一、選擇題（共20小題；）
1. 設(shè)正實(shí)數(shù) ， 滿足 （其中 為正常數(shù)）．若 的最大值為 ，則
A. B. C. D.

2. 若 ，，且 ，則 的最大值為
A. B. C. D.

3. 已知 ，，且 ，則
A. 有最大值為 B. 有最小值為 C. 有最大值為 D. 有最小值為

4. 某汽車運(yùn)輸公司剛買了一批豪華大客車投入營(yíng)運(yùn)，據(jù)市場(chǎng)分析每輛客車營(yíng)運(yùn)的總利潤(rùn) （單位： 萬(wàn)元）與營(yíng)運(yùn)年數(shù) 為二次函數(shù)關(guān)系，如圖．當(dāng)每輛客車營(yíng)運(yùn)的年平均利潤(rùn)最大時(shí)，營(yíng)運(yùn)年數(shù)為
A. B. C. D.

5. 如圖，半圓的直徑為 ， 為直徑 的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且 ， 為半圓上任意一點(diǎn)，以 為邊作等邊三角形 ．當(dāng) 時(shí)， 等于
A. B.
C. D.

6. 若 ，且 恒成立，則 的最小值是
A. B. C. D.

7. 已知正實(shí)數(shù) ， 滿足 ，則 的最小值為
A. B. C. D.

8. 在下列各函數(shù)中，最小值等于 的函數(shù)是
A. B.
C. D.

9. 已知在圓 內(nèi)，過(guò)點(diǎn) 的最長(zhǎng)弦和最短弦分別是 和 ，則四邊形 的面積為
A. B. C. D.

10. 如圖所示，在 中，，點(diǎn) 在線段 上，設(shè) ，，，則 的最小值為
A. B. C. D.

11. 如圖，半圓的直徑 ， 為圓心， 為半圓上不同于 ， 的任意一點(diǎn)，若 為半徑 上的動(dòng)點(diǎn)，則 的最小值是
A. B. C. D.

12. 設(shè)正數(shù) ， 滿足 ，則 的最小值為
A. B. C. D.

13. 設(shè) ，且 ，在下列四個(gè)數(shù)中最大的是
A. B. C. D.

14. 若 ，，且 ，則下列不等式恒成立的是
A. B. C. D.

15. 不等式 中，等號(hào)成立的條件是
A. B. C. D.

16. 若 ，，且 ，則下列不等式中，恒成立的是
A. B. C. D.

17. 若動(dòng)點(diǎn) ， 分別在直線 和 上移動(dòng)，則 的中點(diǎn) 到原點(diǎn)的距離的最小值為
A. B. C. D.

18. 一矩形的一邊在 軸上，另兩個(gè)頂點(diǎn)在函數(shù) 的圖象上，如圖所示，則此矩形繞 軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何體的體積的最大值是
A. B. C. D.

19. 過(guò)點(diǎn) 和 的直線與直線 ： 垂直，則 的值為
A. B.
C. D. 與 的取值有關(guān)

20. 若正數(shù) ， 滿足 ，則 的取值范圍是
A. B. C. D.

二、填空題（共5小題；）
21. 已知 ，則函數(shù) 的最小值為 ．

22. 函數(shù) 的圖象恒過(guò)定點(diǎn) ，若點(diǎn) 在直線 上，其中 ，則 的最小值為 ．

23. 已知 ，，且 ，則 的最小值為 ．

24. 記 ，，．已知對(duì)任意的 ，，恒有 ，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為 ．

25. 如圖，兩塊斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板拼在一起．若 ，則 ， ．

三、解答題（共5小題；）
26. 若實(shí)數(shù) ，， 滿足 ，則稱 比 遠(yuǎn)離 ．
（1）若 比 遠(yuǎn)離 ，求 的取值范圍；
（2）對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù) ，，求證： 比 遠(yuǎn)離 ．

27. 已知 ．
（1）當(dāng) 時(shí)，求不等式 的解集；
（2）當(dāng) 時(shí)，，求 的取值范圍．

28. 如圖所示，將一矩形花壇 擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇 ，要求 點(diǎn)在 上， 點(diǎn)在 上，且對(duì)角線 過(guò) 點(diǎn)，已知 米， 米．
（1）要使矩形 的面積大于 平方米，則 的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)?
（2）當(dāng) 的長(zhǎng)度是多少時(shí)，矩形花壇 的面積最小?并求出最小值．

29. 已知 ，， 為正實(shí)數(shù)，且滿足 ．證明：
（1）；
（2）．

30. 已知函數(shù) ．
（1）當(dāng) ， 時(shí)，求不等式 的解集；
（2）設(shè) ，，若 的最小值為 ，證明：．
答案
1. D【解析】由題意得 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立，
所以 ，即 ．
2. A【解析】因?yàn)?，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立．
3. C【解析】因?yàn)?，，，
所以 ，即 ，，
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 ， 時(shí)，等號(hào)成立．
所以 有最大值，且最大值為 ．
4. C【解析】提示： ，記年平均利潤(rùn)為 ，有 ，所以當(dāng) 時(shí)，每輛客車營(yíng)運(yùn)的年平均利潤(rùn)最大．
5. B
【解析】因?yàn)?，
則 的面積為

又因?yàn)?，
所以四邊形 的面積為 ，
故選B．
6. B【解析】因?yàn)? 恒成立，所以 恒成立．
兩邊同時(shí)平方，整理后得 恒成立，即不等式左邊的最大值 不等式右邊的最小值．
因?yàn)?（當(dāng)且僅當(dāng)" "時(shí)取" "），所以不等式左邊的最大值為 ，所以 ，所以 ．
7. C
8. D【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng) 時(shí)，A顯然不滿足條件；
選項(xiàng)B：，當(dāng) 時(shí)取等號(hào)，
當(dāng) 時(shí)，，B顯然不滿足條件；
對(duì)于C：不能保證 ，故錯(cuò)；
對(duì)于D：因?yàn)?，所以 ，
故只有D滿足條件．
9. D【解析】化圓 為 ，可得圓心 的坐標(biāo)為 ，半徑為 ，
由圓的弦的性質(zhì)可得，最長(zhǎng)的弦即為圓的直徑，
所以 的長(zhǎng)為 ，
因?yàn)辄c(diǎn) ，
所以 ，
當(dāng)弦 最短時(shí)，弦 和 垂直，且經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，
此時(shí) ，
所以四邊形 的面積為 ．
故選D．
10. D
【解析】在 中，
因?yàn)?，， 三點(diǎn)共線，
所以

所以
所以

因?yàn)?，
所以 ，
所以

11. D【解析】因?yàn)? 為 的中點(diǎn)，所以 ，從而 ．
又 為定值，所以當(dāng)且僅當(dāng) ，即 為 的中點(diǎn)時(shí)， 取得最小值，是 ．
12. B
13. B【解析】方法一：
因?yàn)?，所以 ，，
因?yàn)?，所以 ，所以 ，
因?yàn)?，
所以 ，
綜上所述，．
故 最大．
方法二：
不妨取 ，則 ，，故 最大．
14. D【解析】因?yàn)?，，，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，A，B，C均錯(cuò)誤．故選D．
15. C
【解析】因?yàn)?，根據(jù)基本不等式 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立，故 中，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立．
16. D【解析】利用基本不等式需注意各數(shù)必須是正數(shù)．不等式 的使用條件是 ，．對(duì)于A，當(dāng) 時(shí)，應(yīng)有 ，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，C，條件 ，只能說(shuō)明 ， 同號(hào)，當(dāng) ， 都小于 時(shí)，B，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以 ，，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立，D正確．
17. A【解析】依題意知?jiǎng)泳€段 的中點(diǎn) 的軌跡為與直線 和 等距的直線，
則 到原點(diǎn)的距離的最小值為原點(diǎn)到該直線的距離，
設(shè)點(diǎn) 的軌跡方程為 ，根據(jù)平行線間的距離公式得 ，
即點(diǎn) 的軌跡方程為 ，
根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得 到原點(diǎn)的距離的最小值為 ．
18. A【解析】旋轉(zhuǎn)后所得幾何體為圓柱，如圖所示．
設(shè)矩形的一條邊所在直線為 ，，．
聯(lián)立 與 得，，
由此可得 ，．
所以 ，
即圓柱的高為 ，圓柱的底面半徑為 ，
所以其體積為 ，
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)，其體積有最大值 ．
19. C
20. D
【解析】設(shè) ，則 ，則 ，
即 ，解得 ．
又注意到 ，得 ，解得 或 ，故得 ．
21.
【解析】由已知得 ，當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)等號(hào)成立．
22.
【解析】函數(shù)恒過(guò) ，代入直線方程得 ，又 ，所以 ，，故 ．
23.
24.
【解析】由 ，得 ．
因?yàn)?，，
所以 ．
因?yàn)?，
所以 ，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立，
因?yàn)?，
所以實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ．
25. ，
【解析】設(shè)斜邊長(zhǎng)為 ．由已知，得 ，
即 ，
在 的兩端點(diǎn)乘 ，化簡(jiǎn)得 ，
在 的兩端點(diǎn)乘 ，化簡(jiǎn)得 ，
聯(lián)立 ，解得 ．
26. （1） 由題意，得 ，
解得 或 ，
（2） 因?yàn)?，且 ，
所以 ，，
因?yàn)?br>
所以 ，即 比 遠(yuǎn)離 ．
27. （1） 當(dāng) 時(shí)，，
①當(dāng) 時(shí)，，無(wú)解；
②當(dāng) 時(shí)，，恒成立，
所以不等式 的解集為 ．
（2） 解法一：當(dāng) 時(shí)， 或 ，．
①當(dāng) 時(shí)， 恒成立，滿足題意，
②當(dāng) 時(shí)， 恒成立，滿足題意，
③當(dāng) 時(shí)，
（?。┊?dāng) 時(shí)， 成立，滿足題意．
（ⅱ）當(dāng) 時(shí)，，不滿足題意，
綜上所述，實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ．
解法二：當(dāng) 時(shí)，，
因?yàn)?，則由 ，可得 ，，
所以 ，即 ，
所以實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ．
28. （1） 設(shè) 的長(zhǎng)為 米，則 米，
因?yàn)?，
所以 ，
所以 ，
由 ，得 ，
又 ，得 ，解得 或 ，
即 長(zhǎng)的取值范圍是 ．
（2） 矩形花壇 的面積為 ，
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)，矩形花壇 的面積取得最小值 ．
故 的長(zhǎng)為 米時(shí)，矩形 的面積最小，最小值為 平方米．
29. （1） 因?yàn)?，， 為正實(shí)數(shù)，且滿足 ，所以 ．
所以 ．
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)，等號(hào)成立．
所以 ．
（2）
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立．
所以 ．
30. （1） 將 ， 代入 ，
等價(jià)于： 或 或
解得： 或 ，
所以不等式 的解集為 ．
（2） ，
因?yàn)? 的最小值為 ，且 ，
所以 ，

當(dāng)且僅當(dāng) ，即當(dāng) ，即 ，．

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