一、選擇題（共20小題；）
1. 設正實數 ， 滿足 （其中 為正常數）．若 的最大值為 ，則
A. B. C. D.

2. 若正數 ， 滿足 ，則 的最小值為
A. B. C. D.

3. 已知正數 ， 滿足 ，則 的最小值為
A. B. C. D.

4. 已知 ， 是正實數，且 ，則 的最小值是
A. B. C. D.

5. 若 且 ，則下列四個數中最大的是
A. B. C. D.

6. 若 ，且 ，則下列不等式成立的是
A. B. C. D.

7. 已知正實數 ， 滿足 ，則 的最小值為
A. B. C. D.

8. 在下列各函數中，最小值等于 的函數是
A. B.
C. D.

9. 設正數 ， 滿足 ，則 的最小值為
A. B. C. D.

10. 已知 ，其中 且 ，，，則 的取值范圍為
A. B. C. D.

11. 已知實數 ，，，則 的最小值是
A. B. C. D.

12. 若兩個正實數 ， 滿足 ，且存在這樣的 ， 使不等式 有解，則實數 的取值范圍是
A. B.
C. D.

13. 的內角 ，， 的對邊分別為 ，，，， 邊上的中線長為 ，則 面積的最大值為
A. B. C. D.

14. 已知 ，，且滿足 ，則 的最大值是
A. B. C. D.

15. 設 ，，且 恒成立，則 的最大值是
A. B. C. D.

16. 當 時，若 恒成立，則實數 的取值范圍為
A. B.
C. D.

17. 圓 關于直線 對稱的圓的方程是
A. B.
C. D.

18. 若動點 ， 分別在直線 和 上移動，則 的中點 到原點的距離的最小值為
A. B. C. D.

19. 若正數 ， 滿足 ，則 的取值范圍是
A. B. C. D.

20. 一矩形的一邊在 軸上，另兩個頂點在函數 的圖象上，如圖所示，則此矩形繞 軸旋轉而成的幾何體的體積的最大值是
A. B. C. D.

二、填空題（共5小題；）
21. 已知 ，，且 ，則 的最小值為 ．

22. 已知 ，，若不等式 總能成立，則 的最大值是 ．

23. 函數 的圖象恒過定點 ，若點 在直線 上，其中 ，則 的最小值為 ．

24. 已知 ，，且 ，則 的最小值為 ．

25. 已知函數 ，若函數 有三個不同的零點 ，，，且 ，則 的取值范圍是 ．

三、解答題（共5小題；）
26. 已知 ，，，證明：．

27. 已知 ，求證：．

28. 已知 ，，，證明：．

29. 已知 ，求證：．

30. 請回答：
（1）求 的最小值；
（2）求 的最小值；
（3）求 的最大值．
答案
1. D【解析】由題意得 ，當且僅當 時，等號成立，
所以 ，即 ．
2. B
3. B
4. B【解析】
當且僅當 ，即 ， 時取等號．
故選B．
5. B
6. D
7. C
8. D【解析】對于選項A：當 時，A顯然不滿足條件；
選項B：，當 時取等號，
當 時，，B顯然不滿足條件；
對于C：不能保證 ，故錯；
對于D：因為 ，所以 ，
故只有D滿足條件．
9. B
10. A
【解析】，
因為 ，
所以 ，
而 ，當且僅當 時取等號，
所以

因為 ，，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，而 ，
所以 ，故 ．
11. B
12. C【解析】因為不等式 有解，
所以 ．
因為 ，，且 ，
所以 ，
當且僅當 ，即 ， 時取“”，
所以 ，故 ，即 ，
解得 或 ，
所以實數 的取值范圍是 ．
故選C．
13. D【解析】如圖，
根據題意可知 ，而 ，
同理 ，而 ，于是 ，即 ，又因為 ，代入解得 ．過 作 垂直于 于點 ，因此 為 的中點，故 ，而 ，當且僅當 時等號成立．故面積最大值為 ．
14. B【解析】 ，，且滿足 ，
，化為：，當且僅當 ， 時取等號，則 的最大值為 ．
15. B
16. D
17. B【解析】圓 可化為 ，
所以圓心 的坐標為 ，半徑為 ．
設點 關于直線 對稱的點的坐標為 ，
所以
解得
故所求的圓的方程為 ．
故選B．
18. A【解析】依題意知動線段 的中點 的軌跡為與直線 和 等距的直線，
則 到原點的距離的最小值為原點到該直線的距離，
設點 的軌跡方程為 ，根據平行線間的距離公式得 ，
即點 的軌跡方程為 ，
根據點到直線的距離公式，得 到原點的距離的最小值為 ．
19. D【解析】設 ，則 ，則 ，
即 ，解得 ．
又注意到 ，得 ，解得 或 ，故得 ．
20. A
【解析】旋轉后所得幾何體為圓柱，如圖所示．
設矩形的一條邊所在直線為 ，，．
聯立 與 得，，
由此可得 ，．
所以 ，
即圓柱的高為 ，圓柱的底面半徑為 ，
所以其體積為 ，
當且僅當 ，即 時，其體積有最大值 ．
21.
【解析】因為 ，
所以 ，
所以 ，當且僅當 ， 時取等號，
所以 的最小值為 ．
22.
【解析】原式變形為 ，即 ．
而 ，當且僅當 時取等號，故 ， 的最大值是 ．
23.
【解析】函數恒過 ，代入直線方程得 ，又 ，所以 ，，故 ．
24.
25.
【解析】函數 ，圖象如圖，
函數 有三個不同的零點 ，，，且 ，
即方程 有三個不同的實數根 ，，，且 ，
當 時，，
因為 ，
所以 ，當且僅當 時取得最大值．
當 時，，，
此時 ，
由函數的圖象可知 ；，
可得：；；，
則 的取值范圍是 ．
26. 因為

所以 ，因此 .
27. （當且僅當 時，等號成立）．
28. 因為

所以 ，
因此 ．
29. 因為 ，
所以利用基本不等式可得 ，，，
所以 ，
故 ，
當且僅當 時，等號成立．
30. （1） 當 時，

當且僅當 時等號成立，即 的最小值為 ．
（2）
當 時，，
所以 ，
當且僅當 ，即 時等號成立，即函數 的最小值為 ．
（3） 當 時，

當且僅當 時等號成立，即 的最大值為 ．

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