實數(shù).
(1)求實數(shù)的值；
(2)若數(shù)列的通項滿足，其前項和為，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)中心對稱性，整理方程，解得答案；
（2）根據(jù)倒序相加法，可得答案.
【詳解】（1）由題知，即，
整理得，解得 ；
（2）由題知，，且，
則，
又，
故，
即.
31．（2024高三上·天津河北·期末）已知是等差數(shù)列，其公差不等于，其前項和為是等比數(shù)列，且.
(1)求和的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和；
(3)記，求的前項和.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)條件列出關于的方程組，由此求解出的值，則和的通項公式可求；
（2）利用錯位相減法求解出；
（3）先將的通項公式裂項為，然后采用裂項相消法求和.
【詳解】（1）設數(shù)列的公比為，
，
，即，
整理得，
，，
.
（2），
設，
則，
將以上兩式相減得：
，
.
（3），
.
32．（2024高三·全國·專題練習）記為數(shù)列的前項和，，.
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用之間的關系，再結(jié)合累乘法計算化簡即可．
（2）表示出數(shù)列的前項和，利用錯位相減法計算化簡即可．
【詳解】（1）結(jié)合題意：因為①，
當時，②，
所以①-②得，即，
所以，
當時，上式也成立.
故的通項公式．
（2）記，由（1）問，
所以，
即，
所以，
所以③-④得，
即，整理得：．
33．（2024高三上·全國·期末）數(shù)列為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，公比.
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，建立方程組，可得答案.
（2）利用錯位相乘法，可得答案.
【詳解】（1）設等差數(shù)列得公差為d，聯(lián)立，即，
解得，或，又，所以，
故，
（2）令，
則，
兩邊乘以得，，
錯位相減整理得，，
所以.
34．（2024·吉林白山·一模）已知等比數(shù)列滿足，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，其前項和記為，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式進行求解；
（2）根據(jù)錯位相減法求和即可.
【詳解】（1）設等比數(shù)列的公比為.
由已知，且，得，即（*）
易觀察，2是（*）方程的一個根，∴，
又恒成立，
∴，又，
∴．
（2）由（1）知，，
∴，
，
以上兩個式子相減得，，
∴.
35．（2024·全國·模擬預測）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列．
(1)求證：；
(2)記的前n項和為，對任意，，求的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)．
【分析】（1）由數(shù)列是等差數(shù)列，得到；由數(shù)列是等比數(shù)列得到解出或，再驗證兩結(jié)果即可證明；
（2）表示出，用錯位相減法求出，再結(jié)合簡單放縮可求出范圍.
【詳解】（1）因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以．
因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以，，且．
消去，得．所以或．
若，則，且數(shù)列的公差，
所以，即，矛盾．
所以．
（2）由（1）得數(shù)列的公差為，首項為．
所以，，所以．
兩邊同時乘以，得．
兩式相減，得．
所以．
由，，易得，所以，單調(diào)遞增，．
又，所以，即．
所以且，解得．
故的取值范圍是．
36．（2024高二上·湖南張家界·階段練習）已知等差數(shù)列滿足，，公比不為的等比數(shù)列滿足，．
(1)求與通項公式；
(2)設，求的前項和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）通過求首項、公差、公比來求得與通項公式.
（2）利用裂項求和法來求得.
【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
則，解得，則；
，由于，則，
故解得，則.
（2），
所以.
37．（2024·全國·模擬預測）已知正項等比數(shù)列的前項和為，且，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意求出公比，繼而求出首項，即可求得答案；
（2）結(jié)合（1）求出的表達式，即可得的表達式，利用裂項相消法求和，即可得答案.
【詳解】（1）設等比數(shù)列的公比為，
因為，所以，
因為，所以；
因為，所以，
所以數(shù)列的通項公式為；
（2）由（1）得，，
，
故.
38．（2024·新疆·一模）非零數(shù)列滿足，且．
(1)設，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)設，求的前項和．
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）對已知條件因式分解可得，根據(jù)等差數(shù)列定義可證；
（2）利用累乘法求得，然后由裂項相消法可得.
【詳解】（1）由，
得對于恒成立，
所以，即，
所以，
而，故，
所以數(shù)列是以1為公差，為首項的等差數(shù)列.
（2）由（1）知，，即，
整理得，
由累乘法得，即，
又，所以，
則，
所以.
39．（2024高三上·遼寧沈陽·期中）已知正項數(shù)列的前n項和為，且滿足，
(1)求
(2)求
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)先令求出首項，再由數(shù)列的遞推公式，當時，代入并結(jié)合
等差數(shù)列的定義和通項公式求出.
(2)由第一問的公式，正好利用分母有理化進行化簡抵消即可得出結(jié)果
【詳解】（1）根據(jù)題意可得，當時，，解得，
由，代入得，整理后得
，即，根據(jù)等差數(shù)列的定義可知，數(shù)列
是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，則，
（2）由(1)可知，
，
40．（2024·廣東廣州·模擬預測）設數(shù)列的前n項和為，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)求得.
（2）根據(jù)分組求和法求得正確答案.
【詳解】（1）依題意，，
當時，，
當時，，
所以，
所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，也符合.
所以.
（2）由（1）得，所以
.
41．（2024高三上·山西忻州·階段練習）已知數(shù)列的前n項和為，，（）.
(1)求的通項公式；
(2)設數(shù)列，滿足，，求數(shù)列的前n項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推式求出，判斷是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即可求得答案；
（2）求出的表達式，可得的表達式，利用分組求和法，結(jié)合等差等比數(shù)列的前n項和公式，即可得答案.
【詳解】（1）由題意可得（），兩式作差，得（），
則（），
當時，，即，將代入，
解得，則，適合（），
所以，，
所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以.
（2）由（1得），.
故
.
42．（2024·四川攀枝花·二模）已知數(shù)列滿足．
(1)證明：是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)題中遞推公式化簡得到，從而求解.
（2）由（1）中結(jié)論得，然后利用分組并項求和，從而求解.
【詳解】（1）數(shù)列滿足,整理得：，
所以，即
又，
故是以為首項，為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）可知，，，
所以
．
．
43．（2024高二上·黑龍江哈爾濱·期末）已知數(shù)列的前項和為，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由得，得數(shù)列以為首項以3為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列求通項即可.
（2）利用數(shù)列分組法求和即可得.
【詳解】（1）當時，，得，
當時，
，
所以，變形得，即，
數(shù)列以為首項以3為公比的等比數(shù)列，
所以，即
（2）由，所以，
所以
.
44．（2024高三上·云南曲靖·階段練習）已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，是的前n項和，．
(1)若，且，求數(shù)列的通項公式；
(2)若，數(shù)列的首項為，滿足，記數(shù)列的前n項和為，求．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列通項列式，求出公差即可求出通項公式.
（2）利用等差數(shù)列通項列式，求出的關系，利用構(gòu)造法求出數(shù)列的通項，再借助分組求和即得.
【詳解】（1）由數(shù)列是等差數(shù)列，，得，則，
所以數(shù)列的通項公式為：．
（2）因為數(shù)列是等差數(shù)列，且滿足，
則，
又，則化簡得：，于是，
由，得，而，
因此數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，
則，即，所以.
45．（2024高三上·廣東東莞·期末）數(shù)列的前n項積為，且滿足．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)記，求數(shù)列的前2n項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分和兩種情況，結(jié)合與之間的關系分析求解；
（2）由（1）可得，結(jié)合分組求和法運算求解.
【詳解】（1）因為，
若，則；
若，則；
且符合，
綜上所述：數(shù)列的通項公式.
（2）由（1）可知：，
可得
，
所以.
46．（2024·全國·模擬預測）已知數(shù)列滿足，記．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)已知，記數(shù)列的前項和為．求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）首先構(gòu)造數(shù)列是等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式，再代入條件，即可求解數(shù)列的通項公式；
（2）由（1）的結(jié)果可知，數(shù)列的通項公式，并變形為，再討論為奇數(shù)和偶數(shù)，采用累加法求和，最后結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，即可證明.
【詳解】（1）由，則．又，
所以數(shù)列是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以．
所以．
（2）因為，
所以，
所以．
當為奇數(shù)時，．
當為偶數(shù)時，是遞增數(shù)列，所以．
綜上，
47．（2024高二下·福建廈門·階段練習）數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項積為，且．
(1)求和的通項公式；
(2)若，求的前項和．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由退位相減法即可求得的通項公式；由即可求得的通項公式；
（2）先求出，當時，由分組求和及等差、等比求和公式求得前項和；當為奇數(shù)時，由求解即可.
【詳解】（1）當時，，當時，，
所以，因為，所以，所以是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以；
當時，，當時，，時也符合，所以．
（2）由（1）知，，所以，當即為偶數(shù)時，
，即；
當為奇數(shù)時，，所以．
48．（2024高三上·云南德宏·階段練習）已知數(shù)列的前項和為，滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題中已知條件，得出時，此兩式作差整理即可得到所滿足的關系，從而可求出數(shù)列的通項公式得到所求；
（2）根據(jù)數(shù)列的通項可知利用錯位相消法進行求和，從而可求出數(shù)列的前項和.
【詳解】（1）∵，當時，，∴，
當時，，①
，②
①-②得即，
∵，∴，∴，
∴是以首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
則，∴；
（2）由上可知： ，
所以，
，
∴，
∴.
49．（2024高三上·河北廊坊·期末）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)求出的值，即得公比，即可求得答案；
（2）由（1）可得的表達式，利用裂項相消法，即可求得答案.
【詳解】（1）因為數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，所以，
所以,解得，所以公比，
所以.
（2）由（1）知，，
所以
.
50．（2024·四川綿陽·二模）已知等差數(shù)列的前n項和為，且．
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1);
(2).
【分析】（1）設數(shù)列的公差為，根據(jù)題中條件列出方程求解，得出首項和公差，即可求出通項公式；
（2）由（1）的結(jié)果，利用裂項相消的方法，即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為,
由題意得:解得:，
所以的通項公式為，
即.
（2）令，則，
即
整理得：.
51．（2024高三·全國·專題練習）倉庫有一種堆垛方式，如圖所示，最高一層盒，第二層盒，第三層盒，第四層20盒，第五層30盒，，請你尋找至少兩個堆放的規(guī)律．
【答案】，
【分析】通過觀察堆垛方式，根據(jù)通項公式以及分組求和法求得正確答案.
【詳解】設．
按這個規(guī)律應有
從正面看，方格個數(shù)為，側(cè)面方格個數(shù)為，都按自然數(shù)方式增長．
層堆放總數(shù)：
．
52．（2024·廣東廣州·三模）已知正項數(shù)列和為數(shù)列的前項和，且滿足，
（1）分別求數(shù)列和的通項公式；
（2）將數(shù)列中與數(shù)列相同的項剔除后，按從條到大的順序構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，求．
【答案】（1），；（2）11302．
【分析】（1）由，利用得出數(shù)列的遞推式，得數(shù)列是等差數(shù)列，求得后可得通項公式，再計算出；
（2）先看數(shù)列中前100項內(nèi)有多少項是中的項，從而可以確定中前100項的最后一項是中的第幾項，其中含有中的多少項，從而求得．
【詳解】（1）因為，
所以時，，
兩式相減得，，
因為，所以，
又，，所以，所以，
，；
（2），又，，因此，
所以．
【點睛】易錯點睛：本題考查由求數(shù)列的通項公式，考查分組求和法．在應用公式求時要注意，即不包含，需另外計算，同樣如果求得的是遞推式，也要確認遞推式是否是從開始的，否則需要要驗證含有的項是否符合表達式．
53．（2024·湖南岳陽·三模）已知等比數(shù)列的前n項和為，其公比，，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)已知，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知條件求出公比，，直接寫出等比數(shù)列的通項公式即可；
（2）由（1）得，分組求和即可，注意分類討論的思想.
【詳解】（1）因為是等比數(shù)列，公比為，則 ，
所以，解得，
由，可得，解得，
所以數(shù)列的通項公式為．
（2）由（1）得，
當n為偶數(shù)時，
；
當n為奇數(shù)時；
綜上所述：.
54．（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項和分別為：，且滿足：，
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若求數(shù)列的前項的和.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）將代入可求出，從而進出，故可求出；再由等差數(shù)列的前項和求出，代入可求出，再由等比數(shù)列的前項和求出，，進而求出；
（2）由（1）求出，再由分組求和法求出數(shù)列的前項的和.
【詳解】（1），解得：
設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的首項為，公比為
，，
，則：
又，得：
（2）
數(shù)列的前項的和：.
55．（2024高三下·湖南常德·階段練習）已知數(shù)列，，為數(shù)列的前n項和，，若，，且，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列的通項公式為，令為的前n項的和，求.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）對已知條件因式分解后結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)得出的通項公式，先證明為等差數(shù)列，進而得出的通項公式；
（2）求出的通項公式，再由錯位相減法得出.
【詳解】（1）解：，
因為，所以，
又，所以是公比為2，首項為2的等比數(shù)列，
，，
，
綜上，是公差為1，首項為1的等差數(shù)列，
．
（2）解：令，
①②，得，
，
．
56．（2024高三上·江蘇南京·階段練習）已知等比數(shù)列的公比，前n項和為，滿足：.
(1)求的通項公式；
(2)設，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）法一：利用等比數(shù)列的通項公式和前項和公式得到關于基本量的方程組，解之即可求得；
法二：利用等比數(shù)列的性質(zhì)和前項和公式依次轉(zhuǎn)化得到關于的方程組，解之即可求得；
（2）分類討論的通項公式，注意當為偶數(shù)時，為奇數(shù)，從而利用分組求和法可求得.
【詳解】（1）法一：
因為是公比的等比數(shù)列，
所以由，得，即，
兩式相除得，整理得，即，
解得或，又，所以，故，
所以，
法二：因為是公比的等比數(shù)列，
所以由得，即，則，，解得或（舍去），
故，則，所以.
（2）當為奇數(shù)時，，
當為偶數(shù)時，，
所以
.
57．（2024·廣東汕頭·一模）已知數(shù)列的前n項和為，.
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的前n項和為；
(2)設，證明：.
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析.
【分析】（1）先求出，然后將的換成，與原式相減可得，從而可得即可證明，求出通項公式， 再分組可求和.
（2）先求出，可得出，裂項相消法求和，可證明.
【詳解】（1）當時，，即
由，則
兩式相減可得，即
所以，即
數(shù)列為等比數(shù)列
則，所以
則
（2）
所以
58．（2024·浙江寧波·模擬預測）設各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足.
(1)求的值：
(2)求數(shù)列的通項公式：
(3)證明：對一切正整數(shù)，有.
【答案】(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）令解方程可得答案；
（2）利用可得答案；
（3）令，利用裂項相消可得答案.
【詳解】（1）令，，則舍去，
所以.
（2），
因為數(shù)列各項均為正數(shù)，舍去，
，當時，
，
（3）令
，
所以
59．（2024高三上·天津和平·階段練習）已知為等差數(shù)列，前n項和為是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，．
(1)和的通項公式；
(2)求數(shù)列的前8項和；
(3)證明：．
【答案】(1)的通項公式為，的通項公式為；
(2)；
(3)證明見解析.
【分析】（1）設等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q．由等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式和求和公式建立方程組，求解即可；
（2）運用錯位相減法可求得答案；
（3）由（1）得，證明當時，當時，不等式成立；當時，，運用不等式放縮法和裂項求和法可得證.
【詳解】（1）解：設等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q．
由已知，得，而，所以．又因為，解得．所以．
由，可得①．由，得②，聯(lián)立①②，解得，由此可得．
所以，的通項公式為的通項公式為．
（2）解：設數(shù)列的前n項和為，由，得，所以
，
，
上述兩式相減，得
．
得．
所以，數(shù)列的前n項和為
當時，．
（3）解：由（1）得，所以：
當時，，不等式成立；
當時，，所以，不等式成立；
當時，，
所以，
，
所以，得證．
60．（2024·河北滄州·模擬預測）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前n項和，若．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前18項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)已知條件及等差數(shù)列的通項公式，再利用前n項和公式即可求解；
（2）根據(jù)（1）知，進而求出，根據(jù)已知條件及三角函數(shù)的誘導公式，再利用并項求和法即可求解.
【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為．則
，解得.
故數(shù)列的通項公式為．
（2）由（1）知，，
所以.
因為當時，，
．
所以數(shù)列的前18項和為.
61．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求的前項和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式，變形并換元，利用累加法求通項作答.
（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項相消法求和作答.
【詳解】（1）由，得，
令，有，，
當時，，
又滿足上式，于是，則，
當時，，
又滿足上式，因此，
所以數(shù)列的通項公式是．
（2）由（1）知，，
所以．
62．（2024·安徽合肥·模擬預測）設數(shù)列的前n項和為，已知，，．
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)記，為數(shù)列的前n項和，求．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由得出，再計算，將代入，即可證明；
（2）由（1）得，得出為公比為的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式得出，代入，再裂項得，即可求得數(shù)列的前n項和．
【詳解】（1）因為，
所以，即
所以
（為常數(shù)），
所以數(shù)列是等差數(shù)列．
（2）由（1）知，即.
所以，
所以為公比為的等比數(shù)列，
又，
所以，
因為，
所以，
所以數(shù)列的前項和為：
．
63．（2024·浙江·模擬預測）已知數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項；
(2)設為數(shù)列的前項和，求證．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由兩邊取對數(shù)，可得，進而得到數(shù)列為等比數(shù)列，公比為2，從而求解；
（2）由，再由變形得，可得，求和可得，進而得證.
【詳解】（1）由，且，則，
所以，而，
即，所以數(shù)列為等比數(shù)列，公比為2，
所以，所以.
（2），
由得，，
所以，
即，
所以，
所以，
所以
，
因為，所以.
64．（2024·江西南昌·三模）已知是數(shù)列的前項和，滿足，且.
(1)求；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用化簡式子得到，利用累加法即可求解；
（2）先由得，再求出，利用裂項相消法求和即可.
【詳解】（1）因為，顯然，
所以，即，
所以
，
所以，又當時，也滿足，所以.
（2）由（1）知，則當時，，
又也滿足，所以，
則，
則.
65．（2024·山東煙臺·三模）已知數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先把題干條件等價變成，然后用累加法進行求解；
（2）結(jié)合特殊的三角函數(shù)值，利用分組求和進行求解.
【詳解】（1）由得，，
所以時，，
故，又，則，當時，成立，
所以，．
（2）由（1）知，，
所以，
，
因為，
于是，
所以，．
故數(shù)列的前項和為．
66．（2024·福建漳州·模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，且，.
(1)求的通項公式；
(2)記數(shù)列的前項和為，求集合中元素的個數(shù).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)遞推關系及與的關系化簡得出，即可求出通項公式；
（2）利用裂項相消法求出，再解不等式即可得解.
【詳解】（1）因為，所以，
所以
所以，即.
又因為，所以，
所以.
（2）因為，
所以
令，得，
所以集合中元素的個數(shù)為.
67．（2024·福建廈門·模擬預測）已知數(shù)列滿足．
(1)證明為等差數(shù)列，并的通項公式；
(2)設，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)證明見解析，
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差差數(shù)列的定義證明即可，從而可得的通項公式；
（2）利用分式分離變形，結(jié)合分組求和與裂項求和即可得.
【詳解】（1）證明：因為，所以，即
所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，則，
所以；
（2）
.
68．（2024高三上·河北邢臺·階段練習）已知數(shù)列的前n項和為，且．
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由與的關系求通項；
（2）先求出，再用裂項相消法求.
【詳解】（1）由已知①，
當時，，即，解得，
當時，②，
①②得，即，
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以；
（2）因為，
所以
.
69．（2024高三上·江西贛州·階段練習）已知等差數(shù)列的前項和為，且，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和，并證明：.
【答案】(1)
(2)，證明見解析
【分析】（1）設公差為，利用等差數(shù)列的前n項和的公式求解；
（2）由（1）得到，再利用裂項相消法求解.
【詳解】（1）解：設公差為，
由題意得
解得∴.
（2）由（1）知，
∴，
.
∵，
∴.
70．（2024·廣東汕頭·三模）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，a1=1且滿足，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，滿足2Sn+1=3bn.
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
(2)設，求數(shù)列的前n項和Sn；
(3)若在bk與bk+1之間依次插入數(shù)列{an}中的k項構(gòu)成新數(shù)列：b1，a1，b2，a2，a3，b3，a4，a5，a6，b4，……，求數(shù)列{cn}中前50項的和T50.
【答案】(1),
(2)
(3)
【分析】（1）利用平方差公式將變形，得出數(shù)列是等差，可求出數(shù)列的通項；利用消去得到與的遞推關系，得出數(shù)列是等比數(shù)列，可求出通項；
（2）根據(jù)等差等比數(shù)列的求和公式求解即可；
（3）分析中前50項中與各有多少項，分別求和即可．
【詳解】（1）由
得：
∵
是首項，公差為2的等差數(shù)列
∴
又當時，得
當，由…①
…②
由①－②整理得：，
∵，
∴，
∴，
∴數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，故；
（2）
（3）依題意知：新數(shù)列中，（含）前面共有：項．
由，（）得：，
∴新數(shù)列中含有數(shù)列的前9項：，，……，，含有數(shù)列的前41項：，，，……，；
∴．
71．（2024·福建福州·模擬預測）已知數(shù)列的首項，，.
(1)設，求數(shù)列的通項公式；
(2)在與（其中）之間插入個3，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列.記為數(shù)列的前n項和，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）將兩邊取倒數(shù)，構(gòu)造函數(shù)可得，進而可得是，的等比數(shù)列，從而求得通項公式；
（2）根據(jù)題意逐個項判斷、...之間的3個數(shù)，再分析組成項求解即可.
【詳解】（1）因為，，
所以，取倒得，
所以，即，即，
因為，所以是，的等比數(shù)列，
所以.
（2）在之間有2個3，之間有個3，之間有個3，之間有個3，
合計個3，
所以.
72．（2024高三上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）已知等差數(shù)列的前n項和為，數(shù)列為等比數(shù)列，滿足是與的等差中項.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設，求數(shù)列的前20項和.
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，利用，求出值即可得到的通項公式；再由題意得，結(jié)合可求出值，進一步可得的通項公式；
（2）由，利用等比數(shù)列求和公式，結(jié)合分組求和即可求出．
【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，
因為，所以，解得，所以，
由題意知：，因為，所以，
解得，所以；
（2）由（1）得，
.
73．（2024·廣東廣州·模擬預測）設數(shù)列的前項和為，已知，且數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求其前項和
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意求出，則，兩式相減化簡變形可得，從而得數(shù)列是以為首項，以3為公比的等比數(shù)列，進而可求出通項公式；
（2）方法一：設，整理后與比較求出的值，則，然后利用裂項相消法可求得結(jié)果；
方法二：利用錯位相減法求解即可.
【詳解】（1）因為，
所以由題意可得數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，
所以，即，
所以，
兩式作差得：，
化簡得：即，
所以，
所以數(shù)列是以為首項，以3為公比的等比數(shù)列，
故數(shù)列的通項公式為；
（2）方法一：
設，
則有，比較系數(shù)得，
所以
所以，
所以，
所以.
方法二：
因為，
所以，
所以，
所以
，
所以.
74．（2024高三上·湖南長沙·階段練習）已知數(shù)列的首項為1，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若為前項的和，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)，利用數(shù)列的通項和前n項和的關系求解；
（2）由（1）得，進而得到，再利用錯位相減法求解.
【詳解】（1）解：因為，
所以.
兩式作差得，
整理得.
令，得，故對任意都成立.
所以的首項為1，故，所以是公比為2的等比數(shù)列.
所以的通項公式是.
（2）由（1）得，
所以.
所以.
又，
作差得，
，
.
75．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知是數(shù)列的前項和，，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用與的關系，結(jié)合累乘法即可求出數(shù)列的通項公式；
（2）分和利用等差數(shù)列的求和公式求解即可.
【詳解】（1）由，則，
兩式相減得：，
整理得：，
即時，，
所以時，，
又時，，得，也滿足上式．
故．
（2）由（1）可知：．
記，設數(shù)列的前項和．
當時，；
當時，
綜上：
76．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習）已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，且，若．
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)設由，的公共項構(gòu)成的新數(shù)列記為，求數(shù)列的前5項之和．
【答案】(1)
(2)682
【分析】（1）設數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，然后根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式列方程組可求出，從而可求出數(shù)列，的通項公式；
（2）設數(shù)列的第項與數(shù)列的第項相等，則可得，，，得，然后可列舉數(shù)列的前5項，從而可求得結(jié)果.
【詳解】（1）設數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，
因為
則，解得，
所以，
因為，
所以，則，
所以，
因為，所以，，
所以．
（2）設數(shù)列的第項與數(shù)列的第項相等，
則，，，
所以，，，
因為，，
所以當時，，當時，，則，當時，，
當時，，則，當時，，
當時，，則，當時，
當時，，則，當時，
當時，，則，
故的前5項之和．
77．（2024高三·全國·專題練習）求和．
【答案】
【分析】先求的通項公式，再由分組求和法求解
【詳解】∵
，
∴．
78．（2024·天津津南·模擬預測）已知是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，其前項和為.是公比為的等比數(shù)列..
(1)求和的通項公式；
(2)設，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根據(jù)題意結(jié)合等差、等邊數(shù)列的通項公式列式求解即可；
（2）利用分組求和，結(jié)合裂項相消法和錯位相減法運算求解.
【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，
由題意可得：，解得或（舍去），
所以.
（2）由（1）可得，
當為奇數(shù)時，則，
設，
則，
兩式相減得
，
所以；
當為偶數(shù)時，則，
設，
所以；
綜上所述：，
當為奇數(shù)時，則
；
當為偶數(shù)時，則
；
綜上所述：.
79．（2024·天津）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．
（Ⅰ）求和的通項公式；
（Ⅱ）記的前項和為，求證：；
（Ⅲ）對任意的正整數(shù)，設求數(shù)列的前項和．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.
【分析】(Ⅰ)由題意分別求得數(shù)列的公差、公比，然后利用等差、等比數(shù)列的通項公式得到結(jié)果；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結(jié)論首先求得數(shù)列前n項和，然后利用作差法證明即可；
(Ⅲ)分類討論n為奇數(shù)和偶數(shù)時數(shù)列的通項公式，然后分別利用指數(shù)型裂項求和和錯位相減求和計算和的值，據(jù)此進一步計算數(shù)列的前2n項和即可.
【詳解】(Ⅰ)設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為q.
由，，可得d=1.
從而的通項公式為.
由，
又q≠0，可得，解得q=2，
從而的通項公式為.
(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得，
故，，
從而，
所以.
(Ⅲ)當n為奇數(shù)時，，
當n為偶數(shù)時，，
對任意的正整數(shù)n，有，
和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，
從而得：.
因此，.
所以，數(shù)列的前2n項和為.
【點睛】本題主要考查數(shù)列通項公式的求解，分組求和法，指數(shù)型裂項求和，錯位相減求和等，屬于中等題.
80．（2024·天津·一模）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項和為，，；數(shù)列的前n項和為，.
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和；
(3)求證：.
【答案】(1)，
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和前項和公式，可得，，即可求得的通項公式；當時，得到，當時，利用，可判斷為首項為3，公比為3的等比數(shù)列，即可求解；
（2）由（1）可得，利用裂項相消法求解即可；
（3）由（1）結(jié)合等比數(shù)列的前項和公式可得.
方法一：由可得，利用錯位相減法求得，進而證明；
方法二：結(jié)合二項式定理可得，根據(jù)不等式的性質(zhì)可知，再利用錯位相減法求解，即可證明；
方法三：用分析法證明，再結(jié)合等比數(shù)列的前項和證明即可.
【詳解】（1）數(shù)列是等差數(shù)列，設公差為d，
，
化簡得，
解得，，
∴，.
由已知，
當時，，解得，
當時，，
∴，，
即，
∴數(shù)列構(gòu)成首項為3，公比為3的等比數(shù)列，
∴，.
（2）由（1）可得，，
∴，
∴
（3）由（1）可得，，
則，
方法一：
∵，
∴，
令，
，
兩式相減可得
，
∴，
∴
方法二：
∵時，
，
根據(jù)“若，，則”，可得，
∴，
令，
，
兩式相減可得
，
∴
∴，
∴
方法三：
令，下一步用分析法證明“”
要證，即證，
即證，
即證，
當，顯然成立，
∴，
∴
【點睛】證明數(shù)列不等式，放縮法是其中一種重要的方法，放縮的目的是為了轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，等比數(shù)列及相關數(shù)列，則可利用公式進行求解，需注意放縮的范圍不能過大.
（一）
分組求和
(1)若數(shù)列{cn}的通項公式為cn＝an±bn，且{an}，{bn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求數(shù)列{cn}的前n項和．
(2)若數(shù)列{cn}的通項公式為cn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an，n為奇數(shù)，,bn，n為偶數(shù)，))其中數(shù)列{an}，{bn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求{cn}的前n項和．
題型1：分組求和
1-1．（2024·吉林通化·模擬預測）為數(shù)列的前項和，已知，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)數(shù)列依次為：，規(guī)律是在和中間插入項，所有插入的項構(gòu)成以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前100項的和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用項與和的關系即可求解；
（2）先確定數(shù)列的前100項中含有的前13項，含有中的前87項，再利用分組求和的方法即可求解.
【詳解】（1）當時，，解得（舍去），
由得時，，
兩式相減得，
因為，所以，
所以是等差數(shù)列，首項為4，公差為3，
所以；
（2）由于，
因此數(shù)列的前100項中含有的前13項，含有中的前87項，
所求和為.
1-2．（2024高二上·全國·課后作業(yè)）在數(shù)列中，已知，．
(1)求證：是等比數(shù)列．
(2)求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)證明詳見解析
(2)
【分析】（1）通過湊配法證得是等比數(shù)列.
（2）利用分組求和法求得.
【詳解】（1）由，得，
即，
所以是首項為，公比為的等比數(shù)列.
（2）由（1）得.
所以
.
1-3．（2024高三上·廣東深圳·階段練習）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設數(shù)列滿足，，，按照如下規(guī)律構(gòu)造新數(shù)列：，求數(shù)列的前2n項和.
【答案】(1).
(2)
【分析】
（1）根據(jù)的關系即可得遞推關系，進而可求解，
（2）根據(jù)分組求和，結(jié)合等差等比的求和公式即可求解.
【詳解】（1）當時，由且得
當時，由得，所以.
所以，故，
又當時，，適合上式.
所以.
（2）因為， ，
所以數(shù)列的偶數(shù)項構(gòu)成以為首項?2為公比的等比數(shù)列.
故數(shù)列的前2n項的和，

所以數(shù)列的前2n項和為.
1-4．（2024高三上·貴州貴陽·期末）已知數(shù)列和滿足：，，，，其中．
(1)求證：；
(2)求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由已知條件可推導出數(shù)列為常數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，求出這兩個數(shù)列的通項公式，可求得數(shù)列的通項公式，即可證得成立；
（2）由（1）可得出數(shù)列的通項公式，利用分組求和法可求得.
【詳解】（1）證明：因為①，②，
①②可得，且，
所以，數(shù)列為常數(shù)列，且③，
①②可得，且，
所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項為，公比為，
所以，④，
③④可得，則，
所以，.
（2）解：由（1）可知，，
則
.
題型2：并項求和
2-1．（2024·河北滄州·模擬預測）已知正項數(shù)列的前項和為，滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用和與項的關系可得，由可得，再利用等差數(shù)列的通項公式即可求解；
（2）根據(jù)的周期性，利用分組求和的方法即可求解.
【詳解】（1），
當時，，兩式子作差可得
，
又，所以，
可得數(shù)列為公差為2 的等差數(shù)列，
當時，，
所以，數(shù)列的通項公式為.
（2），
，
所以，數(shù)列的前項和.
2-2．（2024·河南·三模）在等比數(shù)列中，，且，，成等差數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)設，數(shù)列的前n項和為，求滿足的k的值．
【答案】(1)；
(2)40或37．
【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項公式，結(jié)合等差中項的意義求出公比及首項作答.
（2）由（1）的結(jié)論求出，再分奇偶求和作答.
【詳解】（1）設的公比為q，由，得，解得，
由，，成等差數(shù)列，得，即，解得，
所以數(shù)列的通項公式是．
（2）由（1）知，，，
當k為偶數(shù)時，，令，得；
當k為奇數(shù)時，，令，得，
所以或37.
2-3．（2024·江西·模擬預測）記為等差數(shù)列的前項和，已知，.
(1)求的通項公式；
(2)記，求數(shù)列的前30項的和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和求和公式列式求出和，可得通項公式；
（2）先求出，再利用并項求和法與等差數(shù)列的求和公式可得結(jié)果.
【詳解】（1）設公差為，則，解得，，
所以.
（2），
所以，
所以
.
2-4．（2024高三·北京海淀·專題練習）已知數(shù)列的前項和為，則 ．
【答案】36
【分析】根據(jù)條件分奇偶項討論得，計算求和即可.
【詳解】由題意可得為奇數(shù)時，，
兩式相減得；
為偶數(shù)時，，兩式相加得，
故.
故答案為：36
（二）
錯位相減法求和
(1)如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，常采用錯位相減法．
(2)錯位相減法求和時，應注意：
①在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準確地寫出“Sn－qSn”的表達式．
②應用等比數(shù)列求和公式時必須注意公比q是否等于1，如果q＝1，應用公式Sn＝na1.
題型3：錯位相減法求和
3-1．（2024·廣東東莞·三模）已知數(shù)列和，，，.
(1)求證數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）通過題中關系，可得，進而可得數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列.
（2）由（1）可得，，則，可利用分組求和與錯位相減求和解題.
【詳解】（1）由，，得，
整理得，而，
所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列
（2）由（1）知，∴，
∴，
設，則，
兩式相減得，
從而
∴.
3-2．（2024·西藏日喀則·一模）已知數(shù)列的前項和為，且.
(1)求，并求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)；；
(2)
【分析】（1）將、代入求，根據(jù)關系及遞推式可得，再次由關系及等比數(shù)列定義寫出通項公式；
（2）應用錯位相減及等比數(shù)列前n項和公式求結(jié)果.
【詳解】（1）由題意①，
當時；當時；
當時，②，
①－②得，
當時，也適合上式，所以，所以時，
兩式相減得，故數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以.
（2）由（1）得，
③，
④，
③－④得：，
所以 .
3-3．（2024高三上·山東濟南·期末）設數(shù)列 ?的前?項和為?，且?; 數(shù)列?為等差數(shù)列，且?.
(1)求數(shù)列的通項公式.
(2)若 ?，求數(shù)列的前項和?.
【答案】(1)?
(2)
【分析】（1）利用前項和和通項公式的關系來解.
（2）使用錯位相減法解數(shù)列前項和.
【詳解】（1）當時，，得.
當時，兩式相減有
即.
因為，所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列.
則.
所以數(shù)列的通項公式為.
（2）在等差數(shù)列中，設首項為公差為，
則解得
所以.
則
①
②
所以①②得
即
解得
3-4．（2024高三下·廣東茂名·階段練習）已知數(shù)列滿足且
(1)若存在一個實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列，請求出的值；
(2)在（1）的條件下，求出數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義，得出必為與無關的常數(shù)，即可求解；
（2）由，且，結(jié)合（1）求得數(shù)列的通項公式，再利用“乘公比錯位相減法”和等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】（1）假設存在實數(shù)符合題意，則必為與無關的常數(shù).
因為.
要使是與無關的常數(shù)，
則，可得.
故存在實數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列.
（2）由，且，
由（1）知等差數(shù)列的公差，
所以，即，
所以
記：，
有，
兩式相減，得，
故.
（三）
裂項相消法的原則及規(guī)律
(1)裂項原則
一般是前面裂幾項，后面就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止．
(2)消項規(guī)律
消項后前面剩幾項，后面就剩幾項，前面剩第幾項，后面就剩倒數(shù)第幾項．
題型4：裂項相消法求和
4-1．（2024高二下·云南臨滄·期中）設數(shù)列的前項和為，且.
(1)求；
(2)記，數(shù)列的前項和為，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）當時，利用推出，由等差中項法得為等差數(shù)列，根據(jù)與求出公差，可得通項公式；
（2）根據(jù)進行裂項求和可求出結(jié)果.
【詳解】（1）由，
當時，，解得，
當時，，
所以，
整理得：，①
所以有，②
①-②可得，
所以為等差數(shù)列，
因為，所以公差為，
所以.
（2），
∴
.
4-2．（2024·山東德州·三模）已知為數(shù)列的前項和，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設，記的前項和為，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】
（1）根據(jù)數(shù)列遞推式可得，采用兩式相減的方法可得，從而構(gòu)造數(shù)列，可求得的通項公式；
（2）由（1）的結(jié)論可得的表達式，利用裂項求和法，可得答案.
【詳解】（1）當時，，則，
因為，
所以，
兩式相減得： ，
所以，，
，，則，即也適合上式，
所以是以5為首項，公比為2的等比數(shù)列，
故：，
故；
（2）由（1）得
，
故
，
當時，，故.
4-3．（2024高三·全國·專題練習）在數(shù)列中，已知，．
(1)求；
(2)若，為的前n項和，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）構(gòu)造新數(shù)列，構(gòu)造等比數(shù)列可得計算可得.
（2）先根據(jù)（1）得出，再根據(jù)得出一側(cè)邊界，最后放縮后應用裂項相消計算證明即得
【詳解】（1）
而，是公比為首項為的等比數(shù)列，
,
.
（2）,,,
，
，
.
4-4．（2024·寧夏石嘴山·一模）已知是數(shù)列的前項和，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)與的關系求解即可；
（2）利用裂項相消法求解即可.
【詳解】（1）時，，
時，
經(jīng)驗證時滿足，
；
（2），
.
4-5．（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預測）已知數(shù)列的前項和，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由和與項的關系求得，進而判斷數(shù)列是等差數(shù)列，從而利用等差數(shù)列的通項公式即可求解；
（2）由（1）求得，進而，最后利用裂項相消求和法即可求解.
【詳解】（1）當時，，
當時，
因為對也成立.
所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列，
則公差，
故.
（2）因為，
所以，
故.
（四）
倒序相加法
將一個數(shù)列倒過來排列，當它與原數(shù)列相加時，若有規(guī)律可循，并且容易求和，則這樣的數(shù)列求和時可用倒序相加法（等差數(shù)列前項和公式的推導即用此方法）．
題型5：倒序相加法
5-1．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）設函數(shù)，，．則數(shù)列的前n項和 ．
【答案】
【分析】由題設，討論n的奇偶性求的通項公式，再求.
【詳解】由題設，，
所以，
即且n ≥ 2，
當時，，
當時，，
所以，
故答案為：.
5-2．（2024高三·全國·課后作業(yè)）設函數(shù)，利用課本中推導等差數(shù)列前n項和的方法，求得的值為 .
【答案】11
【分析】注意到，后可用倒序相加法求得答案.
【詳解】因，
設，則，故.
故答案為：11
5-3．（2024·廣西玉林·三模）已知函數(shù)，若函數(shù)，數(shù)列為等差數(shù)列，，則 ．
【答案】44
【分析】先求得，然后利用倒序相加法求得正確答案.
【詳解】由題意，可得，
設等差數(shù)列的前項和為，公差為，
則，解得，
則，根據(jù)等差中項的性質(zhì)，可得，
則
，
同理可得，，，，，
∴．
故答案為：

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