1．（3分）圖中的圖形為軸對(duì)稱圖形，該圖形的對(duì)稱軸的條數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（3分）點(diǎn)M（1，2）關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）
3．（3分）以厘米為單位，下列各組數(shù)中，以它們?yōu)檫吥軜?gòu)成三角形的是（ ）
A．3，5，8B．8，8，18C．，1，D．3，40，8
4．（3分）下列多邊形中，內(nèi)角和與外角和相等的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）如圖，△ABC≌△FDE，∠C＝40°，∠F＝110°，則∠B等于（ ）
A．20°B．30°C．40°D．150°
6．（3分）如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點(diǎn)A，點(diǎn)Q是射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若PA＝4．則PQ的最小值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（3分）如圖，經(jīng)過(guò)直線AB外一點(diǎn)C作這條直線的垂線，作法如下：
（1）任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K和點(diǎn)C在AB的兩旁．
（2）以點(diǎn)C為圓心，CK長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和E．
（3）分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F．
（4）作直線CF．則直線CF就是所求作的垂線．根據(jù)以上尺規(guī)作圖過(guò)程，若將這些點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn)，其中不一定是等腰三角形的為（ ）
A．△CDFB．△CDKC．△CDED．△DEF
8．（3分）一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1：2：3，則這個(gè)三角形一定是（ ）
A．銳角三角形B．直角三角形
C．鈍角三角形D．等腰直角三角形
9．（3分）在如圖所示的若干個(gè)正方形拼成的圖形中，與三角形ABC全等的三角形是（ ）
A．△AEGB．△ADFC．△DFGD．△CEG
10．（3分）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在第一象限，B（2，0），∠AOB＝60°，∠ABO＝90°．在x軸上取一點(diǎn)P（m，0），過(guò)點(diǎn)P作直線l垂直于直線OA，將OB關(guān)于直線l的對(duì)稱圖形記為O′B′，當(dāng)O′B′和過(guò)A點(diǎn)且平行于x軸的直線有交點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍為（ ）
A．m≥4B．m≤6C．4＜m＜6D．4≤m≤6
二、填空題（本大題共30分，每小題3分）
11．（3分）如圖，在△ABC中，∠A＝70°，∠ACD是△ABC的外角．若∠ACD＝130°，則∠B＝ °．
12．（3分）如圖，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A，B的距離，可以在池塘外取AB的垂線BF上的兩點(diǎn)C，D，使BC＝CD，再畫出BF的垂線DE，使E與A，C在一條直線上．若想知道兩點(diǎn)A，B的距離，只需要測(cè)量出線段 即可．
13．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是高．若AD＝2，則BD＝ ．
14．（3分）如圖，△ABC中，BC＝10，邊BC的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)E、D，BE＝6．則△BCE的周長(zhǎng)是 ．
15．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，若一個(gè)圖形上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)乘以﹣1，則所得的新圖形圖形與原圖形關(guān)于 對(duì)稱．
16．（3分）如果等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和6，那么它的周長(zhǎng)為 ．
17．（3分）如圖，將△ABC沿DE、HG、EF翻折，三個(gè)頂點(diǎn)均落在點(diǎn)O處，若∠1＝129°，則∠2的度數(shù)為 ．
18．（3分）如圖，△ABC中∠A＝32°，E是AC邊上的點(diǎn)，先將△ABE沿著BE翻折，翻折后△ABE的AB邊交EC于點(diǎn)D，又將△BCD沿著BD翻折，C點(diǎn)恰好落在BE上，則∠EBD ∠DBC（填“＝”或“＜”或“＞”），若此時(shí)∠CDB＝82°，則∠C＝ 度．
19．（3分）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC與∠ACD互補(bǔ)，CD＝5，則BC的長(zhǎng)為 ．
20．（3分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（2，﹣1），在x軸上確定點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，符合條件的點(diǎn)P有 個(gè)．
三、解答題（本大題共40分，23、26每題4分，27每題8分，其它每小題4分）
21．（4分）已知：如圖，AB＝AC，AD平分∠BAC．求證：∠B＝∠C．
22．（6分）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，△ABC的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上，點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）．
（1）根據(jù)上述條件，在網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系xOy；
（2）畫出△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形△A1B1C1．
23．（6分）《淮南子?天文調(diào)》中記載了一種確定東西方向的方法，大意是：日出時(shí)，在地面上點(diǎn)A處立一根桿，在地面上沿著桿的影子的方向取一點(diǎn)B，使B，A兩點(diǎn)間的距離為10步（步是古代的一種長(zhǎng)度單位），在點(diǎn)B處立一根桿：日落時(shí)，在地面上沿著點(diǎn)B處的桿的影子的方向取一點(diǎn)C，使C，B兩點(diǎn)間的距離為10步，在點(diǎn)C處立一根桿，取CA的中點(diǎn)D，那么直線DB表示的方向?yàn)闁|西方向．
（1）上述方法中，桿在地面上的影子所在直線及點(diǎn)A，B，C的位置如圖所示．尺規(guī)作圖，在圖中作CA的中點(diǎn)D（保留作圖痕跡）；
（2）在如圖中，確定了直線DB表示的方向?yàn)闁|西方向，根據(jù)南北方向與東西方向互相垂直，可以判斷直線CA表示的方向?yàn)槟媳狈较颍瓿扇缦伦C明．
證明：∵在△ABC中，BA＝ ，且D是CA的中點(diǎn)．
∴ .（等腰三角形三線合一）
∵直線DB表示的方向?yàn)闁|西方向，
∴直線CA表示的方向?yàn)槟媳狈较颍?br>24．（6分）如圖所示，將兩個(gè)含30°角的三角尺擺放在一起，可以證得△ABD是等邊三角形，于是我們得到：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．
交換命題的條件和結(jié)論，得到下面的命題：
在直角△ABC中，∠ACB＝90°，如果CB＝AB，那么∠BAC＝30°．請(qǐng)判斷此命題的真假，若為真命題，請(qǐng)給出證明；若為假命題，請(qǐng)說(shuō)明理由．
25．（6分）在△ABC中，AB＞BC，直線l垂直平分AC．作∠ABC的平分線交直線l于點(diǎn)D，連接AD，CD．
（1）尺規(guī)作圖補(bǔ)全圖形；
（2）判斷∠BAD和∠BCD的數(shù)量關(guān)系，并證明．
26．（4分）已知：三點(diǎn)A（1，2）、B（1，3）、C（0，6），點(diǎn)P為y軸上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）在圖中找到點(diǎn)P，使得△OAP與△CBP周長(zhǎng)的和取得最小值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)應(yīng)為 ；
（2）當(dāng)∠APB＝40°時(shí)，∠OAP+∠PBC的度數(shù)為 ．
27．（8分）對(duì)于△ABC及其邊上的點(diǎn)P，給出如下定義：如果點(diǎn)M1，M2，M3，……，Mn都在△ABC的邊上，且PM1＝PM2＝PM3＝……＝PMn，那么稱點(diǎn)M1，M2，M3，……，Mn為△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)，線段PM1，PM2，PM3，……，PMn為△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距線段．
（1）如圖1，△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)．
①點(diǎn)B，C △ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)，線段PA，PB △ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距線段；（填“是”或“不是”）
②△ABC關(guān)于點(diǎn)P的兩個(gè)等距點(diǎn)M1，M2分別在邊AB，AC上，當(dāng)相應(yīng)的等距線段最短時(shí)，在圖1中畫出線段PM1，PM2；
（2）△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)C，D是△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)，且PC＝1，求線段DC的長(zhǎng)；
（3）如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．點(diǎn)P在BC上，△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)恰好有四個(gè)，且其中一個(gè)是點(diǎn)C．若BC＝a，直接寫出PC長(zhǎng)的取值范圍．（用含a的式子表示）
2022-2023學(xué)年北京市海淀實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共30分，每小題3分）
1．（3分）圖中的圖形為軸對(duì)稱圖形，該圖形的對(duì)稱軸的條數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】一個(gè)圖形沿一條直線對(duì)折，直線兩旁的部分能夠完全重合，這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱圖形，這條直線就是這個(gè)圖形的一條對(duì)稱軸，由此即可解決問(wèn)題．
【解答】解：如圖所示，該圖形有5條對(duì)稱軸，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了利用軸對(duì)稱圖形的定義判斷軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸條數(shù)和位置的靈活應(yīng)用．
2．（3分）點(diǎn)M（1，2）關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）
【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)解答．
【解答】解：點(diǎn)M（1，2）關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，2）．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：
（1）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；
（2）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；
（3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．
3．（3分）以厘米為單位，下列各組數(shù)中，以它們?yōu)檫吥軜?gòu)成三角形的是（ ）
A．3，5，8B．8，8，18C．，1，D．3，40，8
【分析】根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．即可求解．
【解答】解：A、3+5＝8，不能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)不合題意；
B、8+8＜18，不能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)不合題意；
C、+1＞，能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)符合題意；
D、3+8＜40，不能構(gòu)成三角形，故此選項(xiàng)不合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了能夠組成三角形三邊的條件，其實(shí)用兩條較短的線段相加，如果大于最長(zhǎng)的那條就能夠組成三角形．
4．（3分）下列多邊形中，內(nèi)角和與外角和相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n﹣2）?180°與多邊形的外角和定理列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．
【解答】解：設(shè)所求多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意得：
（n﹣2）?180°＝360°，
解得n＝4．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理，熟記公式與定理是解題的關(guān)鍵．
5．（3分）如圖，△ABC≌△FDE，∠C＝40°，∠F＝110°，則∠B等于（ ）
A．20°B．30°C．40°D．150°
【分析】根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BAC＝∠F，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【解答】解：∵△ABC≌△FDE，
∴∠BAC＝∠F，
∵∠F＝110°，
∴∠BAC＝110°，
又∵∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣110°﹣40°＝30°．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，準(zhǔn)確確定對(duì)應(yīng)角并求出∠BAC的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
6．（3分）如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點(diǎn)A，點(diǎn)Q是射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若PA＝4．則PQ的最小值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根據(jù)垂線段最短得出當(dāng)PQ⊥OM時(shí)，PQ的值最小，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出PQ＝PA，求出即可．
【解答】解：當(dāng)PQ⊥OM時(shí)，PQ的值最小，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA＝4，
∴PQ＝PA＝4．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線性質(zhì)，垂線段最短的應(yīng)用，做出垂線段從而應(yīng)用角平分線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
7．（3分）如圖，經(jīng)過(guò)直線AB外一點(diǎn)C作這條直線的垂線，作法如下：
（1）任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K和點(diǎn)C在AB的兩旁．
（2）以點(diǎn)C為圓心，CK長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和E．
（3）分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F．
（4）作直線CF．則直線CF就是所求作的垂線．根據(jù)以上尺規(guī)作圖過(guò)程，若將這些點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn)，其中不一定是等腰三角形的為（ ）
A．△CDFB．△CDKC．△CDED．△DEF
【分析】依據(jù)尺規(guī)作圖，即可得到CD＝CK，CD＝CE，DF＝EF，進(jìn)而得出△CDK，△CDE，△DEF都是等腰三角形．
【解答】解：由作圖可得，CD，DF，CF不一定相等，故△CDF不一定是等腰三角形；
而CD＝CK，CD＝CE，DF＝EF，故△CDK，△CDE，△DEF都是等腰三角形；
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的判定，如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等．
8．（3分）一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1：2：3，則這個(gè)三角形一定是（ ）
A．銳角三角形B．直角三角形
C．鈍角三角形D．等腰直角三角形
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°計(jì)算即可．
【解答】解：設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為x、2x、3x，
則x+2x+3x＝180°，
解得，x＝30°，
則3x＝90°，
∴這個(gè)三角形一定是直角三角形，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握三角形內(nèi)角和等于180°是解題的關(guān)鍵．
9．（3分）在如圖所示的若干個(gè)正方形拼成的圖形中，與三角形ABC全等的三角形是（ ）
A．△AEGB．△ADFC．△DFGD．△CEG
【分析】根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算，可得DG＝BC，F(xiàn)G＝AC，進(jìn)而得到△ABC和△DFG三邊分別對(duì)應(yīng)相等，從而得出這兩個(gè)三角形全等．
【解答】解：如圖所示，BC＝DG＝＝，AC＝FG＝＝，AB＝FD＝3，
在△ABC和△FDG中，
，
∴△ABC≌△FDG（SSS），
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定以及勾股定理的運(yùn)用，三條邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．
10．（3分）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在第一象限，B（2，0），∠AOB＝60°，∠ABO＝90°．在x軸上取一點(diǎn)P（m，0），過(guò)點(diǎn)P作直線l垂直于直線OA，將OB關(guān)于直線l的對(duì)稱圖形記為O′B′，當(dāng)O′B′和過(guò)A點(diǎn)且平行于x軸的直線有交點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍為（ ）
A．m≥4B．m≤6C．4＜m＜6D．4≤m≤6
【分析】根據(jù)題意可以作出合適的輔助線，然后根據(jù)題意，利用分類討論的方法可以計(jì)算出m的兩個(gè)極值，從而可以得到m的取值范圍．
【解答】解：如右圖所示，
當(dāng)直線l垂直平分OA時(shí)，O′B′和過(guò)A點(diǎn)且平行于x軸的直線有交點(diǎn)，
∵點(diǎn)A在第一象限，B（2，0），∠AOB＝60°，∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝30°，OB＝2，
∴OA＝4，
∵直線l垂直平分OA，點(diǎn)P（m，0）是直線l與x軸的交點(diǎn)，
∴OP＝4，
∴當(dāng)m＝4；
作BB″∥OA，交過(guò)點(diǎn)A且平行于x軸的直線與B″，
當(dāng)直線l垂直平分BB″和過(guò)A點(diǎn)且平行于x軸的直線有交點(diǎn)，
∵四邊形OBB″O′是平行四邊形，
∴此時(shí)點(diǎn)P與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），
由圖可知，當(dāng)OB關(guān)于直線l的對(duì)稱圖形為O′B′到O″B″的過(guò)程中，點(diǎn)P符合題目中的要求，
∴m的取值范圍是4≤m≤6，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查坐標(biāo)與圖形的變化﹣對(duì)稱，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，作出合適的輔助線，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
二、填空題（本大題共30分，每小題3分）
11．（3分）如圖，在△ABC中，∠A＝70°，∠ACD是△ABC的外角．若∠ACD＝130°，則∠B＝ 60 °．
【分析】直接利用三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
【解答】解：∵∠A＝70°，∠ACD是△ABC的外角，∠ACD＝130°，
∴∠B＝∠ACD＝∠A＝60°．
故答案為：60．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記三角形的外角性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．
12．（3分）如圖，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A，B的距離，可以在池塘外取AB的垂線BF上的兩點(diǎn)C，D，使BC＝CD，再畫出BF的垂線DE，使E與A，C在一條直線上．若想知道兩點(diǎn)A，B的距離，只需要測(cè)量出線段 DE 即可．
【分析】根據(jù)全等三角形的判定進(jìn)行判斷，注意看題目中提供了哪些證明全等的要素，要根據(jù)已知選擇判斷方法．
【解答】解：利用CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，即兩角及這兩角的夾邊對(duì)應(yīng)相等即ASA這一方法，可以證明△ABC≌△EDC，
故想知道兩點(diǎn)A，B的距離，只需要測(cè)量出線段DE即可．
故答案為：DE．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做題時(shí)注意選擇．
注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．
13．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是高．若AD＝2，則BD＝ 6 ．
【分析】求出∠A，求出∠ACD，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出AC＝2AD，AB＝2AC，求出AB即可．
【解答】解：∵CD是高，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝90°＝∠ACB，
∵∠B＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，
∵AD＝2，
∴AC＝2AD＝4，
∴AB＝2AC＝8，
∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6，
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是含30度角的直角三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出AC＝2AD，AB＝2AC．
14．（3分）如圖，△ABC中，BC＝10，邊BC的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)E、D，BE＝6．則△BCE的周長(zhǎng)是 22 ．
【分析】由已知條件，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到線段相等，由△BCE的周長(zhǎng)＝EC+BE+BC得到答案．
【解答】解：因?yàn)檫匓C的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)E、D，所以EC＝BE＝6．
又因?yàn)锽C＝10，所以
△BCE的周長(zhǎng)是EC+BE+BC＝6+6+10＝22．
故填22．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)；由于已知三角形的兩條邊長(zhǎng)，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，求出另一條的長(zhǎng)，相加即可．
15．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，若一個(gè)圖形上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)乘以﹣1，則所得的新圖形圖形與原圖形關(guān)于 y軸 對(duì)稱．
【分析】首先熟悉：平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P（x，y），關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，﹣y）；關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣x，y）．橫坐標(biāo)都乘以﹣1，即是橫坐標(biāo)變成相反數(shù)，則實(shí)際是得出了這個(gè)圖形關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形．
【解答】解：根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，得縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)都乘以﹣1，即是橫坐標(biāo)變成相反數(shù)，
則實(shí)際是所得圖形與原圖形關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形．
故答案為：y軸．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，掌握平面直角坐標(biāo)系中兩個(gè)關(guān)于坐標(biāo)軸成軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
16．（3分）如果等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和6，那么它的周長(zhǎng)為 15 ．
【分析】求等腰三角形的周長(zhǎng)，即是確定等腰三角形的腰與底的長(zhǎng)求周長(zhǎng)；題目給出等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為3和6，而沒(méi)有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形．
【解答】解：當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?時(shí)，三邊為3，3，6，3+3＝6，三邊關(guān)系不成立，
當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?時(shí)，三邊為3，6，6，三邊關(guān)系成立，周長(zhǎng)為3+6+6＝15．
故答案為：15．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；題目從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的思想方法．求三角形的周長(zhǎng)，不能盲目地將三邊長(zhǎng)相加起來(lái)，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗(yàn)三邊長(zhǎng)能否組成三角形的好習(xí)慣，把不符合題意的舍去．
17．（3分）如圖，將△ABC沿DE、HG、EF翻折，三個(gè)頂點(diǎn)均落在點(diǎn)O處，若∠1＝129°，則∠2的度數(shù)為 51° ．
【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)可知，∠DOE＝∠A，∠HOG＝∠B，∠EOF＝∠C，又∠A+∠B+∠C＝180°，可知∠1+∠2＝180°，又∠1＝129°，繼而即可求出答案．
【解答】解：根據(jù)翻折的性質(zhì)可知，∠DOE＝∠A，∠HOG＝∠B，∠EOF＝∠C，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠DOE+∠HOG+∠EOF＝180°，
∴∠1+∠2＝180°，
又∵∠1＝129°，
∴∠2＝51°．
故答案為：51°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查翻折變換的知識(shí)，解答此題的關(guān)鍵是三角形折疊以后的圖形和原圖形全等，對(duì)應(yīng)的角相等，同時(shí)注意三角形內(nèi)角和定理的靈活運(yùn)用．
18．（3分）如圖，△ABC中∠A＝32°，E是AC邊上的點(diǎn)，先將△ABE沿著BE翻折，翻折后△ABE的AB邊交EC于點(diǎn)D，又將△BCD沿著BD翻折，C點(diǎn)恰好落在BE上，則∠EBD ＝ ∠DBC（填“＝”或“＜”或“＞”），若此時(shí)∠CDB＝82°，則∠C＝ 73 度．
【分析】由折疊的性質(zhì)得∠GDB＝∠CDB＝82°，∠FBE＝∠ABE＝∠ABG，再由三角形外角性質(zhì)得∠DBF＝∠GDB﹣∠F＝50°，則∠FBE＝∠ABE＝25°，從而可求得∠FBG的度數(shù)，再利用三角形的內(nèi)角和即可求∠C．
【解答】解：如圖，
由折疊的性質(zhì)得：∠GDB＝∠CDB＝82°，∠FBE＝∠ABE＝∠ABG，
∵∠GDB是△BDF的外角，
∴∠DBF＝∠GDB﹣∠F＝82°﹣32°＝50°，
∴∠FBE＝∠ABE＝25°，
∴∠FBG＝3×25°＝75°，
∴∠G＝180°﹣∠F﹣∠FBG＝73°，
即原三角形中的∠C為73°．
故答案為：＝，73．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圖形的翻折變換的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，由翻折變換的性質(zhì)得出∠FBE＝∠ABE＝∠ABG是解答此題的關(guān)鍵．
19．（3分）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，若∠ABC與∠ACD互補(bǔ)，CD＝5，則BC的長(zhǎng)為 10 ．
【分析】延長(zhǎng)AB、CD交于點(diǎn)E，證明△ADE≌△ADC（ASA），得出ED＝CD＝5，∠E＝∠ACD，證出∠E＝∠ACD＝∠CBE，得出BC＝CE＝2CD＝10即可．
【解答】解：延長(zhǎng)AB、CD交于點(diǎn)E，如圖：
∵AD平分∠BAC，CD⊥AD，
∴∠EAD＝∠CAD，∠ADE＝∠ADC＝90°，
在△ADE和△ADC中，，
∴△ADE≌△ADC（ASA），
∴ED＝CD＝5，∠E＝∠ACD，
∵∠ABC與∠ACD互補(bǔ)，∠ABC與∠CBE互補(bǔ)，
∴∠E＝∠ACD＝∠CBE，
∴BC＝CE＝2CD＝10，
故答案為：10．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識(shí)；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
20．（3分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（2，﹣1），在x軸上確定點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，符合條件的點(diǎn)P有 4 個(gè)．
【分析】分三種情況：當(dāng)AO＝AP時(shí)，當(dāng)OA＝OP時(shí)，當(dāng)PA＝PO時(shí)，進(jìn)行討論即可解答．
【解答】解：如圖：
分三種情況：
當(dāng)AO＝AP時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，以AO長(zhǎng)為半徑作圓，交x 軸于點(diǎn)P1，
當(dāng)OA＝OP時(shí)，以點(diǎn)O為圓心，以AO長(zhǎng)為半徑作圓，交x 軸于點(diǎn)P2，P3，
當(dāng)PA＝PO時(shí)，作OA的垂直平分線，交x 軸于點(diǎn)P4，
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P有4個(gè)，
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，分三種情況討論是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共40分，23、26每題4分，27每題8分，其它每小題4分）
21．（4分）已知：如圖，AB＝AC，AD平分∠BAC．求證：∠B＝∠C．
【分析】由“SAS”可證△BAD≌△CAD，可得結(jié)論．
【解答】證明：∵AD平分∠BAD，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△BAD≌△CAD（SAS），
∴∠B＝∠C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．
22．（6分）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，△ABC的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上，點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）．
（1）根據(jù)上述條件，在網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系xOy；
（2）畫出△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形△A1B1C1．
【分析】（1）根據(jù)條件確定平面直角坐標(biāo)系即可．
（2）分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可．
【解答】解：（1）如圖，平面直角坐標(biāo)系即為所求作．
（2）如圖，△A1B1C1即為所求作．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣軸對(duì)稱變換，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
23．（6分）《淮南子?天文調(diào)》中記載了一種確定東西方向的方法，大意是：日出時(shí)，在地面上點(diǎn)A處立一根桿，在地面上沿著桿的影子的方向取一點(diǎn)B，使B，A兩點(diǎn)間的距離為10步（步是古代的一種長(zhǎng)度單位），在點(diǎn)B處立一根桿：日落時(shí)，在地面上沿著點(diǎn)B處的桿的影子的方向取一點(diǎn)C，使C，B兩點(diǎn)間的距離為10步，在點(diǎn)C處立一根桿，取CA的中點(diǎn)D，那么直線DB表示的方向?yàn)闁|西方向．
（1）上述方法中，桿在地面上的影子所在直線及點(diǎn)A，B，C的位置如圖所示．尺規(guī)作圖，在圖中作CA的中點(diǎn)D（保留作圖痕跡）；
（2）在如圖中，確定了直線DB表示的方向?yàn)闁|西方向，根據(jù)南北方向與東西方向互相垂直，可以判斷直線CA表示的方向?yàn)槟媳狈较?，完成如下證明．
證明：∵在△ABC中，BA＝ BC ，且D是CA的中點(diǎn)．
∴ BD⊥AC .（等腰三角形三線合一）
∵直線DB表示的方向?yàn)闁|西方向，
∴直線CA表示的方向?yàn)槟媳狈较颍?br>【分析】（1）根據(jù)題意作AC的垂直平分線即可；
（2）根據(jù)等腰三角形三線合一即可完成證明．
【解答】（1）解：如圖，點(diǎn)D即為所求；
（2）證明：在△ABC中，BA＝BC，且D是CA的中點(diǎn)．
∴BD⊥AC（等腰三角形三線合一），
∵直線DB表示的方向?yàn)闁|西方向，
∴直線CA表示的方向?yàn)槟媳狈较颍?br>故答案為：BC，BD⊥AC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行投影，解決本題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的作法．
24．（6分）如圖所示，將兩個(gè)含30°角的三角尺擺放在一起，可以證得△ABD是等邊三角形，于是我們得到：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．
交換命題的條件和結(jié)論，得到下面的命題：
在直角△ABC中，∠ACB＝90°，如果CB＝AB，那么∠BAC＝30°．請(qǐng)判斷此命題的真假，若為真命題，請(qǐng)給出證明；若為假命題，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，使CD＝BC，連接AD，證明△ABD是等邊三角形，得到∠BAD＝60°，根據(jù)等腰三角形的三線合一證明即可．
【解答】解：此命題是真命題，
理由如下：延長(zhǎng)BC至點(diǎn)D，使CD＝BC，連接AD，
∵∠ACB＝90°，CD＝BC，
∴AC是線段BD的垂直平分線，
∴AB＝AD，
∵CB＝AB，
∴BD＝AB，
∴△ABD是等邊三角形，
∴∠BAD＝60°，
∵AC⊥BD，
∴∠BAC＝∠BAD＝30°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是命題的證明，掌握等邊三角形的性質(zhì)、正確作出輔助性是解題的關(guān)鍵．
25．（6分）在△ABC中，AB＞BC，直線l垂直平分AC．作∠ABC的平分線交直線l于點(diǎn)D，連接AD，CD．
（1）尺規(guī)作圖補(bǔ)全圖形；
（2）判斷∠BAD和∠BCD的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【分析】（1）由題意畫出圖形；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于F，由角平分線的性質(zhì)可得DE＝DF，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得DA＝DC，由“HL”可證Rt△ADE≌Rt△CDF，可得∠BAD＝∠FCD．可得結(jié)論；
【解答】解：（1）補(bǔ)全圖形；
（2）結(jié)論：∠BAD+∠BCD＝180°，
理由：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，作DF⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于F，
則∠AED＝∠CFD＝90°．
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DF．
∵直線l垂直平分AC，
∴DA＝DC，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．
∴∠BAD＝∠FCD．
∵∠FCD+∠BCD＝180°，
∴∠BAD+∠BCD＝180°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣基本作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
26．（4分）已知：三點(diǎn)A（1，2）、B（1，3）、C（0，6），點(diǎn)P為y軸上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）在圖中找到點(diǎn)P，使得△OAP與△CBP周長(zhǎng)的和取得最小值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)應(yīng)為 （0，） ；
（2）當(dāng)∠APB＝40°時(shí)，∠OAP+∠PBC的度數(shù)為 175° ．
【分析】（1）首先由題意可得當(dāng)AP+BP最小時(shí)，△OAP與△CBP周長(zhǎng)的和取得最小值，然后過(guò)點(diǎn)A作關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B與y軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，再設(shè)直線A′B的解析式為：y＝kx+b，利用待定系數(shù)法即可求得其解析式，繼而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)（也可以利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)P的坐標(biāo)）；
（2）如圖2，作輔助線，構(gòu)建等腰直角△A'BO和全等三角形，證明△A'AB≌△OEA（SAS）和△OA'B是等腰直角三角形，再利用三角形和四邊形的內(nèi)角和定理可得結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖1，∵A（1，2）、B（1，3）、C（0，6），
∴OA，BC是定長(zhǎng)，
∴當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)，△OAP與△CBP周長(zhǎng)的和取得最小值，
∵OP+PC＝OC＝6，
∵△OAP與△CBP周長(zhǎng)的和為：OA+AP+OP+PC+BC+BP＝OA+BC+OC+AP+BP，
∴當(dāng)AP+BP最小時(shí)，△OAP與△CBP周長(zhǎng)的和取得最小值，
過(guò)點(diǎn)A作關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B與y軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，
∴A′（﹣1，2），
解法一：設(shè)直線A′B的解析式為：y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直線A′B的解析式為：y＝x+，
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2×0+＝，
∴當(dāng)△OAP與△CBP周長(zhǎng)的和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，）；
解法二：P是AB的中點(diǎn)，
∴P（，），即P（0，）；
故答案為：（0，）；
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥OC于D，
∵CD＝OD＝3，
∴BC＝OB，
∴∠BCO＝∠BOC，
過(guò)點(diǎn)A作關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，OA'，OB，AB，
∴OA＝OA'，
∴∠OAE＝∠OA'E，
∵AB＝AE＝1，AA'＝OE＝2，∠BAA'＝∠AEO＝90°，
∴△A'AB≌△OEA（SAS），
∴∠BA'A＝∠AOE，A'B＝OA＝OA'，
∵∠AOE+∠OAE＝90°，
∴∠OA'E+∠AA'B＝90°，
∵A'B＝OA＝OA'，
∴△OA'B是等腰直角三角形，
∴∠BOA'＝45°，
∴∠BOD+∠A'OE＝∠BCD+∠AOE＝45°，
∵∠APB＝40°，
∴∠ABP+∠BAP＝140°，
∴∠OAP+∠PBC＝360°﹣140°﹣45°＝175°，
故答案為：175°．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了待定系數(shù)求一次函數(shù)解析式，圖形與坐標(biāo)的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，三角形和四邊形的內(nèi)角和定理，軸對(duì)稱的最短路徑問(wèn)題．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
27．（8分）對(duì)于△ABC及其邊上的點(diǎn)P，給出如下定義：如果點(diǎn)M1，M2，M3，……，Mn都在△ABC的邊上，且PM1＝PM2＝PM3＝……＝PMn，那么稱點(diǎn)M1，M2，M3，……，Mn為△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)，線段PM1，PM2，PM3，……，PMn為△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距線段．
（1）如圖1，△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)．
①點(diǎn)B，C 是 △ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)，線段PA，PB 不是 △ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距線段；（填“是”或“不是”）
②△ABC關(guān)于點(diǎn)P的兩個(gè)等距點(diǎn)M1，M2分別在邊AB，AC上，當(dāng)相應(yīng)的等距線段最短時(shí)，在圖1中畫出線段PM1，PM2；
（2）△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)C，D是△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)，且PC＝1，求線段DC的長(zhǎng)；
（3）如圖2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．點(diǎn)P在BC上，△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)恰好有四個(gè)，且其中一個(gè)是點(diǎn)C．若BC＝a，直接寫出PC長(zhǎng)的取值范圍．（用含a的式子表示）
【分析】（1）①由新定義“△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距線段”即可得出答案；
②作PM1⊥AB于M1，PM2⊥AC于M2，由垂線段最短即可得出答案：
（2）以P為圓心，PC長(zhǎng)為半徑作圓P，交AC于D，交BC于D'，連接PD，則PD'＝PC＝PD＝1，得出CD'＝PC+PD'＝2；證出△PCD是等邊三角形，得出CD＝PC＝1即可；
（3）分別求出當(dāng)PC＝BC＝a時(shí)、當(dāng)PC＝BC＝a時(shí)，△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)，即可得出答案．
【解答】解：（1）①∵點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，
∴PB＝PC，
∴點(diǎn)B，C是△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)；
∵AB＝AC，
∴PA⊥BC，PA≠PB，
∴線段PA，PB不是△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距線段；
故答案為：是，不是；
②作PM1⊥AB于M1，PM2⊥AC于M2，連接PA，如圖1﹣1所示：
∵AB＝AC，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，
∴PA平分∠BAC，
∴PM1＝PM2；
由垂線段最短可知：PM1，PM2是△ABC關(guān)于點(diǎn)P等距線段最短的線段；
（2）如圖1﹣2，以P為圓心，PC長(zhǎng)為半徑作圓P，交AC于D，交BC于D'，連接PD，
則PD'＝PC＝PD＝1，
∴CD'＝PC+PD'＝2；
∵△ABC是等邊三角形，
∴BC＝AC＝4，∠C＝60°，
∴△PCD是等邊三角形，
∴CD＝PC＝1；
即線段DC的長(zhǎng)為2或1；
（3）當(dāng)PC＝BC＝a時(shí)，
當(dāng)P為BC的中點(diǎn)，則PB＝PC，
∴B、C是，△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)，
作PE⊥AB于E，截取EF＝EB，連接PF，如圖2所示：
則PF＝PB＝a，
∵∠B＝30°，
∴PE＝BP＝a，
∴AB邊上存在2個(gè)△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)，
∵△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)恰好有四個(gè)，且其中一個(gè)是點(diǎn)C．
∴PC＜BC，即PC＜；
當(dāng)PC＝BC＝a時(shí)，PB＝a，PE＝BP＝a，
則△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)有2個(gè)在BC上，有1個(gè)在AB上，
∵△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距點(diǎn)恰好有四個(gè)，且其中一個(gè)是點(diǎn)C．
∴PC＞BC，
∴PC長(zhǎng)的取值范圍是＜PC＜．
【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題目，考查了新定義“△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距線段”，等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，理解新定義“△ABC關(guān)于點(diǎn)P的等距線段”是解題的關(guān)鍵．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/7/10 12:21:28；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號(hào)：36906111

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