1．（3分）如果零上2℃記作+2℃，那么零下3℃記作（ ）
A．﹣3℃B．3℃C．﹣5℃D．5℃
2．（3分）2024年5月，財政部下達1582億元資金，支持地方進一步鞏固和完善城鄉(xiāng)統(tǒng)一、重在農(nóng)村的義務教育經(jīng)費保障機制．將“1582億”用科學記數(shù)法表示為（ ）
A．158.2×109B．15.82×1010
C．1.582×1011D．1.582×1012
3．（3分）計算的結(jié)果是（ ）
A．9B．3C．3D．
4．（3分）如圖是一個幾何體的三視圖，該幾何體是（ ）
A．球B．棱柱C．圓柱D．圓錐
5．（3分）如圖，直線a∥b，矩形ABCD的頂點A在直線b上，若∠2＝41°，則∠1的度數(shù)為（ ）
A．41°B．51°C．49°D．59°
6．（3分）紅星村種的水稻2021年平均每公頃產(chǎn)7200kg，2023年平均每公頃產(chǎn)8450kg．求水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率．設水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為x，列方程為（ ）
A．7200（1+x）2＝8450B．7200（1+2x）＝8450
C．8450（1﹣x）2＝7200D．8450（1﹣2x）＝7200
7．（3分）將拋物線y＝x2+2x﹣1向右平移3個單位后得到新拋物線的頂點坐標為（ ）
A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，2）C．（2，1）D．（2，﹣2）
8．（3分）“趙爽弦圖”巧妙利用面積關(guān)系證明了勾股定理．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形．設直角三角形的兩條直角邊長分別為m，n（m＞n）．若小正方形面積為5，（m+n）2＝21，則大正方形面積為（ ）
A．12B．13C．14D．15
9．（3分）甲、乙兩人沿相同路線由A地到B地勻速前進，兩地之間的路程為20km．兩人前進路程s（單位：km）與甲的前進時間t（單位：h）之間的對應關(guān)系如圖所示．根據(jù)圖象信息，下列說法正確的是（ ）
A．甲比乙晚出發(fā)1hB．乙全程共用2h
C．乙比甲早到B地3hD．甲的速度是5km/h
10．（3分）在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AH⊥BC，垂足為H，D是線段HC上的動點（不與點H，C重合），將線段DH繞點D順時針旋轉(zhuǎn)2α得到線段DE．兩位同學經(jīng)過深入研究，小明發(fā)現(xiàn)：當點E落在邊AC上時，點D為HC的中點；小麗發(fā)現(xiàn)：連接AE，當AE的長最小時，AH2＝AB?AE請對兩位同學的發(fā)現(xiàn)作出評判（ ）
A．小明正確，小麗錯誤B．小明錯誤，小麗正確
C．小明、小麗都正確D．小明、小麗都錯誤
二、填空題（本大題共8小題，第11～12題每小題3分，第13～18題每小題3分，共30分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）
11．（3分）分解因式：ax﹣ay＝ ．
12．（3分）已知圓錐底面半徑為2cm，母線長為6cm，則該圓錐的側(cè)面積是 cm2．
13．（4分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有兩個不相等的實數(shù)根．請寫出一個滿足題意的k的值： ．
14．（4分）社團活動課上，九年級學習小組測量學校旗桿的高度．如圖，他們在B處測得旗桿頂部A的仰角為60°，BC＝6m，則旗桿AC的高度為 m．
15．（4分）若菱形的周長為20cm，且有一個內(nèi)角為45°，則該菱形的高為 cm．
16．（4分）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示，如果以此蓄電池為電源的用電器，其限制電流不能超過10A，那么用電器可變電阻R應控制的范圍是 ．
17．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5．正方形DEFG的邊長為，它的頂點D，E，G分別在△ABC的邊上，則BG的長為 ．
18．（4分）平面直角坐標系xOy中，已知A（3，0），B（0，3）．直線y＝kx+b（k，b為常數(shù)，且k＞0）經(jīng)過點（1，0），并把△AOB分成兩部分，其中靠近原點部分的面積為，則k的值為 ．
三、解答題（本大題共8小題，共90分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（12分）（1）計算：2m（m﹣1）﹣m（m+1）；
（2）解方程1．
20．（10分）我國淡水資源相對缺乏，節(jié)約用水應成為人們的共識．為了解某小區(qū)家庭用水情況，隨機調(diào)查了該小區(qū)50個家庭去年的月均用水量（單位：噸），繪制出如下未完成的統(tǒng)計圖表．
50個家庭去年月均用水量頻數(shù)分布表
根據(jù)上述信息，解答下列問題：
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）這50個家庭去年月均用水量的中位數(shù)落在 組；
（3）若該小區(qū)有1200個家庭，估計去年月均用水量小于4.8噸的家庭數(shù)有多少個？
21．（10分）如圖，點D在△ABC的邊AB上，DF經(jīng)過邊AC的中點E，且EF＝DE．求證：CF∥AB．
22．（10分）南通地鐵1號線“世紀大道站”有標識為1、2、3、4的四個出入口．某周六上午，甲、乙兩位學生志愿者隨機選擇該站一個出入口，開展志愿服務活動．
（1）甲在2號出入口開展志愿服務活動的概率為 ；
（2）求甲、乙兩人在同一出入口開展志愿服務活動的概率．
23．（10分）如圖，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，⊙A與BC相切于點D．
（1）求圖中陰影部分的面積；
（2）設⊙A上有一動點P，連接CP，BP．當CP的長最大時，求BP的長．
24．（12分）某快遞企業(yè)為提高工作效率，擬購買A、B兩種型號智能機器人進行快遞分揀．相關(guān)信息如下：
信息一
信息二
（1）求A、B兩種型號智能機器人的單價；
（2）現(xiàn)該企業(yè)準備用不超過700萬元購買A、B兩種型號智能機器人共10臺．則該企業(yè)選擇哪種購買方案，能使每天分揀快遞的件數(shù)最多？
25．（13分）已知函數(shù)y＝（x﹣a）2+（x﹣b）2（a，b為常數(shù)）．設自變量x取x0時，y取得最小值．
（1）若a＝﹣1，b＝3，求x0的值；
（2）在平面直角坐標系xOy中，點P（a，b）在雙曲線y上，且x0．求點P到y(tǒng)軸的距離；
（3）當a2﹣2a﹣2b+3＝0，且1≤x0＜3時，分析并確定整數(shù)a的個數(shù)．
26．（13分）綜合與實踐：九年級某學習小組圍繞“三角形的角平分線”開展主題學習活動．
【特例探究】
（1）如圖①，②，③是三個等腰三角形（相關(guān)條件見圖中標注），列表分析兩腰之和與兩腰之積．
等腰三角形兩腰之和與兩腰之積分析表
請補全表格中數(shù)據(jù)，并完成以下猜想．
已知△ABC的角平分線AD＝1，AB＝AC，∠BAD＝α，用含α的等式寫出兩腰之和AB+AC與兩腰之積AB?AC之間的數(shù)量關(guān)系： ．
【變式思考】
（2）已知△ABC的角平分線AD＝1，∠BAC＝60°，用等式寫出兩邊之和AB+AC與兩邊之積AB?AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【拓展運用】
（3）如圖④，△ABC中，AB＝AC＝1，點D在邊AC上，BD＝BC＝AD．以點C為圓心，CD長為半徑作弧與線段BD相交于點E，過點E作任意直線與邊AB，BC分別交于M，N兩點．請補全圖形，并分析的值是否變化？
2024年江蘇省南通市中考數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相應位置上）
1．（3分）如果零上2℃記作+2℃，那么零下3℃記作（ ）
A．﹣3℃B．3℃C．﹣5℃D．5℃
【解答】解：“正”和“負”相對，所以，如果零上2℃記作+2℃，那么零下3℃記作﹣3℃．
故選：A．
2．（3分）2024年5月，財政部下達1582億元資金，支持地方進一步鞏固和完善城鄉(xiāng)統(tǒng)一、重在農(nóng)村的義務教育經(jīng)費保障機制．將“1582億”用科學記數(shù)法表示為（ ）
A．158.2×109B．15.82×1010
C．1.582×1011D．1.582×1012
【解答】解：由題知，
1582億＝1582×108＝1.582×103×108＝1.582×1011．
故選：C．
3．（3分）計算的結(jié)果是（ ）
A．9B．3C．3D．
【解答】解：．
故選：B．
4．（3分）如圖是一個幾何體的三視圖，該幾何體是（ ）
A．球B．棱柱C．圓柱D．圓錐
【解答】解：由所給三視圖可知，
該幾何體為圓錐．
故選：D．
5．（3分）如圖，直線a∥b，矩形ABCD的頂點A在直線b上，若∠2＝41°，則∠1的度數(shù)為（ ）
A．41°B．51°C．49°D．59°
【解答】解：延長CB與直線b交于點M，
∵a∥b，∠2＝41°，
∴∠BMA＝∠2＝41°．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠1+∠BMA＝90°，
∴∠1＝90°﹣41°＝49°．
故選：C．
6．（3分）紅星村種的水稻2021年平均每公頃產(chǎn)7200kg，2023年平均每公頃產(chǎn)8450kg．求水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率．設水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為x，列方程為（ ）
A．7200（1+x）2＝8450B．7200（1+2x）＝8450
C．8450（1﹣x）2＝7200D．8450（1﹣2x）＝7200
【解答】解：由題意可得，
7200（1+x）2＝8450，
故選：A．
7．（3分）將拋物線y＝x2+2x﹣1向右平移3個單位后得到新拋物線的頂點坐標為（ ）
A．（﹣4，﹣1）B．（﹣4，2）C．（2，1）D．（2，﹣2）
【解答】解：因為y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2，
所以拋物線y＝x2+2x﹣1的頂點坐標為（﹣1，﹣2），
所以將此拋物線向右平移3個單位長度后，所得新拋物線的頂點坐標為（2，﹣2）．
故選：D．
8．（3分）“趙爽弦圖”巧妙利用面積關(guān)系證明了勾股定理．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形．設直角三角形的兩條直角邊長分別為m，n（m＞n）．若小正方形面積為5，（m+n）2＝21，則大正方形面積為（ ）
A．12B．13C．14D．15
【解答】解：由題意可知，中間小正方形的邊長為m﹣n，
∴（m﹣n）2＝5，即m2+n2﹣2mn＝5①，
∵（m+n）2＝21，
∴m2+n2+2mn＝21②，
①+②得2（m2+n2）＝26，
∴大正方形的面積為：m2+n2＝13，
故選：B．
9．（3分）甲、乙兩人沿相同路線由A地到B地勻速前進，兩地之間的路程為20km．兩人前進路程s（單位：km）與甲的前進時間t（單位：h）之間的對應關(guān)系如圖所示．根據(jù)圖象信息，下列說法正確的是（ ）
A．甲比乙晚出發(fā)1hB．乙全程共用2h
C．乙比甲早到B地3hD．甲的速度是5km/h
【解答】解：甲的速度是：20÷4＝5km/h；
乙的速度是：20÷1＝20km/h；
由圖象知，甲出發(fā)1小時后乙才出發(fā)，乙到2小時后甲才到，
故選：D．
10．（3分）在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AH⊥BC，垂足為H，D是線段HC上的動點（不與點H，C重合），將線段DH繞點D順時針旋轉(zhuǎn)2α得到線段DE．兩位同學經(jīng)過深入研究，小明發(fā)現(xiàn)：當點E落在邊AC上時，點D為HC的中點；小麗發(fā)現(xiàn)：連接AE，當AE的長最小時，AH2＝AB?AE請對兩位同學的發(fā)現(xiàn)作出評判（ ）
A．小明正確，小麗錯誤B．小明錯誤，小麗正確
C．小明、小麗都正確D．小明、小麗都錯誤
【解答】解：小明的發(fā)現(xiàn)：當點E落在邊AC上時，點D為 HC的中點．
當E落在AC上時，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義，DE與DH形成的角度為2α．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
這意味著小明的發(fā)現(xiàn)是正確的．
首先，要確定AE的長度何時最?。鶕?jù)題目條件，
當 E落在 AC上時，根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)，D是HC的中點．
此時，E與 A，H三點共線，
AE的長度達到最?。?br>當E與A，H三點共線時，△AHE與△ABC相似．
∴，
∵HE＝HC﹣HD，
∵D是HC的中點，并且AH是△ABC的高，
∴AH2＝AB?HE，
∵HE＝AE，當E與A，H三點共線時，
AH2＝AB?AE成立，
∴小麗發(fā)現(xiàn)也是正確的．
故選：C．
二、填空題（本大題共8小題，第11～12題每小題3分，第13～18題每小題3分，共30分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）
11．（3分）分解因式：ax﹣ay＝ a（x﹣y） ．
【解答】解：ax﹣ay＝a（x﹣y）．
12．（3分）已知圓錐底面半徑為2cm，母線長為6cm，則該圓錐的側(cè)面積是 12π cm2．
【解答】解：圓錐的側(cè)面積＝2π×2×6÷2＝12πcm2．
故答案為：12π．
13．（4分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有兩個不相等的實數(shù)根．請寫出一個滿足題意的k的值： k＜1 ．
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有兩個相等的實數(shù)根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4k＝4﹣4k＞0，
解得：k＜1．
故答案為：k＜1．
14．（4分）社團活動課上，九年級學習小組測量學校旗桿的高度．如圖，他們在B處測得旗桿頂部A的仰角為60°，BC＝6m，則旗桿AC的高度為 6 m．
【解答】解：由題意可得：BC＝6m，
又tan60°，
∴AC＝6m．
故答案為：6．
15．（4分）若菱形的周長為20cm，且有一個內(nèi)角為45°，則該菱形的高為 cm．
【解答】解：過點C作CE⊥AD于點E，
∵周長為20cm，
∴CD＝5cm，
∵∠BCD＝45°，
∴∠CDE＝45°，
∴高＝CEcm，
故答案為：．
16．（4分）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示，如果以此蓄電池為電源的用電器，其限制電流不能超過10A，那么用電器可變電阻R應控制的范圍是 R≥3.6 ．
【解答】解：設反比例函數(shù)關(guān)系式為：I，
把（9，4）代入得：k＝4×9＝36，
∴反比例函數(shù)關(guān)系式為：I，
當I≤10時，則10，
R≥3.6，
故答案為：R≥3.6．
17．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5．正方形DEFG的邊長為，它的頂點D，E，G分別在△ABC的邊上，則BG的長為 3 ．
【解答】解：如圖，過點G作GH⊥AC于點H，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝45°，ABAC＝5，
∵GH⊥AC，
∴△AGH是等腰直角三角形，
∴AH＝HG，AGAH，
∵四邊形DEFG是正方形，
∴DG＝DE，∠GDE＝90°，
∴∠GDH＝90°﹣∠EDC＝90°﹣∠DGH＝∠DEC，
在△DGH和△DEC中，
，
∴△DGH≌△DEC（AAS），
∴GH＝DC，DH＝CE，
∴AH＝HG＝DC，
設AH＝HG＝DC＝a，DH＝CE＝b，
∵正方形DEFG的邊長為，
∴DE，
∵AC＝AH+DH+DC，DC2+CE2＝DE2，
∴2a+b＝5，a2+b2＝（）2，
將b＝5﹣2a代入a2+b2＝（）2整理得：a2﹣4a+4＝0，
解得a＝2（負值已經(jīng)舍去），
∴AH＝a＝2，
∴AGAH＝2，
∴BG＝AB﹣AG＝523，
故答案為：3．
18．（4分）平面直角坐標系xOy中，已知A（3，0），B（0，3）．直線y＝kx+b（k，b為常數(shù)，且k＞0）經(jīng)過點（1，0），并把△AOB分成兩部分，其中靠近原點部分的面積為，則k的值為 ．
【解答】解：如圖，設AB與直線y＝kx+b交于點P．
設AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y＝k1x+b1（k1、b1為常數(shù)，且k1≠0）．
將坐標A（3，0）和B（0，3）分別代入y＝k1x+b1，
得，
解得，
∴AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x+3．
將點（1，0）代入y＝kx+b，
得k+b＝0，
解得b＝﹣k，
∴直線y＝kx+b為y＝kx﹣k．
，
解得，
∴P（，），
∵SRt△AOB3×3，
∴遠離原點部分的面積為，
∴（3﹣1），
∴k．
故答案為：．
三、解答題（本大題共8小題，共90分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（12分）（1）計算：2m（m﹣1）﹣m（m+1）；
（2）解方程1．
【解答】解：（1）2m（m﹣1）﹣m（m+1）
＝m2﹣2m﹣m2﹣m
＝﹣3m；
（2）1，
3x﹣（3x+3）＝2x，
3x﹣3x﹣3＝2x，
∴x，
經(jīng)檢驗，x是原方程的解．
20．（10分）我國淡水資源相對缺乏，節(jié)約用水應成為人們的共識．為了解某小區(qū)家庭用水情況，隨機調(diào)查了該小區(qū)50個家庭去年的月均用水量（單位：噸），繪制出如下未完成的統(tǒng)計圖表．
50個家庭去年月均用水量頻數(shù)分布表
根據(jù)上述信息，解答下列問題：
（1）m＝ 20 ，n＝ 15 ；
（2）這50個家庭去年月均用水量的中位數(shù)落在 B 組；
（3）若該小區(qū)有1200個家庭，估計去年月均用水量小于4.8噸的家庭數(shù)有多少個？
【解答】解：（1）由題意得，C組的頻數(shù)n50＝15．
∴B組的頻數(shù)m＝50﹣7﹣15﹣6﹣2＝20．
故答案為：20；15．
（2）由題意，根據(jù)中位數(shù)的意義，∵50÷2＝25，
∴中位數(shù)是第25個數(shù)和第26個數(shù)的平均數(shù)．
又∵A組頻數(shù)為7，B組頻數(shù)為20，
∴這50個家庭去年月均用水量的中位數(shù)落在B組．
故答案為：B．
（3）由題意，∵50個家庭中去年月均用水量小于4.8噸的家庭數(shù)有7+20＝27（個），
∴該小區(qū)有1200個家庭估計去年月均用水量小于4.8噸的家庭數(shù)有：1200648（個）．
21．（10分）如圖，點D在△ABC的邊AB上，DF經(jīng)過邊AC的中點E，且EF＝DE．求證：CF∥AB．
【解答】證明：∵E是AC的中點，
∴AE＝CE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠ADE＝∠CFE，
∴CF∥AB．
22．（10分）南通地鐵1號線“世紀大道站”有標識為1、2、3、4的四個出入口．某周六上午，甲、乙兩位學生志愿者隨機選擇該站一個出入口，開展志愿服務活動．
（1）甲在2號出入口開展志愿服務活動的概率為 ；
（2）求甲、乙兩人在同一出入口開展志愿服務活動的概率．
【解答】解：（1）P（甲在2號出入口開展志愿服務活動），
故答案為：；
（2）
∵一共有16種情況，甲、乙兩人在同一出入口開展志愿服務活動有4種情況，
∴P（甲、乙兩人在同一出入口開展志愿服務活動）．
23．（10分）如圖，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，⊙A與BC相切于點D．
（1）求圖中陰影部分的面積；
（2）設⊙A上有一動點P，連接CP，BP．當CP的長最大時，求BP的長．
【解答】解：（1）∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∵⊙A與BC相切于點D，
∴AD，
S＝S△ABC﹣S扇形；
（2）當C，A，P三點共線時，CP的長最大，
∵AP，AB＝3，
∴BP．
24．（12分）某快遞企業(yè)為提高工作效率，擬購買A、B兩種型號智能機器人進行快遞分揀．相關(guān)信息如下：
信息一
信息二
（1）求A、B兩種型號智能機器人的單價；
（2）現(xiàn)該企業(yè)準備用不超過700萬元購買A、B兩種型號智能機器人共10臺．則該企業(yè)選擇哪種購買方案，能使每天分揀快遞的件數(shù)最多？
【解答】解：（1）設A型智能機器人的單價為x萬元，B型智能機器人的單價為y萬元，
∴，
∴，
答：A型智能機器人的單價為80萬元，B型智能機器人的單價為60萬元；
（2）設購買A型智能機器人a臺，則購買B型智能機器人（10﹣a）臺，
∴80a+60（10﹣a）≤700，
∴a≤5，
∵每天分揀快遞的件數(shù)＝22a+18（10﹣a）＝4a+180，
∴當a＝5時，每天分揀快遞的件數(shù)最多為200萬件，
∴選擇購買A型智能機器人5臺，購買B型智能機器人5臺．
25．（13分）已知函數(shù)y＝（x﹣a）2+（x﹣b）2（a，b為常數(shù)）．設自變量x取x0時，y取得最小值．
（1）若a＝﹣1，b＝3，求x0的值；
（2）在平面直角坐標系xOy中，點P（a，b）在雙曲線y上，且x0．求點P到y(tǒng)軸的距離；
（3）當a2﹣2a﹣2b+3＝0，且1≤x0＜3時，分析并確定整數(shù)a的個數(shù)．
【解答】解：（1）若a＝﹣1，b＝3，則y＝（x+1）2+（x﹣3）2＝2x2﹣4x+10，
∵當x1時，y取得最小值，
∴x0＝1；
（2）∵點P（a，b）在雙曲線y上，
∴b，
∴y＝（x﹣a）2+（x）2＝2x2﹣（2a）x+a2，
∵x0，
∴a1＝2，a2＝﹣1，
當a＝2時，點P到y(tǒng)軸的距離為2；
當a＝﹣1時，點P到y(tǒng)軸的距離1；
綜上所述，點P到y(tǒng)軸的距離為2或1；
（3）∵a2﹣2a﹣2b+3＝0，
∴b，
由題意得：x0，
∵1≤x0＜3，
∴13，
整理得：1≤a2＜9，
∴﹣3＜a≤﹣1或1≤a＜3，
∵a為整數(shù)，
∴a＝﹣2或﹣1或1或2，共4個．
26．（13分）綜合與實踐：九年級某學習小組圍繞“三角形的角平分線”開展主題學習活動．
【特例探究】
（1）如圖①，②，③是三個等腰三角形（相關(guān)條件見圖中標注），列表分析兩腰之和與兩腰之積．
等腰三角形兩腰之和與兩腰之積分析表
請補全表格中數(shù)據(jù)，并完成以下猜想．
已知△ABC的角平分線AD＝1，AB＝AC，∠BAD＝α，用含α的等式寫出兩腰之和AB+AC與兩腰之積AB?AC之間的數(shù)量關(guān)系： AB+AC＝2AB?AC?csα ．
【變式思考】
（2）已知△ABC的角平分線AD＝1，∠BAC＝60°，用等式寫出兩邊之和AB+AC與兩邊之積AB?AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【拓展運用】
（3）如圖④，△ABC中，AB＝AC＝1，點D在邊AC上，BD＝BC＝AD．以點C為圓心，CD長為半徑作弧與線段BD相交于點E，過點E作任意直線與邊AB，BC分別交于M，N兩點．請補全圖形，并分析的值是否變化？
【解答】解：（1）如圖③，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，AB，
∴AC＝AB，
兩腰之和為AB+AC，兩腰之積為AB?AC，
猜想：AB+AC＝2，
證明：如圖，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
在Rt△ABD中，AB，
∴AB+AC，AB?AC，
∴AB+AC＝2AB?AC?csα；
故答案為：，，，AB+AC＝2AB?AC?csα；
（2）AB+ACAB?AC．
證明：如圖，過點D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，過點C作CG⊥AB于G，
則DE＝AD?sin∠BAD＝1×sin30°，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE，
在Rt△ACG中，CG＝AC?sin∠BAC＝AC?sin60°AC，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，
∴AB?ACAB?AC?，
∴AB?AC＝AB+AC；
（3）補全圖形如圖所示：
設∠A＝α，
∵BD＝AD，
∴∠ABD＝∠A＝α，
∴∠BDC＝∠ABD+∠A＝2α，
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝2α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝2α，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴α+2α+2α＝180°，
解得：α＝36°，
∴∠A＝∠ABD＝∠CBD＝36°，
如圖，過點E作EF⊥AB于F，EH⊥BC于H，過點N作NG⊥AB于G，
∵S△BMN＝S△BEM+S△BEN，
∴BM?NGBM?EFBN?EH，
∵∠ABD＝∠CBD，EF⊥AB，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∴BM?BN?sin72°＝（BM+BN）?EH，
∴，
∵sin∠CBD＝sin36°，
∴EH＝BE?sin36°，
∴，
∵BE為定長，sin36°和sin72°為定值，
∴為定值，
即為定值．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2024/8/24 20:18:09；用戶：大胖001；郵箱：15981837291；學號：22699691組別
家庭月均用水量（單位：噸）
頻數(shù)
A
2.0≤t＜3.4
7
B
3.4≤t＜4.8
m
C
4.8≤t＜6.2
n
D
6.2≤t＜7.6
6
E
7.6≤t＜9.0
2
合計
50
A型機器人臺數(shù)
B型機器人臺數(shù)
總費用（單位：萬元）
1
3
260
3
2
360
A型機器人每臺每天可分揀快遞22萬件；
B型機器人每臺每天可分揀快遞18萬件．
圖序
角平分線AD的長
∠BAD的度數(shù)
腰長
兩腰之和
兩腰之積
圖①
1
60°
2
4
4
圖②
1
45°


2
圖③
1
30°



組別
家庭月均用水量（單位：噸）
頻數(shù)
A
2.0≤t＜3.4
7
B
3.4≤t＜4.8
m
C
4.8≤t＜6.2
n
D
6.2≤t＜7.6
6
E
7.6≤t＜9.0
2
合計
50
A型機器人臺數(shù)
B型機器人臺數(shù)
總費用（單位：萬元）
1
3
260
3
2
360
A型機器人每臺每天可分揀快遞22萬件；
B型機器人每臺每天可分揀快遞18萬件．
圖序
角平分線AD的長
∠BAD的度數(shù)
腰長
兩腰之和
兩腰之積
圖①
1
60°
2
4
4
圖②
1
45°


2
圖③
1
30°



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