1．（3分）一元二次方程3x2﹣6x﹣1＝0的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（ ）
A．3，6，1B．3，6，﹣1C．3，﹣6，1D．3，﹣6，﹣1
2．（3分）如圖，以點(diǎn)P為圓心，以下列選項(xiàng)中的線段的長(zhǎng)為半徑作圓，所得的圓與直線l相切的是（ ）
A．PAB．PBC．PCD．PD
3．（3分）拋物線y＝（x﹣3）2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）
4．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝36°，那么∠BAD等于（ ）
A．36°B．44°C．54°D．56°
5．（3分）關(guān)于頻率和概率的關(guān)系，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．頻率等于概率
B．當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，頻率穩(wěn)定在概率附近
C．當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，概率穩(wěn)定在頻率附近
D．實(shí)驗(yàn)得到的頻率與概率不可能相等
6．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，以A為圓心AC為半徑畫(huà)圓，交AB于點(diǎn)D，則陰影部分面積是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）關(guān)于x的方程x2+2kx﹣1＝0的根的情況描述正確的是（ ）
A．k為任何實(shí)數(shù)，方程都沒(méi)有實(shí)數(shù)根
B．k為任何實(shí)數(shù)，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
C．k為任何實(shí)數(shù)，方程都有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
D．根據(jù)k的取值不同，方程根的情況分為沒(méi)有實(shí)數(shù)根、有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根和有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根三種
8．（3分）隨著時(shí)代的進(jìn)步，人們對(duì)PM2.5（空氣中直徑小于等于2.5微米的顆粒）的關(guān)注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）隨時(shí)間t（h）的變化如圖所示，設(shè)y2表示0時(shí)到t時(shí)PM2.5的值的極差（即0時(shí)到t時(shí)PM2.5的最大值與最小值的差），則y2與t的函數(shù)關(guān)系大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空題：
9．（3分）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)開(kāi)口向上且過(guò)點(diǎn)（0，﹣2）的拋物線表達(dá)式為 ．
10．（3分）在一個(gè)不透明的盒子中裝有2個(gè)白球，n個(gè)黃球，它們除顏色不同外，其余均相同．若從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，它是白球的概率為，則n＝ ．
11．（3分）如圖，△ABC中，∠B＝70°，∠BAC＝30°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△EDC．當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在AC上時(shí)，∠CAE＝ ．
12．（3分）如圖，AB是?O的直徑，弦CD⊥AB于E，若∠ABC＝30°，OE＝，則OD長(zhǎng)為 ．
13．（3分）某城市啟動(dòng)“城市森林”綠化工程，林業(yè)部門(mén)要考查某種樹(shù)苗在一定條件下的移植成活率．在同樣條件下，對(duì)這種樹(shù)苗進(jìn)行大量移植，并統(tǒng)計(jì)成活情況，數(shù)據(jù)如下表所示：
估計(jì)樹(shù)苗移植成活的概率是 （結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．
14．（3分）如圖所示，在矩形紙片上剪下一個(gè)扇形和一個(gè)圓形，使之恰好能?chē)梢粋€(gè)圓錐模型．若扇形的半徑為R，圓的半徑為r，則R與r滿足的數(shù)量關(guān)系是 ．
15．（3分）已知：如圖，半圓O的直徑AB＝12cm，點(diǎn)C，D是這個(gè)半圓的三等分點(diǎn)，則∠CAD的度數(shù)是 ，弦AC，AD和圍成的圖形（圖中陰影部分）的面積S是 ．
16．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，M是BC的中點(diǎn)，N是A'B'的中點(diǎn)，連接MN，若BC＝4，∠ABC＝60°，則線段MN的最大值為 ．
三、解答題：
17．解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．
18．下面是小東設(shè)計(jì)的“過(guò)圓外一點(diǎn)作這個(gè)圓的切線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．
已知：⊙O及⊙O外一點(diǎn)P．
求作：直線PA和直線PB，使PA切⊙O于點(diǎn)A，PB切⊙O于點(diǎn)B．
作法：如圖，
①作射線PO，與⊙O交于點(diǎn)M和點(diǎn)N；
②以點(diǎn)P為圓心，以PO為半徑作⊙P；
③以點(diǎn)O為圓心，以⊙O的直徑MN為半徑作圓，與⊙P交于點(diǎn)E和點(diǎn)F，連接OE和OF，分別與⊙O交于點(diǎn)A和點(diǎn)B；
④作直線PA和直線PB．
所以直線PA和PB就是所求作的直線．
（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）
（2）完成下面的證明．
證明：連接PE和PF，
∵OE＝MN，OA＝OM＝MN，
∴點(diǎn)A是OE的中點(diǎn)．
∵PO＝PE，
∴PA⊥OA于點(diǎn)A （填推理的依據(jù)）．
同理PB⊥OB于點(diǎn)B．
∵OA，OB為⊙O的半徑，
∴PA，PB是⊙O的切線．（ ）（填推理的依據(jù)）．
19．已知關(guān)于x的方程x2+2x+k﹣4＝0．
（1）如果方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍；
（2）若k＝1，求該方程的根．
20．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)（3，0）點(diǎn)，當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)的最小值為﹣4．
（1）求該二次函數(shù)的解析式并畫(huà)出它的圖象；
（2）直線x＝m與拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）和直線y＝x﹣3的交點(diǎn)分別為點(diǎn)C，點(diǎn)D，點(diǎn)C位于點(diǎn)D的上方，結(jié)合函數(shù)的圖象直接寫(xiě)出m的取值范圍．
21．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，OC＝4，AC＝4．
（1）求點(diǎn)O到AC的距離；
（2）求∠ADC的度數(shù)．
22．北京世界園藝博覽會(huì)（以下簡(jiǎn)稱“世園會(huì)”）于2019年4月29日至10月7日在北京市延慶區(qū)舉行．世園會(huì)為滿足大家的游覽需求，傾情打造了4條各具特色的游玩路線，如表：
小美和小紅都計(jì)劃去世園會(huì)游玩，她們各自在這4條路線中任意選擇一條，每條路線被選擇的可能性相同．
（1）求小美選擇路線“清新園藝之旅”的概率；
（2）用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求小美和小紅恰好選擇同一條路線的概率．
23．如圖，用一條長(zhǎng)40m的繩子圍成矩形ABCD，設(shè)邊AB的長(zhǎng)為xm．
（1）邊BC的長(zhǎng)為 m，矩形ABCD的面積為 m2（均用含x的代數(shù)式表示）；
（2）矩形ABCD的面積是否可以是120m2？請(qǐng)給出你的結(jié)論，并用所學(xué)的方程或者函數(shù)知識(shí)說(shuō)明理由．
24．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線y＝x與雙曲線y＝的一個(gè)交點(diǎn)是A（2，a）．
（1）求k的值；
（2）設(shè)點(diǎn)P（m，n）是雙曲線y＝上不同于A的一點(diǎn)，直線PA與x軸交于點(diǎn)B（b，0）．
①若m＝1，求b的值；
②若PB＝2AB，結(jié)合圖象，直接寫(xiě)出b的值．
25．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BAD＝90°，AC是對(duì)角線．點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，且∠CED＝∠BAC．
（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）BA與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若DE∥AC，AB＝4，AD＝2，求AF的長(zhǎng)．
26．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+3與y軸交于點(diǎn)A，將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)B，點(diǎn)B在拋物線上．
（1）①直接寫(xiě)出拋物線的對(duì)稱軸是 ；
②用含a的代數(shù)式表示b；
（2）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)，若拋物線與x軸交于P、Q兩點(diǎn)，該拋物線在P、Q之間的部分與線段PQ所圍成的區(qū)域（不包括邊界）恰有七個(gè)整點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍．
27．在△ABC中，AB＝2，CD⊥AB于點(diǎn)D，CD＝．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn)時(shí)，
①AC的長(zhǎng)為 ；
②延長(zhǎng)AC至點(diǎn)E，使得CE＝AC，此時(shí)CE與CB的數(shù)量關(guān)系是 ，∠BCE與∠A的數(shù)量關(guān)系是 ；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D不是線段AB的中點(diǎn)時(shí)，畫(huà)∠BCE（點(diǎn)E與點(diǎn)D在直線BC的異側(cè)），使∠BCE＝2∠A，CE＝CB，連接AE．
①按要求補(bǔ)全圖形；
②求AE的長(zhǎng)．
28．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P，給出如下定義：記點(diǎn)P到x軸的距離為d1，到y(tǒng)軸的距離為d2，若d1≤d2，則稱d1為點(diǎn)P的“引力值”；若d1＞d2，則稱d2為點(diǎn)P的“引力值”．特別地，若點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，則點(diǎn)P的“引力值”為0．
例如，點(diǎn)P（﹣2，3）到x軸的距離為3，到y(tǒng)軸的距離為2，因?yàn)?＜3，所以點(diǎn)P的“引力值”為2．
（1）①點(diǎn)A（﹣1，4）的“引力值”為 ；
②若點(diǎn)B（a，3）的“引力值”為2，則a的值為 ；
（2）若點(diǎn)C在直線y＝﹣2x+4上，且點(diǎn)C的“引力值”為2，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）已知點(diǎn)M是以（3，4）為圓心，半徑為2的圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)M的“引力值”d的取值范圍是 ．
2021-2022學(xué)年北京市東城區(qū)景山學(xué)校九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：（下列各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題意的）
1．（3分）一元二次方程3x2﹣6x﹣1＝0的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（ ）
A．3，6，1B．3，6，﹣1C．3，﹣6，1D．3，﹣6，﹣1
【分析】找出所求的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)即可．
【解答】解：一元二次方程3x2﹣6x﹣1＝0的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)分別是3，﹣6，﹣1．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過(guò)程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．
2．（3分）如圖，以點(diǎn)P為圓心，以下列選項(xiàng)中的線段的長(zhǎng)為半徑作圓，所得的圓與直線l相切的是（ ）
A．PAB．PBC．PCD．PD
【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷．
【解答】解：∵PB⊥l于B，
∴以點(diǎn)P為圓心，PB為半徑的圓與直線l相切．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系：判斷直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．若直線l和⊙O相交?d＜r；直線l和⊙O相切?d＝r；直線l和⊙O相離?d＞r．
3．（3分）拋物線y＝（x﹣3）2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）
【分析】根據(jù)題目中二次函數(shù)的頂點(diǎn)式可以直接寫(xiě)出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：∵y＝（x﹣3）2+1，
∴此函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1），
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟記：頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k），對(duì)稱軸是直線x＝h．
4．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝36°，那么∠BAD等于（ ）
A．36°B．44°C．54°D．56°
【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，可求得∠ADB＝90°，又由∠ACD＝36°，可求得∠ABD的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出答案．
【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∵＝，
∴∠ABD＝∠ACD＝36°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣36°＝54°，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理的推論以及直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．
5．（3分）關(guān)于頻率和概率的關(guān)系，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．頻率等于概率
B．當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，頻率穩(wěn)定在概率附近
C．當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，概率穩(wěn)定在頻率附近
D．實(shí)驗(yàn)得到的頻率與概率不可能相等
【分析】大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，某事件發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)的附近，這個(gè)常數(shù)就叫做事件概率的估計(jì)值，而不是一種必然的結(jié)果．
【解答】解：A、頻率只能估計(jì)概率；
B、正確；
C、概率是定值；
D、可以相同，如“拋硬幣實(shí)驗(yàn)”，可得到正面向上的頻率為0.5，與概率相同．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】考查利用頻率估計(jì)概率，大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率．
6．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，以A為圓心AC為半徑畫(huà)圓，交AB于點(diǎn)D，則陰影部分面積是（ ）
A．B．C．D．
【分析】本題中陰影部分的面積為Rt△ABC和扇形ACD的面積差，可在Rt△ACB中，根據(jù)∠B的度數(shù)，求出BC的長(zhǎng)，即可得出扇形ACD的面積和Rt△ABC的面積．
【解答】解：△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，
所以BC＝AC＝，∠A＝60°，
∴S陰影＝S△ABC﹣S扇形ACD
＝×1×﹣＝﹣．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了扇形的面積計(jì)算方法，通過(guò)直角三角形求出扇形的圓心角的度數(shù)和BC的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
7．（3分）關(guān)于x的方程x2+2kx﹣1＝0的根的情況描述正確的是（ ）
A．k為任何實(shí)數(shù)，方程都沒(méi)有實(shí)數(shù)根
B．k為任何實(shí)數(shù)，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
C．k為任何實(shí)數(shù)，方程都有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
D．根據(jù)k的取值不同，方程根的情況分為沒(méi)有實(shí)數(shù)根、有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根和有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根三種
【分析】先計(jì)算判別式的值得到Δ＝4k2+4，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得Δ＞0，然后根據(jù)判別式的意義進(jìn)行判斷．
【解答】解：Δ＝4k2﹣4×（﹣1）
＝4k2+4，
∵4k2≥0，
∴4k2+4＞0，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當(dāng)Δ＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
8．（3分）隨著時(shí)代的進(jìn)步，人們對(duì)PM2.5（空氣中直徑小于等于2.5微米的顆粒）的關(guān)注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）隨時(shí)間t（h）的變化如圖所示，設(shè)y2表示0時(shí)到t時(shí)PM2.5的值的極差（即0時(shí)到t時(shí)PM2.5的最大值與最小值的差），則y2與t的函數(shù)關(guān)系大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)極差的定義，分別從t＝0、0＜t≤10、10＜t≤20及20＜t≤24時(shí)，極差y2隨t的變化而變化的情況，從而得出答案．
【解答】解：當(dāng)t＝0時(shí)，極差y2＝85﹣85＝0，
當(dāng)0＜t≤10時(shí)，極差y2隨t的增大而增大，最大值為43；
當(dāng)10＜t≤20時(shí)，極差y2隨t的增大保持43不變；
當(dāng)20＜t≤24時(shí)，極差y2隨t的增大而增大，最大值為98；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是掌握函數(shù)圖象定義與畫(huà)法．
二、填空題：
9．（3分）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)開(kāi)口向上且過(guò)點(diǎn)（0，﹣2）的拋物線表達(dá)式為 y＝x2﹣2 ．
【分析】令拋物線的對(duì)稱軸為y軸，二次項(xiàng)系數(shù)為1，則拋物線的解析式可設(shè)為y＝x2+m，然后把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出m即可．
【解答】解：設(shè)拋物線的解析式為y＝x2+m，
把（0，﹣2）代入得m＝﹣2，
所以滿足條件的拋物線解析式為y＝x2﹣2．
故答案為y＝x2﹣2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．
10．（3分）在一個(gè)不透明的盒子中裝有2個(gè)白球，n個(gè)黃球，它們除顏色不同外，其余均相同．若從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，它是白球的概率為，則n＝ 1 ．
【分析】根據(jù)白球的概率公式列出關(guān)于n的方程，求出n的值即可．
【解答】解：由題意知：，解得n＝1．
【點(diǎn)評(píng)】用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
11．（3分）如圖，△ABC中，∠B＝70°，∠BAC＝30°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△EDC．當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在AC上時(shí)，∠CAE＝ 50° ．
【分析】利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AC＝CE，以及利用三角形內(nèi)角和得出∠BCA的度數(shù)，利用等腰三角形的性質(zhì)得出答案．
【解答】解：∵△ABC中，∠B＝70°，則∠BAC＝30°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△EDC，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在AC上，
∴∠BCA＝180°﹣70°﹣30°＝80°，AC＝CE，
∴∠BCA＝∠DCE＝80°，
∴∠CAE＝∠AEC＝（180°﹣80°）×＝50°．
故答案為：50°．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，得出∠CAE＝∠AEC是解題關(guān)鍵．
12．（3分）如圖，AB是?O的直徑，弦CD⊥AB于E，若∠ABC＝30°，OE＝，則OD長(zhǎng)為 2 ．
【分析】先利用垂徑定理得到＝，再根據(jù)圓周角定理得到∠AOD＝60°，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到OD的長(zhǎng)．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴＝，
∴∠AOD＝2∠ABC＝2×30°＝60°，
在Rt△ODE中，OD＝2OE＝2×＝2．
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．也考查了垂徑定理．
13．（3分）某城市啟動(dòng)“城市森林”綠化工程，林業(yè)部門(mén)要考查某種樹(shù)苗在一定條件下的移植成活率．在同樣條件下，對(duì)這種樹(shù)苗進(jìn)行大量移植，并統(tǒng)計(jì)成活情況，數(shù)據(jù)如下表所示：
估計(jì)樹(shù)苗移植成活的概率是 0.9 （結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．
【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)和概率的含義，可以估計(jì)樹(shù)苗移植成活的概率．
【解答】解：由表格中的數(shù)據(jù)可以估計(jì)樹(shù)苗移植成活的概率是0.9，
故答案為：0.9．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用頻率估計(jì)概率，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，寫(xiě)出相應(yīng)概率．
14．（3分）如圖所示，在矩形紙片上剪下一個(gè)扇形和一個(gè)圓形，使之恰好能?chē)梢粋€(gè)圓錐模型．若扇形的半徑為R，圓的半徑為r，則R與r滿足的數(shù)量關(guān)系是 R＝4r ．
【分析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出扇形的弧長(zhǎng)，根據(jù)題意列式計(jì)算即可．
【解答】解：扇形的弧長(zhǎng)為：＝，
∵圓的半徑為r，
∴底面圓的周長(zhǎng)是2πr，
由題意得：＝2πr，
整理得：R＝4r，即R與r之間的關(guān)系是R＝4r．
故答案為：R＝4r．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓錐的相關(guān)計(jì)算，掌握?qǐng)A錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的扇形弧長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
15．（3分）已知：如圖，半圓O的直徑AB＝12cm，點(diǎn)C，D是這個(gè)半圓的三等分點(diǎn)，則∠CAD的度數(shù)是 30° ，弦AC，AD和圍成的圖形（圖中陰影部分）的面積S是 6π cm2 ．
【分析】由題意知，∠COD＝60°，得出∠CAD的度數(shù)為：30°，進(jìn)而得出△CDO是等邊三角形，故陰影部分的面積等于扇形OCD的面積．
【解答】解：連接CO、OD，CD，
∵C、D是這個(gè)半圓的三等分點(diǎn)，
∴CD∥AB，∠COD＝60°，
∴∠CAD的度數(shù)為：30°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等邊三角形，CD＝OC＝AB＝6cm，
∴△OCD與△CDA是等底等高的三角形，
∴S陰影＝S扇形OCD＝π×62＝6π cm2．
故答案為：30°，6π cm2．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了扇形面積公式應(yīng)用，關(guān)鍵是判斷出△OCD與△CDA是等底等高的三角形，且△OCD是等邊三角形，利用扇形的面積公式求解．
16．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，M是BC的中點(diǎn)，N是A'B'的中點(diǎn)，連接MN，若BC＝4，∠ABC＝60°，則線段MN的最大值為 6 ．
【分析】連接CN．根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求出CN＝A′B′＝4，利用三角形的三邊關(guān)系即可解決問(wèn)題．
【解答】解：連接CN．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝4，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∴AB＝A′B′＝2BC＝8，
∵NB′＝NA′，
∴CN＝A′B′＝4，
∵CM＝BM＝2，
∴MN≤CN+CM＝6，
∴MN的最大值為6，
故答案為6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
三、解答題：
17．解方程：2x2﹣2x﹣1＝0．
【分析】此題可以采用配方法和公式法，解題時(shí)要正確理解運(yùn)用每種方法的步驟．
【解答】解法一：原式可以變形為，
，
，
∴，
∴，．
解法二：a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝12，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【點(diǎn)評(píng)】公式法和配方法適用于任何一元二次方程，解題時(shí)要細(xì)心．
18．下面是小東設(shè)計(jì)的“過(guò)圓外一點(diǎn)作這個(gè)圓的切線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．
已知：⊙O及⊙O外一點(diǎn)P．
求作：直線PA和直線PB，使PA切⊙O于點(diǎn)A，PB切⊙O于點(diǎn)B．
作法：如圖，
①作射線PO，與⊙O交于點(diǎn)M和點(diǎn)N；
②以點(diǎn)P為圓心，以PO為半徑作⊙P；
③以點(diǎn)O為圓心，以⊙O的直徑MN為半徑作圓，與⊙P交于點(diǎn)E和點(diǎn)F，連接OE和OF，分別與⊙O交于點(diǎn)A和點(diǎn)B；
④作直線PA和直線PB．
所以直線PA和PB就是所求作的直線．
（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）
（2）完成下面的證明．
證明：連接PE和PF，
∵OE＝MN，OA＝OM＝MN，
∴點(diǎn)A是OE的中點(diǎn)．
∵PO＝PE，
∴PA⊥OA于點(diǎn)A （三線合一） （填推理的依據(jù)）．
同理PB⊥OB于點(diǎn)B．
∵OA，OB為⊙O的半徑，
∴PA，PB是⊙O的切線．（ 經(jīng)過(guò)半徑的外端，和半徑垂直的直線是圓的切線 ）（填推理的依據(jù)）．
【分析】（1）根據(jù)要求畫(huà)出圖形即可．
（2）利用等腰三角形的三線合一的思想解決問(wèn)題即可．
【解答】解：（1）補(bǔ)全圖形如圖：
（2）證明：連接PE和PF，
∵OE＝MN，OA＝OM＝MN，
∴點(diǎn)A是OE的中點(diǎn)，
∵PO＝PE．
∴PA⊥OA于點(diǎn)A（三線合一），
同理PB⊥OB于點(diǎn)B，
∵OA，OB為⊙O的半徑，
∴PA，PB是⊙O的切線．（經(jīng)過(guò)半徑的外端，和半徑垂直的直線是圓的切線）．
故答案為：（三線合一），經(jīng)過(guò)半徑的外端，和半徑垂直的直線是圓的切線．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
19．已知關(guān)于x的方程x2+2x+k﹣4＝0．
（1）如果方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍；
（2）若k＝1，求該方程的根．
【分析】（1）根據(jù)根的判別式Δ＞0，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式組，解之即可得出k的取值范圍；
（2）將k＝1代入方程x2+2x+k﹣4＝0，解方程即可求出方程的解．
【解答】解：（1）Δ＝22﹣4×1×（k﹣4）＝20﹣4k．
∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ＞0．
∴20﹣4k＞0，
解得k＜5；
∴k的取值范圍為k＜5．
（2）當(dāng)k＝1時(shí)，原方程化為x2+2x﹣3＝0，
（x﹣1）（x+3）＝0，
x﹣1＝0或x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當(dāng)Δ＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
20．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)（3，0）點(diǎn)，當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)的最小值為﹣4．
（1）求該二次函數(shù)的解析式并畫(huà)出它的圖象；
（2）直線x＝m與拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）和直線y＝x﹣3的交點(diǎn)分別為點(diǎn)C，點(diǎn)D，點(diǎn)C位于點(diǎn)D的上方，結(jié)合函數(shù)的圖象直接寫(xiě)出m的取值范圍．
【分析】（1）設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x﹣1）2﹣4（a≠0），再把（3，0）代入求出a得到拋物線解析式，然后利用描點(diǎn)法畫(huà)出二次函數(shù)圖象；
（2）先畫(huà)出直線y＝x﹣3，則可得到直線y＝x﹣3與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3），（3，0），然后寫(xiě)出拋物線在直線y＝x﹣3上方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可．
【解答】解：（1）∵當(dāng)x＝1時(shí)，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值為﹣4，
∴二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為（1，﹣4），
∴二次函數(shù)的解析式可設(shè)為y＝a（x﹣1）2﹣4（a≠0），
∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（3，0）點(diǎn)，
∴a（3﹣1）2﹣4＝0．
解得a＝1．
∴該二次函數(shù)的解析式為y＝（x﹣1）2﹣4；
如圖，
（2）由圖象可得m＜0或m＞3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．
21．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，OC＝4，AC＝4．
（1）求點(diǎn)O到AC的距離；
（2）求∠ADC的度數(shù)．
【分析】（1）作OM⊥AC于M，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AM＝CM＝2，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；
（2）連接OA，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠MOC＝∠MCO＝45°，求得∠AOC＝90°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）作OM⊥AC于M，
∵AC＝4，
∴AM＝CM＝2，
∵OC＝4，
∴OM＝＝2；
（2）連接OA，
∵OM＝MC，∠OMC＝90°，
∴∠MOC＝∠MCO＝45°，
∵OA＝OC，
∴∠OAM＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∴∠B＝45°，
∵∠D+∠B＝180°，
∴∠D＝135°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
22．北京世界園藝博覽會(huì)（以下簡(jiǎn)稱“世園會(huì)”）于2019年4月29日至10月7日在北京市延慶區(qū)舉行．世園會(huì)為滿足大家的游覽需求，傾情打造了4條各具特色的游玩路線，如表：
小美和小紅都計(jì)劃去世園會(huì)游玩，她們各自在這4條路線中任意選擇一條，每條路線被選擇的可能性相同．
（1）求小美選擇路線“清新園藝之旅”的概率；
（2）用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求小美和小紅恰好選擇同一條路線的概率．
【分析】（1）由概率公式即可得出結(jié)果；
（2）畫(huà)出樹(shù)狀圖，共有16種等可能的結(jié)果，小美和小紅恰好選擇同一線路游覽的結(jié)果有4種，由概率公式即可得出結(jié)果．
【解答】解：（1）在這四條線路任選一條，每條被選中的可能性相同，
∴在四條線路中，小美選擇路線“清新園藝之旅”的概率；
（2）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：
共有16種等可能的結(jié)果，小美和小紅恰好選擇同一線路游覽的結(jié)果有4種，
則小美和小紅恰好選擇同一線路游覽的概率為＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率．列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
23．如圖，用一條長(zhǎng)40m的繩子圍成矩形ABCD，設(shè)邊AB的長(zhǎng)為xm．
（1）邊BC的長(zhǎng)為 （20﹣x） m，矩形ABCD的面積為 （﹣x2+20x） m2（均用含x的代數(shù)式表示）；
（2）矩形ABCD的面積是否可以是120m2？請(qǐng)給出你的結(jié)論，并用所學(xué)的方程或者函數(shù)知識(shí)說(shuō)明理由．
【分析】（1）根據(jù)矩形的周長(zhǎng)公式求得邊BC的長(zhǎng)度；然后由矩形的面積公式求得矩形ABCD的面積；
（2）根據(jù)矩形的面積公式得到關(guān)于x的方程，通過(guò)解方程求得答案．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，知邊BC的長(zhǎng)為：（20﹣x）m，
矩形ABCD的面積為：（20﹣x）x＝（﹣x2+20x）m2；
故答案為：（20﹣x）；（﹣x2+20x）；
（2）若矩形ABCD的面積是120m2，則﹣x2+20x＝120．
∵Δ＝b2﹣4ac＝﹣80＜0，
∴這個(gè)方程無(wú)解．
∴矩形ABCD的面積不可以是120m2．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．
24．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線y＝x與雙曲線y＝的一個(gè)交點(diǎn)是A（2，a）．
（1）求k的值；
（2）設(shè)點(diǎn)P（m，n）是雙曲線y＝上不同于A的一點(diǎn)，直線PA與x軸交于點(diǎn)B（b，0）．
①若m＝1，求b的值；
②若PB＝2AB，結(jié)合圖象，直接寫(xiě)出b的值．
【分析】（1）由直線解析式求得A（2，1），然后代入雙曲線y＝中，即可求得k的值；
（2）①根據(jù)系數(shù)k的幾何意義即可求得n的值，得到P的坐標(biāo)，繼而求得直線PA的解析式，代入B（b，0）即可求得b的值；②分兩種情況討論求得即可．
【解答】解：（1）∵直線y＝x與雙曲線y＝的一個(gè)交點(diǎn)是A（2，a），
∴a＝×2＝1，
∴A（2，1），
∴k＝2×1＝2；
（2）①若m＝1，則P（1，n），
∵點(diǎn)P（1，n）是雙曲線y＝上不同于A的一點(diǎn)，
∴n＝k＝2，
∴P（1，2），
∵A（2，1），
則直線PA的解析式為y＝﹣x+3，
∵直線PA與x軸交于點(diǎn)B（b，0），
∴0＝﹣b+3，
∴b＝3；
②如圖1，當(dāng)P在第一象限時(shí)，
∵PB＝2AB，A（2，1），
∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2，
代入y＝求得x＝1，
∴P（1，2），
由①可知，此時(shí)b＝3；
如圖2，當(dāng)P在第三象限時(shí)，
∵PB＝2AB，A（2，1），
∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)是﹣2，
代入y＝求得x＝﹣1，
∴P（﹣1，﹣2），
∵A（2，1）
則直線PA的解析式為y＝x﹣1，
∴b＝1，
綜上，b的值為3或1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．
25．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BAD＝90°，AC是對(duì)角線．點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，且∠CED＝∠BAC．
（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）BA與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若DE∥AC，AB＝4，AD＝2，求AF的長(zhǎng)．
【分析】（1）先根據(jù)圓周角定理證明BD是⊙O的直徑，得∠BCD＝90°，再由三角形外角的性質(zhì)和圓周角定理可得∠BDE＝90°，可得DE是⊙O的切線；
（2）先根據(jù)平行線的性質(zhì)得：∠BHC＝∠BDE＝90°．由垂徑定理得AH＝CH，＝，由垂直平分線的性質(zhì)得BC＝AB＝4，CD＝AD＝2．證明△FAD∽△FCB，列比例式得CF＝2AF，設(shè) AF＝x，則DF＝CF﹣CD＝2x﹣2，根據(jù)勾股定理列方程可解答．
【解答】解：（1）相切．
理由是：連接BD，如圖1．
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BAD＝90°，
∴BD是⊙O的直徑，即點(diǎn)O在BD上．
∴∠BCD＝90°．
∴∠CED+∠CDE＝90°．
∵∠CED＝∠BAC．
又∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠BDC+∠CDE＝90°，即∠BDE＝90°．
∴DE⊥OD于點(diǎn)D．
∴DE是⊙O的切線．
（2）如圖2，BD與AC交于點(diǎn)H，
∵DE∥AC，
∴∠BHC＝∠BDE＝90°．
∴BD⊥AC．
∴AH＝CH．
∴BC＝AB＝4，CD＝AD＝2．
∵∠FAD＝∠FCB＝90°，∠F＝∠F，
∴△FAD∽△FCB．
∴．
∴CF＝2AF．
設(shè) AF＝x，則DF＝CF﹣CD＝2x﹣2．
在Rt△ADF中，DF2＝AD2+AF2，
∴（2x﹣2）2＝22+x2．
解得：x1＝，x2＝0（舍）．
∴AF＝．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，求出BC＝4是解本題的關(guān)鍵．
26．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+3與y軸交于點(diǎn)A，將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)B，點(diǎn)B在拋物線上．
（1）①直接寫(xiě)出拋物線的對(duì)稱軸是 直線x＝1 ；
②用含a的代數(shù)式表示b；
（2）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)，若拋物線與x軸交于P、Q兩點(diǎn)，該拋物線在P、Q之間的部分與線段PQ所圍成的區(qū)域（不包括邊界）恰有七個(gè)整點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍．
【分析】（1）①根據(jù)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)可得對(duì)稱軸；
②根據(jù)對(duì)稱軸為直線x＝1，即＝﹣＝1，即可得出a、b之間的關(guān)系；
（2）分分情況進(jìn)行解答，即a＞3或a＜0，開(kāi)口向上或開(kāi)口向下，結(jié)合圖象得出：當(dāng)開(kāi)口向上時(shí)，x＝1時(shí)，y＝a+b+c＝﹣a+3＜﹣7，當(dāng)開(kāi)口向下時(shí)，x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c≤1，再根據(jù)拋物線與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，進(jìn)而求出a的取值范圍即可．
【解答】解：（1）①∵拋物線y＝ax2+bx+3與y軸交于點(diǎn)A，
∴點(diǎn)A（0，3），
∵將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)B，
∴點(diǎn)B（2，3），
∴過(guò)點(diǎn)A、點(diǎn)B的拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，
故答案為：直線x＝1；
②由于對(duì)稱軸是直線x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0；
（2）由于拋物線與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，因此b2﹣4ac＞0，
而c＝3，2a+b＝0，
∴4a2﹣12a＞0，
即a2﹣3a＞0，
∴a＞3或a＜0，
①當(dāng)a＞0時(shí)，如圖1，開(kāi)口向上的拋物線，該拋物線在P、Q之間的部分與線段PQ所圍成的區(qū)域（不包括邊界）恰有七個(gè)整點(diǎn)，這七個(gè)整數(shù)點(diǎn)為（1，﹣1）（1，﹣2）（1，﹣3）（1，﹣4）（1，﹣5）（1，﹣6）（1，﹣7）
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝a+b+c＝﹣a+3，
∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣a+3），
∴﹣8≤a＜﹣7，
∴10＜a≤11，
②當(dāng)a＜0時(shí)，如圖2，該拋物線在P、Q之間的部分與線段PQ所圍成的區(qū)域（不包括邊界）恰有七個(gè)整點(diǎn)為（0，1）（0，2）（1，1）（1，2）（1，3）（2，1）（2，2），
當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＝3a+3，
∵恰好有7個(gè)整數(shù)點(diǎn)，
∴，
解得﹣1≤a≤﹣，
綜上所述a的取值范圍為10＜a≤11，﹣1≤a≤﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象與系數(shù)a、b、c的關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．
27．在△ABC中，AB＝2，CD⊥AB于點(diǎn)D，CD＝．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn)時(shí)，
①AC的長(zhǎng)為 ；
②延長(zhǎng)AC至點(diǎn)E，使得CE＝AC，此時(shí)CE與CB的數(shù)量關(guān)系是 CE＝CB ，∠BCE與∠A的數(shù)量關(guān)系是 ∠BCE＝2∠A ；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D不是線段AB的中點(diǎn)時(shí)，畫(huà)∠BCE（點(diǎn)E與點(diǎn)D在直線BC的異側(cè)），使∠BCE＝2∠A，CE＝CB，連接AE．
①按要求補(bǔ)全圖形；
②求AE的長(zhǎng)．
【分析】（1）①利用勾股定理求解即可．
②利用線段的垂直平分線的性質(zhì)以及三角形的外角的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．
（2）①根據(jù)要求作出圖形即可．
②如圖2中，在AC的上方作△ACT，使得CT＝CA，∠ACT＝∠BCE，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AT于H．證明△ACE≌△TCB（SAS），推出AE＝BT，可得結(jié)論．
【解答】解：（1）①如圖1中，
∵AD＝DB＝AB＝，CD⊥AB，
∴CA＝CB，∠ADC＝90°，
∵CD＝，
∴AC＝＝＝．
故答案為：．
②連接BE．∵CA＝CE，CA＝CB，
∴CE＝CB，
∵CA＝CB，
∴∠A＝∠CBA，
∴∠ECB＝∠A+∠CBA＝2∠A，
故答案為：CE＝CB，∠BCE＝2∠A．
（2）①圖形如圖2所示：
②如圖2中，在AC的上方作△ACT，使得CT＝CA，∠ACT＝∠BCE，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AT于H．
∵CA＝CT，CH⊥AT，
∴AH＝HT，∠ACH＝∠TCH，
∵∠BCE＝2∠CAB，∠ECB＝∠ACT，
∴∠ACH＝∠CAB，
∴CH∥AB，
∴∠CHA＝∠HAB＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴四邊形ADCH是矩形，
∴CD＝AH＝HT＝，
∴AT＝2AH＝2，
∵∠ACT＝∠ECB，
∴∠ACE＝∠TCB，
∵CA＝CT，CE＝CB，
∴△ACE≌△TCB（SAS），
∴AE＝BT，
∵BT＝＝＝2，
∴AE＝BT＝2．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考常?？碱}型．
28．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P，給出如下定義：記點(diǎn)P到x軸的距離為d1，到y(tǒng)軸的距離為d2，若d1≤d2，則稱d1為點(diǎn)P的“引力值”；若d1＞d2，則稱d2為點(diǎn)P的“引力值”．特別地，若點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，則點(diǎn)P的“引力值”為0．
例如，點(diǎn)P（﹣2，3）到x軸的距離為3，到y(tǒng)軸的距離為2，因?yàn)?＜3，所以點(diǎn)P的“引力值”為2．
（1）①點(diǎn)A（﹣1，4）的“引力值”為 1 ；
②若點(diǎn)B（a，3）的“引力值”為2，則a的值為 ±2 ；
（2）若點(diǎn)C在直線y＝﹣2x+4上，且點(diǎn)C的“引力值”為2，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）已知點(diǎn)M是以（3，4）為圓心，半徑為2的圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)M的“引力值”d的取值范圍是 1≤d≤． ．
【分析】（1）①直接根據(jù)“引力值”的定義，其最小距離為“引力值”；
②點(diǎn)B（a，3）到x軸的距離為3，且其“引力值”為2，所以a＝±2；
（2）根據(jù)點(diǎn)C的“引力值”為2，可得x＝±2或y＝±2，代入可得結(jié)果；
（3）M在點(diǎn)C處時(shí)，其“引力值”最小為1，在第一象限角平分線上時(shí)，其“引力值”最大，根據(jù)勾股定理求出d的值．
【解答】解：（1）①∵點(diǎn)A（﹣1，4）到x軸的距離為4，到y(tǒng)軸的距離為1，
∵1＜4，
∴點(diǎn)A的“引力值”為1．
②∵點(diǎn)B（a，3）的“引力值”為2，
∴a＝±2；
（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)（x，y），
∵點(diǎn)C的“引力值”為2，
∴x＝±2或y＝±2，
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣2×2+4＝0，此時(shí)點(diǎn)C的“引力值”為0，不符合題意，舍去，
當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝﹣2×（﹣2）+4＝8，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，8），
當(dāng)y＝2時(shí)，﹣2x+4＝2，x＝1，此時(shí)點(diǎn)C的“引力值”為1，不符合題意，舍去，
當(dāng)y＝﹣2時(shí)，﹣2x+4＝﹣2，x＝3，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，﹣2），
綜上所述，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，8）或（3，﹣2）；
（3）如圖，過(guò)A分別作x、y軸的垂線，分別交⊙A于B和C，交y軸于D，
∵A（3，4），AC＝AB＝2
∴C（1，4），B（3，2）
∴點(diǎn)M的“引力值”d最小為1，
設(shè)M（x，y），過(guò)M作MN⊥AC于N，
當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，點(diǎn)M的“引力值”d最大，
∴MN＝x﹣4，AN＝x﹣3，AM＝2，
由勾股定理得：AM2＝MN2+AN2，
22＝（x﹣4）2+（x﹣3）2，
2x2﹣14x+21＝0，
x＝＝，
∴M（，）或（，），
∴點(diǎn)M的“引力值”d的取值范圍是：1≤d≤．
故答案為：1≤d≤．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)綜合題、“引力值”的定義、圓的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用特殊位置解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/7/22 19:16:23；用戶：菁優(yōu)校本題庫(kù)；郵箱：2471@xyh.cm；學(xué)號(hào)：56380052移植總數(shù)
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