1．（2分）只有一條高在三角形內(nèi)部的三角形是（ ）
A．銳角三角形
B．直角三角形
C．鈍角三角形
D．直角三角形或鈍角三角形
2．（2分）若點P（x，y）的坐標(biāo)滿足xy＝0，則點P的位置是（ ）
A．在x軸上B．在y軸上
C．是坐標(biāo)原點D．在x軸上或在y軸上
3．（2分）去年我市有5.6萬學(xué)生參加聯(lián)招考試，為了了解他們的數(shù)學(xué)成績，從中抽取2000名考生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計分析，下列說法錯誤的是（ ）
A．這種調(diào)查方式是抽樣調(diào)查
B．5.6萬學(xué)生是總體
C．2000是樣本容量
D．2000名考生的數(shù)學(xué)成績是總體的一個樣本
4．（2分）如圖AB∥CD，AD平分∠BAC，且∠C＝80°，則∠D的度數(shù)是（ ）
A．60°B．50°C．45°D．40°
5．（2分）點P（2﹣a，2a﹣1）在第四象限，且到y(tǒng)軸的距離為3，則a的值為（ ）
A．﹣1B．﹣2C．1D．2
6．（2分）內(nèi)角和等于外角和2倍的多邊形是（ ）
A．五邊形B．六邊形C．七邊形D．八邊形
7．（2分）如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點A落在△ABC外的A'處，折痕為DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正確的是（ ）
A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β
8．（2分）為了了解2018年北京市乘坐地鐵的每個人的月均花費情況，相關(guān)部門隨機調(diào)查了1000人乘坐地鐵的月均花費（單位：元），繪制了如下頻數(shù)分布直方圖，根據(jù)圖中信息，下面3個推斷中，合理的是（ ）
①小明乘坐地鐵的月均花費是75元，那么在所調(diào)查的1000人中至少有一半以上的人月均花費超過小明；
②估計平均每人乘坐地鐵的月均花費的范圍是60﹣120元；
③如果規(guī)定消費達(dá)到一定數(shù)額可以享受折扣優(yōu)惠，并且享受折扣優(yōu)惠的人數(shù)控制在20%左右，那么乘坐地鐵的月均花費達(dá)到120元的人可享受折扣．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空題（每小題2分，共16分）.
9．（2分）為了解某市4萬名學(xué)生平均每天讀書的時間，請你運用所學(xué)的統(tǒng)計知識，將統(tǒng)計的主要步驟進(jìn)行排序：①從4萬名學(xué)生中隨機抽取400名學(xué)生，調(diào)查他們平均每天讀書的時間；②分析數(shù)據(jù)；③得出結(jié)論，提出建議；④利用統(tǒng)計圖表將收集的數(shù)據(jù)整理和表示．合理的排序是 ．（只填序號）
10．（2分）在△ABC中，∠A＝80°+∠B+∠C，則∠A＝ ．
11．（2分）一個樣本含有20個數(shù)據(jù)：68，69，70，66，68，64，65，65，69，62，67，66，65，67，63，65，64，61，65，66，在列頻數(shù)分布表時，64.5～66.5這組的頻數(shù)為 ．
12．（2分）課間操時，小華、小軍和小剛的位置如圖所示，如果小華的位置用（0，0）表示，小軍的位置用（2，1）表示，那么小剛的位置可以表示為 ．
13．（2分）如圖，△ABC中AD，BE分別是△ABC的高和角平分線，若∠C＝70°，∠AEB＝95°，則∠BAD＝ °．
14．（2分）如圖，線段AF⊥AE，垂足為點A，線段GD分別交AF、AE于點C，B，連結(jié)GF，ED．則∠D+∠G+∠AFG+∠AED的度數(shù)為 ．
15．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與y軸在正半軸、x軸正半軸分別交A、B兩點，M在BA的延長線上，PA平分∠MAO，PB平分∠ABO，則∠P＝ ．
16．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點P（x，y），我們把點P（﹣y+1，x+1）叫做點P的伴隨點．知點A1的伴隨點為A2，點A2的伴隨點為A3，點A3的伴隨點為A4，…，這樣依次得到點A1，A2，A3，…，An，…．若點A1的坐標(biāo)為（3，1），則點A3的坐標(biāo)為 ；若點A1的坐標(biāo)為（a，b），對于任意的正整數(shù)n，點An均在x軸上方，則a，b應(yīng)滿足的條件為 ．
三、解答題（本題共68分，第17-20題每題5分，第21-23題，每題6分，第24-25題，每題5分，第26題6分，第27-28題，每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程）.
17．（5分）已知等腰三角形的周長為18cm，其中兩邊之差為3cm，求三角形的各邊長．
18．（5分）如圖，AE∥BD，∠1＝115°，∠2＝35°，求∠C的度數(shù)．
19．（5分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分線BE交AC的延長線于點E．
（1）補全圖形；
（2）求∠CBE的度數(shù)；
（3）已知F為AC延長線上一點，連接DF，若∠AFD＝25°，請判斷BE與DF的位置關(guān)系為 ．
20．（5分）已知點A（3a﹣6，a+1），試分別根據(jù)下列條件，求出點A的坐標(biāo)，
（1）點A在x軸上；
（2）點A在過點P（3，﹣2），且與y軸平行的直線上．
21．（6分）如圖，已知△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線BD、CE相交于點O，且∠A＝60°，求∠BOC的度數(shù)．
22．（6分）對有序數(shù)對（m，n）定義“f運算”：f（m，n）＝（m+a，n+b），其中a，b為常數(shù)，f運算的結(jié)果也是一個有序數(shù)對，在此基礎(chǔ)上，可對平面直角坐標(biāo)系中的任意一點A（x，y）規(guī)定“F變換”；點A（x，y）在F的變換下的對應(yīng)點即為坐標(biāo)是f（x，y）的點A'．
（1）當(dāng)a＝0，b＝0時，f（﹣2，4）＝ ．
（2）若點P（2，﹣2）在F變換下的對應(yīng)點是它本身，求ab的值．
23．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A、B、C三點的坐標(biāo)分別為（﹣5，4）、（﹣3，0）、（0，2）．
（1）畫出三角形ABC，并求其面積；
（2）如圖，△A′B′C′是由△ABC經(jīng)過 平移得到的．
（3）已知點P（a，b）為△ABC內(nèi)的一點，則點P在△A′B′C′內(nèi)的對應(yīng)點P′的坐標(biāo)是（ ， ）．
24．（5分）如圖1所示，在△ABC中，AE是∠BAC的平分線，∠B＜∠C，F(xiàn)為AE上一點，且FD⊥BC于D．
（1）試推導(dǎo)∠EFD與∠B、∠C的大小關(guān)系．
（2）如圖2所示，當(dāng)點F在AE的延長線上時，其余條件不變，在（1）中推導(dǎo)的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．
25．（5分）為慶祝中國共產(chǎn)黨建黨100周年，使學(xué)生進(jìn)一步了解中國共產(chǎn)黨的歷史，某學(xué)校組織了“黨史百年天天讀”活動，并進(jìn)行了一次全校2000名學(xué)生都參加的書面測試，閱卷后，教學(xué)處隨機抽取了100份答卷進(jìn)行分析統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)考試成績x（分）的最低分為50分，最高分為滿分100分，且分?jǐn)?shù)都為整數(shù)，并繪制了尚不完整的統(tǒng)計圖表：
請根據(jù)統(tǒng)計圖表提供的信息，解答下列問題：
（1）在頻數(shù)分布表中，a＝ ；b＝ ；
（2）請將頻數(shù)分布直方圖補充完整，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)數(shù)據(jù)；
（3）該校對成績?yōu)?0≤x≤100的學(xué)生進(jìn)行獎勵，按成績從高分到低分設(shè)一，二，三等獎，各獎項的人數(shù)占比如扇形統(tǒng)計圖所示．
①在扇形圖中，二等獎所在扇形的圓心角度數(shù)為 °；
②請你估算全校獲得一等獎的學(xué)生人數(shù)約為 人．
26．（6分）閱讀與理解：
三角形的中線的性質(zhì)：三角形的中線等分三角形的面積，
即如圖1，AD是△ABC中BC邊上的中線，
則．
理由：∵BD＝CD，∴＝，
即：等底同高的三角形面積相等．
操作與探索
在如圖2至圖4中，△ABC的面積為a．
（1）如圖2，延長△ABC的邊BC到點D，使CD＝BC，連接DA．若△ACD的面積為S1，則S1＝ （用含a的代數(shù)式表示）；
（2）如圖3，延長△ABC的邊BC到點D，延長邊CA到點E，使CD＝BC，AE＝CA，連接DE．若△DEC的面積為S2，則S2＝ （用含a的代數(shù)式表示），并寫出理由；
（3）在圖3的基礎(chǔ)上延長AB到點F，使BF＝AB，連接FD，F(xiàn)E，得到△DEF（如圖4）．若陰影部分的面積為S3，則S3＝ （用含a的代數(shù)式表示）．
拓展與應(yīng)用
如圖5，已知四邊形ABCD的面積是a，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，求圖中陰影部分的面積？
27．（7分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，P是射線BC上一動點（與B，C點不重合），連接AP．過點C作CD⊥AP于點D，交直線AB于點E，設(shè)∠APC＝α．
（1）若點P在線段BC上，且α＝60°，如圖1，直接寫出∠PAB的大?。?br>（2）若點P在線段BC上運動，如圖2，求∠AED的大小（用含α的式子表示）；
（3）若點P在BC的延長線上運動，且α≠50°，直接寫出∠AED的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆?br>28．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于任意兩點M（x1，y1），N（x2，y2），定義k|x1﹣x2|+（1﹣k）|y1﹣y2|為點M和點N的“k階距離”，其中0≤k≤1．例如：點M（1，3），N（﹣2，4）的階距離”為．已知點A（﹣1，2）．
（1）若點B（0，4），求點A和點B的“階距離”；
（2）若點B在x軸上，且點A和點B的“階距離”為4，求點B的坐標(biāo)；
（3）若點B（a，b），且點A和點B的“階距離”為1，直接寫出a+b的取值范圍．
2022-2023學(xué)年北京市東城區(qū)景山學(xué)校七年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每題只有一個選項符合題意，每小題2分，共16分）.
1．（2分）只有一條高在三角形內(nèi)部的三角形是（ ）
A．銳角三角形
B．直角三角形
C．鈍角三角形
D．直角三角形或鈍角三角形
【分析】根據(jù)三角形高線的性質(zhì)來解答即可．
【解答】解：A、銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部，錯誤；
B、直角三角形直角邊上的高分別與另一直角邊重合，還有一條高在三角形內(nèi)部，正確；
C、鈍角三角形中，夾鈍角兩邊上的高在三角形的外部，另一條高在三角形的內(nèi)部，正確；
D、是B、C的綜合觀點，正確；
故選：D．
【點評】①銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部，垂足在相應(yīng)頂點的對邊上；
②直角三角形直角邊上的高分別與另一直角邊重合，還有一條高在三角形內(nèi)部，垂足在直角的頂點或斜邊上；
③鈍角三角形中，夾鈍角兩邊上的高在三角形的外部，另一條高在三角形的內(nèi)部，垂足在相應(yīng)頂點對邊的延長線上或在鈍角的對邊上．
2．（2分）若點P（x，y）的坐標(biāo)滿足xy＝0，則點P的位置是（ ）
A．在x軸上B．在y軸上
C．是坐標(biāo)原點D．在x軸上或在y軸上
【分析】根據(jù)坐標(biāo)軸上的點的坐標(biāo)特點解答即可．
【解答】解：因為xy＝0，所以x、y中至少有一個是0；
當(dāng)x＝0時，點在y軸上；
當(dāng)y＝0時，點在x軸上．
當(dāng)x＝0，y＝0時是坐標(biāo)原點．
所以點P的位置是在x軸上或在y軸上．
故選：D．
【點評】本題主要考查了坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)特點，即點在x軸上點的坐標(biāo)為縱坐標(biāo)等于0；點在y軸上點的坐標(biāo)為橫坐標(biāo)等于0．
3．（2分）去年我市有5.6萬學(xué)生參加聯(lián)招考試，為了了解他們的數(shù)學(xué)成績，從中抽取2000名考生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計分析，下列說法錯誤的是（ ）
A．這種調(diào)查方式是抽樣調(diào)查
B．5.6萬學(xué)生是總體
C．2000是樣本容量
D．2000名考生的數(shù)學(xué)成績是總體的一個樣本
【分析】總體是指考察的對象的全體，個體是總體中的每一個考察的對象，樣本是總體中所抽取的一部分個體，而樣本容量則是指樣本中個體的數(shù)目．我們在區(qū)分總體、個體、樣本、樣本容量，這四個概念時，首先找出考察的對象．從而找出總體、個體．
【解答】解：A、為了了解這5.6萬名考生的數(shù)學(xué)成績，從中抽取了2000名考生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計分析，這種調(diào)查采用了抽樣調(diào)查的方式，故說法正確；
B、5.6萬名考生的數(shù)學(xué)成績是總體，故說法錯誤；
C、2000是樣本容量，故說法正確；
D、2000名考生的數(shù)學(xué)成績是總體的一個樣本，故說法正確；
故選：B．
【點評】考查了總體、個體、樣本、樣本容量，解題要分清具體問題中的總體、個體與樣本，關(guān)鍵是明確考查的對象．總體、個體與樣本的考查對象是相同的，所不同的是范圍的大?。畼颖救萘渴菢颖局邪膫€體的數(shù)目，不能帶單位．
4．（2分）如圖AB∥CD，AD平分∠BAC，且∠C＝80°，則∠D的度數(shù)是（ ）
A．60°B．50°C．45°D．40°
【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠BAD＝∠CAD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAD＝∠D，即可得到∠CAD＝∠D，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和求解即可．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠D，
∴∠CAD＝∠D，
在△ACD中，∠C+∠D+∠CAD＝180°，∠C＝80°，
∴80°+∠D+∠CAD＝180°，
即2∠D＝100°，
∴∠D＝50°．
故選：B．
【點評】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”是解題的關(guān)鍵．
5．（2分）點P（2﹣a，2a﹣1）在第四象限，且到y(tǒng)軸的距離為3，則a的值為（ ）
A．﹣1B．﹣2C．1D．2
【分析】首先根據(jù)點P（x，y）在第四象限，且到y(tǒng)軸的距離為3，可得點P的橫坐標(biāo)是3，可得2﹣a＝3，據(jù)此可得a的值．
【解答】解：∵點P（2﹣a，2a﹣1）在第四象限，且到y(tǒng)軸的距離為3，
∴點P的橫坐標(biāo)是3；
∴2﹣a＝3，
解答a＝﹣1．
故選：A．
【點評】此題主要考查了點的坐標(biāo)，關(guān)鍵是掌握到x軸的距離＝縱坐標(biāo)的絕對值，到y(tǒng)軸的距離＝橫坐標(biāo)的絕對值．
6．（2分）內(nèi)角和等于外角和2倍的多邊形是（ ）
A．五邊形B．六邊形C．七邊形D．八邊形
【分析】本題應(yīng)先設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，則依題意可列出方程（n﹣2）×180°＝360°×2，從而解出n＝6，即這個多邊形的邊數(shù)為6．
【解答】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，則依題意可得：
（n﹣2）×180°＝360°×2，
解得n＝6，
∴這個多邊形的邊數(shù)為6．
故選：B．
【點評】本題主要考查多邊形的外角和定理和多邊形的內(nèi)角和定理．解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理即（n﹣2）×180°．注意：任意多邊形的外角和都是360°．
7．（2分）如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點A落在△ABC外的A'處，折痕為DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正確的是（ ）
A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β
【分析】根據(jù)三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得結(jié)論．
【解答】解：由折疊得：∠A＝∠A'，
∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，
∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，
∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，
故選：A．
【點評】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是關(guān)鍵．
8．（2分）為了了解2018年北京市乘坐地鐵的每個人的月均花費情況，相關(guān)部門隨機調(diào)查了1000人乘坐地鐵的月均花費（單位：元），繪制了如下頻數(shù)分布直方圖，根據(jù)圖中信息，下面3個推斷中，合理的是（ ）
①小明乘坐地鐵的月均花費是75元，那么在所調(diào)查的1000人中至少有一半以上的人月均花費超過小明；
②估計平均每人乘坐地鐵的月均花費的范圍是60﹣120元；
③如果規(guī)定消費達(dá)到一定數(shù)額可以享受折扣優(yōu)惠，并且享受折扣優(yōu)惠的人數(shù)控制在20%左右，那么乘坐地鐵的月均花費達(dá)到120元的人可享受折扣．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【分析】①根據(jù)圖中信息月均花費超過80元的有500人，于是得到結(jié)論；
②根據(jù)圖中信息，可得大多數(shù)人乘坐地鐵的月均花費在60～120之間，據(jù)此可得平均每人乘坐地鐵的月均花費的范圍；
③該市1000人中，20%左右的人有200人，根據(jù)圖形可得乘坐地鐵的月均花費達(dá)到120元的人有200人可以享受折扣．
【解答】解：①∵200+100+80+50+25+25+15+5＝500人，
∴所調(diào)查的1000人中一定有一半或超過一半的人月均花費超過小明，此結(jié)論正確；
②根據(jù)圖中信息，可得大多數(shù)人乘坐地鐵的月均花費在60～120之間，估計平均每人乘坐地鐵的月均花費的范圍是60～120；所以估計平均每人乘坐地鐵月均花費不低于60元，此結(jié)論正確；
③∵1000×20%＝200，而80+50+25+25+15+5＝200，
∴乘坐地鐵的月均花費達(dá)到120元的人可享受折扣，
∴乘坐地鐵的月均花費達(dá)到120元的人可享受折扣，此結(jié)論正確；
綜上，正確的結(jié)論為①②③，故選：D．
【點評】本題主要考查了頻數(shù)分布直方圖，抽樣調(diào)查以及用樣本估計總體，一般來說，用樣本去估計總體時，樣本越具有代表性、容量越大，這時對總體的估計也就越精確．抽樣調(diào)查具有花費少、省時的特點，但抽取的樣本是否具有代表性，直接關(guān)系到對總體估計的準(zhǔn)確程度．
二、填空題（每小題2分，共16分）.
9．（2分）為了解某市4萬名學(xué)生平均每天讀書的時間，請你運用所學(xué)的統(tǒng)計知識，將統(tǒng)計的主要步驟進(jìn)行排序：①從4萬名學(xué)生中隨機抽取400名學(xué)生，調(diào)查他們平均每天讀書的時間；②分析數(shù)據(jù)；③得出結(jié)論，提出建議；④利用統(tǒng)計圖表將收集的數(shù)據(jù)整理和表示．合理的排序是 ①④②③ ．（只填序號）
【分析】直接利用調(diào)查收集數(shù)據(jù)的過程與方法分析排序即可．
【解答】解：統(tǒng)計的主要步驟依次為：
①從4萬名學(xué)生中隨機抽取400名學(xué)生，調(diào)查他們平均每天讀書的時間；
④利用統(tǒng)計圖表將收集的數(shù)據(jù)整理和表示；
②分析數(shù)據(jù)；
③得出結(jié)論；
故答案為：①④②③．
【點評】此題主要考查了調(diào)查收集數(shù)據(jù)的過程與方法，正確掌握調(diào)查的過程是解題關(guān)鍵．
10．（2分）在△ABC中，∠A＝80°+∠B+∠C，則∠A＝ 130° ．
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理解答即可．
【解答】解：∵∠A＝80°+∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴80°+∠B+∠C+∠B+∠C＝180°，
2（∠B+∠C）＝180°﹣80°，
∴∠B+∠C＝50°，
∴∠A＝80°+50°＝130°．
故答案為：130°．
【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．
11．（2分）一個樣本含有20個數(shù)據(jù)：68，69，70，66，68，64，65，65，69，62，67，66，65，67，63，65，64，61，65，66，在列頻數(shù)分布表時，64.5～66.5這組的頻數(shù)為 8 ．
【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)，找出64.5～66.5這組的數(shù)字即可．
【解答】解：根據(jù)題意得，
在列頻數(shù)分布表時，64.5～66.5這組的數(shù)據(jù)有66，65，65，66，65，65，65，66，
所以頻數(shù)為8．
故答案為：8．
【點評】本題考查的是頻數(shù)分布表，掌握組距、分組數(shù)的確定方法：組距＝（最大值﹣最小值）÷組數(shù)，以及頻率的計算方法是解題的關(guān)鍵．
12．（2分）課間操時，小華、小軍和小剛的位置如圖所示，如果小華的位置用（0，0）表示，小軍的位置用（2，1）表示，那么小剛的位置可以表示為 （4，3） ．
【分析】直接利用原點位置建立平面直角坐標(biāo)系，進(jìn)而得出點的坐標(biāo)．
【解答】解：如圖所示：小剛的位置可以表示為（4，3）．
故答案為：（4，3）．
【點評】此題主要考查了坐標(biāo)確定位置，正確得出原點位置是解題關(guān)鍵．
13．（2分）如圖，△ABC中AD，BE分別是△ABC的高和角平分線，若∠C＝70°，∠AEB＝95°，則∠BAD＝ 40 °．
【分析】由平角的定義可求解∠BEC的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求解∠CBE的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義求得∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)高線的定義可得∠ADB＝90°，然后利用三角形的內(nèi)角和等于180°列式計算即可得解．
【解答】解：∵∠AEB＝95°，
∴∠BEC＝180°﹣95°＝85°，
∵∠BEC+∠CBE+∠BCE＝180°，∠C＝70°，
∴∠CBE＝180°﹣70°﹣85°＝25°，
∵BE是∠ABC平分線，
∴∠ABC＝2∠CBE＝50°，
∵AD是高線，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
故答案為：40．
【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，高線的定義，熟記概念與定理并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．
14．（2分）如圖，線段AF⊥AE，垂足為點A，線段GD分別交AF、AE于點C，B，連結(jié)GF，ED．則∠D+∠G+∠AFG+∠AED的度數(shù)為 270° ．
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及對頂角的性質(zhì)可求得∠GCF+∠DBE＝90°，再利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠G+∠F+∠GCF+∠D+∠B+∠DBE＝360°，進(jìn)而可求解∠D+∠G+∠AFG+∠AED的度數(shù)．
【解答】解：∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝90°，
∴∠ACB+∠ABC＝90°，
∵∠GCF＝∠ACB，∠DBE＝∠ABC，
∴∠GCF+∠DBE＝90°，
∵∠G+∠F+∠GCF＝∠D+∠B+∠DBE＝180°，
∴∠G+∠F+∠GCF+∠D+∠B+∠DBE＝360°，
∴∠D+∠G+∠AFG+∠AED＝270°，
故答案為：270°．
【點評】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．
15．（2分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與y軸在正半軸、x軸正半軸分別交A、B兩點，M在BA的延長線上，PA平分∠MAO，PB平分∠ABO，則∠P＝ 45° ．
【分析】由OA⊥OB即可得出∠OAB+∠ABO＝90°、∠AOB＝90°，再根據(jù)角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理即可求出∠P的度數(shù)．
【解答】解：∵OA⊥OB，
∴∠OAB+∠ABO＝90°，∠AOB＝90°．
∵PA平分∠MAO，
∴∠PAO＝∠OAM＝（180°﹣∠OAB）．
∵PB平分∠ABO，
∴∠ABP＝∠ABO，
∴∠P＝180°﹣∠PAO﹣∠OAB﹣∠ABP＝180°﹣（180°﹣∠OAB）﹣∠OAB﹣∠ABO＝90°﹣（∠OAB+∠ABO）＝45°．
【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是找出∠P＝90°﹣（∠OAB+∠ABO）．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，熟練運用三角形內(nèi)角和定理解決問題是關(guān)鍵．
16．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于點P（x，y），我們把點P（﹣y+1，x+1）叫做點P的伴隨點．知點A1的伴隨點為A2，點A2的伴隨點為A3，點A3的伴隨點為A4，…，這樣依次得到點A1，A2，A3，…，An，…．若點A1的坐標(biāo)為（3，1），則點A3的坐標(biāo)為 （﹣3，1） ；若點A1的坐標(biāo)為（a，b），對于任意的正整數(shù)n，點An均在x軸上方，則a，b應(yīng)滿足的條件為 ﹣1＜a＜1，0＜b＜2 ．
【分析】根據(jù)“伴隨點”的定義依次求出各點，不難發(fā)現(xiàn)，每4個點為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2014除以4，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定點A2014的坐標(biāo)即可；再寫出點A1（a，b）的“伴隨點”，然后根據(jù)x軸上方的點的縱坐標(biāo)大于0列出不等式組求解即可．
【解答】解：∵A1的坐標(biāo)為（3，1），
∴A2（0，4），A3（﹣3，1），A4（0，﹣2），A5（3，1），
…，
依此類推，每4個點為一個循環(huán)組依次循環(huán)，
∵2017÷4＝504余1，
∴點A2017的坐標(biāo)與A1的坐標(biāo)相同，為（3，1）；
∵點A1的坐標(biāo)為（a，b），
∴A2（﹣b+1，a+1），A3（﹣a，﹣b+2），A4（b﹣1，﹣a+1），A5（a，b），
…，
依此類推，每4個點為一個循環(huán)組依次循環(huán)，
∵對于任意的正整數(shù)n，點An均在x軸上方，
∴，，
解得﹣1＜a＜1，0＜b＜2．
∴﹣1＜a＜1且a≠0，0＜b＜2，
故答案為：（﹣3，1），﹣1＜a＜1，0＜b＜2．
【點評】本題是對點的變化規(guī)律的考查，讀懂題目信息，理解“伴隨點”的定義并求出每4個點為一個循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．
三、解答題（本題共68分，第17-20題每題5分，第21-23題，每題6分，第24-25題，每題5分，第26題6分，第27-28題，每題7分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程）.
17．（5分）已知等腰三角形的周長為18cm，其中兩邊之差為3cm，求三角形的各邊長．
【分析】已知等腰三角形的周長為18cm，兩邊之差為6cm，但沒有明確指明底邊與腰誰大，因此要分兩種情況，分類討論．
【解答】解：設(shè)三角形的腰為x，底為y，
根據(jù)題意得或
解得或，
所以等腰三角形的腰與底邊的長分別為：7cm，4cm或5cm，8cm；
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵．
18．（5分）如圖，AE∥BD，∠1＝115°，∠2＝35°，求∠C的度數(shù)．
【分析】由AE∥BD，可求得∠CEA的度數(shù)，再利用三角形ACE的內(nèi)角和等于180°，即可求得答案．
【解答】解：∵AE∥BD，∠2＝35°，
∴∠CEA＝∠2＝35°，
又∵∠1＝115°，
∴∠C＝180°﹣∠CEA﹣∠1＝180°﹣115°﹣35°＝30°．
【點評】此題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的運用．解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
19．（5分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分線BE交AC的延長線于點E．
（1）補全圖形；
（2）求∠CBE的度數(shù)；
（3）已知F為AC延長線上一點，連接DF，若∠AFD＝25°，請判斷BE與DF的位置關(guān)系為 BE∥DF ．
【分析】（1）根據(jù)題意作圖；
（2）先求外角，再利用角平分線定義求解；
（3）利用平行線的判定求解．
【解答】解：（1）補全圖形如下：
（2）∵∠CBD＝∠ACB+∠A＝130°，
∵∠CBD的平分線是BE，
∴∠CBE＝∠CBD＝65°；
（3）∵∠CBE＝65°，
∴∠CEB＝90°﹣∠CBE＝25°，
∵∠AFD＝25°，
∴∠CEB＝∠AFD，
∴BE∥DF．
故答案為：BE∥DF．
【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和平行線的性質(zhì)和判定，角平分線的定義也是解題的關(guān)鍵．
20．（5分）已知點A（3a﹣6，a+1），試分別根據(jù)下列條件，求出點A的坐標(biāo)，
（1）點A在x軸上；
（2）點A在過點P（3，﹣2），且與y軸平行的直線上．
【分析】（1）根據(jù)x軸上點的縱坐標(biāo)為0列方程求出a的值，再求解即可；
（2））根據(jù)平行于y軸的直線上的點的縱坐標(biāo)相同列方程求出a的值，再求解即可．
【解答】解：（1）∵點A（3a﹣6，a+1）在x軸上，
∴a+1＝0，
解得a＝﹣1，
∴3a﹣6＝﹣3﹣6＝﹣9，
∴點A的坐標(biāo)為（﹣9，0）；
（2）∵點A在過點P（3，﹣2），且與y軸平行的直線上，
∴3a﹣6＝3，
解得a＝3，
∴a+1＝3+1＝4，
∴點A的坐標(biāo)為（3，4）．
【點評】本題考查了點的坐標(biāo)，熟練掌握坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)特征以及平行于坐標(biāo)軸的直線上的點的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．
21．（6分）如圖，已知△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線BD、CE相交于點O，且∠A＝60°，求∠BOC的度數(shù)．
【分析】利用角平分線的性質(zhì)求出∠2+∠4的度數(shù)，再由三角形的內(nèi)角和定理便可求出∠BOC．
【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分線BD、CE相交于點O，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2+∠4＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣60°）＝60°，
故∠BOC＝180°﹣（∠2+∠4）＝180°﹣60°＝120°．
【點評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，屬較簡單題目．
22．（6分）對有序數(shù)對（m，n）定義“f運算”：f（m，n）＝（m+a，n+b），其中a，b為常數(shù)，f運算的結(jié)果也是一個有序數(shù)對，在此基礎(chǔ)上，可對平面直角坐標(biāo)系中的任意一點A（x，y）規(guī)定“F變換”；點A（x，y）在F的變換下的對應(yīng)點即為坐標(biāo)是f（x，y）的點A'．
（1）當(dāng)a＝0，b＝0時，f（﹣2，4）＝ （﹣1，2） ．
（2）若點P（2，﹣2）在F變換下的對應(yīng)點是它本身，求ab的值．
【分析】（1）根據(jù)新定義運算法則解得；
（2）根據(jù)新定義運算法則得到關(guān)于a、b的方程，通過解方程求得它們的值即可．
【解答】解：（1）依題意得：f（﹣2，4）＝（×（﹣2）+0，×4﹣0）＝（﹣1，2）．
故答案是：（﹣1，2）；
（2）依題意得：f（2，﹣2）＝（×2+a，×（﹣2）﹣b）＝（2，﹣2）．
所以×2+a＝2，×（﹣2）+b＝﹣2，
所以a＝1，b＝﹣1．
∴ab＝﹣1．
【點評】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．關(guān)鍵是掌握對有序數(shù)對（m，n）定義“f運算”法則．
23．（6分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A、B、C三點的坐標(biāo)分別為（﹣5，4）、（﹣3，0）、（0，2）．
（1）畫出三角形ABC，并求其面積；
（2）如圖，△A′B′C′是由△ABC經(jīng)過 △ABC向右平移4個單位，再向下平移3個單位得到△A′B′C′， 平移得到的．
（3）已知點P（a，b）為△ABC內(nèi)的一點，則點P在△A′B′C′內(nèi)的對應(yīng)點P′的坐標(biāo)是（ a+4 ， b﹣3 ）．
【分析】（1）根據(jù)點的位置作出圖形，利用分割法求出三角形的面積即可；
（2）結(jié)合圖象，利用平移變換的性質(zhì)解決問題；
（3）利用平移變換的規(guī)律解決問題．
【解答】解：（1）如圖，△ABC即為所求，S△ABC＝4×5﹣×2×4﹣×2×5﹣×3×2＝8；
（2）△ABC向右平移4個單位，再向下平移3個單位得到△A′B′C′，
故答案為：△ABC向右平移4個單位，再向下平移3個單位得到△A′B′C′，
（3）P′（a+4，b﹣3），
故答案為：a+4，b﹣3．
【點評】本題考查坐標(biāo)與圖形變化﹣平移，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作出圖形．
24．（5分）如圖1所示，在△ABC中，AE是∠BAC的平分線，∠B＜∠C，F(xiàn)為AE上一點，且FD⊥BC于D．
（1）試推導(dǎo)∠EFD與∠B、∠C的大小關(guān)系．
（2）如圖2所示，當(dāng)點F在AE的延長線上時，其余條件不變，在（1）中推導(dǎo)的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．
【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義表示出∠BAE，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和表示出∠AEC，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式計算即可得解；
（2）與（1）的求解過程完全相同．
【解答】解：（1）∠EFD＝（∠C﹣∠B）．
理由如下：∵AE是∠BAC的平分線，
∴∠BAE＝∠BAC＝（180°﹣∠B﹣∠C），
在△ABE中，∠AEC＝∠BAE+∠B＝（180°﹣∠B﹣∠C）+∠B＝90°+∠B﹣∠C，
∵FD⊥BC，
∴∠EFD＝90°﹣（90°+∠B﹣∠C）＝（∠C﹣∠B）；
（2）仍然成立．
又（1）知∠DEF＝∠AEC＝90°+∠B﹣∠C，
∴∠EFD＝（∠C﹣∠B）．
【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．
25．（5分）為慶祝中國共產(chǎn)黨建黨100周年，使學(xué)生進(jìn)一步了解中國共產(chǎn)黨的歷史，某學(xué)校組織了“黨史百年天天讀”活動，并進(jìn)行了一次全校2000名學(xué)生都參加的書面測試，閱卷后，教學(xué)處隨機抽取了100份答卷進(jìn)行分析統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)考試成績x（分）的最低分為50分，最高分為滿分100分，且分?jǐn)?shù)都為整數(shù)，并繪制了尚不完整的統(tǒng)計圖表：
請根據(jù)統(tǒng)計圖表提供的信息，解答下列問題：
（1）在頻數(shù)分布表中，a＝ 20 ；b＝ 0.26 ；
（2）請將頻數(shù)分布直方圖補充完整，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)數(shù)據(jù)；
（3）該校對成績?yōu)?0≤x≤100的學(xué)生進(jìn)行獎勵，按成績從高分到低分設(shè)一，二，三等獎，各獎項的人數(shù)占比如扇形統(tǒng)計圖所示．
①在扇形圖中，二等獎所在扇形的圓心角度數(shù)為 108 °；
②請你估算全校獲得一等獎的學(xué)生人數(shù)約為 40 人．
【分析】（1）先計算出樣本容量，再根據(jù)頻率＝頻數(shù)÷樣本容量求解即可；
（2）根據(jù)以上所求結(jié)果即可補全圖形；
（3）①用360°乘以對應(yīng)的百分比即可；②用總?cè)藬?shù)乘以90≤x≤100的學(xué)生人數(shù)所占比例，再乘以一等獎對應(yīng)的百分比即可．
【解答】解：（1）∵樣本容量為4÷0.04＝100，
∴a＝100×0.2＝20，b＝26÷100＝0.26，
故答案為：20、0.26；
（2）補充頻數(shù)分布直方圖如下：
（3）①在扇形圖中，二等獎所在扇形的圓心角度數(shù)為360°×30%＝108°；
②估計全校獲得一等獎的學(xué)生人數(shù)約為2000××10%＝40（人）．
故答案為：108、40．
【點評】本題考查的是頻數(shù)分布直方圖，讀懂統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．直方圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)，也考查了利用樣本估計總體的思想．
26．（6分）閱讀與理解：
三角形的中線的性質(zhì)：三角形的中線等分三角形的面積，
即如圖1，AD是△ABC中BC邊上的中線，
則．
理由：∵BD＝CD，∴＝，
即：等底同高的三角形面積相等．
操作與探索
在如圖2至圖4中，△ABC的面積為a．
（1）如圖2，延長△ABC的邊BC到點D，使CD＝BC，連接DA．若△ACD的面積為S1，則S1＝ a （用含a的代數(shù)式表示）；
（2）如圖3，延長△ABC的邊BC到點D，延長邊CA到點E，使CD＝BC，AE＝CA，連接DE．若△DEC的面積為S2，則S2＝ 2a （用含a的代數(shù)式表示），并寫出理由；
（3）在圖3的基礎(chǔ)上延長AB到點F，使BF＝AB，連接FD，F(xiàn)E，得到△DEF（如圖4）．若陰影部分的面積為S3，則S3＝ 6a （用含a的代數(shù)式表示）．
拓展與應(yīng)用
如圖5，已知四邊形ABCD的面積是a，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，求圖中陰影部分的面積？
【分析】（1）根據(jù)等底同高的三角形面積相等，可知道△ACD的面積和△ABC的面積相等．
（2）根據(jù)等底同高的三角形面積相等，可知道S△ABC＝S△ACD＝S△AED＝a，從而可求出結(jié)果．
（3）陰影部分的面積為三個三角形，這三個三角形面積相等，從（2）可知都為2a．可求出陰影部分的面積．
（4）連接：AO，BO，CO，DO，根據(jù)等底同高的三角形面積相等，可求出結(jié)果．
【解答】解：（1）a；
（2）2a；
連接AD，∵S△ABC＝S△ACD＝S△AED＝a，∴S△DCE＝2a
（3）6a
拓展與應(yīng)用：
連接：AO，BO，CO，DO，∵S△AOE＝S△BOE＝S△AOB，
同理：，，
∴．
【點評】本題考查三角形的面積，關(guān)鍵知道等底同高的面積相等，從而可求出解．
27．（7分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，P是射線BC上一動點（與B，C點不重合），連接AP．過點C作CD⊥AP于點D，交直線AB于點E，設(shè)∠APC＝α．
（1）若點P在線段BC上，且α＝60°，如圖1，直接寫出∠PAB的大??；
（2）若點P在線段BC上運動，如圖2，求∠AED的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆?；
（3）若點P在BC的延長線上運動，且α≠50°，直接寫出∠AED的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆?br>【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和直角三角形兩銳角互余可得結(jié)論；
（3）分情況討論：α＞50°或α＜50°根據(jù)三角形內(nèi)角和可得結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時，∠APC＝60°，
△APB中，∠PAB＝∠APC﹣∠B＝60°﹣40°＝20°，
（2）如圖2，同（1）得：∠PAB＝α﹣40°，
∵CE⊥AP，
∴∠ADE＝90°，
∴∠PAB+∠AED＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠PAB＝90°﹣（α﹣40°）＝130°﹣α，
（3）如圖3，當(dāng)α＞50°時，
△APC中，∠ACP＝90°，∠APC＝α，
∴∠CAP＝90°﹣α，
∵CD⊥AP，
∴∠ADE＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠DAE＝90°﹣（50°+90°﹣α）＝α﹣50°，
②如圖4，當(dāng)α＜50°時，
∴∠AED＝90°﹣∠PAE＝90°﹣（α+40°）＝50°﹣α，
綜上，∠AED為α﹣50°或50°﹣α．
【點評】本題考查了三角形外角的性質(zhì)、直角三角形的兩銳角互余、垂線的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是關(guān)鍵．
28．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于任意兩點M（x1，y1），N（x2，y2），定義k|x1﹣x2|+（1﹣k）|y1﹣y2|為點M和點N的“k階距離”，其中0≤k≤1．例如：點M（1，3），N（﹣2，4）的階距離”為．已知點A（﹣1，2）．
（1）若點B（0，4），求點A和點B的“階距離”；
（2）若點B在x軸上，且點A和點B的“階距離”為4，求點B的坐標(biāo)；
（3）若點B（a，b），且點A和點B的“階距離”為1，直接寫出a+b的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)“k階距離”的定義計算點A與點B之間的“階距離”．
（2）設(shè)出點B的坐標(biāo)，再根據(jù)“階距離”的定義列出方程，求出字母的值，從而確定點B的坐標(biāo)，注意x軸上的點的縱坐標(biāo)為0．
（3）根據(jù)“階距離”的定義列出關(guān)于字母a和b的式子，當(dāng)a和b在不同的取值范圍內(nèi)將含有a和b的式子中的絕對值去掉，從而求得a+b的取值范圍．
【解答】解：（1）由題知，點A（﹣1，2）和點B（0，4）的“階距離”為+（1﹣）|2﹣4|＝+＝．
（2）∵點B在x軸上，
∴設(shè)點B的橫坐標(biāo)為m，則點B的坐標(biāo)為（m，0），
∵點A（﹣1，2）和點B（m，0）的“階距離”為4，
∴＝4，
＝，
|﹣1﹣m|＝8，
∴﹣1﹣m＝8或﹣1﹣m＝﹣8，
∴m＝﹣9或7，
∴點B的坐標(biāo)為（﹣9，0）或（7，0）．
（3）∵點A（﹣1，2）和點B（a，b）的“階距離”為1，
∴.＝1，
|﹣1﹣a|+|2﹣b|＝2，
①當(dāng)a≤﹣1，且b≤2時，得|﹣1﹣a|+|2﹣b|＝﹣1﹣a+2﹣b，由此得出a+b＝﹣1，
②當(dāng)a≤﹣1，且b＞2時，得|﹣1﹣a|+|2﹣b|＝﹣1﹣a+b﹣2，由此得出b＝5+a，則a+b＝2a+5，
∵b＞2，
即5+a＞2，
∴a＞﹣3
∵a≤﹣1，
∴﹣3＜a≤﹣1
∴﹣1＜2a+5≤3，即﹣1＜a+b≤3，
③當(dāng)a＞﹣1，且b＜2時，得|﹣1﹣a|+|2﹣b|＝1+a+2﹣b，由此得出a＝b﹣1，則a+b＝2b﹣1，
∵a＞﹣1，
即b﹣1＞﹣1，
∴b＞0，
∵b＜2，
∴0＜b＜2，
∴﹣1＜2b﹣1＜3，即﹣1＜a+b＜3，
④當(dāng)a＞﹣1，且b≥2時，得|﹣1﹣a|+|2﹣b|＝1+a+b﹣2，由此得出a+b＝3，
綜上所得，﹣1≤a+b≤3．
【點評】本題考查的是點的坐標(biāo)，根據(jù)題中“k階距離”的定義求出點兩點之間的“k階距離”并能由給出的兩點間的“k階距離”求出點的坐標(biāo)，理解“k階距離”的含義是解答本題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/6/18 11:05:24；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號：36906111分?jǐn)?shù)段（x分）
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