數(shù)學試題
（滿分150分，120分鐘完成）
一、選擇題：（本大題10個小題，每小題4分，共40分）在每個小題的下面，都給出了代號為A、B、C、D四個答案，其中只有一個是正確的，請將答題卡上題號右側(cè)正確答案所對應(yīng)的方框涂黑．
1. 下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（ ）
A. 3.14B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了實數(shù)的分類，熟知有理數(shù)和無理數(shù)的概念及常見形式是解決此題的關(guān)鍵．根據(jù)整數(shù)和分數(shù)（有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)）是有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)（常見形式：開方開不盡的數(shù)，化簡后含的數(shù)等）進行解答即可．
【詳解】解：A、3.14是有理數(shù)，不符合題意；
B、是有理數(shù)，不符合題意；
C、是無理數(shù)，符合題意；
D、有理數(shù)，不符合題意；
故選：C．
2. 下面四個圖形分別是節(jié)能、節(jié)水、低碳和綠色食品標志，在這四個標志中，是軸對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】結(jié)合軸對稱圖形的概念進行求解即可．
【詳解】解：根據(jù)軸對稱圖形的概念可知：
A、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；
B、是軸對稱圖形，故本選項錯誤；
C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；
D、不是軸對稱圖形，故本選項正確．
故選：B．
【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
3. 下列分式的變形中，正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查的是分式的基本性質(zhì)，掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．依據(jù)分式的基本性質(zhì)回答即可．
【詳解】解：A．由左到右的變形符合分式的基本性質(zhì)，故A正確；
B．，不成立，故B錯誤；
C．，故C錯誤；
D．，不成立，故D錯誤．
故選：A．
4. 下列命題是假命題的是（ ）
A. 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
B. 對角線互相垂直的四邊形是菱形
C. 對角線相等的平行四邊形是矩形
D. 對角線相等的菱形是正方形
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了命題真假的判定，平行四邊形，正方形，矩形，菱形的判定定理，根據(jù)平行四邊形，正方形，矩形，菱形的判定定理逐項判斷即可．
【詳解】解：A、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，所以A選項為真命題；
B、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以B選項為假命題；
C、對角線互相相等的平行四邊形是矩形，所以C選項為真命題；
D、對角線相等的菱形是正方形，所以D選項為真命題．
故選B．
5. 估計的值應(yīng)在（ ）
A. 4和5之間B. 5和6之間C. 6和7之間D. 7和8之間
【答案】C
【解析】
【分析】此題考查了二次根式的混合運算和無理數(shù)的估算，先計算原式得到，再估算得到，即可得到答案.
【詳解】解：
∵
∴
∴
即的值應(yīng)在6和7之間，
故選：C
6. 某工程隊要改造一條長米的盲道，為盡量減少施工對交通造成的影響，實際施工時工程隊每天比原計劃多修建米，結(jié)果提前3天完成工程，若設(shè)原計劃每天修建盲道米，根據(jù)題意可得方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了分式方程的實際應(yīng)用題，能根據(jù)題意準確列出方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)設(shè)原計劃每天修建盲道米，根據(jù)題中等量關(guān)系，即原計劃用的時間實際用的時間，列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)原計劃每天修建盲道米，
則原計劃用的時間為：，實際用的時間為：，
所列方程為： ，
故選：D．
7. 觀察下列圖形，第①個圖形有2顆棋子，第②個圖形有4顆棋子，第③個圖形有7顆棋子，第④個圖形有11顆棋子，…，按照這個規(guī)律，第⑩個圖形中棋子的顆數(shù)是（ ）顆．
A. 56B. 55C. 46D. 45
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了圖形的變化規(guī)律，根據(jù)已知圖形得到第①個圖形中棋子數(shù)，第②個圖形中棋子數(shù)，第③個圖形中棋子數(shù)，第④個圖形中棋子數(shù)，，依此找到規(guī)律得到第⑩個圖形中棋子的顆數(shù)．
【詳解】解：第①個圖形中棋子數(shù)，
第②個圖形中棋子數(shù)，
第③個圖形中棋子數(shù)，
第④個圖形中棋子數(shù)，
第n個圖形中棋子數(shù)為：，
第⑩個圖形中棋子數(shù)為：，
故選：A．
8. 如圖，在平行四邊形中，的平分線和的平分線交于上一點，若，則的長為（ ）
A. 5B. C. D. 2.5
【答案】B
【解析】
【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及角平分線的定義證明，再利用結(jié)合角平分線的定義證明，推出是直角三角形，利用勾股定理即可求解．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，
，
，
的平分線和的平分線交于上一點，
，
，
，
，
，
，
，
，
故選：B．
【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9. 如圖，在中，是邊上的中點，連接，把沿直線翻折，得到，連接，分別與交于點，連接．若，則的長為（ ）
A. B. C. D. 8.5
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查發(fā)直角三角形折疊．熟練掌直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，三角形中位線性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵．
根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得到，由折疊性質(zhì)得到， 垂直平分，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得到，，得到，結(jié)合，，判定,得到，得到，即得．
【詳解】∵在中，是邊上的中點，
∴，
由折疊知， 垂直平分，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴,
∴，
∴，
∴，
∴．
故選：B．
10. 已知多項式，下列說法正確的有（ ）個：
①若，則；
②若為整數(shù)，則整數(shù)的值為2或6；
③最小值為；
④令，則．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)代數(shù)式求值對①進行判斷即可；②將化為，根據(jù)式子為整數(shù)分析求解即可；③求出，即可得出最小值；④根據(jù)分母有理化算出，進而求解即可．
【詳解】解：①當時，，故①正確；
②當整數(shù)時，則為整數(shù)，
為整數(shù)，
為整數(shù)，取整數(shù)，
當或時，也為整數(shù)，故②錯誤；
③，
當時，的最小值為，故③錯誤；
④
，
，
，
，
，
，
故④正確，
故選:B．
【點睛】本題考查了代數(shù)式求值，分母有理化，數(shù)字規(guī)律探索，分式的混合運算，二次根式的性質(zhì)化簡等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵．
二、填空題：（本大題8個小題，每小題4分，共32分）請將每小題的答案直接填在答題卡對應(yīng)的橫線上．
11. 近日，支原體肺炎備受關(guān)注，它是由肺炎支原體引起的下呼吸道感染，支原體是一類寄生微生物，屬于原核生物，其細胞結(jié)構(gòu)簡單沒有細胞壁，直徑約為0.000000216米，將0.000000216用科學記數(shù)法表示為_______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了科學記數(shù)法的表示方法，科學記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，為整數(shù)，確定的值時，要看把原數(shù)變成時，小數(shù)點移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當原數(shù)絕對值大于等于10時，是非負數(shù)，當原數(shù)絕對值小于1時，是負數(shù)，表示時關(guān)鍵是要正確確定的值以及的值．
【詳解】解：將0.000000216米用科學記數(shù)法表示為米，
故答案為：．
12. 計算：_______．
【答案】
【解析】
【分析】此題考查了零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、乘方等知識，按照零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、乘方等法則計算即可．
【詳解】解：
故答案為：
13. 若，則_______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查分式的化簡求值，完全平方公式的運用．先將化簡為，得到，再利用完全平方公式變形為，得到，即，同理，即可求出，即可求解．
【詳解】解：，
，
，
，即，
，
，
，
故答案為：．
14. 如圖，中，的角平分線與的中垂線交于點，過點分別作所在直線的垂線，垂足分別為，若，則的長為_______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了直角三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)．根據(jù)題意，連接，由垂直平分得到平分，，則，即可證明，則，即可得到的長．
，通過等邊代換計算即可．
【詳解】連接，如圖：
∵垂直平分，
∴
又∵平分，，
∴，
∴，
∴，
，
故答案為：
15. 如圖，在四邊形ABCD中，∠C＝72°，∠B＝∠D＝90°，E，F(xiàn)分別是DC，BC上的點，當△AEF的周長最小時，∠EAF的度數(shù)為_____．

【答案】36°．
【解析】
【分析】據(jù)要使△AEF的周長最小，即利用點的對稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，即可得出∠AA′F+∠A″=72°，即可得出答案．
【詳解】作A關(guān)于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于E，交CD于F，則A′A″即為△AEF的周長最小值．
∵∠C＝72°，
∴∠DAB＝108°，
∴∠AA′F+∠A″＝72°，
∵∠FA′A＝∠FAA′，∠EAD＝∠A″，
∴∠FAA′+∠A″AE＝72°，
∴∠EAE＝108°﹣72°＝36°，
故答案為36°．
【點睛】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，涉及到平面內(nèi)最短路線問題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出E，F(xiàn)的位置是解題關(guān)鍵．
16. 若關(guān)于的不等式組至少有4個整數(shù)解且最多有6個整數(shù)解，關(guān)于的方程的解是非負數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)的和為_______．
【答案】
【解析】
【分析】此題主要考查了解一元一次不等式組．分別求出符合不等式組和分式方程解的條件的整數(shù)a，再計算出符合兩個條件的所有整數(shù)a的和．
【詳解】解：，
解該不等式組得：
∵關(guān)于x的不等式組至少有4個整數(shù)解且最多有6個整數(shù)解，
∴，
解該分式方程得：，
∵且，
解得且，
綜上可知，且，
∴a?。?br>．
故答案為：．
17. 如圖，在中，，．點是線段上一動點，將沿直線折疊，使點落在點處，交于點．當是直角三角形時，的長為_________．
【答案】或
【解析】
【分析】本題考查翻折變換(折疊問題)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形外角性質(zhì)，分兩種情況：當時，當，然后分別利用等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理以及折疊的性質(zhì)進行計算，即可解答．
【詳解】解：分兩種情況：
①當時，如圖：
，
設(shè)，
，，
，
，
由折疊得：，，
，
，
在中，，
，
解得：，
；
②當，如圖：
過點C作，垂足為H，
，
，
由（1）知，，
由折疊得：，
，
，
，，
，
，
是的一個外角，
，
，
，
，
，
綜上所述：的長為或，
故答案為: 或．
18. 一個四位數(shù)，若它的千位數(shù)字與個位數(shù)字均不為0，且千位數(shù)字與個位數(shù)字的和等于百位數(shù)字與十位數(shù)字的和，則稱這個四位數(shù)為“平衡數(shù)”．將“平衡數(shù)”的千位數(shù)字與個位數(shù)字交換，百位數(shù)字與十位數(shù)字交換，得到的逆序數(shù)，并記．設(shè)“平衡數(shù)”，則_______（用含的代數(shù)式表示）．若都為“平衡數(shù)”，記的千位數(shù)字與個位數(shù)字分別為的千位數(shù)字與個位數(shù)字分別為．若能被17整除，，則的最大值為_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】此題考查了整式的加減、分式的化簡求值等知識，根據(jù)定義得到，進一步求出即可；由，能被17整除，得到，由進一步得到，或，分兩種情況進行討論求解即可．
【詳解】解：由定義可知，，
∵
∴
∴
即；
都為“平衡數(shù)”，記的千位數(shù)字與個位數(shù)字分別為的千位數(shù)字與個位數(shù)字分別為．
∴
∵能被17整除，
∴為整數(shù)，
由題意可得，，
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
∵
∴，或
當時，，
∴
∴，
當時，，（舍去），
當時，，
當時，，（舍去）
當時，，
∴
∴
當時，，（舍去），
當時，，
當時，，（舍去）
∴，或，，
∵取最大值
∴s取最大值，
∴，，
∴取最大值為，
故答案為：，
三、解答題：（本大題共8個小題，19題8分，20-26題每小題10分，共78分）解答時每小題都必須寫出必要的演算過程或推理步驟，請將解答過程書寫在答題卡中對應(yīng)的位置上．
19. 計算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此題考查了二次根式的混合運算和整式的混合運算.
（1）先計算括號內(nèi)的二次根式加減法，再計算乘法即可；
（2）利用平方差公式和單項式乘以多項式展開，再進行合并同類項即可.
【小問1詳解】
【小問2詳解】
20. 計算：
（1）因式分解：
（2）解方程：
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此題考查了因式分解和解分式方程.
（1）提公因式后用完全平方公式分解因式即可；
（2）去分母化為整式方程，解整式方程并檢驗即可.
【小問1詳解】
【小問2詳解】
兩邊同乘以得到，
解得，
當時，
∴是式方程的解
21. 化簡求值：，其中為不等式組的整數(shù)解．
【答案】，
【解析】
【分析】此題考查了分式的化簡求值和求一元一次不等式組的整數(shù)解，先把分式進行化簡得到最簡結(jié)果，再求出不等式組的整數(shù)解，根據(jù)分式有意義的條件確定字母的值代入計算即可．
【詳解】解；
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式組的解集是
∴不等式組的整數(shù)解為
∵或x=-1時，分式無意義，
∴
當時，原式
22. 如圖，四邊形是正方形，射線交于點交延長線于點．
（1）尺規(guī)作圖：作的平分線交于；（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，連接，求證：
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】
【分析】此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)角平分線的作圖等知識．
（1）按照角平分線的作圖方法作圖即可；
（2）證明，則，，再證明，則，由即可得到．
【小問1詳解】
解：如圖所示：
【小問2詳解】
證明：∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，，
∴
∴，，
∵作的平分線交于
∴，
又∵
∴
∴，
∵
∴
23. 元宵將至，為加強學生對中國傳統(tǒng)文化的學習，某校對全體學生進行了一次中國傳統(tǒng)文化知識測試比拼，現(xiàn)從初二、初三兩個年級各隨機抽取了15名學生的測試成績，得分用表示，共分成4組：，B：，對得分進行整理分析，給出了下面部分信息：初二的測試成績在組中的數(shù)據(jù)為：．初三的測試成績：．
（1）__________，__________；
（2）通過以上數(shù)據(jù)分析，你認為哪個年級學生對中國傳統(tǒng)文化知識掌握更好？請寫出一條理由；
（3）若該校初二、初三各有名學生，請估計這兩個年級此次測試成績達到80分及以上的學生約有多少人？
【答案】（1）83，100
（2）我認為初三對中國傳統(tǒng)文化知識掌握更好，理由見解析
（3）人．
【解析】
【分析】本題考查頻數(shù)直方圖、中位數(shù)、眾數(shù)、用樣本估計總體，解答本題的關(guān)鍵是明確題意．
（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義，得出a、b的值；
（2）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，可以從中位數(shù)、最高分、眾數(shù)來說明理由，答案不唯一，符合題意即可；
（3）利用樣本估計總體，用分別乘以兩個樣本中測試成績達到80分及以上的學生所占百分比并求和即可．
【小問1詳解】
由直方圖可知，初二的測試成績15個數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，第8個數(shù)落在C組的第二個，
初二的測試成績在組中的數(shù)據(jù)為：，
中位數(shù)；
初三的成績出現(xiàn)次數(shù)最多的是100分，
眾數(shù)；
故答案為：83，100
【小問2詳解】
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，我認為初三對中國傳統(tǒng)文化知識掌握更好，
理由：兩個年級的平均成績一樣，而初三的中位數(shù)、最高分、眾數(shù)均高于初二，說明初三掌握得較好；
故答案為：初三；
【小問3詳解】
（名），
答：估計這兩個年級此次測試成績達到80分及以上的學生約有人．
24. 重慶外國語學校迅猛發(fā)展，兩江新區(qū)校區(qū)將在今年9月份正式開課，為保障學生按時入學，學校加快校園建設(shè)．建筑公司承接了平方米的教室墻壁和若干平方米的學生宿舍墻壁粉刷工作，公司先對教室墻壁進行粉刷，開工5天后，為加快進度增加了施工人員，每天比原來多粉刷平方米，2天后完成教室墻壁粉刷工作．
（1）求建筑公司增加人員后每天粉刷墻壁多少平方米？
（2）教室墻壁粉刷完成后，經(jīng)招標增派建筑公司與建筑公司同時開工合作粉刷學生宿舍墻壁．建筑公司按增加人員后的粉刷速度進行施工．建筑公司粉刷學生宿舍墻壁總面積的后，通過更新設(shè)備，每天比原來多粉刷，學生宿舍墻壁完工時，兩建筑公司粉刷的墻壁面積和所用時間恰好相同．求建筑公司原來每天粉刷墻壁多少平方米？
【答案】（1）平方米；
（2）平方米
【解析】
【分析】此題考查了一元一次方程和分式方程的應(yīng)用．
（1）設(shè)建筑公司增加人員后每天粉刷墻壁平方米，根據(jù)總面積為平方米列方程并解方程即可；
（2）設(shè)建筑公司原來每天粉刷墻壁y平方米,設(shè)每個公司的粉刷面積為m平方米, 所用時間恰好相同．據(jù)此列方程，解方程并檢驗即可得到答案．
【小問1詳解】
解：設(shè)建筑公司增加人員后每天粉刷墻壁平方米，
解得
答：建筑公司增加人員后每天粉刷墻壁平方米；
【小問2詳解】
設(shè)建筑公司原來每天粉刷墻壁y平方米,設(shè)每個公司的粉刷面積為m平方米,
，
則
解得
經(jīng)檢驗，是分式方程的解，且符合題意，
答：建筑公司原來每天粉刷墻壁平方米
25. 如圖，以矩形的頂點為原點建立平面直角坐標系，頂點分別在軸，軸的正半軸上，，．把矩形沿對角線所在直線翻折，點落到點處，交于點．
（1）求點坐標．
（2）如圖2，點為線段上的動點，請求出的最小值，并求出取得最小值時，點的坐標．
（3）在（2）條件下，當取得最小值時，平面上是否存在一點N，使以為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點坐標并寫出其中一個點N的坐標的計算過程；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】（1）求出，， 證明，設(shè)，則，由解得：，即可得到答案；
（2）以為一邊，在下方作，則，則的最小值即為的最小值，當點三點共線時，取得最小值，利用勾股定理求出即可；
（3）證明，得到以為頂點的四邊形是平行四邊形共有兩種情況，分情況進行解答即可．
【小問1詳解】
解：∵四邊形是矩形，
∴，，，，
∵．
∴，
∴，
∵，
∴，
∵把矩形沿對角線所在直線翻折，點落到點處，交于點，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∵在中，，
∴，
∴，
解得：，
∴；
【小問2詳解】
以為一邊，在下方作，
∴，
∴的最小值即為的最小值，
當點三點共線時，取得最小值，
∵，
∴
此時在中，，
∴，
∵，
∴
解得
∴點G的坐標是
【小問3詳解】
由（2）可知，，
由折疊可知，，
∴,，
∴，
∴，
∴以為頂點的四邊形是平行四邊形共有兩種情況，
①過點D作軸時，交y軸于點F，取,
則，
∵
∴，
∴點D的坐標是
∴點
即，
②∵,點在直線上，且時，也滿足題意，
由點D的坐標是，點G的坐標是，原點O的坐標為，
由平移可得，此時點的坐標為，即為
綜上可知， 點N的坐標為或或
【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、勾股定理、坐標與圖形、含的直角三角形的性質(zhì)等著知識，數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵．
26. 在中，為中點，，在上取一點，連接、．
（1）如圖1，若，求的面積；
（2）如圖2，若，求證；
（3）如圖3，在（1）的條件下，為內(nèi)部一點，且．將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接交延長線于點為線段上一個動點，連接，將沿所在直線翻折得到，連接，當取最小值時，直接寫出的值．
【答案】（1）
（2）見解析 （3）
【解析】
【分析】（1）過點D作于點Q，求出，得出，根據(jù)勾股定理得出，證明為等腰直角三角形，得出，求出，即可得出答案；
（2）作于點N，設(shè)則，，設(shè)，則，求出，得出，根據(jù)，得出，根據(jù)勾股定理求出，求出，根據(jù)勾股定理求出，即可得出答案；
（3）證明，得出，，根據(jù)，得出點H在以點C為圓心，4為半徑的圓上運動，根據(jù)，得出當C、M、H在同一直線上時，，此時最小，延長交于點， 當點H在點時，最小，此時，根據(jù)勾股定理求出，即當最小時，，求出，即可得出答案．
小問1詳解】
解：過點D作于點Q，如圖所示：
則，
∵，
∴，
∴，
∵為的中點，
∴，
∴，
根據(jù)勾股定理得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：作于點N，如圖所示：
則，
∵，
∴，
設(shè)則，，
設(shè)，則，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵為的中點，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
根據(jù)勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
即．
【小問3詳解】
解：根據(jù)解析（1）可知：，
∵，
∴，，
∴，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
根據(jù)翻折可知：，
∴點H在以點C為圓心，4為半徑的圓上運動，
根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知：，且當C、M、H在同一直線上時，，此時最小，
延長交于點，如圖所示：
∴當點H在點時，最小，此時，
∵，
∴，
即當最小時，，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)．年級
平均數(shù)
中位數(shù)
最高分
眾數(shù)
初二
87
98
98
初三
87
87
100

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