學(xué)習(xí)重難點(diǎn)
教材分析
二面角是立體幾何中的重要章節(jié)，綜合了線面垂直、線面所成角的概念等較多知識(shí)點(diǎn).
學(xué)情分析
學(xué)生通過前面的學(xué)習(xí)掌握了許多相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，并掌握了解決立體幾何的基本方法， 將立體幾何問題通過連線轉(zhuǎn)化為平面幾何問題．
教學(xué)工具
教學(xué)課件
課時(shí)安排
2課時(shí)
教學(xué)過程
4.4.2二面角
（一）創(chuàng)設(shè)情境，生成問題
打開筆記本計(jì)算機(jī)時(shí),顯示屏的開合程度不同,鍵盤與屏幕所在平面的相對(duì)位置就不同,如圖所示.怎樣來描述這種不同呢？
【設(shè)計(jì)意圖】通過熟悉物體創(chuàng)設(shè)情境，引入二面角.
（二）調(diào)動(dòng)思維，探究新知
觀察可知,顯示屏的開合程度可以用角度來描述.
平面內(nèi)的一條直線把這個(gè)平面分成兩部分,其中的每一部分都稱為半平面. 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形稱為二面角,這條直線稱為二面角的棱,這兩個(gè)半平面稱為二面角的面.
根據(jù)二面角的不同擺放位置,常常把二面角畫成圖所示圖形.
當(dāng)二面角的棱為l,兩個(gè)面分別為α、β時(shí),二面角記為α-l-β.圖(4)所示的二面角也可記為A-BD-C.
如圖所示,在二面角α-l-β的棱l上任取一點(diǎn)O,分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于校的射線OA、OB,射線 OA、OB 所成的最小正角稱為這個(gè)二面角的平面角.
可以用二面角的平面角的大小度量二面角的大小.
如圖,平面角∠AOB的大小就是二面角α-l-β的大小.
規(guī)定,當(dāng)二面角的兩個(gè)半平面重合時(shí),二面角為零角;當(dāng)二面角的兩個(gè)半平面構(gòu)成一個(gè)面時(shí),二面角為平角.于是,二面角的取值范圍是[0,π].當(dāng)二面角的平面角為直角時(shí),稱為直二面角.
【設(shè)計(jì)意圖】借助圖形的直觀或操作演示的方式幫助學(xué)生理解.
（三）鞏固知識(shí)，典例練習(xí)
【典例1】已知二面角α-l-β是銳角,其面α內(nèi)一點(diǎn)A到棱l的距離為2,到面的距離為l,求這個(gè)二面角的大小.
解：如圖所示,過點(diǎn)A作AB⊥l,垂足為B;
再作AC⊥β,垂足為C,連接. 由題意可知AB=2,AC=1.
因?yàn)锳C⊥β, l?β ,所以AC⊥ l ,又因?yàn)锳B⊥l,AB交AC于點(diǎn)A,所以l⊥平面ABC.
又因?yàn)?BC?平面ABC,所以l⊥BC,從而∠ABC 是二面角α-l-β的一個(gè)平面角.
因?yàn)锳B=2，AC=1，ΔACB是直角三角形，所以，
因此,二面角α-l-β的大小是.
【設(shè)計(jì)意圖】利用線面所成角來求二面角的平面角.
【典例2】求證:如果一個(gè)平面γ垂直于二面角α-l-β的棱l,O為垂足,且與兩半平面的交線分別為 OA、OB,如圖所示.那么∠AOB 是二面角α-l-β的平面角 .
證明:因?yàn)棣谩搔?OA,γ∩α=OB,所以O(shè)A ? γ,OB ? γ.
又因?yàn)閘⊥γ ,所以l⊥OA,l⊥OB. 因此,∠AOB 是二面角α-l-β的一個(gè)平面角.
典例2中,垂直于棱l的平面,與二面角α-l-β的交線 OA、OB構(gòu)成了二面角的平面角∠AOB,這又為我們提供了一種尋找二面角的平面角的方法.
【設(shè)計(jì)意圖】利用面面相交的交線來求二面角的平面角.
探究與發(fā)現(xiàn)
我們己經(jīng)知道了兩條直線所成的角和直線與平面所成的角的定義,那么,兩個(gè)平面所成的角怎樣定義呢？
在兩個(gè)相交平面形成的四個(gè)二面角中,至少有一個(gè)不大于,這個(gè)二面角稱為兩個(gè)相交平面所成的角.
于是,兩個(gè)相交平面所成角的范圍是，這樣的角有兩個(gè).
【典例3】如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面 AB1C1D與平面ABCD 所成的角的大小.
因?yàn)檎襟wABCD-A1B1C1D1的各個(gè)面均是正方形,所以 AD⊥AA1 , AD⊥AB. 又因?yàn)?AA1與AB 相交,所以AD⊥平面AA1B1B.
因?yàn)锳B1 ?平面AA1B1B,所以 AD⊥AB1,從而∠B1AB是二面角B1-AD-B的一個(gè)平面角.
因?yàn)锳B1是正方形 AA1B1B的對(duì)角線,所以∠B1AB=
因此,平面AB1C1D與平面ABCD所成的角的大小是
【設(shè)計(jì)意圖】鞏固學(xué)生對(duì)面面所成角的定義的理解.
（四）鞏固練習(xí)，提升素養(yǎng)
1. 己知二面角α-l-β,C∈α ,D∈β,AC⊥AB,AD⊥AB,垂足均為A,則二面角α-AB-β的平面角是 .
2. 已知正方體ABCD-A1B1C1D1,試找出二面角A1-BD-A 與二面角A1-BD-C 的一個(gè)平面角,并分析二者之間的大小關(guān)系.
3.判斷下列說法是否正確.
（1）兩個(gè)相交平面所成的角的取值范圍是而二面角的取值范圍是[0,π]；
（2）在正方體 ABCD-A1B1C1D1中,∠D1AB1是二面角D1-AA1-B1的平面角；
（3）分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)取一條直線,使兩條直線相交,則相交直線所成的角是二面角的平面角.
4. 己知等腰ΔABC的腰長為5cm,底邊長為8cm. 現(xiàn)沿著底邊上的高AD 對(duì)折,折后BC=cm，求二面角B-AD-C的大小.
5.在長方體ABCD-A1B1C1D1中, AB=，BC=AA1=1，求二面角B1-CD-A的大小.
6.我國水利建設(shè)具有悠久的歷史,尤其中華人民共和國成立后,修建了許多水車,在防洪、用水、供電、灌溉等方面發(fā)揮了巨大作用.如圖所示,某水庫大壩高85m,斜坡面與水平面成45°角,則斜坡面有多長？
【設(shè)計(jì)意圖】通過練習(xí)及時(shí)掌握學(xué)生的知識(shí)掌握情況，查漏補(bǔ)缺
（五）課堂小結(jié)，反思感悟
1.知識(shí)總結(jié)：
2.自我反思：
（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？


（2）在解決問題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想與方法？


（3）你的學(xué)習(xí)效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？


【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生反思學(xué)習(xí)過程的能力
（六）作業(yè)布置，繼續(xù)探究
(1)讀書部分： 教材章節(jié)4.4.2；
(2)書面作業(yè)： P144習(xí)題4.4的3.
（七）教學(xué)反思

知識(shí)
能力與素養(yǎng)
知道二面角及其平面角定義，能解決求二面角大小的簡單問題；知道直二面角定義，知道兩個(gè)相交平面所成角的概念．
(1)突出對(duì)類比、直覺、發(fā)散等探索性思維的培養(yǎng)，從而提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。
（2）通過對(duì)圖形的觀察、分析、比較和操作來強(qiáng)化學(xué)生的動(dòng)手操作能力。
重點(diǎn)
難點(diǎn)
二面角概念及二面角的平面角的求法．
對(duì)二面角及其平面角概念的理解及求法．

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4.4.2 二面角

版本： 高教版（2021）

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