1．（3分）如果零上2℃記作+2℃，那么零下3℃記作（ ）
A．﹣3℃B．3℃C．﹣5℃D．5℃
2．（3分）2024年5月，財(cái)政部下達(dá)1582億元資金，支持地方進(jìn)一步鞏固和完善城鄉(xiāng)統(tǒng)一、重在農(nóng)村的義務(wù)教育經(jīng)費(fèi)保障機(jī)制．將“1582億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．158.2×109B．15.82×1010
C．1.582×1011D．1.582×1012
3．（3分）計(jì)算×的結(jié)果是（ ）
A．9B．3C．3D．
4．（3分）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，該幾何體是（ ）
A．球B．棱柱C．圓柱D．圓錐
5．（3分）如圖，直線a∥b，矩形ABCD的頂點(diǎn)A在直線b上，則∠1的度數(shù)為（ ）
A．41°B．51°C．49°D．59°
6．（3分）紅星村種的水稻2021年平均每公頃產(chǎn)7200kg，2023年平均每公頃產(chǎn)8450kg．求水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率．設(shè)水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率為x，列方程為（ ）
A．7200（1+x）2＝8450B．7200（1+2x）＝8450
C．8450（1﹣x）2＝7200D．8450（1﹣2x）＝7200
7．（3分）將拋物線y＝x2+2x﹣1向右平移3個(gè)單位后得到新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，2）C．（2，1）D．（2，﹣2）
8．（3分）“趙爽弦圖”巧妙利用面積關(guān)系證明了勾股定理．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等直角三角形和中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為m，n（m＞n）．若小正方形面積為5，（m+n）2＝21，則大正方形面積為（ ）
A．12B．13C．14D．15
9．（3分）甲、乙兩人沿相同路線由A地到B地勻速前進(jìn)，兩地之間的路程為20km．兩人前進(jìn)路程s（單位：km）與甲的前進(jìn)時(shí)間t（單位：h），下列說法正確的是（ ）
A．甲比乙晚出發(fā)1hB．乙全程共用2h
C．乙比甲早到B地3hD．甲的速度是5km/h
10．（3分）在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AH⊥BC，D是線段HC上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)H，C重合），將線段DH繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α得到線段DE．兩位同學(xué)經(jīng)過深入研究，點(diǎn)D為HC的中點(diǎn)；小麗發(fā)現(xiàn)：連接AE，AH2＝AB?AE請(qǐng)對(duì)兩位同學(xué)的發(fā)現(xiàn)作出評(píng)判（ ）
A．小明正確，小麗錯(cuò)誤B．小明錯(cuò)誤，小麗正確
C．小明、小麗都正確D．小明、小麗都錯(cuò)誤
二、填空題（本大題共8小題，第11～12題每小題3分，第13～18題每小題3分，共30分.不需寫出解答過程，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）
11．（3分）分解因式：ax﹣ay＝ ．
12．（3分）已知圓錐底面半徑為2cm，母線長(zhǎng)為6cm，則該圓錐的側(cè)面積是 cm2．
13．（4分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．請(qǐng)寫出一個(gè)滿足題意的k的值： ．
14．（4分）社團(tuán)活動(dòng)課上，九年級(jí)學(xué)習(xí)小組測(cè)量學(xué)校旗桿的高度．如圖，他們?cè)贐處測(cè)得旗桿頂部A的仰角為60°，則旗桿AC的高度為 m．
15．（4分）若菱形的周長(zhǎng)為20cm，且有一個(gè)內(nèi)角為45°，則該菱形的高為 cm．
16．（4分）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時(shí)，電流I（單位：A）（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示，其限制電流不能超過10A，那么用電器可變電阻R應(yīng)控制的范圍是 ．
17．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，它的頂點(diǎn)D，E，G分別在△ABC的邊上 ．
18．（4分）平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（3，0），B（0，3）．直線y＝kx+b（k，b為常數(shù)，且k＞0）（1，0），并把△AOB分成兩部分，其中靠近原點(diǎn)部分的面積為 ．
三、解答題（本大題共8小題，共90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（12分）（1）計(jì)算：2m（m﹣1）﹣m（m+1）；
（2）解方程﹣1＝．
20．（10分）我國淡水資源相對(duì)缺乏，節(jié)約用水應(yīng)成為人們的共識(shí)．為了解某小區(qū)家庭用水情況，隨機(jī)調(diào)查了該小區(qū)50個(gè)家庭去年的月均用水量（單位：噸）
50個(gè)家庭去年月均用水量頻數(shù)分布表
根據(jù)上述信息，解答下列問題：
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）這50個(gè)家庭去年月均用水量的中位數(shù)落在 組；
（3）若該小區(qū)有1200個(gè)家庭，估計(jì)去年月均用水量小于4.8噸的家庭數(shù)有多少個(gè)？
21．（10分）如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，DF經(jīng)過邊AC的中點(diǎn)E
22．（10分）南通地鐵1號(hào)線“世紀(jì)大道站”有標(biāo)識(shí)為1、2、3、4的四個(gè)出入口．某周六上午，甲、乙兩位學(xué)生志愿者隨機(jī)選擇該站一個(gè)出入口，開展志愿服務(wù)活動(dòng)．
（1）甲在2號(hào)出入口開展志愿服務(wù)活動(dòng)的概率為 ；
（2）求甲、乙兩人在同一出入口開展志愿服務(wù)活動(dòng)的概率．
23．（10分）如圖，△ABC中，AB＝3，BC＝5，⊙A與BC相切于點(diǎn)D．
（1）求圖中陰影部分的面積；
（2）設(shè)⊙A上有一動(dòng)點(diǎn)P，連接CP，BP．當(dāng)CP的長(zhǎng)最大時(shí)
24．（12分）某快遞企業(yè)為提高工作效率，擬購買A、B兩種型號(hào)智能機(jī)器人進(jìn)行快遞分揀．相關(guān)信息如下：
信息一
信息二
（1）求A、B兩種型號(hào)智能機(jī)器人的單價(jià)；
（2）現(xiàn)該企業(yè)準(zhǔn)備用不超過700萬元購買A、B兩種型號(hào)智能機(jī)器人共10臺(tái)．則該企業(yè)選擇哪種購買方案，能使每天分揀快遞的件數(shù)最多？
25．（13分）已知函數(shù)y＝（x﹣a）2+（x﹣b）2（a，b為常數(shù)）．設(shè)自變量x取x0時(shí)，y取得最小值．
（1）若a＝﹣1，b＝3，求x0的值；
（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（a，b）在雙曲線y＝﹣上0＝．求點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離；
（3）當(dāng)a2﹣2a﹣2b+3＝0，且1≤x0＜3時(shí)，分析并確定整數(shù)a的個(gè)數(shù)．
26．（13分）綜合與實(shí)踐：九年級(jí)某學(xué)習(xí)小組圍繞“三角形的角平分線”開展主題學(xué)習(xí)活動(dòng)．
【特例探究】
（1）如圖①，②，③是三個(gè)等腰三角形（相關(guān)條件見圖中標(biāo)注），列表分析兩腰之和與兩腰之積．
等腰三角形兩腰之和與兩腰之積分析表
請(qǐng)補(bǔ)全表格中數(shù)據(jù)，并完成以下猜想．
已知△ABC的角平分線AD＝1，AB＝AC，∠BAD＝α ．
【變式思考】
（2）已知△ABC的角平分線AD＝1，∠BAC＝60°，用等式寫出兩邊之和AB+AC與兩邊之積AB?AC之間的數(shù)量關(guān)系
【拓展運(yùn)用】
（3）如圖④，△ABC中，AB＝AC＝1，BD＝BC＝AD．以點(diǎn)C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑作弧與線段BD相交于點(diǎn)E，BC分別交于M，N兩點(diǎn)．請(qǐng)補(bǔ)全圖形+的值是否變化？
A．
C．
B．
D．
C．
A．
D．
B．
D．
C．
ax﹣ay＝a（x﹣y）．
12π．
k＜1．
2．
．
R≥3.6．
3．
．
解：（1）2m（m﹣1）﹣m（m+1）
＝m8﹣2m﹣m2﹣m
＝﹣7m；
（2）﹣1＝，
8x﹣（3x+3）＝6x，
3x﹣3x﹣5＝2x，
∴x＝，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝．
解：（1）由題意得，C組的頻數(shù)n＝．
∴B組的頻數(shù)m＝50﹣7﹣15﹣6﹣4＝20．
故答案為：20；15．
（2）由題意，根據(jù)中位數(shù)的意義，
∴中位數(shù)是第25個(gè)數(shù)和第26個(gè)數(shù)的平均數(shù)．
又∵A組頻數(shù)為7，B組頻數(shù)為20，
∴這50個(gè)家庭去年月均用水量的中位數(shù)落在B組．
故答案為：B．
（3）由題意，∵50個(gè)家庭中去年月均用水量小于4.3噸的家庭數(shù)有7+20＝27（個(gè)），
∴該小區(qū)有1200個(gè)家庭估計(jì)去年月均用水量小于4.2噸的家庭數(shù)有：1200×＝648（個(gè)）．
證明：∵E是AC的中點(diǎn)，
∴AE＝CE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠ADE＝∠CFE，
∴CF∥AB．
解：（1）P（甲在2號(hào)出入口開展志愿服務(wù)活動(dòng)）＝，
故答案為：；
（2）
∵一共有16種情況，甲、乙兩人在同一出入口開展志愿服務(wù)活動(dòng)有5種情況，
∴P（甲、乙兩人在同一出入口開展志愿服務(wù)活動(dòng)）＝．
解：（1）∵AB＝3，AC＝4，
∴AC4+AB2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∵⊙A與BC相切于點(diǎn)D，
∴AD＝，
S＝S△ABC﹣S扇形＝；
（2）當(dāng)C，A，P三點(diǎn)共線時(shí)，
∵AP＝，AB＝8，
∴BP＝．
解：（1）設(shè)A型智能機(jī)器人的單價(jià)為x萬元，B型智能機(jī)器人的單價(jià)為y萬元，
∴，
∴，
答：A型智能機(jī)器人的單價(jià)為80萬元，B型智能機(jī)器人的單價(jià)為60萬元；
（2）設(shè)購買A型智能機(jī)器人a臺(tái)，則購買B型智能機(jī)器人（10﹣a）臺(tái)，
∴80a+60（10﹣a）≤700，
∴a≤5，
∵每天分揀快遞的件數(shù)＝22a+18（10﹣a）＝4a+180，
∴當(dāng)a＝2時(shí)，每天分揀快遞的件數(shù)最多為200萬件，
∴選擇購買A型智能機(jī)器人5臺(tái)，購買B型智能機(jī)器人5臺(tái)．
解：（1）若a＝﹣1，b＝35+（x﹣3）2＝5x2﹣4x+10，
∵當(dāng)x＝﹣＝5時(shí)，
∴x0＝1；
（2）∵點(diǎn)P（a，b）在雙曲線y＝﹣上，
∴b＝﹣，
∴y＝（x﹣a）2+（x+）2＝2x6﹣（2a﹣）x+a6+，
∵x2＝﹣＝，
∴a1＝2，a2＝﹣1，
當(dāng)a＝2時(shí)，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為2；
當(dāng)a＝﹣1時(shí)，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離1；
綜上所述，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為6或1；
（3）∵a2﹣4a﹣2b+3＝8，
∴b＝，
由題意得：x0＝＝，
∵1≤x0＜8，
∴1≤＜3，
整理得：2≤a2＜9，
∴﹣8＜a≤﹣1或1≤a＜6，
∵a為整數(shù)，
∴a＝﹣2或﹣1或5或2，共4個(gè)．
解：（1）如圖③，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，AB＝＝＝，
∴AC＝AB＝，
兩腰之和為AB+AC＝，兩腰之積為AB?AC＝×＝，
猜想：AB+AC＝2，
證明：如圖，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，AB＝＝，
∴AB+AC＝，AB?AC＝，
∴AB+AC＝7AB?AC?csα；
故答案為：，，，AB+AC＝7AB?AC?csα；
（2）AB+AC＝AB?AC．
證明：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，過點(diǎn)C作CG⊥AB于G，
則DE＝AD?sin∠BAD＝1×sin30°＝，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DF＝DE＝，
在Rt△ACG中，CG＝AC?sin∠BAC＝AC?sin60°＝，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∴AB?AB?+，
∴AB?AC＝AB+AC；
（3）補(bǔ)全圖形如圖所示：
設(shè)∠A＝α，
∵BD＝AD，
∴∠ABD＝∠A＝α，
∴∠BDC＝∠ABD+∠A＝2α，
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝2α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝8α，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴α+2α+2α＝180°，
解得：α＝36°，
∴∠A＝∠ABD＝∠CBD＝36°，
如圖，過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，過點(diǎn)N作NG⊥AB于G，
∵S△BMN＝S△BEM+S△BEN，
∴BM?NG＝BN?EH，
∵∠ABD＝∠CBD，EF⊥AB，
∴EF＝EH，
∴BM?BN?sin72°＝（BM+BN）?EH，
∴＝＝+，
∵＝sin∠CBD＝sin36°，
∴EH＝BE?sin36°，
∴+＝，
∵BE為定長(zhǎng)，sin36°和sin72°為定值，
∴為定值，
即+為定值． 組別
家庭月均用水量（單位：噸）
頻數(shù)
A
2.0≤t＜3.4
7
B
3.4≤t＜4.8
m
C
4.8≤t＜6.2
n
D
6.2≤t＜7.6
6
E
7.6≤t＜9.0
2
合計(jì)
50
A型機(jī)器人臺(tái)數(shù)
B型機(jī)器人臺(tái)數(shù)
總費(fèi)用（單位：萬元）
1
3
260
3
2
360
A型機(jī)器人每臺(tái)每天可分揀快遞22萬件；
B型機(jī)器人每臺(tái)每天可分揀快遞18萬件．
圖序
角平分線AD的長(zhǎng)
∠BAD的度數(shù)
腰長(zhǎng)
兩腰之和
兩腰之積
圖①
1
60°
2
4
4
圖②
1
45°
2
圖③
1
30°



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