1．（3分）4的倒數(shù)是（ ）
A．B．﹣4C．2D．±2
2．（3分）在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（ ）
A．x≠3B．x＞3C．x＜3D．x≥3
3．（3分）分式方程的解是（ ）
A．x＝1B．x＝﹣2C．D．x＝2
4．（3分）一組數(shù)據(jù)：31，32，35，35，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)分別是（ ）
A．34，34B．35，35C．34，35D．35，34
5．（3分）下列圖形是中心對稱圖形的是（ ）
A．等邊三角形B．直角三角形
C．平行四邊形D．正五邊形
6．（3分）已知圓錐的底面圓半徑為3，母線長為4，則圓錐的側(cè)面積為（ ）
A．6πB．12πC．15πD．24π
7．（3分）《九章算術(shù)》中有一道“鳧雁相逢”問題（鳧：野鴨），大意如下：野鴨從南海飛到北海需要7天，大雁從北海飛到南海需要9天．如果野鴨、大雁分別從南海、北海同時起飛，則下列方程正確的是（ ）
A．B．C．9x+7x＝1D．9x﹣7x＝1
8．（3分）如圖，在△ABC中，∠B＝80°，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′．當AB′落在AC上時，∠BAC′的度數(shù)為（ ）
A．65°B．70°C．80°D．85°
9．（3分）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，則sin∠EBC的值為（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）已知y是x的函數(shù)，若存在實數(shù)m，n（m＜n），當m≤x≤n時（t＞0）．我們將m≤x≤n稱為這個函數(shù)的“t級關(guān)聯(lián)范圍”．例如：函數(shù)y＝2x，存在m＝1，當1≤x≤2時，2≤y≤4，所以1≤x≤2是函數(shù)y＝2x的“2級關(guān)聯(lián)范圍”．下列結(jié)論：
①1≤x≤3是函數(shù)y＝﹣x+4的“1級關(guān)聯(lián)范圍”；
②0≤x≤2不是函數(shù)y＝x2的“2級關(guān)聯(lián)范圍”；
③函數(shù)總存在“3級關(guān)聯(lián)范圍”；
④函數(shù)y＝﹣x2+2x+1不存在“4級關(guān)聯(lián)范圍”．
其中正確的為（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）
11．（3分）分解因式：x2﹣9＝ ．
12．（3分）在科技創(chuàng)新的強力驅(qū)動下，中國高鐵事業(yè)飛速發(fā)展，高鐵技術(shù)已經(jīng)領(lǐng)跑世界．截至2023年底 ．
13．（3分）正十二邊形的內(nèi)角和等于 度．
14．（3分）命題“若a＞b，則a﹣3＜b﹣3”是 命題．（填“真”或“假”）
15．（3分）某個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，且當x＞0時，y隨x的增大而增大．請寫出一個符合上述條件的函數(shù)表達式： ．
16．（3分）在△ABC中，AB＝4，BC＝6，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，則△DEF的周長為 ．
17．（3分）在探究“反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)”時，小明先將直角邊長為5個單位長度的等腰直角三角板ABC擺放在平面直角坐標系中，使其兩條直角邊AC（如圖所示），然后將三角板向右平移a個單位長度，再向下平移a個單位長度后，B兩點恰好都落在函數(shù)的圖象上 ．
18．（3分）如圖，在△ABC中，AC＝2，直線CM∥AB，E是BC上的動點（端點除外），使得AP＝2ED，作PQ∥AB，PQ＝y(tǒng)．當x＝y(tǒng)時，CD＝ ；在點E運動的過程中，y關(guān)于x的函數(shù)表達式為 ．
三、解答題（本大題共10小題，共96分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟等）
19．（8分）計算：
（1）；
（2）a（a﹣2b）+（a+b）2．
20．（8分）（1）解方程：（x﹣2）2﹣4＝0；
（2）解不等式組：．
21．（8分）如圖，在矩形ABCD中，E是BC的中點，DE．求證：
（1）△ABE≌△DCE；
（2）∠EAD＝∠EDA．
22．（9分）一只不透明的袋子中裝有1個白球、1個紅球和1個綠球，這些球除顏色外都相同．
（1）將球攪勻，從中任意摸出1個球，摸到白球的概率是 ；
（2）將球攪勻，從中任意摸出1個球，記錄顏色后放回、攪勻（請用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過程）
23．（12分）“五谷者，萬民之命，國之重寶．”夯實糧食安全根基，為考察麥穗長度的分布情況，開展了一次調(diào)查研究．
【確定調(diào)查方式】
（1）小李計劃從試驗田里抽取100個麥穗，將抽取的這100個麥穗的長度作為樣本，下面的抽樣調(diào)查方式合理的是 ；（只填序號）
①抽取長勢最好的100個麥穗的長度作為樣本
②抽取長勢最差的100個麥穗的長度作為樣本
③隨機抽取100個麥穗的長度作為樣本
【整理分析數(shù)據(jù)】
（2）小李采用合理的調(diào)查方式獲得該試驗田100個麥穗的長度（精確到0.1cm），并將調(diào)查所得的數(shù)據(jù)整理如下：
試驗田100個麥穗長度頻率分布表
根據(jù)圖表信息，解答下列問題：
①頻率分布表中的m＝ ；
②請把頻數(shù)分布直方圖補充完整；（畫圖后請標注相應(yīng)數(shù)據(jù)）
【作出合理估計】
（3）請你估計長度不小于5.4cm的麥穗在該試驗田里所占比例為多少．
24．（9分）如圖，在△ABC中，AB＞AC．
（1）尺規(guī)作圖：作∠BAC的角平分線，在角平分線上確定點D，使得DB＝DC；（不寫作法，保留痕跡）
（2）在（1）的條件下，若∠BAC＝90°，AC＝5，則AD的長是多少？（請直接寫出AD的值）
25．（10分）某校積極開展勞動教育，兩次購買A，B兩種型號的勞動用品
（1）求A，B兩種型號勞動用品的單價；
（2）若該校計劃再次購買A，B兩種型號的勞動用品共40件，其中A型勞動用品購買數(shù)量不少于10件且不多于25件．該校購買這40件勞動用品至少需要多少元？（備注：A，B兩種型號勞動用品的單價保持不變）
26．（9分）如圖，AB是⊙O的直徑，△ACD內(nèi)接于⊙O，＝，CD的延長線相交于點E，且DE＝AD．
（1）求證：△CAD∽△CEA；
（2）求∠ADC的度數(shù)．
27．（10分）【操作觀察】
如圖，在四邊形紙片ABCD中，AD∥BC，BC＝8，AB＝12
折疊四邊形紙片ABCD，使得點C的對應(yīng)點C′始終落在AD上，點B的對應(yīng)點為B′，CD分別交于點M，N．
【解決問題】
（1）當點C′與點A重合時，求B′M的長；
（2）設(shè)直線B′C′與直線AB相交于點F，當∠AFC′＝∠ADC時，求AC′的長．
28．（13分）已知二次函數(shù)y＝ax2+x+c的圖象經(jīng)過點和點B（2，1）．
（1）求這個二次函數(shù)的表達式；
（2）若點C（m+1，y1），D（m+2，y2）都在該二次函數(shù)的圖象上，試比較y1和y2的大小，并說明理由；
（3）點P，Q在直線AB上，點M在該二次函數(shù)圖象上．問：在y軸上是否存在點N，Q，M，N為頂點的四邊形是正方形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點N的坐標，請說明理由．
A．
D．
A．
C．
C．
B．
A．
B．
C．
A．
（x+3）（x﹣7）．
4.5×106．
1800．
假．
（答案不唯一）．
9．
7或3．
2，．
19．【解答】解：（1）
＝4﹣8+2
＝2；
（2）a（a﹣7b）+（a+b）2
＝a2﹣5ab+a2+2ab+b4
＝2a2+b4．
20．【解答】解：（1）（x﹣2）2﹣2＝0，
（x﹣2）4＝4，
x﹣2＝6或x﹣2＝﹣2，
解得：x7＝4，x2＝7，
（2），
由①可得：x≤3，
由②可得：x＞﹣8，
∴原不等式組的解集為：﹣1＜x≤3．
21．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°，
∵E是BC的中點，
∴BE＝CE，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
（2）證明：∵△ABE≌△DCE，
∴AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA．
22．【解答】解：（1）由題意知，共有3種等可能的結(jié)果，
∴摸到白球的概率為．
故答案為：．
（2）列表如下：
由表格可知，共有7種等可能的結(jié)果，
∴2次摸到的球顏色不同的概率為．
23．【解答】解：（1）∵抽樣調(diào)查方式樣本的選取需要的是廣泛性和可靠性，
∴抽樣調(diào)查方式合理的是隨機抽取100個麥穗的長度作為樣本，
故答案為：③
（2）①頻率分布表中的m＝1﹣（0.04+5.45+0.3+2.09）＝0.12，
故答案為：0.12，
②麥穗長度頻率分布在3.1≤x＜6.6之間的頻數(shù)有：100×0.3＝30，
頻數(shù)分布直方圖補全如下：
（3）4.45+0.3+7.09＝0.84，
故長度不小于5.6cm的麥穗在該試驗田里所占比例為84%．
24．【解答】解：（1）如圖：AD即為所求．
（2）過點D作DE⊥AB交AB與點E，過點D作DF⊥AC交AC與點F，
則∠AED＝∠AFD＝90°，
又∵∠BAC＝90°
∴四邊形AEDF為矩形，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴DE＝DF，
∴四邊形AEDF為正方形，
∴AE＝AF＝ED＝DF，
設(shè)AE＝AF＝ED＝DF＝x，
∴BE＝AB﹣AE＝7﹣x，F(xiàn)C＝AC﹣AF＝5﹣x，
在Rt△BED中，BD4＝ED2+BE2＝x6+（7﹣x）2，
在Rt△CFD中，CD5＝DF2+FC2＝x5+（5﹣x）2，
∵DB＝DC，
∴DB7＝DC2，
∴x2+（4﹣x）2＝x2+（8﹣x）2，
解得：x＝6，
∴．
25．【解答】解：（1）設(shè)A種型號勞動用品單價為x元，B種型號勞動用品單價為y元，
，
解得：，
答：A種型號勞動用品單價為20元，B種型號勞動用品單價為30元．
（2）設(shè)夠買A種型號勞動用品a件，則夠買B種型號勞動用品（40﹣a）件，
根據(jù)題意可得：10≤a≤25，
設(shè)購買這40件勞動用品需要W元，
W＝20a+30（40﹣a）＝﹣10a+1200，
∵﹣10＜0，
∴W隨a的增大而減小，
∴當a＝25時，W取最小值，
∴該校購買這40件勞動用品至少需要950元．
26．【解答】（1）證明：∵＝，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵DE＝AD，
∴∠DAB＝∠E，
∴∠CAD＝∠E，
又∵∠C＝∠C
∴△CAD∽△CEA，
（2）連接BD，如圖：
∵AB為直徑，
∴∠ADB＝90°，
設(shè)∠CAD＝∠DAB＝α，
∴∠CAE＝2α，
由（1）知：△CAD∽△CEA，
∴∠ADC＝∠CAE＝2α，
∵四邊形ABDC是圓的內(nèi)接四邊形，
∴∠CAB+∠CDB＝180°，
即8α+2α+90°＝180°，
解得：α＝22.5°
∠ADC＝∠CAE＝8×22.5°＝45°
27．【解答】解：（1）如圖1，過點C作CH⊥AD，
則CH＝AB＝12，AH＝BC＝8，
∴HD＝AD﹣AC′＝13﹣2＝5，
∴，
，
當點C′與點A重合時，由折疊的性質(zhì)可得出MN垂直平分AC，
則有AM＝MC，
設(shè)B′M＝MB＝x，則AM＝MC＝12﹣x，
∵∠ABC＝90°
∴在Rt△MBC中x2+86＝（12﹣x）2，
解得：，
故；
（2）如圖2，當點F在AB上時
由（1）可知，
∵∠AFC′＝∠ADC，
∴，
設(shè)AF＝5x，AC′＝12x，
根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出：B′C′＝BC＝8，B′F＝2﹣13x．
∵∠B′FM＝∠AFC′，
∴，
∵∠ABC＝90°
∴在Rt△BFM中，，，
則，
解得：，
；
如圖3，當點F在BA的延長線上時，
同上，
在Rt△AFC′中，
設(shè)AF＝5x，AC′＝12x，F(xiàn)B′＝13x﹣8，
在Rt△MFB′中，
，，
則，
解得，
則，
綜上：AC′的值為：或．
28．【解答】解：（1）把，B（22+x+c得：
，
解得：，
∴這個二次函數(shù)的表達式為；
（2）∵C（m+1，y1），D（m+7，y2）都在該二次函數(shù)的圖象上，
∴，，
∴，
當時，即時，y1＞y2；
當時，即時，y1＝y(tǒng)4；
當時，即時，y8＜y2；
（3）設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y＝kx+e，
把，B（2，
解得：，
∴直線AB的函數(shù)解析式為，
當PQ為正方形的邊時，
①∵B（7，1），
∴，
過點M作y軸的垂線，垂足為點G，垂足為點H，
∵PQ∥MN，MG∥x軸，
∴∠BOC＝∠NMG，
∴，則MG＝3NG，
設(shè)NG＝t，則MG＝2t，
∴M（﹣2t，﹣8t2﹣2t+6），
∴點N的縱坐標為﹣2t2﹣2t+1+t＝﹣2t8﹣t+1，
即N（0，﹣2t2﹣t+1），
∵以P，Q，M，N為頂點的四邊形是正方形，
∴∠PMN＝90°，PM＝MN，
∴∠PMH+∠NMG＝90°，
∵∠PMH+∠MPH＝90°，
∴∠NMG＝∠MPH，
∵∠NMG＝∠MPH，∠H＝∠MGN，
∴△PHM≌△MGN，
∴PH＝MG＝2t，HM＝NG＝t，
∴P（﹣3t，﹣2t5+1），
把P（﹣3t，﹣4t2+1）代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
②如圖2：構(gòu)造Rt△MQG，Rt△NMH，
和①同理可得：△MQG≌△NMH，，
設(shè)NH＝GM＝2t，則QG＝MH＝t，
∴M（2t，﹣3t2+2t+7），N（02+t+3），Q（t2+4t+5），
把Q（t，﹣2t2+6t+1）代入得：，
解得：（舍去），
∴N（8，﹣5）；
③如圖3：構(gòu)造Rt△GMN，Rt△HPM，
和①同理可得：△GMN≌△HPM，，
設(shè)GN＝HM＝2t，則GM＝HP＝t，
∴M（﹣5t，﹣2t2﹣8t+1），N（03﹣t+1），P（﹣t2﹣7t+1），
把P（﹣t，﹣2t4﹣4t+1）代入得：，
解得：（舍去），
∴；
④如圖4：構(gòu)造Rt△GMN，Rt△HNP，
和①同理可得：△GMN≌△HNP，，
設(shè)GM＝HN＝2t，則GN＝HP＝t，
∴M（2t，﹣8t2+2t+3），N（02+t+3），P（t2﹣t+1），
把P（t，﹣3t2﹣t+1）代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
當PQ為正方形對角線時，
⑤如圖2：構(gòu)造矩形HGJI，過點P作PK⊥IJ于點K，
∴PK∥x軸，
∴∠QPK＝∠BOC，
∴，
設(shè)QK＝x，則PK＝7x，
和①同理可得：△PNH≌△MPG≌△QMJ≌△NQI，
∴HN＝PG＝MJ＝IQ，PH＝GM＝QJ＝NI，
∴四邊形HGJI為正方形，
∴PK＝IJ＝2x，
∴，則，
∴，
設(shè)PG＝HN＝t，則PH＝GM＝3t，
∴M（2t，﹣4t2+2t+3），N（02+8t+1），P（﹣t2+7t+1），
把P（﹣t，﹣2t2+3t+1）代入得：，
解得：（舍去），
∴N（0，5）；
⑥如圖2：構(gòu)造Rt△PMH，Rt△NPG，
同理可得：，
設(shè)PG＝HM＝t，則PH＝GN＝4t，
∴M（﹣2t，﹣2t2﹣2t+1），N（32﹣6t+7），P（﹣3t2﹣5t+1），
把P（﹣3t，﹣8t2﹣5t+7）代入得：，
解得：（舍去），
∴；
綜上：或或N（7，5）或或． 長度x/cm
頻率
4.0≤x＜4.7
0.04
4.7≤x＜5.4
m
5.4≤x＜6.1
0.45
6.1≤x＜6.8
0.30
6.8≤x＜7.5
0.09
合計
1
A型勞動用品（件）
B型勞動用品（件）
合計金額（元）
第一次
20
25
1150
第二次
10
20
800
白
紅
綠
白
（白，白）
（白，紅）
（白，綠）
紅
（紅，白）
（紅，紅）
（紅，綠）
綠
（綠，白）
（綠，紅）
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