1．（3分）中國“二十四節(jié)氣”已被列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄，下列四幅作品分別代表“立春”、“立夏”、“芒種”、“大雪”，其中不是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）已知△ABC，作BC邊上的高，下列作圖中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）若正多邊形的一個內(nèi)角是120°，則這個正多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．6B．5C．4D．3
4．（3分）已知圖中的兩個三角形全等，則∠1的度數(shù)是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
5．（3分）如圖，在△ABC中，CB＝CA，∠B＝65°，AD∥BC，則∠CAD的度（ ）
A．45°B．50°C．65°D．70°
6．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4．則AC的長度是（ ）
A．3.5B．3C．2.5D．2
7．（3分）一副三角板按如圖所示的位置疊放在一起，則圖中∠α的度數(shù)是（ ）
A．5°B．10°C．15°D．20°
8．（3分）如圖，點M是∠AOB平分線上的一點，點P、點Q分別在射線OA、射線OB上，滿足OP＝2OQ，若△OMP的面積是2，則△OQM的面積是（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．（3分）下列說法中，正確的是（ ）
A．直角三角形的兩個銳角相等
B．六邊形的外角和比五邊形的外角和大180°
C．軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線
D．有一個角是60°的三角形是等邊三角形
10．（3分）如圖，將長方形ABCD沿EF折疊，B，C分別落在點H，G的位置，CD與HE交于點M．下列說法中，不正確的是（ ）
A．∠MFE＜∠HMFB．ME＝MFC．FG+FM＝EBD．∠GFM＝∠MEA
二、填空題（本題共30分，每小題3分）
11．（3分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A（﹣1，3）關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)是 ．
12．（3分）如圖，在正方形方格中，點A，B，C在格點上，則∠CAB+∠ABC的度數(shù)是 ．
13．（3分）若一個等腰三角形的一個角的度數(shù)是40°，則它的頂角度數(shù)是 ；若一個等腰三角形的兩條邊長分別是4和9，則它的周長是 ．
14．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC．
（1）若AM是BC邊上的高，則可以推出BM＝MC．依據(jù)是 ．
（2）在問題（1）的基礎(chǔ)上，若點N在AM上，則由BM＝MC，AM⊥BC，可以進一步推出NB＝NC．依據(jù)是 ．
15．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，下列結(jié)論：①AE＝CE；②BE＝DE；③BD⊥AC；④四邊形ABCD的面積等于AC×BD．其中正確的有 ．（填序號）
16．（3分）如圖，在△ABC中，DE垂直平分AC，若∠B＝50°，EC＝AB，則∠C的度數(shù)是 ．
17．（3分）如圖，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分線，它們相交于點O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，則∠DAE的度數(shù)是 ，∠BOA的度數(shù)是 ．
18．（3分）如圖，兩根旗桿AC和BD垂直于地面AB放置，它們相距AB＝12m．某人從點B出發(fā)，沿BA方向走了5m到達(dá)點M處．此時，他仰望旗桿的頂點C和D，兩次視線的夾角∠CMD＝90°，且CM＝DM，則可以推知旗桿AC的長是 m，旗桿BD的長是 m．
19．（3分）如圖，∠AOB＝40°，點P為∠AOB內(nèi)一點，分別作P點關(guān)于直線OA，OB的對稱點C，D，連接OP，OC，OD，CD，PC，PD．
則（1）∠CPD的度數(shù)是 ；
（2）∠OCD的度數(shù)是 ．
20．（3分）如圖，平面中兩條直線l1和l2相交于點O，對于平面上任意一點M，若點M到直線l1、l2的距離分別是pcm、qcm，則稱有序?qū)崝?shù)對（p，q）是點M的“距離坐標(biāo)”．特別地，當(dāng)點在直線上時，定義點到直線的距離為0．下列說法：
①“距離坐標(biāo)”是（0，0）的點只有點O；
②“距離坐標(biāo)”是（0，1）的點只有1個；
③“距離坐標(biāo)”是（2，2）的點共有4個；
正確的有 （填序號）．
三、解答題（本題共40分，第21題5分，第22題5分，第23題7分，第24題8分，第25題7分，第26題8分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。
21．（5分）如圖，在△ABC中，BD＝CD，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，若BE＝CF．求證：AD平分∠BAC．
請你補全下述證明過程：
證：∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BED＝∠CFD＝90°
在Rt△DBE和Rt△DCF中，，① ，② ，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF（ ）
∴DE＝DF．
∵DE＝DF， ，
∴AD平分∠BAC．
22．（5分）尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡．
如圖，在△ABC中，∠C＝90°，在AB上取一點D，使得AD＝AC，連接CD，作CD的垂直平分線交BC于點E．
（1）補全圖形；
（2）∠BAC與∠BCD滿足的等量關(guān)系是 ．
23．（7分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝50°，點E和點F分別在BA和BC邊上，且BE＝BF，連接EF并延長交AC的延長線于點G，∠G＝20°，取EF的中點O，連接BO并延長交AC于點D．
（1）求∠BEF的度數(shù)；
（2）求∠BDC的度數(shù)．
24．（8分）如圖，點E為△ABC的外角∠CAD平分線上的一點，AE∥BC．
（1）求證：△ABC是等腰三角形；
（2）若點F在線段BC上，滿足BF＝AE，連接AF，EC，補全圖形，求證：AF＝CE．
25．（7分）如圖1，已知等邊△ABC，點D在BC邊上，∠BAD＝α（0°＜α＜30°），點E是點D關(guān)于直線AB的對稱點，點F在直線AC上，滿足EF＝AD．
（1）求∠AFE的度數(shù)；（用含有α的代數(shù)式表示）
（2）探究AF，BD，DC滿足的等量關(guān)系，并證明；
（3）如圖2，若點D在CB的延長線上，其余條件不變，直接寫出AF，BD，DC滿足的等量關(guān)系．
26．（8分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O（0，0），A（﹣2，﹣3），B（3，﹣1），C（3，3），D（﹣2，1），若點P關(guān)于某直線l的對稱點落在平行四邊形ABCD內(nèi)（不包含邊界），則稱點P是平行四邊形ABCD的“l(fā)?封閉點”．
（1）點P（1，2），若點P是平行四邊形ABCD的“l(fā)?封閉點”，則l可以是 ．（填序號）
①x軸
②y軸
③一三象限角平分線
④平行四邊形ABCD的對稱軸
（2）若點Q是平行四邊形ABCD的“y軸?封閉點”，求點Q橫坐標(biāo)的取值范圍；
（3）點M（0，﹣9），點N是線段OM上的一點，若點N是平行四邊形ABCD的“直線y＝﹣2?封閉點”，求點N的縱坐標(biāo)的取值范圍．
2022-2023學(xué)年北京市十一學(xué)校八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共30分，每小題3分）第1-10題均有4個選項，符合題意的選項只有1個
1．（3分）中國“二十四節(jié)氣”已被列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄，下列四幅作品分別代表“立春”、“立夏”、“芒種”、“大雪”，其中不是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱．
【解答】解：B，C，D選項中的圖形都能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
A選項中的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
故選：A．
【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．（3分）已知△ABC，作BC邊上的高，下列作圖中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)三角形高的定義，過A點作BC的垂線即可．
【解答】解：作BC邊上的高，作圖中正確為．
故選：C．
【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了三角形的角平分線、中線和高．
3．（3分）若正多邊形的一個內(nèi)角是120°，則這個正多邊形的邊數(shù)為（ ）
A．6B．5C．4D．3
【分析】多邊形的內(nèi)角和可以表示成（n﹣2）?180°，因為所給多邊形的每個內(nèi)角均相等，故又可表示成120°n，列方程可求解．此題還可以由已知條件，求出這個多邊形的外角，再利用多邊形的外角和定理求解．
【解答】解：設(shè)所求正n邊形邊數(shù)為n，
則120°n＝（n﹣2）?180°，
解得n＝6，
故選：A．
【點評】本題考查根據(jù)多邊形的內(nèi)角和計算公式求多邊形的邊數(shù)，解答時要會根據(jù)公式進行正確運算是解答此題的關(guān)鍵．
4．（3分）已知圖中的兩個三角形全等，則∠1的度數(shù)是（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【分析】如圖，先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠2＝70°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和計算出∠1的度數(shù)．
【解答】解：如圖，
∵圖中的兩個三角形全等，
∴∠2＝70°，
∵∠1+∠2+50°＝180°，
∴∠1＝180°﹣70°﹣50°＝60°．
故選：B．
【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)角相等．
5．（3分）如圖，在△ABC中，CB＝CA，∠B＝65°，AD∥BC，則∠CAD的度（ ）
A．45°B．50°C．65°D．70°
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得∠C的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠CAD的度數(shù)．
【解答】解：∵CB＝CA，∠B＝65°，
∴∠CAB＝∠B＝65°，
∴∠C＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠C＝50°，
故選：B．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)等，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4．則AC的長度是（ ）
A．3.5B．3C．2.5D．2
【分析】根據(jù)在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得AC＝AB＝2．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，
∴AC＝AB＝2．
故選：D．
【點評】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．比較簡單．
7．（3分）一副三角板按如圖所示的位置疊放在一起，則圖中∠α的度數(shù)是（ ）
A．5°B．10°C．15°D．20°
【分析】由題意可得∠A＝45°，∠2＝60°，利用三角形的外角性質(zhì)即可求解．
【解答】解：如圖，
由題意得：∠A＝45°，∠2＝60°，
∵∠2是△ABC的外角，
∴∠α＝∠2﹣∠A＝15°．
故選：C．
【點評】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記三角形的外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角之和．
8．（3分）如圖，點M是∠AOB平分線上的一點，點P、點Q分別在射線OA、射線OB上，滿足OP＝2OQ，若△OMP的面積是2，則△OQM的面積是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】過點M作ME⊥OP，MF⊥OB，先利用角平分線的性質(zhì)說明EM與MF的關(guān)系，再利用三角形的面積公式求出OP與EM的積，最后再利用三角形的面積公式得結(jié)論．
【解答】解：過點M作ME⊥OP，MF⊥OB，垂足分別為E、F．
∵M是∠AOB平分線上的一點，ME⊥OP，MF⊥OB，
∴ME＝MF．
∵S△OMP＝OP×EM＝2，
∴OP×EM＝4．
∵OP＝2OQ，
∴OQ×EM＝2．
∴S△OMQ＝OQ×EF
＝OQ×EM
＝1．
故選：A．
【點評】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，掌握“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”、三角形的面積公式是解決本題的關(guān)鍵．
9．（3分）下列說法中，正確的是（ ）
A．直角三角形的兩個銳角相等
B．六邊形的外角和比五邊形的外角和大180°
C．軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線
D．有一個角是60°的三角形是等邊三角形
【分析】由直角三角形的性質(zhì)，多邊形的概念，軸對稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定，即可選擇．
【解答】解：A、直角三角形的兩個銳角互余，不一定相等，故A不符合題意；
B、六邊形和五邊形的外角和相等是360°，故B不符合題意；
C、軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線，正確，故C符合題意；
D、有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，故D不符合題意，
故選：C．
【點評】本題考查直角三角形的性質(zhì)，多邊形的概念，軸對稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定，關(guān)鍵是掌握以上概念和性質(zhì)．
10．（3分）如圖，將長方形ABCD沿EF折疊，B，C分別落在點H，G的位置，CD與HE交于點M．下列說法中，不正確的是（ ）
A．∠MFE＜∠HMFB．ME＝MFC．FG+FM＝EBD．∠GFM＝∠MEA
【分析】根據(jù)三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角得∠HMF＞∠MFE，則∠MFE＜∠HMF，可判斷A正確；
由CD∥AB，得∠MFE＝∠BEF，由折疊得∠MEF＝∠BEF，則∠MFE＝∠MEF，所以ME＝MF，可判斷B正確；
由折疊得FG＝FC，則FG+FM＝MC，如果FG+FM＝EB，那么需要滿足的條件∠BEH＝90°，則∠HEF＝∠BEF＝45°，與已知條件不符，可判斷C錯誤；
由FG∥EH，得∠GFM＝∠EMF，由CD∥AB，得∠EMF＝∠MEA，則∠GFM＝∠MEA，可判斷D正確，于是得到問題的答案．
【解答】解：∵∠HMF是△MEF的外角，
∴∠HMF＞∠MFE，
∴∠MFE＜∠HMF，
故A正確；
∵四邊形ABCD是長方形，
∴CD∥AB，
∴∠MFE＝∠BEF，
由折疊得∠MEF＝∠BEF，
∴∠MFE＝∠MEF，
∴ME＝MF，
故B正確；
∵FG＝FC，
∴FG+FM＝MC，
若FG+FM＝EB，則MC＝EB，需要滿足的條件是∠BEH＝90°，
∴∠HEF＝∠BEF＝45°，與已知條件不符，
∴FG+FM與EB不一定相等，
故C錯誤；
∵FG∥EH，
∴∠GFM＝∠EMF，
∵∠EMF＝∠MEA，
∴∠GFM＝∠MEA，
故D正確，
故選：C．
【點評】此題重點考查軸對稱的性質(zhì)、三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識，根據(jù)平行線的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)推導(dǎo)出相等的角是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本題共30分，每小題3分）
11．（3分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A（﹣1，3）關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)是 （1，3） ．
【分析】根據(jù)關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)特點：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變．即點P（x，y）關(guān)于y軸的對稱點P′的坐標(biāo)是（﹣x，y），進而得出答案．
【解答】解：根據(jù)關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)特點：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，
則點A（﹣1，3）關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)是（1，3）．
故答案為：（1，3）．
【點評】此題主要考查了關(guān)于y軸對稱點的性質(zhì)，正確掌握橫縱坐標(biāo)的符號關(guān)系是解題關(guān)鍵．
12．（3分）如圖，在正方形方格中，點A，B，C在格點上，則∠CAB+∠ABC的度數(shù)是 45° ．
【分析】由網(wǎng)格可知AD＝CD且∠ADC＝90°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：如圖，
∵AD＝DC，且∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝45°，
∵∠ACD＝∠∠CAB+∠ABC，
∴∠CAB+∠ABC＝45°，
故答案為：45°．
【點評】本題考查了等腰直角三角形的判定，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
13．（3分）若一個等腰三角形的一個角的度數(shù)是40°，則它的頂角度數(shù)是 100°或40° ；若一個等腰三角形的兩條邊長分別是4和9，則它的周長是 22 ．
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理即可確定頂角的度數(shù)；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系可確定等腰三角形周長．
【解答】解：∵一個等腰三角形的一個角的度數(shù)是40°，
①底角為40°時，頂角的度數(shù)為180°﹣40°﹣40°＝100°，
②頂角為40°，
∴頂角的度數(shù)是100°或40°；
一個等腰三角形的兩條邊長分別是4和9，
∵4+4＜9，
∴4是底邊，9是腰，
∴等腰三角形的周長為4+9+9＝22，
故答案為：100°或40°，22．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形三邊關(guān)系，熟練掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．
14．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC．
（1）若AM是BC邊上的高，則可以推出BM＝MC．依據(jù)是 等腰三角形三線合一 ．
（2）在問題（1）的基礎(chǔ)上，若點N在AM上，則由BM＝MC，AM⊥BC，可以進一步推出NB＝NC．依據(jù)是 線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等 ．
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一填空即可；
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)判定即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AM是BC邊上的高，
∴BM＝MC（等腰三角形三線合一），
故答案為：等腰三角形三線合一；
（2）∵BM＝MC，AM⊥BC，
∴AM垂直平分BC，
∵點N在AM上，
∴NB＝NC（線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等），
故答案為：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線的性質(zhì)等，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，下列結(jié)論：①AE＝CE；②BE＝DE；③BD⊥AC；④四邊形ABCD的面積等于AC×BD．其中正確的有 ①③④ ．（填序號）
【分析】先證明△ABD≌△DBD，得∠ADB＝∠CDB，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”得AE＝CE，BD⊥AC，可判斷①正確、③正確；
若BE＝DE，則AC垂直平分BD，得AD＝AB，與已知條件不符，可知BE與DE不一定相等，可判斷②錯誤；
由S四邊形ABCD＝S△ABD+S△CBD，可求得S四邊形ABCD＝AE?BD+CE?BD＝AC?BD，可判斷④正確，于是得到問題的答案．
【解答】解：在△ABD和△DBD中，
，
∴△ABD≌△DBD（SSS），
∴∠ADB＝∠CDB，
∴AE＝CE，BD⊥AC，
故①正確、③正確；
若BE＝DE，則AC垂直平分BD，
∴AD＝AB，與已知條件不符，
∴BE與DE不一定相等，
故②錯誤；
∵S△ABD＝AE?BD，S△CBD＝CE?BD，
∴S△ABD+S△CBD＝AE?BD+CE?BD＝AC?BD，
∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△CBD＝AC?BD，
故④正確，
故答案為：①③④．
【點評】此題重點考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角形的性質(zhì)等知識，證明△ABD≌△DBD是解題的關(guān)鍵．
16．（3分）如圖，在△ABC中，DE垂直平分AC，若∠B＝50°，EC＝AB，則∠C的度數(shù)是 25° ．
【分析】連接AE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，求得∠BED，進一步求得∠AED，根據(jù)平角的定義可求∠AEC，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：連接AE，
∵△ABC中，DE垂直平分AC，
∴AE＝CE，
∴∠EAC＝∠C，
∵EC＝AB，
∴AB＝AE，
∴∠AEB＝∠B＝50°，
∵∠AEB＝∠C+∠CAE＝2∠C，
∴∠C＝AEB＝25°．
故答案為：25°．
【點評】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，求得∠BED的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
17．（3分）如圖，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分線，它們相交于點O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，則∠DAE的度數(shù)是 5° ，∠BOA的度數(shù)是 125° ．
【分析】因為AD是高，所以∠ADC＝90°，又因為∠C＝70°，所以∠DAC度數(shù)可求，因為AE是角平分線，∠BAC＝50°，所以∠CAE＝25°，進而可求∠DAE的度數(shù)；因為∠BAC＝50°，∠C＝70°，所以∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，BF是∠ABC的角平分線，則∠ABO＝30°，故∠BOA的度數(shù)可求．
【解答】解：如圖：
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝70°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°；
∵AE是∠BAC的平分線，∠BAC＝50°，
∴∠CAE＝∠BAO＝25°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠DAC＝25°﹣20°＝5°；
∵∠C＝70°，∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
∵BF是∠ABC的角平分線，
∴∠ABO＝30°，
∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°．
故答案為：5°，125°．
【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義．解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義．
18．（3分）如圖，兩根旗桿AC和BD垂直于地面AB放置，它們相距AB＝12m．某人從點B出發(fā)，沿BA方向走了5m到達(dá)點M處．此時，他仰望旗桿的頂點C和D，兩次視線的夾角∠CMD＝90°，且CM＝DM，則可以推知旗桿AC的長是 5 m，旗桿BD的長是 7 m．
【分析】根據(jù)已知條件易證△CAM≌△MBD（AAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AC＝BM，BD＝AM，進一步求解即可．
【解答】解：∵兩根旗桿AC和BD垂直于地面AB放置，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴∠C+∠CMA＝90°，
∵∠CMD＝90°，
∴∠CMA+∠DMB＝90°，
∴∠C＝∠DMB，
在△CAM和△MBD中，
，
∴△CAM≌△MBD（AAS），
∴AC＝BM，BD＝AM，
∵BM＝5m，AB＝12m，
∴AC＝5m，BD＝AM＝12﹣5＝7（m），
故答案為：5，7．
【點評】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
19．（3分）如圖，∠AOB＝40°，點P為∠AOB內(nèi)一點，分別作P點關(guān)于直線OA，OB的對稱點C，D，連接OP，OC，OD，CD，PC，PD．
則（1）∠CPD的度數(shù)是 140° ；
（2）∠OCD的度數(shù)是 50° ．
【分析】（1）先根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出OA是線段PC的垂直平分線，故可得出OP＝OC，∠COA＝∠POA＝∠COP，∠OCP＝∠OPC，同理可知∠POB＝∠DOB，∠OPD＝∠ODP，進而可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）∵點P，C關(guān)于直線OA對稱，
∴OP＝OC，∠COA＝∠POA＝∠COP，
∴∠OCP＝∠OPC＝＝；
同理可知∠POB＝∠DOB＝∠POD，
∴∠OPD＝∠ODP＝＝，
∵∠AOB＝40°，
∴∠COP+∠POD＝2∠AOB＝80°，
∴∠CPD＝∠OPC+∠OPD＝+＝＝＝140°．
故答案為：140°．
（2）∵點P，C關(guān)于直線OA對稱，點P，D關(guān)于直線OB對稱，
∴OP＝OC，OP＝OD，
∴OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC．
由（1）知，∠COD＝∠COP+∠POD＝2∠AOB＝80°，
∴∠OCD＝＝＝50°．
故答案為：50°．
【點評】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，熟知等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和等于180°是解題關(guān)鍵．
20．（3分）如圖，平面中兩條直線l1和l2相交于點O，對于平面上任意一點M，若點M到直線l1、l2的距離分別是pcm、qcm，則稱有序?qū)崝?shù)對（p，q）是點M的“距離坐標(biāo)”．特別地，當(dāng)點在直線上時，定義點到直線的距離為0．下列說法：
①“距離坐標(biāo)”是（0，0）的點只有點O；
②“距離坐標(biāo)”是（0，1）的點只有1個；
③“距離坐標(biāo)”是（2，2）的點共有4個；
正確的有 ①③ （填序號）．
【分析】根據(jù)（p，q）是點M的“距離坐標(biāo)”，得出①若pq≠0，則“距離坐標(biāo)”為（p、q）的點有且僅有4個．②若pq＝0，且p+q≠0，則“距離坐標(biāo)”為（p、q）的點有且僅有2個，進而得出解集從而確定答案．
【解答】解：如上圖，平面中兩條直線l1和l2相交于點O，對于平面上任意一點M，
若p、q分別是M到直線l1和l2的距離，則稱有序非負(fù)數(shù)實數(shù)對（p、q）是點M的“距離坐標(biāo)”．
已知常數(shù)p≥0，q≥0，給出下列兩個個結(jié)論：
（1）若pq≠0，則“距離坐標(biāo)”為（p、q）的點有且僅有4個．
（2）若pq＝0，且p+q≠0；
①p＝0，q＝0，則“距離坐標(biāo)”為（0，0）的點有且僅有1個；故①“距離坐標(biāo)”是（0，0）的點只有點O是正確的；
②p＝0，q＝1，則“距離坐標(biāo)”為（0，1）的點有且僅有2個；故②“距離坐標(biāo)”是（0，1）的點有1個是錯誤的；
③得出（2，2）是與l1距離是2的點是與之平行的兩條直線，與l2的距離是2的也是與之平行的兩條直線，這四條直線共有4個交點．所以③是正確的．
正確的有：①③．
故答案為：①③．
【點評】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)，有分類討論的思想方法，又有創(chuàng)新意識，解題時需要注意．這是一個好題，注意變形去掉p≥0，q≥0又該怎樣解是解決問題的關(guān)鍵．
三、解答題（本題共40分，第21題5分，第22題5分，第23題7分，第24題8分，第25題7分，第26題8分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。
21．（5分）如圖，在△ABC中，BD＝CD，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，若BE＝CF．求證：AD平分∠BAC．
請你補全下述證明過程：
證：∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BED＝∠CFD＝90°
在Rt△DBE和Rt△DCF中，，① BE ，② CF ，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF（ HL ）
∴DE＝DF．
∵DE＝DF， DE⊥AB ， DF⊥AC
∴AD平分∠BAC．
【分析】由DE⊥AB，DF⊥AC，得∠BED＝∠CFD＝90°即可根據(jù)直角三角形全等的判定定理“HL”證明Rt△DBE≌Rt△DCF，得DE＝DF，再根據(jù)“到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上”證明AD平分∠BAC，于是得到問題的答案．
【解答】證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BED＝∠CFD＝90°
在Rt△DBE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
∴DE＝DF，
∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC．
故答案為：BE，CF，HL，DE⊥AB，DF⊥AC．
【點評】此題重點考查全等三角形的判定與性質(zhì)、到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上等知識，證明Rt△DBE≌Rt△DCF是解題的關(guān)鍵．
22．（5分）尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡．
如圖，在△ABC中，∠C＝90°，在AB上取一點D，使得AD＝AC，連接CD，作CD的垂直平分線交BC于點E．
（1）補全圖形；
（2）∠BAC與∠BCD滿足的等量關(guān)系是 ∠BAC＝2∠BCD ．
【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的作法即可補全圖形；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)可得∠DAE＝∠CAE，DE＝EC，所以∠ECD＝∠EDC，然后利用直角三角形兩個銳角互余即可解決問題．
【解答】解：（1）如圖所示，即為補全的圖形；
（2）∠BAC＝2∠BCD，理由如下：
∵AD＝AC，AE垂直平分CD，
∴∠DAE＝∠CAE，DE＝EC，
∴∠ECD＝∠EDC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠DCE＝90°，
∵∠EAC+∠DCA＝90°，
∴∠DCE＝∠EAC，
∴∠DCE＝∠EAC＝∠DAE，
∴∠BAC＝2∠BCD．
故答案為：∠BAC＝2∠BCD．
【點評】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的作法．
23．（7分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝50°，點E和點F分別在BA和BC邊上，且BE＝BF，連接EF并延長交AC的延長線于點G，∠G＝20°，取EF的中點O，連接BO并延長交AC于點D．
（1）求∠BEF的度數(shù)；
（2）求∠BDC的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，解答即可；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理解答即可．
【解答】解：（1）∵BE＝BF，
∴∠BEF＝∠BFE，
∵∠ABC＝50°，
∴，
即∠BEF的度數(shù)為65°；
（2）∵EF的中點為O，
∴OE＝OF，即BO是△BEF的中線，
又∵BE＝BF，
∴BO⊥EF，
∴∠DOG＝90°，
又∵∠G＝20°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DOG﹣∠G＝180°﹣90°﹣20°＝70°，
即∠BDC的度數(shù)為70°．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
24．（8分）如圖，點E為△ABC的外角∠CAD平分線上的一點，AE∥BC．
（1）求證：△ABC是等腰三角形；
（2）若點F在線段BC上，滿足BF＝AE，連接AF，EC，補全圖形，求證：AF＝CE．
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠ACB，再根據(jù)等角對等邊可得結(jié)論；
（2）利用“SAS”證明△ABF≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵AE∥BC，
∴∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠ACB，
∵E為△ABC的外角平分線上的一點，
∴∠DAE＝∠EAC，
∴∠B＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）證明：補全圖形如圖所示，
在△ABF和△CAE中，
，
∴△ABF≌△CAE（SAS），
∴AF＝CE．
【點評】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．
25．（7分）如圖1，已知等邊△ABC，點D在BC邊上，∠BAD＝α（0°＜α＜30°），點E是點D關(guān)于直線AB的對稱點，點F在直線AC上，滿足EF＝AD．
（1）求∠AFE的度數(shù)；（用含有α的代數(shù)式表示）
（2）探究AF，BD，DC滿足的等量關(guān)系，并證明；
（3）如圖2，若點D在CB的延長線上，其余條件不變，直接寫出AF，BD，DC滿足的等量關(guān)系．
【分析】（1）由其關(guān)系易得△AEF是等腰三角形，根據(jù)對稱關(guān)系，可得∠EAB＝∠DHB＝α，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠AFE的度數(shù)；
（2）AF+BD＝DC，作EH平分∠AEF交AC于點C，作AG平分∠BAC交BC于點G，證明△EHF≌△AGD，根據(jù)其關(guān)系，即可證明；
（3）BD+DC＝AF，連接AE，BE，易得△AEF是等腰三角形，作EG∠AEF，證明△ADH≌△EFG，根據(jù)其關(guān)系，即可證明．
【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵點E是點D關(guān)于直線AB的對稱點，∠BAD＝α，
∴∠BAE＝∠BAD＝α，AE＝AD，
∴∠FAE＝60°+α，
∵EF＝AD，
∴EF＝AE，
∴∠AFE＝∠FAE＝60°+α，
∴∠AFE的度數(shù)為60°+α；
（2）AF+BD＝DC，證明如下：
如圖1，作EH平分∠AEF交AC于點C，作AG平分∠BAC交BC于點G，
∵EF＝AE，EH平分∠AEF，
∴EH⊥AF，HF＝AF，
∴∠FHE＝90°，
∵△ABC是等邊三角形，AG平分∠BAC，
∴AG⊥BC，
∴∠DGA＝90°，BG＝BC，
∴∠FHE＝∠DGA，
∵∠GDA＝∠ABD+∠ABD＝60°+α，∠HFE＝60°+α，
∴∠GDA＝∠HFE，
在△FEH和△DAG中，
，
∴△FEH≌△DAG（AAS），
∴HF＝DG，
∵BG＝BD+DG，
∴BD+AF＝BC，
∴2BD+AF＝BC，
∴BD+AF＝BC﹣BD，
∵BC﹣BD＝DC，
∴BD+AF＝DC；
（3）AF＝BD+DC，證明如下：
如圖2，連接AE，BE，作AH平分∠BAC交BC于點H，作EG平分∠AEF交AF于點G，
∵點E是點D關(guān)于直線AB的對稱點，
∴△ABD≌ABE，
∴AD＝AE，∠BAD＝∠BAE＝α，
∵EF＝AD，
∴AE＝EF，
∵△ABC是等邊三角形，AH平分∠BAC，
∴∠BAH＝30°，∠DHA＝90°，BH＝BC，
∴∠DAH＝∠BAH+∠BAD＝30°+α，
∵∠BAE＝α，∠BAC＝60°，
∴∠EAG＝60°﹣α，
∵AE＝EF，
∴∠EAG＝∠EFG＝60°﹣α，
∴∠AEF＝180°﹣（∠EAG+∠EFG）＝180°﹣2（60°﹣α）＝60°+2α，
∵EG平分∠AEF，
∴∠FEG＝∠AEF＝（60°+2α）＝30°+α，∠EGF＝90°，GF＝AF，
∴∠DAH＝∠FEG＝30°+α，∠DHA＝∠EGF，
在△ADH和△EFG中，
，
∴△ADH≌△EFG（AAS），
∴DH＝GF，
∵DH＝BD+BH＝BD+BC，GF＝AF，
∴BD+BC＝AF，
∴2BD+BC＝AF，
∴BD+（BD+BC）＝AF，
∵BD+BC＝DC，
∴BD+DC＝AF．
【點評】本題考查了圖形的變換、等腰三角形的性質(zhì)等，通過構(gòu)造全等三角形利用等量代換證明其數(shù)量關(guān)系是解本題的關(guān)鍵，綜合性較強，難度較大．
26．（8分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O（0，0），A（﹣2，﹣3），B（3，﹣1），C（3，3），D（﹣2，1），若點P關(guān)于某直線l的對稱點落在平行四邊形ABCD內(nèi)（不包含邊界），則稱點P是平行四邊形ABCD的“l(fā)?封閉點”．
（1）點P（1，2），若點P是平行四邊形ABCD的“l(fā)?封閉點”，則l可以是 ③ ．（填序號）
①x軸
②y軸
③一三象限角平分線
④平行四邊形ABCD的對稱軸
（2）若點Q是平行四邊形ABCD的“y軸?封閉點”，求點Q橫坐標(biāo)的取值范圍；
（3）點M（0，﹣9），點N是線段OM上的一點，若點N是平行四邊形ABCD的“直線y＝﹣2?封閉點”，求點N的縱坐標(biāo)的取值范圍．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法分別求出直線AB、CD的解析式，根據(jù)“l(fā)?封閉點”的定義即可得出答案；
（2）分點Q在y軸左側(cè)，點Q在y軸右側(cè)兩種情況，即可得點Q橫坐標(biāo)的取值范圍；
（3）求出AB、CD與y軸的交點坐標(biāo)，設(shè)點N（0，n），根據(jù)點N是平行四邊形ABCD的“直線y＝﹣2?封閉點”，即可得點N的縱坐標(biāo)的取值范圍．
【解答】解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，
∵A（﹣2，﹣3），B（3，﹣1），
∴，解得，
∴直線AB的解析式為y＝x﹣，
同理得直線CD的解析式為y＝x+，
①∵點P（1，2），
∴P關(guān)于x軸的對稱點為（1，﹣2），
當(dāng)x＝1時，y＝x﹣＝﹣＞﹣2，
∴點P關(guān)于x軸的對稱點為（1，﹣2）不在平行四邊形ABCD內(nèi)，
∴點P不是平行四邊形ABCD的“l(fā)?封閉點”；
②∵點P（1，2），
∴P關(guān)于y軸的對稱點為（﹣1，2），
當(dāng)x＝﹣1時，y＝x+＝＜2，
∴點P關(guān)于y軸的對稱點為（﹣1，2）不在平行四邊形ABCD內(nèi)，
∴點P不是平行四邊形ABCD的“l(fā)?封閉點”；
③如圖，點P關(guān)于一三象限角平分線的對稱點為P′，
過點P作PE⊥y軸于E，過點P′作P′F⊥x軸于F，
∴∠OEP＝∠OFP′＝90°，
∴∠EOH＝∠FOH＝45°，OP＝OP′，OH⊥PP′，
∴∠POH＝∠P′OH，
∴∠POE＝∠P′OF，
∴△POE≌△P′OF（AAS），
∴OF＝OE＝2，P′F＝PE＝1，
∴點P關(guān)于一三象限角平分線的對稱點為P′（2，1），
當(dāng)x＝2時，y＝x+＝＞1，y＝x﹣＝﹣＜1，
∴點P關(guān)于一三象限角平分線的對稱點為P′（2，1）在平行四邊形ABCD內(nèi)，
∴點P是平行四邊形ABCD的“l(fā)?封閉點”；
④∵平行四邊形ABCD不是軸對稱圖形，
∴不存在平行四邊形ABCD的對稱軸．
故答案為：③；
（2）∵A（﹣2，﹣3），B（3，﹣1），C（3，3），D（﹣2，1），
∴當(dāng)點Q在y軸左側(cè)時，若點Q是平行四邊形ABCD的“y軸?封閉點”，點Q橫坐標(biāo)的取值范圍為﹣3＜x≤0；
當(dāng)點Q在y軸右側(cè)時，若點Q是平行四邊形ABCD的“y軸?封閉點”，點Q橫坐標(biāo)的取值范圍為0≤x＜2；
綜上所述，點Q橫坐標(biāo)的取值范圍為﹣3＜x＜2；
（3）∵直線AB的解析式為y＝x﹣，直線CD的解析式為y＝x+，
∴AB與y軸的交點坐標(biāo)為（0，﹣），CD與y軸的交點坐標(biāo)為（0，），
設(shè)點N（0，n），
∵點N是平行四邊形ABCD的“直線y＝﹣2?封閉點”，
∴，
∴﹣＜n＜﹣，
即點N的縱坐標(biāo)的取值范圍為﹣＜n＜﹣．
【點評】本題是四邊形綜合題，主要考查了軸對稱的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，平行四邊形的性質(zhì)等知識，運用分類思想找到臨界狀態(tài)是解題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/7/10 12:21:55；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號：36906111

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