一、選擇題（共20小題；）
1. 平面 的法向量為 ，平面 的法向量為 ，若 ，則 等于
A. B. C. D.

2. 若平面 ， 的法向量分別為 ，，則
A. B.
C. ， 相交但不垂直D. 以上均有可能

3. 若直線 的方向向量為 ，平面 的法向量為 ，則
A. B. C. D. 與 相交

4. 已知 ，，，則下列向量是平面 法向量的是
A. B.
C. D.

5. 一條直線 的方向向量為 ，平面 的法向量 ，則直線 與平面 的夾角為
A. B. C. D.

6. 若直線 的方向向量為 ，平面 的法向量為 ，則
A. B. C. D. 與 斜交

7. 如圖，在四棱錐 中，側(cè)面 為正三角形，底面 為正方形，側(cè)面 ， 為底面 內(nèi)的一個動點，且滿足 ，則點 在正方形 內(nèi)的軌跡為下圖中的

A. B.
C. D.

8. 在空間坐標(biāo)系 中，已知 ，，，，若 ，， 分別表示三棱錐 在 ，， 在坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則
A. B. 且
C. 且 D. 且

9. 我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，利用求動點軌跡方程的方法，可以求出過點 ，且法向量為 的直線（點法式）方程為：，化簡得 ．類比以上方法，在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點 ，且法向量為 的平面的方程為
A. B.
C. D.

10. 設(shè)平面 與平面 的夾角為 ，若平面 ， 的法向量分別為 和 ，則
A. B.
C. D.

11. 如圖是一個正方體的展開圖，則在原正方體中
A. B. C. D.

12. 若直線 的方向向量為 ，平面 的法向量為 ，則可能使 的是
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

13. 在直角坐標(biāo)系中，，．沿 軸把直角坐標(biāo)系折成 的二面角，則此時線段 的長度為
A. B. C. D.

14. 已知向量 ，，若 ，設(shè) ，則 與 軸的方向的單位向量夾角的余弦值為
A. B. C. D.

15. 在正方體 中，若 為 的中點，則直線 垂直于
A. B. C. D.

16. 在空間直坐標(biāo)系 中，已知 ，，，，若 ，， 分別表示三棱錐 在 ，， 坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則
A. B. 且
C. 且 D. 且

17. 在正方體 中， 為底面 上一動點，如果 到點 的距離等于 到直線 的距離，那么點 的軌跡所在的曲線是
A. 直線B. 圓C. 拋物線D. 橢圓

18. 在直三棱柱 中，，，已知 與 分別為 和 的中點， 與 分別為線段 和 上的動點（不包括端點）．若 ，則線段 長度的取值范圍為
A. B. C. D.

19. 如圖，正方體 的棱長為 ，點 在棱 上，且 ，點 是平面 上的動點，且動點 到直線 的距離與點 到點 的距離的平方差為 ，則動點 的軌跡是
A. 圓B. 拋物線C. 雙曲線D. 橢圓

20. 如圖，在正方體 中， 為對角線 的三等分點， 到各頂點的距離的不同取值有
A. 個B. 個C. 個D. 個

二、填空題（共5小題；）
21. 已知點 ，，則線段 的中點坐標(biāo)為 ， ．

22. 若 ，， 是平面 內(nèi)的三點，設(shè)平面 的法向量 ，則 ．

23. 若動點 是棱長為 的正方體 的對角線 上一點，記 ，則當(dāng) 為鈍角時， 的取值范圍為 ．

24. 正方體 的棱長為 ，， 分別是 ， 的中點，則點 到平面 的距離為 ．

25. 在棱長為 的正方體 中，點 到平面 的距離為 ．

三、解答題（共5小題；）
26. 如圖，在長方體 中，，，，證明直線 平行于平面 ，并求直線 到平面 的距離．

27. 如圖所示，正方體 的棱長為 ，在三棱錐 中，求 到平面 的距離 ．

28. 如圖，在正四棱柱 中，，，，，， 分別是 ，，， 的中點．求證：．

29. 如圖，四棱錐 的底面是正方形， 底面 ，點 在棱 上．求證：平面 平面 ．

30. 已知 ，求 的最小值．
答案
1. C【解析】因為 ，所以兩平面法向量平行，所以 ，所以 ．
2. C【解析】由于 ，因此 與 不平行，又 ，所以 與 不垂直，從而平面 ， 相交但不垂直．
3. C【解析】因為直線 的方向向量為 ，
平面 的法向量為 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
4. C【解析】設(shè) 為平面 的法向量，
則 化簡得
所以 ．
5. D
【解析】因為 ．
所以直線 與平面 夾角正弦值為 ，
即直線 與平面 的夾角為 ．
6. B
7. A
8. D【解析】 在平面上的投影為 ，故 ．
設(shè) 在 和 平面上的投影分別為 和 ，則 在 和 平面上的投影分別為 和 ，
因為 ，，
故 ．
綜上，選項D正確．
9. A
10. B
11. C【解析】把正方體的展開圖還原成正方體，得到如圖所示的正方體，由正方體性質(zhì)得： 與 相交， 與 異面， 與 平行， 與 異面．
12. D
13. B【解析】如圖，作 垂直 軸， 垂直 軸，過 作 平行于 軸，與 交于 ，則 就是二面角的平面角．
，連接 ，則 ，，，在 中，， ．
14. D【解析】， 軸方向向量的單位向量可設(shè)為 或 ，
．
又 ，，
夾角的余弦值為 ．
15. B
【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體的棱長為 ，
則 ，，，，，，．
所以 ，，，，．
所以 ，，．
因為 ，
所以 ，所以 ．
16. D
17. A【解析】以 為坐標(biāo)原點， 為 軸， 為 軸， 為 軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) ，正方體邊長為 ，則 ， 到直線 的距離 ，所以 ，整理有 ，所以點 的軌跡所在的曲線是直線．
18. C【解析】如圖以 為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系 ，
所以 ，，設(shè) ，，且 ，，又 ，得 ，且 ，所以 ，且 ，，所以 ．
19. B【解析】以 為坐標(biāo)原點， 為 軸， 為 軸， 為 軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) ，，則 ，點 到直線 的距離設(shè)為 ，則 ，根據(jù)題意有 ，整理得 ，所以點 的軌跡是拋物線．
20. B
【解析】如圖，取底面 的中心 ，連接 ，，．
因為 ，又 ，所以 ．
又 是 的中點，所以 ．
同理，取 與 的交點 ，易證 ，所以 ．
又 是 的中點，所以 ，故 ．
同理可證 ．又 是 的三等分點，所以 ．
故點 到正方體的頂點的不同距離有 個．
21. ，
22.
23.
24.
【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則 ，，，，，，．
設(shè)平面 的法向量為 ，則 ，，即
，．
令 ，得 ．
又 ，
所求距離 ．
25.
【解析】以 為原點，以 ，， 所在直線分別為 軸、 軸、 軸建立空間直角坐標(biāo)系，則 ，，，．
設(shè) 為平面 的法向量，
則有 即

令 ．
．
點 到平面 的距離 ．
26. 因為 為長方體，故 ，，
故 為平行四邊形，故 ，顯然 不在平面 上，
于是直線 平行于平面 ；
直線 到平面 的距離即為點 到平面 的距離，設(shè)為 ．
考慮三棱錐 的體積，以 為底面，可得
而 中，，，故
所以，
即直線 到平面 的距離為 ．
27. 在三棱錐 中， 是三棱錐 的高，，，
因為 ，
所以 ．
28.
如圖，建立空間直角坐標(biāo)系 ，可得 ，，，，，，，，，．
平面 的一個法向量為 ，，，
所以
令 ，得 ，，．
設(shè)平面 的一個法向量為 ．
，，
所以
令 ，得 ，，．
因為 ，
所以平面 ．
29. 如圖，以 為原點建立空間直角坐標(biāo)系 ，
設(shè) ，，則 ，，，，．因為 ，，，所以 ，，所以 ，．又 ，所以 平面 ，所以平面 平面 ．
30.
設(shè) ，，
則 ，，．
因為 ，所以 ，即 ．
故 的最小值為 ．

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