1．（2分）二次函數(shù)y＝x2﹣5x+1的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．（0，1）B．（0，﹣1）C．（1，0）D．（﹣1，0）
2．（2分）拋物線y＝（x﹣1）2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）
3．（2分）下列關(guān)于二次函數(shù)y＝2x2的說法正確的是（ ）
A．它的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，2）
B．它的圖象的對(duì)稱軸是直線x＝2
C．當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小
D．當(dāng)x＝0時(shí)，y有最大值為0
4．（2分）如圖，線段BD，CE相交于點(diǎn)A，DE∥BC，若AB＝8，AD＝4，DE＝3，則BC的長(zhǎng)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（2分）將拋物線y＝x2向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到的表達(dá)式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2﹣3B．y＝（x+1）2﹣3
C．y＝（x﹣1）2+3D．y＝（x+1）2+3
6．（2分）已知點(diǎn)A（﹣3，y1），B（2，y2）均在拋物線y＝﹣2（x﹣1）2+3上，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．3＜y1＜y2B．3＜y2＜y1C．y2＜y1＜3D．y1＜y2＜3
7．（2分）如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，BC上的點(diǎn)，若∠AEF＝90°，則一定有（ ）
A．△ADE∽△AEFB．△ECF∽△AEFC．△ADE∽△ECFD．△ADE∽△ABF
8．（2分）某汽車剎車后行駛的距離y（單位：m）與行駛的時(shí)間t（單位：s）之間近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝at2+bt（a＜0）．如圖記錄了y與t的兩組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出該汽車剎車后到停下來所用的時(shí)間為（ ）
A．2.25sB．1.25sC．0.75sD．0.25s
二、填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）
9．（2分）函數(shù)是二次函數(shù)，則m＝ ．
10．（2分）如圖，在△ABC中，D、E分別AB、AC邊上的點(diǎn)，DE∥BC，若AD＝2，DB＝3，DE＝3，則BC＝ ．
11．（2分）將二次函數(shù)y＝x2﹣4x+5用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式為 ．
12．（2分）若二次函數(shù)y＝x2+2x+c的圖象與x軸無交點(diǎn)，則c的取值范圍是 ．
13．（2分）如圖，在?ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，△DEF的面積為3，則△ABF的面積為 ．
14．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，AB＝3，BC＝5，則BD＝ ．
15．（2分）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸及部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩根為 ．
16．（2分）從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線．
（1）如圖1，△ABC中，∠A＝50°，CD是△ABC的完美分割線，AD＝CD，則∠ACB＝ ；
（2）如圖2，△ABC中，AC＝2，，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，則完美分割線CD＝ ．
三、解答題（共12小題，滿分68分，17-19題每小題4分，20-26每小題4分，27、28題每小題4分.）解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
17．（4分）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E在BD上，且．
求證：∠ABC＝∠AED．
18．（4分）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（6，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣8），求該函數(shù)的表達(dá)式．
19．（4分）已知函數(shù)y＝x2﹣5x﹣6的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，求△ABC的面積．
20．（6分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥DC于點(diǎn)F．
（1）求證：；
（2）當(dāng)AB＝2，AD＝3，BE＝1時(shí)，求CF的長(zhǎng)．
21．（6分）已知拋物線y＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）．
（1）求證：此拋物線與x軸總有交點(diǎn)；
（2）若此拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都為整數(shù)，求整數(shù)m的值．
22．（6分）已知二次函數(shù)y＝x2+2x﹣3．
（1）求此函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）畫出此函數(shù)的圖象；
（3）若點(diǎn)A（﹣2，y1）和B（m，y2）都在此函數(shù)的圖象上，且y1＜y2，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出m的取值范圍．
23．（6分）如圖，△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，過D作射線DE交AC于點(diǎn)E，且滿足∠ADE＝∠B．
（1）求證：△ABD∽△DCE；
（2）設(shè)BD＝x，CE＝y(tǒng)，寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，當(dāng)x取何值時(shí)y值最大，最大值是多少？
24．（6分）已知拋物線C1：y＝x2﹣2x的圖象如圖所示，把C1的圖象沿y軸翻折，得到拋物線C2的圖象．
（1）求拋物線C2的解析式；
（2）若直線y＝kx+b與拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，稱直線與拋物線相切．若直線y＝x+b與拋物線C2相切，求b的值．
25．（6分）如圖，在一面靠墻的空地上用長(zhǎng)為24米的籬笆，圍成中間隔有二道籬笆的長(zhǎng)方形花圃，設(shè)花圃的寬AB為x米，面積為S平方米．
（1）求S與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；
（2）若所圍成花圃的面積不小于20平方米，直接寫出x的取值范圍．
26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝x+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與過點(diǎn)（0，5）平行于x軸的直線l交于點(diǎn)B，點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)B和點(diǎn)C坐標(biāo)；
（2）已知某拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣2mx+m2﹣m．
①如果該拋物線頂點(diǎn)在直線y＝x+4上，求m的值；
②如果該拋物線與線段BC有公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出m的取值范圍．
27．（7分）如圖1，在?ABCD中，AE⊥BC于E，E恰為BC的中點(diǎn)，AE＝2BE
（1）求證：AD＝AE；
（2）如圖2，點(diǎn)P在BE上，作EF⊥DP于點(diǎn)F，連接AF．求證：DF﹣EF＝AF；
（3）請(qǐng)你在備用圖中畫圖探究：當(dāng)P為射線EC上任意一點(diǎn)（P不與點(diǎn)E重合）時(shí)，作EF⊥DP于點(diǎn)F，連接AF，線段DF、EF與AF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出你的結(jié)論．
28．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，2），B（2，2），點(diǎn)M為線段AB上一點(diǎn)．
（1）在點(diǎn)C（2，1），D（2，0），E（1，2）中，可以與點(diǎn)M關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的點(diǎn)是 ；
（2）若x軸上存在點(diǎn)N，使得點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于直線y＝x+b對(duì)稱，求b的取值范圍．
（3）過點(diǎn)O作直線l，若直線y＝x上存在點(diǎn)N，使得點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于直線l對(duì)稱（點(diǎn)M可以與點(diǎn)N重合），請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)N橫坐標(biāo)n的取值范圍．
2023-2024學(xué)年北京市石景山區(qū)京源學(xué)校九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（共8小題，滿分16分，每小題2分）
1．（2分）二次函數(shù)y＝x2﹣5x+1的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．（0，1）B．（0，﹣1）C．（1，0）D．（﹣1，0）
【分析】直接利用x＝0時(shí)，求出y的值進(jìn)而得出答案．
【解答】解：二次函數(shù)y＝x2﹣5x+1的圖象與y軸相交，則x＝0，
故y＝1，則圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是：（0，1）．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，正確得出x＝0是解題關(guān)鍵．
2．（2分）拋物線y＝（x﹣1）2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）
【分析】由拋物線解析式可求得其標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：
∵y＝（x﹣1）2+3，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握拋物線的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，即在y＝a（x﹣h）2+k中，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），對(duì)稱軸x＝h．
3．（2分）下列關(guān)于二次函數(shù)y＝2x2的說法正確的是（ ）
A．它的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，2）
B．它的圖象的對(duì)稱軸是直線x＝2
C．當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小
D．當(dāng)x＝0時(shí)，y有最大值為0
【分析】直接利用二次函數(shù)的性質(zhì)分別判斷得出答案．
【解答】解：二次函數(shù)y＝2x2，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，故它的圖象不經(jīng)過點(diǎn)（0，2），故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
它的圖象的對(duì)稱軸是直線 y軸，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小，故選項(xiàng)C正確；
當(dāng)x＝0時(shí)，y有最小值為0，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，正確掌握二次函數(shù)的增減性是解題關(guān)鍵．
4．（2分）如圖，線段BD，CE相交于點(diǎn)A，DE∥BC，若AB＝8，AD＝4，DE＝3，則BC的長(zhǎng)為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】由DE∥BC，可證△EAD∽△CAB，可得，再代入求解即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△EAD∽△CAB，
∴，
∵AB＝8，AD＝4，DE＝3，
∴，
∴BC＝6，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（2分）將拋物線y＝x2向右平移1個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到的表達(dá)式是（ ）
A．y＝（x﹣1）2﹣3B．y＝（x+1）2﹣3
C．y＝（x﹣1）2+3D．y＝（x+1）2+3
【分析】根據(jù)右減上加的規(guī)律求解即可．
【解答】解：將拋物線y＝x2向右平移1個(gè)單位得y＝（x﹣1）2，再向上平移3個(gè)單位得到的解析式得y＝（x﹣1）2+3．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的法則是解答此題的關(guān)鍵．
6．（2分）已知點(diǎn)A（﹣3，y1），B（2，y2）均在拋物線y＝﹣2（x﹣1）2+3上，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．3＜y1＜y2B．3＜y2＜y1C．y2＜y1＜3D．y1＜y2＜3
【分析】分別計(jì)算自變量為﹣3、2對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，然后對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【解答】解：當(dāng)x＝﹣3時(shí)，y1＝﹣2（﹣3﹣1）2+3＝﹣29，
當(dāng)x＝2時(shí)，y2＝﹣2（2﹣1）2+3＝1，
所以y1＜y2＜3．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．
7．（2分）如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，BC上的點(diǎn)，若∠AEF＝90°，則一定有（ ）
A．△ADE∽△AEFB．△ECF∽△AEFC．△ADE∽△ECFD．△ADE∽△ABF
【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠D＝∠C＝90°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠DAE＝∠CEF，然后根據(jù)相似三角形的判定即可得出答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠C＝90°，
∴∠DAE+∠AED＝90°，
∵∠AEF＝90°，
∴∠CEF+∠AED＝90°，
∴∠DAE＝∠CEF，
在△ADE和△ECF中，
，
∴△ADE∽△ECF，選項(xiàng)C正確；
△ADE與△AEF、△ECF與△AEF、△ADE與△ABF都是只有一對(duì)相等的直角，所以都不是相似三角形，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定是解題關(guān)鍵．
8．（2分）某汽車剎車后行駛的距離y（單位：m）與行駛的時(shí)間t（單位：s）之間近似滿足函數(shù)關(guān)系y＝at2+bt（a＜0）．如圖記錄了y與t的兩組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出該汽車剎車后到停下來所用的時(shí)間為（ ）
A．2.25sB．1.25sC．0.75sD．0.25s
【分析】直接利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，進(jìn)而得出對(duì)稱軸即可得出答案．
【解答】解：將（0.5，6），（1，9）代入y＝at2+bt（a＜0）得：
，
解得：，
故拋物線解析式為：y＝﹣6t2+15t，
當(dāng)t＝﹣＝﹣＝＝1.25（秒），此時(shí)y取到最大值，故此時(shí)汽車停下，
則該汽車剎車后到停下來所用的時(shí)間為1.25秒．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正確得出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．
二、填空題（共8小題，滿分16分，每小題2分）
9．（2分）函數(shù)是二次函數(shù)，則m＝ 1 ．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，即可解答．
【解答】解：∵函數(shù)是二次函數(shù)，
∴，解得：m＝1，
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的是二次函數(shù)．
10．（2分）如圖，在△ABC中，D、E分別AB、AC邊上的點(diǎn)，DE∥BC，若AD＝2，DB＝3，DE＝3，則BC＝ ．
【分析】首先由DE∥BC，可證得△ADE∽△ABC，進(jìn)而可根據(jù)相似三角形得到的比例線段求得BC的長(zhǎng)．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AD＝2，DB＝3，
∴AB＝AD+BD＝5，
∴，
∴BC＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握相似三角形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．
11．（2分）將二次函數(shù)y＝x2﹣4x+5用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式為 y＝（x﹣2）2+1 ．
【分析】將5裂項(xiàng)為4+1，再根據(jù)完全平方公式進(jìn)行配方，即可解答．
【解答】解：y＝x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1．
故答案為：y＝（x﹣2）2+1．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了將二次函數(shù)表達(dá)式化為頂點(diǎn)式，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2．
12．（2分）若二次函數(shù)y＝x2+2x+c的圖象與x軸無交點(diǎn)，則c的取值范圍是 c＞1 ．
【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式，即可求得．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝x2+2x+c的圖象與x軸無交點(diǎn)，
∴x2+2x+c＝0無實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝22﹣4c＜0，
解得c＞1，
故答案為：c＞1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系、一元二次方程根的判別式，掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．
13．（2分）如圖，在?ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，△DEF的面積為3，則△ABF的面積為 12 ．
【分析】由平行四邊形ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，可得△DEF∽△BAF，相似比為1：2，又由相似三角形的面積比等于其相似比的平方，即可求得答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝（）2，
∵E為DC的中點(diǎn)，
∴DE＝CD，
∴DE：AB＝1：2，
∴＝，
∵△DEF的面積為3，
∴△ABF的面積為12．
故答案為：12．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與平行四邊形的性質(zhì)．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意掌握相似三角形的面積比等于其相似比的平方定理的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
14．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，AB＝3，BC＝5，則BD＝ 1.8 ．
【分析】證明△ABD∽△CBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入計(jì)算得到答案．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADB＝∠BAC，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBA，
∴，即，
解得BD＝1.8．
故答案為：1.8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
15．（2分）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸及部分圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩根為 x1＝﹣1，x2＝3 ．
【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱性即可求解．
【解答】解：根據(jù)圖象可得：圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是（3，0），對(duì)稱軸是：x＝1，
∴（3，0）關(guān)于x＝1的對(duì)稱點(diǎn)是：（1，0），
則拋物線與x軸的交點(diǎn)是：（﹣1，0）和（3，0），
∴關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩根為：x1＝﹣1，x2＝3．
故答案為：x1＝﹣1，x2＝3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，理解二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是對(duì)應(yīng)的方程的解是解題關(guān)鍵．
16．（2分）從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線．
（1）如圖1，△ABC中，∠A＝50°，CD是△ABC的完美分割線，AD＝CD，則∠ACB＝ 100° ；
（2）如圖2，△ABC中，AC＝2，，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，則完美分割線CD＝ ．
【分析】（1）根據(jù)完美分割線的定義可知，△BCD∽△BAC，則∠BCD＝∠A，進(jìn)而求出∠ACB即可；
（2）根據(jù)完美分割線的定義可知，△BCD∽△BAC，則即可求出CD．
【解答】解：（1）根據(jù)完美分割線的定義可知，△BCD∽△BAC，
∴∠BCD＝∠A，
∵∠A＝50°，AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD＝50°，
∴∠BCD＝50°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝50°+50°＝100°．
故答案為：100°；
（2）根據(jù)完美分割線的定義可知，△BCD∽△BAC，
∴，
∵△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，
∴AC＝AD＝2，
∴，
解得x＝1（負(fù)值舍去），
即BD＝1，
∴，
解得CD＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，考查了新定義、相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決問題是解本題的關(guān)鍵．
三、解答題（共12小題，滿分68分，17-19題每小題4分，20-26每小題4分，27、28題每小題4分.）解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
17．（4分）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E在BD上，且．
求證：∠ABC＝∠AED．
【分析】根據(jù)相似三角形的判定可得△ABC∽△AED，即可得出結(jié)論．
【解答】證明：∵，
∴△ABC∽△AED，
∴∠ABC＝∠AED．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
18．（4分）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（6，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣8），求該函數(shù)的表達(dá)式．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝a（x﹣4）2﹣8，再把點(diǎn)（6，0）代入求解即可．
【解答】解：∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣8），
∴設(shè)該函數(shù)的表達(dá)式為y＝a（x﹣4）2﹣8，
∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（6，0），
把點(diǎn)（6，0）代入y＝a（x﹣4）2﹣8得，a（6﹣4）2﹣8＝0，
解得a＝2，
∴該函數(shù)的表達(dá)式為y＝2（x﹣4）2﹣8．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)題目的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
19．（4分）已知函數(shù)y＝x2﹣5x﹣6的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，求△ABC的面積．
【分析】根據(jù)函數(shù)y＝x2﹣5x﹣6的圖象與x軸、y軸相交，即可求出交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出AB、OC的長(zhǎng)度，從而求出△ABC的面積．
【解答】解：∵y＝x2﹣5x﹣6的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴x2﹣5x﹣6＝0，
∴（x+1）（x﹣6）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝6，
∴與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為A（﹣1，0），B（6，0），
∴AB＝7，
令x＝0，則y＝﹣6，
∴與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為C（0，﹣6），
∴OC＝6，
∴．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，三角形的面積，熟練掌握二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法是解題的關(guān)鍵．
20．（6分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥DC于點(diǎn)F．
（1）求證：；
（2）當(dāng)AB＝2，AD＝3，BE＝1時(shí)，求CF的長(zhǎng)．
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出∠B＝∠D，BC＝AD，再根據(jù)垂直的定義得出∠AEB＝∠AFD＝90°，即可得出△AEB∽△AFD，則，即可求證；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)出，即可求出，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB＝CD＝2，最后根據(jù)CF＝CD﹣DF即可求解．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B＝∠D，BC＝AD，
∵AE⊥BC，AF⊥DC，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴△AEB∽△AFD，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知：△AEB∽△AFD，
∴，則，
解得：，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB＝CD＝2，
∴．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形對(duì)邊相等，對(duì)角相等；相似三角形對(duì)應(yīng)邊相等．
21．（6分）已知拋物線y＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）．
（1）求證：此拋物線與x軸總有交點(diǎn)；
（2）若此拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都為整數(shù)，求整數(shù)m的值．
【分析】（1）當(dāng)y＝0時(shí)，mx2+（m﹣3）x﹣3＝0，求出一元二次方程根的判別式，得出判別式的值大于0，即可求證拋物線與x軸總有交點(diǎn)；
（2）用因式分解法求出mx2+（m﹣3）x﹣3＝0的兩個(gè)根，結(jié)合m＞0，即可得出m的值．
【解答】解：（1）當(dāng)y＝0時(shí)，mx2+（m﹣3）x﹣3＝0，
∴a＝m，b＝m﹣3，c＝﹣3，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（m﹣3）2﹣4m×（﹣3）＝m2+6m+9＝（m+3）2，
∵m＞0，
∴（m+3）2＞0，
∴方程mx2+（m﹣3）x﹣3＝0有實(shí)數(shù)根，
∴拋物線與x軸總有交點(diǎn)；
（2）當(dāng)y＝0時(shí)，mx2+（m﹣3）x﹣3＝0，
（x+1）（mx﹣3）＝0，
x+1＝0，mx﹣3＝0，
解得：，
∵拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都為整數(shù)，
∴方程mx2+（m﹣3）x﹣3＝0的兩個(gè)根為整數(shù)，
∵m＞0，為整數(shù)，
∴m＝1或3．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握當(dāng)b2﹣4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2﹣4ac＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)b2﹣4ac＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根，以及二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系．
22．（6分）已知二次函數(shù)y＝x2+2x﹣3．
（1）求此函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）畫出此函數(shù)的圖象；
（3）若點(diǎn)A（﹣2，y1）和B（m，y2）都在此函數(shù)的圖象上，且y1＜y2，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出m的取值范圍．
【分析】（1）把二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（2）利用五點(diǎn)法畫圖即可；
（3）根據(jù)二次函數(shù)圖象與性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
【解答】解：（1）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣4）；
（2）函數(shù)圖象如圖所示，
（3）由圖可得，拋物線開口向上，
∵拋物線的對(duì)稱軸為x＝﹣1，
∴拋物線上離對(duì)稱軸x＝﹣1越遠(yuǎn)的點(diǎn)，函數(shù)值越大，
∵y1＜y2，
∴B（m，y2）離對(duì)稱軸x＝﹣1較遠(yuǎn)，
∴m＜﹣2或m＞0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查畫二次函數(shù)圖象，二次函數(shù)的頂點(diǎn)式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
23．（6分）如圖，△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，過D作射線DE交AC于點(diǎn)E，且滿足∠ADE＝∠B．
（1）求證：△ABD∽△DCE；
（2）設(shè)BD＝x，CE＝y(tǒng)，寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，當(dāng)x取何值時(shí)y值最大，最大值是多少？
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠C，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠ADB＝∠DEC，即可得出結(jié)論；
（2）由（1）△ABD∽△DCE可得，即，從而可得，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【解答】（1）證明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADE＝∠B，
∴∠ADE＝∠C，
∵∠ADB＝180°﹣∠ADE﹣∠CDE，∠DEC＝180°﹣∠C﹣∠CDE，
∴∠ADB＝∠DEC，
∴△ABD∽△DCE；
（2）解：∵BD＝x，CE＝y(tǒng)，
∴CD＝6﹣x，
由（1）可得，△ABD∽△DCE，
∴，即，
∴，
∵，
∴當(dāng)x＝3時(shí)，y值最大，最大值是．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
24．（6分）已知拋物線C1：y＝x2﹣2x的圖象如圖所示，把C1的圖象沿y軸翻折，得到拋物線C2的圖象．
（1）求拋物線C2的解析式；
（2）若直線y＝kx+b與拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，稱直線與拋物線相切．若直線y＝x+b與拋物線C2相切，求b的值．
【分析】（1）對(duì)于拋物線C1：y＝x2﹣2x，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣1，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝0，則拋物線C1經(jīng)過（0，0），（1，﹣1），（2，0），而點(diǎn)（0，0），（1，﹣1），（2，0）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)分別為（0，0），（﹣1，﹣1），（﹣2，0），依題意得拋物線C2經(jīng)過（0，0），（﹣1，﹣1），（﹣2，0），然后利用待定系數(shù)法即可求出拋物線C2的解析式；
（2）將拋物線C2的解析式與直線y＝x+b聯(lián)立成方程組，整理得x2+x﹣b＝0，再根據(jù)直線y＝x+b與拋物線C2相切得方程x2+x﹣b＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，進(jìn)而根據(jù)判別式Δ＝0即可求出b的值．
【解答】解：（1）對(duì)于拋物線C1：y＝x2﹣2x，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣1，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝0，
∴拋物線C1經(jīng)過（0，0），（1，﹣1），（2，0），
∴點(diǎn)（0，0），（1，﹣1），（2，0）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)分別為（0，0），（﹣1，﹣1），（﹣2，0），
∵把拋物線C1的圖象沿y軸翻折，得到拋物線C2的圖象，
∴拋物線C1與拋物線C2關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)（0，0），（﹣1，﹣1），（﹣2，0）在拋物線C2上，
設(shè)拋物線C2的解析式為：y＝ax2+bx+c（a≠0）
將點(diǎn)（0，0），（﹣1，﹣1），（﹣2，0）代入得：，
解得：，
∴拋物線C2的解析式為：y＝x2+2x；
（2）將拋物線C2的解析式與直線y＝x+b聯(lián)立成方程組，
整理得：x2+x﹣b＝0，
∵直線y＝x+b與拋物線C2相切，
∴方程組只有一組解，
即一元二次方程x2+x﹣b＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴判別式Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣b）＝0，
解得：b＝，
即直線y＝x+b與拋物線C2相切，b的值為．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)圖形的翻折，二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)圖象相切，熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，把二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)圖象相切轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根是解決問題的關(guān)鍵．
25．（6分）如圖，在一面靠墻的空地上用長(zhǎng)為24米的籬笆，圍成中間隔有二道籬笆的長(zhǎng)方形花圃，設(shè)花圃的寬AB為x米，面積為S平方米．
（1）求S與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；
（2）若所圍成花圃的面積不小于20平方米，直接寫出x的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式列方程，再根據(jù)0＜4x＜24求得自變量的取值范圍即可；
（2）先求出﹣4x2+24＝20方程的解，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象以及自變量的取值范圍求解即可．
【解答】解：（1）由題意得，S＝x（24﹣4x）＝﹣4x2+24x，
∵0＜4x＜24，即0＜x＜6，
∴自變量的取值范圍為0＜x＜6；
（2）當(dāng)﹣4x2+24x＝20時(shí)，解得x1＝1，x2＝5，
由函數(shù)圖象可得，1≤x≤5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝x+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與過點(diǎn)（0，5）平行于x軸的直線l交于點(diǎn)B，點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)B和點(diǎn)C坐標(biāo)；
（2）已知某拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣2mx+m2﹣m．
①如果該拋物線頂點(diǎn)在直線y＝x+4上，求m的值；
②如果該拋物線與線段BC有公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出m的取值范圍．
【分析】（1）求出兩條直線的交點(diǎn)B，根據(jù)對(duì)稱求出點(diǎn)C
（2）將（m，﹣m）代入解析式可求m的值
（3）將點(diǎn)B、C分別代入即可求出m的取值范圍
【解答】解：（1）∵直線y＝x+4與x軸交于點(diǎn)A，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣4，0）．
∵直線y＝x+4與過點(diǎn)（0，5）且平行于x軸的直線l交于點(diǎn)B，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，5）．
∵點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（﹣4，10）．
（2）①∵拋物線的表達(dá)式為y＝x2﹣2mx+m2﹣m，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣m）．
∵拋物線頂點(diǎn)在直線y＝x+4上，
∴﹣m＝m+4，
∴m＝﹣2．
②將點(diǎn)B（1，5）代入解析式可得m1＝﹣1，m2＝4
將點(diǎn)C（﹣4，10）代入解析式可得m1＝﹣1，m2＝﹣6
∴拋物線與線段BC有公共點(diǎn)時(shí)，﹣6≤m≤4
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，探究二次函數(shù)與線段的公共點(diǎn)問題，是一道很好的綜合問題．
27．（7分）如圖1，在?ABCD中，AE⊥BC于E，E恰為BC的中點(diǎn)，AE＝2BE
（1）求證：AD＝AE；
（2）如圖2，點(diǎn)P在BE上，作EF⊥DP于點(diǎn)F，連接AF．求證：DF﹣EF＝AF；
（3）請(qǐng)你在備用圖中畫圖探究：當(dāng)P為射線EC上任意一點(diǎn)（P不與點(diǎn)E重合）時(shí)，作EF⊥DP于點(diǎn)F，連接AF，線段DF、EF與AF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出你的結(jié)論．
【分析】（1）根據(jù)AE＝2BE，由題意得出BC＝2BE，得出BC＝AE，由平行四邊形的性質(zhì)得出即可；
（2）在DP上截取DH＝EF，連接AH，由SAS證明△ADH≌△AEF，得出∠HAD＝∠FAE，AH＝AF，得出∠FAH＝90°，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出FH＝AF，即可得出結(jié)論；
（3）①當(dāng)P為線段EC上任意一點(diǎn)（P不與點(diǎn)E重合）時(shí)，在PD的延長(zhǎng)線上截取DH＝EF，連接AH，由SAS證明△ADH≌△AEF，得出∠HAD＝∠FAE，AH＝AF，得出∠FAH＝90°，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出FH＝AF，即可得出結(jié)論；
②當(dāng)P為EC延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)（P不與點(diǎn)E重合）時(shí)，在PD的延長(zhǎng)線上截取DH＝EF，連接AH，由SAS證明△ADH≌△AEF，得出∠HAD＝∠FAE，AH＝AF，得出∠FAH＝90°，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出FH＝AF，即可得出結(jié)論．
【解答】證明：（1）∵E為BC的中點(diǎn)，
∴BC＝2AE，
∵AE＝2BE，
∴AE＝BC，
∵ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，
∴AD＝AE；
（2）在DP上截取DH＝EF，連接AH，如圖1所示：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，AE⊥BC，
∴∠EAD＝90°，
∵EF⊥PD，∠AGD＝∠EGF，
∴∠ADH＝∠AEF，
在△ADH和△AEF中，，
∴△ADH≌△AEF（SAS），
∴∠HAD＝∠FAE，AH＝AF，
∴∠FAH＝90°，
在Rt△FAH中，AH＝AF
∴，
∴，
即：；
（3）分兩種情況：
①當(dāng)P為線段EC上任意一點(diǎn)（P不與點(diǎn)E重合）時(shí)，；理由如下：
在PD的延長(zhǎng)線上截取DH＝EF，連接AH，如圖2所示：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，AE⊥BC，
∴∠EAD＝90°，
∵EF⊥PD，
∴∠EFD＝90°，
∴∠AEF+∠ADF＝180°，
∴∠ADH＝∠AEF，
在△ADH和△AEF中，，
∴△ADH≌△AEF（SAS），
∴∠HAD＝∠FAE，AH＝AF，
∴∠FAH＝90°，
在Rt△FAH中，AH＝AF，HF＝AF，HF＝DH+DF＝EF+DF，
即：DF+EF＝AF；
②當(dāng)P為EC延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)（P不與點(diǎn)E重合）時(shí)，
，理由如下：
在PD的延長(zhǎng)線上截取DH＝EF，連接AH，如圖3所示：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，AE⊥BC，
∴∠EAD＝90°，∠ADH＝∠P，
∵EF⊥PD，
∴∠EFP＝90°，
∴∠P+∠PEF＝∠PEF+∠AEF＝90°，
∴∠ADH＝∠AEF，
在△ADH和△AEF中，，
∴△ADH≌△AEF（SAS），
∴∠HAD＝∠FAE，AH＝AF，
∴∠FAH＝90°，
在Rt△FAH中，AH＝AF，HF＝AF，HF＝DH﹣DF＝EF﹣DF，
即：EF﹣DF＝AF．
【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題目，考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，特別是（3）中，需要進(jìn)行分類討論才能得出結(jié)果．
28．（7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，2），B（2，2），點(diǎn)M為線段AB上一點(diǎn)．
（1）在點(diǎn)C（2，1），D（2，0），E（1，2）中，可以與點(diǎn)M關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的點(diǎn)是 C（2，1），D（2，0） ；
（2）若x軸上存在點(diǎn)N，使得點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于直線y＝x+b對(duì)稱，求b的取值范圍．
（3）過點(diǎn)O作直線l，若直線y＝x上存在點(diǎn)N，使得點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于直線l對(duì)稱（點(diǎn)M可以與點(diǎn)N重合），請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)N橫坐標(biāo)n的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A（0，2），B（2，2）可知與點(diǎn)M關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的點(diǎn)是點(diǎn)C（2，1），D（2，0）；
（2）根據(jù)題意可知直線y＝x與直線y＝x+b平行，過點(diǎn)A作直線y＝x的垂線交x軸于點(diǎn)G，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；過點(diǎn)B作直線y＝x的垂線交x軸于點(diǎn)H，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求出求b的取值范圍；
（3）由（2）即可直接寫出點(diǎn)N橫坐標(biāo)n的取值范圍．
【解答】解：（1）在點(diǎn)C（2，1），D（2，0），E（1，2）中，可以與點(diǎn)M關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的點(diǎn)是C（2，1），D（2，0）．
故答案為：C（2，1），D（2，0）；
（2）由題意可知，點(diǎn)B在直線y＝x上．
∵直線y＝x與直線y＝x+b平行．
過點(diǎn)A作直線y＝x的垂線交x軸于點(diǎn)G，
∴點(diǎn)G是點(diǎn)A關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)，
∴G（2，0），
過點(diǎn)B作直線y＝x的垂線交x軸于點(diǎn)H，
∴△OBH是等腰直角三角形，
∴點(diǎn)G是OH的中點(diǎn)，
∴直線y＝x+b過點(diǎn)G，
∴b＝﹣2．
∴b的取值范圍是﹣2≤b≤0；
（3）∵l過原點(diǎn)，M、N又關(guān)于l對(duì)稱，
∴OM＝ON，
又∵M(jìn)在AB上，
∴OA≤ON≤OB，
當(dāng)l經(jīng)過第一、三象限時(shí)，點(diǎn)N橫坐標(biāo)n的取值范圍為：；
當(dāng)l經(jīng)過第二、四象限時(shí)，點(diǎn)N橫坐標(biāo)n的取值范圍為：．
∴點(diǎn)N橫坐標(biāo)n的取值范圍為：或．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)綜合題，等腰直角三角形的性質(zhì)，通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生的閱讀能力和計(jì)算能力，此題是一道非常好、比較典型的題目．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/7/12 10:33:53；用戶：笑涵數(shù)學(xué)；郵箱：15699920825；學(xué)號(hào)：36906111x
﹣3
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0
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