一、選擇題（共20小題；）
1. 設(shè)正實數(shù) ， 滿足 （其中 為正常數(shù)）．若 的最大值為 ，則
A. B. C. D.

2. 若正數(shù) ， 滿足 ，則 的最小值為
A. B. C. D.

3. 已知正數(shù) ， 滿足 ，則 的最小值為
A. B. C. D.

4. 已知 ， 是正實數(shù)，且 ，則 的最小值是
A. B. C. D.

5. 若 且 ，則下列四個數(shù)中最大的是
A. B. C. D.

6. 若 ，且 ，則下列不等式成立的是
A. B. C. D.

7. 已知正實數(shù) ， 滿足 ，則 的最小值為
A. B. C. D.

8. 在下列各函數(shù)中，最小值等于 的函數(shù)是
A. B.
C. D.

9. 設(shè)正數(shù) ， 滿足 ，則 的最小值為
A. B. C. D.

10. 已知 ，其中 且 ，，，則 的取值范圍為
A. B. C. D.

11. 已知實數(shù) ，，，則 的最小值是
A. B. C. D.

12. 若兩個正實數(shù) ， 滿足 ，且存在這樣的 ， 使不等式 有解，則實數(shù) 的取值范圍是
A. B.
C. D.

13. 的內(nèi)角 ，， 的對邊分別為 ，，，， 邊上的中線長為 ，則 面積的最大值為
A. B. C. D.

14. 已知 ，，且滿足 ，則 的最大值是
A. B. C. D.

15. 設(shè) ，，且 恒成立，則 的最大值是
A. B. C. D.

16. 當(dāng) 時，若 恒成立，則實數(shù) 的取值范圍為
A. B.
C. D.

17. 圓 關(guān)于直線 對稱的圓的方程是
A. B.
C. D.

18. 若動點 ， 分別在直線 和 上移動，則 的中點 到原點的距離的最小值為
A. B. C. D.

19. 若正數(shù) ， 滿足 ，則 的取值范圍是
A. B. C. D.

20. 一矩形的一邊在 軸上，另兩個頂點在函數(shù) 的圖象上，如圖所示，則此矩形繞 軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何體的體積的最大值是
A. B. C. D.

二、填空題（共5小題；）
21. 已知 ，，且 ，則 的最小值為 ．

22. 已知 ，，若不等式 總能成立，則 的最大值是 ．

23. 函數(shù) 的圖象恒過定點 ，若點 在直線 上，其中 ，則 的最小值為 ．

24. 已知 ，，且 ，則 的最小值為 ．

25. 已知函數(shù) ，若函數(shù) 有三個不同的零點 ，，，且 ，則 的取值范圍是 ．

三、解答題（共5小題；）
26. 已知 ，，，證明：．

27. 已知 ，求證：．

28. 已知 ，，，證明：．

29. 已知 ，求證：．

30. 請回答：
（1）求 的最小值；
（2）求 的最小值；
（3）求 的最大值．
答案
1. D【解析】由題意得 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立，
所以 ，即 ．
2. B
3. B
4. B【解析】
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 ， 時取等號．
故選B．
5. B
6. D
7. C
8. D【解析】對于選項A：當(dāng) 時，A顯然不滿足條件；
選項B：，當(dāng) 時取等號，
當(dāng) 時，，B顯然不滿足條件；
對于C：不能保證 ，故錯；
對于D：因為 ，所以 ，
故只有D滿足條件．
9. B
10. A
【解析】，
因為 ，
所以 ，
而 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號，
所以

因為 ，，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，而 ，
所以 ，故 ．
11. B
12. C【解析】因為不等式 有解，
所以 ．
因為 ，，且 ，
所以 ，
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 ， 時取“”，
所以 ，故 ，即 ，
解得 或 ，
所以實數(shù) 的取值范圍是 ．
故選C．
13. D【解析】如圖，
根據(jù)題意可知 ，而 ，
同理 ，而 ，于是 ，即 ，又因為 ，代入解得 ．過 作 垂直于 于點 ，因此 為 的中點，故 ，而 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立．故面積最大值為 ．
14. B【解析】 ，，且滿足 ，
，化為：，當(dāng)且僅當(dāng) ， 時取等號，則 的最大值為 ．
15. B
16. D
17. B【解析】圓 可化為 ，
所以圓心 的坐標(biāo)為 ，半徑為 ．
設(shè)點 關(guān)于直線 對稱的點的坐標(biāo)為 ，
所以
解得
故所求的圓的方程為 ．
故選B．
18. A【解析】依題意知動線段 的中點 的軌跡為與直線 和 等距的直線，
則 到原點的距離的最小值為原點到該直線的距離，
設(shè)點 的軌跡方程為 ，根據(jù)平行線間的距離公式得 ，
即點 的軌跡方程為 ，
根據(jù)點到直線的距離公式，得 到原點的距離的最小值為 ．
19. D【解析】設(shè) ，則 ，則 ，
即 ，解得 ．
又注意到 ，得 ，解得 或 ，故得 ．
20. A
【解析】旋轉(zhuǎn)后所得幾何體為圓柱，如圖所示．
設(shè)矩形的一條邊所在直線為 ，，．
聯(lián)立 與 得，，
由此可得 ，．
所以 ，
即圓柱的高為 ，圓柱的底面半徑為 ，
所以其體積為 ，
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時，其體積有最大值 ．
21.
【解析】因為 ，
所以 ，
所以 ，當(dāng)且僅當(dāng) ， 時取等號，
所以 的最小值為 ．
22.
【解析】原式變形為 ，即 ．
而 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號，故 ， 的最大值是 ．
23.
【解析】函數(shù)恒過 ，代入直線方程得 ，又 ，所以 ，，故 ．
24.
25.
【解析】函數(shù) ，圖象如圖，
函數(shù) 有三個不同的零點 ，，，且 ，
即方程 有三個不同的實數(shù)根 ，，，且 ，
當(dāng) 時，，
因為 ，
所以 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時取得最大值．
當(dāng) 時，，，
此時 ，
由函數(shù)的圖象可知 ；，
可得：；；，
則 的取值范圍是 ．
26. 因為

所以 ，因此 .
27. （當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立）．
28. 因為

所以 ，
因此 ．
29. 因為 ，
所以利用基本不等式可得 ，，，
所以 ，
故 ，
當(dāng)且僅當(dāng) 時，等號成立．
30. （1） 當(dāng) 時，

當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立，即 的最小值為 ．
（2）
當(dāng) 時，，
所以 ，
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時等號成立，即函數(shù) 的最小值為 ．
（3） 當(dāng) 時，

當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立，即 的最大值為 ．

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