學(xué)習(xí)重難點(diǎn)
教材分析
本節(jié)教材一是通過(guò)具體實(shí)例引入向量加法的定義，二是掌握向量加法的幾何意義，熟練利用向量加法的平行四邊形法則和三角形法則求向量的和.
學(xué)情分析
學(xué)生已經(jīng)在物理中學(xué)習(xí)了力的合成，知道力是矢量，既有大小也有方向，也就是數(shù)學(xué)中的向量，為學(xué)習(xí)向量的加法打下了基礎(chǔ)，但學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性較差，學(xué)習(xí)有依賴性，且學(xué)習(xí)的信心不足，要鼓勵(lì)學(xué)生積極參與研究，主動(dòng)去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題與解決問(wèn)題．
教學(xué)工具
教學(xué)課件
課時(shí)安排
2課時(shí)
教學(xué)過(guò)程
我們知道,數(shù)可以進(jìn)行加法和減法運(yùn)算.那么,向量之間是否也可以進(jìn)行加法和減法運(yùn)算呢？人們通過(guò)對(duì)位移等向量的研究發(fā)現(xiàn),向量可以進(jìn)行加法和減法及數(shù)乘等運(yùn)算.
向量的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱向量的線性運(yùn)算.
（一）創(chuàng)設(shè)情境，生成問(wèn)題
情境與問(wèn)題 家住昆明的小張打算自駕去成都旅游,出發(fā)前查看交通情況發(fā)現(xiàn)成昆之間的高速公路嚴(yán)重?fù)矶?只好改變出行路線,先駕車(chē)到重慶,再?gòu)闹貞c到成都.小張自駕旅程中的位移情況如圖所示,其中,點(diǎn)A 、B、C分別代表昆明、重慶和成都三地.
探究與發(fā)現(xiàn)
試問(wèn)，小張從點(diǎn)A經(jīng)點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)C接連兩次位移 的結(jié)果，與原計(jì)劃從點(diǎn)A直接到達(dá)點(diǎn)C的位移有什么關(guān)系？
可以看出,這兩種方式的位移結(jié)果是一樣的,都是從昆明到成都.因此我們可以把位移看作兩次位移的和.
【設(shè)計(jì)意圖】結(jié)合生活常識(shí)思考，讓學(xué)生感知向量加法的三角形法則的實(shí)際意義.
（二）調(diào)動(dòng)思維，探究新知
一般地，對(duì)于平面內(nèi)給定的兩個(gè)不平行的非零向量a、b,在平面上任取一點(diǎn)A,依次作得到一個(gè)△ABC,稱向量為向量a與向量b的和,也稱為向量a與向量b的和向量,記作a+b,如圖所示. 即
求兩個(gè)向量的和的運(yùn)算稱為向量的加法.
上述把兩個(gè)非零向量表示成有向線段并借助于三角形作出其和向量的方法,稱為向量加法的三角形法則.
當(dāng)非零向量平行時(shí),在平面上任取一點(diǎn)A,依次作得到一個(gè)新的向量,稱向量為向量a與向量b的和,記作a+b .
規(guī)定： a+b=0+a=a；
a+(?a)=0.
由上面的分析可知,表示各個(gè)向量的有向線段首尾相接,由起點(diǎn)指向終點(diǎn)的有向線段表示的向量就是這些向量的和向量,這是向量加法的幾何意義,如右圖所示 .
【設(shè)計(jì)意圖】結(jié)合圖像分析問(wèn)題，逐步提升直觀想象核心素養(yǎng).數(shù)形結(jié)合方法分析特殊情況，滲透分類(lèi)討論思想.
（三）鞏固知識(shí)，典例練習(xí)
【典例1】已知向量a、b,如圖(1)所示,試分別用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作向量a+b.
解: 如圖所示,在?ABCD中,用向量表示向量.
解:根據(jù)向量加法的三角形法則可知. .
又因?yàn)?ABCD中，
所以
一般地,給定兩個(gè)非零向量AB、AD以線段AB和AD為鄰邊作? ABCD,則向量AC就是向量AB、AD的和,這種作兩個(gè)向量的和向量的方法稱為向量加法的平行四邊形法則．
【典例2】已知向量a、b,如圖(1)所示,試分別用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作向量a+b.
解 (1)運(yùn)用三角形法則.如圖(2)所示,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，
作
(2)運(yùn)用平行四邊形法則.如圖(3)所示,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作 以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，連接OC,則
【典例3】一艘渡輪要從南岸到北岸,它在靜水中速度的大小為12km/h,方向正北. 若水流速度的大小為 12km/h,方向正東,求渡輪實(shí)際航行的速度.
解:如圖所示, 表示船在靜水中的速度, 為水流速度.以AB、AC為鄰邊作?ABCD,由向量加法的平行四邊形法則可知，是船的實(shí)際航行速度.
在RtΔABC中，

又，利用計(jì)算器求得
因此, 船實(shí)際航行的速度大小是13km/h,方向?yàn)楸逼珫|22°37’.
【設(shè)計(jì)意圖】例1在例題基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)平行四邊形法則，例2進(jìn)一步從幾何角度鞏固向量加法的三角形和平行四邊形法則，也表明兩種法則實(shí)質(zhì)上是一樣的，例3借助實(shí)際問(wèn)題展示數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用性.
（四）鞏固練習(xí)，提升素養(yǎng)
【鞏固1】一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度為5 km/h，求該船的實(shí)際航行速度．
A
B
D
C
解 如圖所示，表示船速，為水流速度，由向量加法的平行四邊形法則，是船的實(shí)際航行速度，顯然
==13．
又，利用計(jì)算器求得
．
即船的實(shí)際航行速度大小是13km/h，其方向與河岸線(水流方向)的夾角約．
F1
F2
k
【鞏固2】用兩條同樣的繩子掛一個(gè)物體．設(shè)物體的重力為k，兩條繩子與垂線的夾角為，求物體受到沿兩條繩子的方向的拉力與的大小．
分析 由于兩條同樣的繩子與豎直垂線所成的角都是，所以．解決問(wèn)題不考慮其它因素，只考慮受力的平衡，所以.
解 利用平行四邊形法則，可以得到，
所以 ．
【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)練習(xí)及時(shí)掌握學(xué)生的知識(shí)掌握情況，查漏補(bǔ)缺
（五）鞏固練習(xí)，提升素養(yǎng)
1．如圖所示,分別求作下列情形下的向量a+b.
2．如圖所示,已知向量a、b、c,則
（1）a+b= ；
（2）b+c= ；
(3) a+b+c= .
3．化簡(jiǎn)．
4．某同學(xué)從A地向東走2km到達(dá)B地,又向北走2km到達(dá)C地.試求該同學(xué)的位移的大小和方向.
（六）課堂小結(jié)，反思感悟
1.知識(shí)總結(jié)：
2.自我反思：
（1）通過(guò)這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？


（2）在解決問(wèn)題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想與方法？


（3）你的學(xué)習(xí)效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？


【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生反思學(xué)習(xí)過(guò)程的能力
（七）作業(yè)布置，繼續(xù)探究
(1)讀書(shū)部分： 教材章節(jié)2.2.1；
(2)書(shū)面作業(yè)： P32習(xí)題2.2的3，4.
（八）教學(xué)反思

知識(shí)
能力與素養(yǎng)
掌握向量加法的定義，會(huì)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作出兩個(gè)向量的和向量；掌握向量加法的運(yùn)算律，并會(huì)用它們進(jìn)行向量進(jìn)行計(jì)算。
體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生歸納、類(lèi)比、遷移能力，增加學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)．
重點(diǎn)
難點(diǎn)
向量加法的運(yùn)算及其幾何意義
向量加法運(yùn)算的幾何意義

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2.21 向量的加法運(yùn)算

版本： 高教版（2021）

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