一、選擇題（共20小題；）
1. 已知 ，，則 等于
A. B. C. D.

2. 已知 ，，，則
A. B. C. D.

3. 已知 ，，，則
A. B. C. D.

4. 已知 ，，若 ，則 的值為
A. B. C. D.

5. 已知向量 ，，則
A. B. C. D.

6. 在四邊形 中，，，則該四邊形的面積為
A. B. C. D.

7. 向量 ，，則 等于
A. B. C. D.

8. 已知四邊形 是菱形，若 ，，則 的值是
A. B. C. D.

9. 已知向量 ，，則
A. B. C. D.

10. 在矩形 中，，， 與 相交于點(diǎn) ，過(guò)點(diǎn) 作 ，垂足為 ，則
A. B. C. D.

11. 已知 ，， 是平面向量， 是單位向量．若非零向量 與 的夾角為 ，向量 滿(mǎn)足 ，則 的最小值是
A. B. C. D.

12. 已知平面向量 ，， 與 垂直，則 等于
A. B. C. D.

13. 在平行四邊形 中，，，，點(diǎn) 在邊 上，則 的取值范圍是
A. B. C. D.

14. 已知 ， 且 ，，則點(diǎn) 的坐標(biāo)是
A. B. C. D.

15. 已知 ， 是半徑為 的 上的兩個(gè)點(diǎn)，， 所在平面上有一點(diǎn) 滿(mǎn)足 ，則 的最大值為
A. B. C. D.

16. 如圖，在平行四邊形 中，，，，若 ， 分別是邊 ， 上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足 ，其中 ，則 的取值范圍是
A. B. C. D.

17. 若動(dòng)點(diǎn) ， 分別在直線(xiàn) 和 上移動(dòng)，則 的中點(diǎn) 到原點(diǎn)的距離的最小值為
A. B. C. D.

18. 已知 ，則
A. B. C. D.

19. 拋物線(xiàn) ： 的焦點(diǎn)為 ， 為準(zhǔn)線(xiàn)上一點(diǎn)， 為 軸上一點(diǎn)， 為直角，若線(xiàn)段 的中點(diǎn) 在拋物線(xiàn) 上，則 的面積為
A. B. C. D.

20. 已知向量 ，向量 ，則 的最大值為
A. B. C. D.

二、填空題（共5小題；）
21. 已知向量 ，，，若 ，則 的值為 ．

22. 已知向量 ，，則 在 的方向上的投影為 ．

23. 設(shè)平面向量 ，，若 ，則 ．

24. 已知在矩形 中，，，， 分別為 ， 的中點(diǎn)，則 ．

25. 如圖，已知 是邊長(zhǎng)為 的等邊三角形，且 軸．若點(diǎn) 為圓 ： 上的動(dòng)點(diǎn)，則 的最大值為 ， 的取值范圍是 ．

三、解答題（共5小題；）
26. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形 的邊長(zhǎng)為 ， 是 的中點(diǎn)．若 為正方形內(nèi)（含邊界）的任意一點(diǎn)．求 的最大值．

27. 已知向量 ，向量 ．
（1）試用 表示 ；
（2）問(wèn)當(dāng) ， 夾角為多少時(shí)， 取得最大值?并求出這個(gè)最大值．

28. 如圖，已知菱形 中，點(diǎn) 為線(xiàn)段 上一點(diǎn)，且 ．
（1）若 ，，求 ， 的值；
（2）若 ，且 ，求實(shí)數(shù) 的取值范圍．

29. 已知四邊形 為平行四邊形，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，點(diǎn) 在第二象限，，且 與 的夾角為 ，．
（1）求點(diǎn) 的坐標(biāo)；
（2）當(dāng) 為何值時(shí)， 與 垂直．

30. 設(shè)雙曲線(xiàn) 的左頂點(diǎn)為 ，且以點(diǎn) 為圓心的圓 與雙曲線(xiàn) 分別相交于點(diǎn) ，，如圖所示．
（1）求雙曲線(xiàn) 的方程；
（2）求 的最小值，并求出此時(shí)圓 的方程；
（3）設(shè)點(diǎn) 為雙曲線(xiàn) 上異于點(diǎn) ， 的任意一點(diǎn)，且直線(xiàn) ， 分別與 軸相交于點(diǎn) ，．求證： 為定值（其中 為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
答案
1. B【解析】，，
所以 ．
2. C
3. C
4. D【解析】因?yàn)?，，
所以 ，，
又 ，，
所以 ，則 ．
5. A
6. C【解析】因?yàn)樵谒倪呅? 中，，，，
所以四邊形 的對(duì)角線(xiàn)互相垂直，
又 ，，
該四邊形的面積：．
7. C【解析】因?yàn)?，，
所以 ，
則 ．
8. D
9. A【解析】由題意，得 ，
所以 ，故選A．
10. D
【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示；
矩形 中，，，則 ，，，；
直線(xiàn) 的方程為 ；
由 ，則直線(xiàn) 的方程為 ，即 ；
由 解得 ，
所以 ，，
所以 ．
11. A【解析】設(shè) 為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，，
由 得 ，即 ，
所以點(diǎn) 的軌跡是以 為圓心， 為半徑的圓．
因?yàn)? 與 的夾角為 ，
所以不妨令點(diǎn) 在射線(xiàn) 上，如圖，
數(shù)形結(jié)合可知 ．
12. C【解析】，
因?yàn)? 與 垂直，
所以 ，
即 ，
解得 ．
13. A【解析】因?yàn)?，，，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
以 為原點(diǎn)，以 所在的直線(xiàn)為 軸，以 的垂線(xiàn)為 軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
所以 ，，，
設(shè) ，則 ，
所以 ，，
所以 ，
設(shè) ，
所以 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，
所以 ，，
所以 的取值范圍是 ．
14. D【解析】設(shè) ，則 ，，，
因?yàn)?，
所以
因?yàn)?，
所以
由 可得
所以 ．
15. A
【解析】根據(jù)題意，，
因?yàn)?，
所以 ，，
即 是等邊三角形，建立圖示直角坐標(biāo)系，
則 ，，，，
，，
，
點(diǎn) 滿(mǎn)足 ，
所以 ，
即點(diǎn) 在以 為圓心，以 為半徑的圓上，
點(diǎn) 到圓心 的距離為 ，
點(diǎn) 到圓上一點(diǎn)的最大距離為 ，即 的最大值為 ．
16. B【解析】建立如圖所示的以 為原點(diǎn)，， 所在直線(xiàn)為 ， 軸的直角坐標(biāo)系．
則 ，，．
因?yàn)闈M(mǎn)足 ，，


則

因?yàn)?，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為 ，則 為增區(qū)間，
故當(dāng) 時(shí)，．
17. A【解析】依題意知?jiǎng)泳€(xiàn)段 的中點(diǎn) 的軌跡為與直線(xiàn) 和 等距的直線(xiàn)，
則 到原點(diǎn)的距離的最小值為原點(diǎn)到該直線(xiàn)的距離，
設(shè)點(diǎn) 的軌跡方程為 ，根據(jù)平行線(xiàn)間的距離公式得 ，
即點(diǎn) 的軌跡方程為 ，
根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，得 到原點(diǎn)的距離的最小值為 ．
18. C【解析】．
故選C．
19. C【解析】如圖所示，不妨設(shè)點(diǎn) 在第二象限，連接 ，易知 ，
因?yàn)? 為直角，點(diǎn) 為線(xiàn)段 的中點(diǎn)，
所以 ，又 在拋物線(xiàn) 上，
所以 ，，
所以 ，，
所以 ，，
所以 的面積為 ．
20. D
21.
【解析】因?yàn)橄蛄?，，，
所以 ，
若 ，則 ，
則 ．
22.
【解析】．
23.
【解析】因?yàn)?，，，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
24.
【解析】如圖，以 為坐標(biāo)原點(diǎn) ，以 所在直線(xiàn)為 軸，以 所在直線(xiàn)為 軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則 ，，，
所以 ．
因?yàn)?， 分別為 ， 的中點(diǎn)，
所以 ，，
因?yàn)?，，
所以 ．
25. ，
26. 設(shè) 為原點(diǎn)．
，，．
設(shè) （其中 ，），
所以 ．
27. （1） ．
（2） ，
知 的最大值為 ，
此時(shí) ，，
設(shè)夾角為 ，
則 ．
28. （1）
．
所以

所以
解得
（2） 以 為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 為 軸建立平面直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，
所以 是等邊三角形，
設(shè) ，則 ，，，．
所以 ，，，．
所以 ，，
因?yàn)?，
所以 ．
解得 ，
又 ，
所以 ．
29. （1） 設(shè) ，，則 ．
因?yàn)? 與 的夾角為 ，，
所以 ，
即
又 ，即
聯(lián)立①②解得 或
又點(diǎn) 在第二象限，所以 ．
又 ，所以 ，
解得 ，．所以 ．
（2） 由（）可知 ，
所以 ，．
因?yàn)? 與 垂直，
所以 ，
解得 ．
30. （1） 由條件知：雙曲線(xiàn) 的左焦點(diǎn)為 ，于是 ．
故雙曲線(xiàn) 的方程為 ．
（2） 易知點(diǎn) ， 關(guān)于 軸對(duì)稱(chēng)，設(shè) ，，
則由點(diǎn) 在雙曲線(xiàn) 上，得 ，
由于 ，，所以

因 ，故當(dāng) 時(shí)，，
此時(shí) ，即 ，
從而 ．
所以當(dāng) 取最小值時(shí)，圓 的方程為 ．
（3） 設(shè) ，則 ，
直線(xiàn) 的方程為 ，
令 ，得 ，
同理，可得 ．
因點(diǎn) ， 在雙曲線(xiàn) 上，故 ，，
于是

因此 為定值．

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